Nom : Prénom :. Classe 2nde. DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES (Barème sur 40) - Correction

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1 Jeudi 25 janvier 2018 Durée 2 heures Classes de seconde Nom : Prénom :. Classe 2nde. DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES (Barème sur 40) - Correction ~~Calculatrice autorisée~~ L'attention des élèves est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies Exercice 1 Développer et réduire les expressions suivantes. Factoriser les expressions suivantes : Devoir commun de mathématiques Page 1

2 Exercice 2 : On considère ci-dessous la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle Y=6 7 6 Y= o Déterminer graphiquement l image de par f. L image de par f est Déterminer graphiquement le ou les antécédent(s) de 0 par f. et Les antécédents de 0 par f sont -5 et 4,5. 3. Résoudre graphiquement l équation. Résoudre graphiquement l équation courbe Cf et de la droite d équation y=6 revient à chercher l abscisse des points d intersection de la 4. Résoudre graphiquement l inéquation. Résoudre graphiquement l inéquation revient à chercher l intervalle ou la réunion d intervalles formé(s) par les abscisses des points de Cf situés en dessous ou sur la droite d équation y=3 5. Quel est le maximum de sur son ensemble de définition? Pour quelle(s) valeur(s) est-il atteint? Le maximum de sur est 7 et il est atteint pour. Devoir commun de mathématiques Page 2

3 6. Dresser le tableau de variations sur l'intervalle. Exercice 3 : On donne ci-dessous le tableau de variations d une fonction définie sur l intervalle : Variations de 1. Pour chacune des propositions ci-dessous, dire si elle est vraie, fausse ou si on ne peut pas savoir et justifier la réponse. (les réponses non justifiées ne rapportent pas de point) a) est croissante sur l intervalle Par conséquent, comme, on a b) c) donc On ne peut pas comparer et car ces deux nombres ne sont pas dans deux intervalles distincts. donc Il se peut donc que soit égal à 2 mais pas forcément. On ne peut donc pas conclure. 2. Dessiner sur votre copie une courbe pouvant représenter la fonction. Devoir commun de mathématiques Page 3

4 Exercice 4 : Un segment a pour longueur 11 cm. On place un point sur et on pose. Puis on trace les carrés et. 1. Faire un schéma, puis dire à quel intervalle appartiennent les valeurs de. 2. Montrer que la somme des aires des deux carrés est. et Donc 3. On cherche à placer de façon à ce que la somme des aires soit égale à. a) Quelle équation cela revient-il à résoudre? On cherche à résoudre soit b) Résoudre graphiquement cette équation à la calculatrice en expliquant la démarche. On rentre dans la calculatrice et, puis dans Graphique, Calculs, on cherche les intersections. On trouve et 4. On souhaite maintenant que la somme des aires soit minimale. a) Montrer que pour tout réel, Donc on a bien b) utilisa t la é i iti u i i u u e ti sur u i tervalle é trer que la s e minimale des aires est. car c est un carré,. Un produit de deux positifs est positifs donc : On peut en déduire, d après la définition du maximum d une fonction, que est le minimum de sur [0 ;11] Exercice 5 Devoir commun de mathématiques Page 4

5 Dans le plan muni d un repère orthonormé, on considère les points et. 1. On considère le cercle de diamètre et de centre. a. Montrer que le rayon du cercle a pour mesure b. Déterminer les coordonnées du point. milieu de : et 2. On considère le point a. Justifier que le point appartient au cercle. On trouve que est égal au rayon du cercle donc appartient au cercle. b. Quelle est la nature du triangle Justifier la réponse. est le diamètre du cercle et un point de ce cercle. Par propriété, est inscrit dans un demi cercle et est donc un triangle rectangle en. Exercice 6 : Un verre cylindrique de diamètre 4 cm et de hauteur 10 cm est rempli aux 2/3 d eau. On laisse tomber une bille sphérique de diamètre égal à 3 cm dans ce verre. 1. Représenter en perspective cavalière le verre d eau et la bille. Reporter sur le dessin les informations de l énoncé. (on acceptera une figure propre à main levée) 2. Déterminer le volume d eau dans le verre au départ. Devoir commun de mathématiques Page 5

6 3. Déterminer le volume de la bille. 4. L eau va-t-elle déborder? justifier la réponse. Donc le volume du verre est suffisant pour contenir le volume d eau et celui de la bille. L eau ne débordera pas. Devoir commun de mathématiques Page 6