Dénition Une suite réelle (ou plus simplement suite) est une application dénie sur N, à valeurs dans R.

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1 Table des matières 7 Suites réelles Généralités Dénition Comportement global Comportement asymptotique Dénitions Limites par opérations Limites par comparaison Comportement asymptotique des suites monotones Suites adjacentes Suites du type u n = f(n) Suites du type u n+1 = f(u n ) Quelques suites récurrentes usuelles Suites arithmétiques Suites géométriques Suites arithmético-géométrique

2 Chapitre 7 Suites réelles 7.1 Généralités Dénition Dénition Une suite réelle (ou plus simplement suite) est une application dénie sur N, à valeurs dans R. Au lieu de la noter u : N R n u(n) u(n) = u n -., on la note (u n ) n 0 ou (u n ) n N -où, pour tout n de N, Remarque On peut voir une suite réelle comme une famille de réels indexée par N. Plus généralement, on a la dénition suivante : Dénition Soit p un entier positif. Toute application dénie sur [p, + [ N à valeurs dans R est appelée suite réelle. Une telle suite est notée (u n ) n p. Remarque L'ensemble [p, + [ N est souvent noté [p, + [ (c'est la notation que nous utiliserons dans la suite) Comportement global Dénition (sens de variation) Soit p un entier positif. Soit (u n ) n p une suite. On dit que : la suite (u n ) n p est constante si, et seulement si, pour tout n de [p, + [, on a u n = u n+1 (ce qui équivaut à l'existence d'un réel a tel que, pour tout n de [p, + [, u n = a). la suite (u n ) n p est croissante si, et seulement si, pour tout n de [p, + [, on a la suite (u n ) n p est strictement croissante si, et seulement si, pour tout n de [p, + [, on a la suite (u n ) n p est décroissante si, et seulement si, pour tout n de [p, + [, on a la suite (u n ) n p est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout n de [p, + [, on a 2

3 Remarque Lorsqu'une des conditions précédentes est acquise pour tout entier n tel que n q (où q est un entier tel que q > p) on parle, selon le cas, de constance, croissance, stricte croissance, décroissance ou stricte décroissance à partir du rang q. Méthode Pour déterminer le sens de variation d'une suite (u n ) n p, on peut : Déterminer, pour tout n de [p, + [, le signe de u n+1 u n. Lorsque les termes de la suite sont tous strictement positifs ou tous strictement négatifs ( ie lorsque pour tout n de [p, + [, on a u n > 0 ou u n < 0), comparer u n+1 u n à 1. Utiliser un raisonnement par récurrence. Remarque La méthode la plus usuelle consiste à déterminer le signe de u n+1 u n (pour tout n de [p, + [). u n+1 Il convient d'être rigoureux avec la méthode consistant à comparer à 1. Si l'on obtient, par exemple, que l'on a, pour tout n de [p, + [, u n+1 u n u n 1 alors la suite (u n ) n p est décroissante si les termes de la suite sont strictement positifs mais croissante si les termes de la suite sont strictement négatifs. Si on peut déterminer le sens de variation d'une suite à l'aide de la méthode consistant à comparer u n+1 à 1 alors on peut également déterminer le sens de variation de cette suite à l'aide de la méthode u n consistant à déterminer le signe de u n+1 u n. En conséquence, la méthode consistant à comparer u n+1 à 1 n'a que peu d'intérêt (elle permet seulement, dans certains cas, d'obtenir des expressions u n un peu plus faciles à manipuler (simplications à la place de factorisations)). Dénition Soit p un entier positif. Soit (u n ) n p une suite. On dit que : la suite (u n ) n p est majorée si, et seulement si, il existe un réel M tel que, pour tout n de [p, + [, u n M. la suite (u n ) n p est minorée si, et seulement si, il existe un réel m tel que, pour tout n de [p, + [, u n m. la suite (u n ) n p est bornée si, et seulement si, elle est à la fois minorée et majorée. Remarque Comme pour les fonctions, on peut montrer que la suite (u n ) n p est bornée si, et seulement si, il existe un réel (positif) A tel que l'on ait, pour tout n de [p, + [, u n A. Exercice 1 Exercice 1 de la feuille d'exercices distribuée. 3

4 7.2 Comportement asymptotique Une suite étant une fonction dénie sur un ensemble de la forme [p, + [ (pour un certain entier positif p), le seul cas de limite auquel on s'intéresse est le cas lim Dénitions Dénition Soit p un entier positif. Soit (u n ) n p une suite. Soit l un réel. On dit que la suite (u n ) n p converge vers l (ou admet l comme limite en + ) si, et seulement si, tout intervalle ouvert centré en l contient tous les termes de la suite (u n ) n p à partir d'un certain rang. Dans ce cas on note : lim u n = l. x + Interprétation graphique : Remarque La dénition rigoureuse est la suivante. La suite (u n ) n p converge vers l si, et seulement si, pour tout réel strictement positif ε, il existe un entier N (supérieur ou égal à p) tel que, pour tout n de [N, + [, l ε < u n < l + ε. Dénition Soit p un entier positif. Soit (u n ) n p une suite. On dit que la suite (u n ) n p est convergente (ou que la suite (u n ) n p converge) si, et seulement si, il existe un réel l tel que la (u n ) n p admet l comme limite en +. On dit que la suite (u n ) n p est divergente (ou que la suite (u n ) n p diverge) si, et seulement si, elle ne converge pas. Exercice 2 Exercice 2 de la feuille d'exercices distribuée. 4

5 Proposition (passage à la limite) Soit p un entier positif. Soient l et l deux réels. Soient (u n ) n p et (v n ) n p deux suites. On suppose que les trois conditions suivantes sont vériées : La suite (u n ) n p converge vers l. La suite (v n ) n p converge vers l. Il existe un entier N (supérieur ou égal à p) tel que, pour tout n de [N, + [, u n v n. Alors : l l. Démonstration : vue dans l'exercice précédent. Exemple On suppose que (u n ) n 0 est une suite qui converge vers un réel l et qui vérie, pour tout entier n de [4, + [, u n 2. Que peut-on dire de l? Proposition (unicité de la limite) Soit p un entier positif. Soit (u n ) n p une suite. Si la suite (u n ) n p converge, alors sa limite est unique. Idée de la démonstration : La démarche est similaire à celle vue dans la démonstration de la proposition précédente. On suppose que la suite (u n) n p converge vers deux réels distincts l et l. On construit ensuite un intervalle I 1 centré en l et un intervalle I 2 centré en l susamment ns pour que ces intervalles soient disjoints. On obtient alors une contradiction en constatant que les termes de la suite (u n) n p appartiennent à deux intervalles disjoints à partir d'un certain rang. Dénition Soit p un entier positif. Soit (u n ) n p une suite. On dit que la suite (u n ) n p admet + comme limite en + si, et seulement si, tout intervalle ouvert de la forme ]B, + [ contient tous les termes de la suite (u n ) n p à partir d'un certain rang. Dans ce cas on note : lim u n = +. x + On dit que la suite (u n ) n p admet comme limite en + si, et seulement si, tout intervalle ouvert de la forme ], B[ contient tous les termes de la suite (u n ) n p à partir d'un certain rang. Dans ce cas on note : lim u n =. x + 5

6 Interprétation graphique (cas + ) : Remarque Les dénitions rigoureuses sont les suivantes. La suite (u n ) n p admet + (respectivement ) comme limite en + si, et seulement si, pour tout réel B, il existe un entier N (supérieur ou égal à p) tel que, pour tout n de [N, + [, u n > B (respectivement u n < B). Exercice 3 Exercice 3 de la feuille d'exercices distribuée. 6

7 7.2.2 Limites par opérations Théorème Soit p un entier positif. Soient l et l deux réels. Soient (u n ) n p et (v n ) n p deux suites. On a les résultats suivants : Somme : Si lim u n = l l ou + l ou + et si lim v n = l + alors lim (u n + v n ) = Produit : Si lim un = l l avec l > 0 l avec l < 0 l avec l > 0 l avec l < 0 0 ou + ou ou + ou et si lim vn = l ou alors lim un vn = Inverse (0 + désigne 0 par valeurs strictement supérieures et 0 désigne 0 par valeurs strictement inférieures) : Si lim v n = l avec l ou alors ( ) 1 lim = v n 7

8 Quotient (0 + désigne 0 par valeurs strictement supérieures et 0 désigne 0 par valeurs strictement inférieures) : Si lim n = l l avec l 0 l + ou et si lim n = l avec l l avec l 0 ou 0 ou alors ( ) un lim = v n Si lim n = ou ou et si lim n = ou 0 ou alors ( ) un lim = v n Démonstration : on admet ce théorème dont la démonstration est fastidieuse et un peu délicate -mais accessible- (le lecteur désirant établir cette preuve pourra s'inspirer de la démonstration du théorème des gendarmes -cf plus loin-). Exercice 4 Exercice 4 de la feuille d'exercices distribuée. 8

9 7.2.3 Limites par comparaison Théorème (théorème des gendarmes ou théorème d'encadrement ) Soit p un entier positif. Soient (u n ) n p, (v n ) n p et (w n ) n p trois suites. Soit l un réel. On suppose que les trois conditions suivantes sont vériées : lim w n = l ; lim v n = l ; Il existe un entier N (supérieur ou égal à p) tel que, pour tout n de [N, + [, w n u n v n. Alors la suite (u n ) n p converge et sa limite est donnée par : lim u n = l. Interprétation graphique : Démonstration : Soit I un intervalle ouvert centré en l. On a l'égalité I =]l ε; l + ε[ pour un certain réel strictement positif ε. Démontrons que I contient tous les termes de la suite (u n) n p à partir d'un certain rang (cf dénition (7.2.1)). Puisque (w n) n p converge vers l, il existe un entier q supérieur ou égal à p tel que, pour tout n de [[q, + [[, w n I, ie l ε < w n < l + ε. 9

10 Puisque (v n) n p converge vers l, il existe un entier r supérieur ou égal à p tel que, pour tout n de [[r, + [[, l ε < v n < l+ε. Rappelons que, pour tout n de [[N, + [[, on a : w n u n v n. Notons m le plus grand des trois entiers q, r et N. Soit n un élément de [[m, + [[. Montrons que u n appartient à I. Comme n m, on a n q, d'où : l ε w n l + ε. De même, comme n m on a n r, d'où : l ε v n l + ε. Enn comme n m on a n s, d'où w n u n v n. Avec les trois inégalités précédentes, on obtient : l ε < w n u n v n < l + ε. En particulier, pour tout n de [[m, + [[, l ε < u n < l + ε c'est-à-dire que, pour tout n de [[m, + [[, u n appartient à I. Remarque C'est essentiellement la convergence de la suite (u n ) n p que donne le théorème précédent. En eet, une fois la convergence vers un réel δ de la suite (u n ) n p acquise, on peut obtenir la valeur δ de la limite de la suite (u n ) n p en passant à la limite dans l'inégalité w n u n v n (cf proposition (7.2.4)) ; cette démarche donne : l δ l, d'où δ = l. Exercice 5 Exercices 5 et 6 de la feuille d'exercices distribuée. Théorème Soit p un entier positif. Soient (u n ) n p et (v n ) n p deux suites. On suppose que les deux conditions suivantes sont vériées : lim v n = + ; Il existe un entier N (supérieur ou égal à p) tel que, pour tout n de N tel que n N, u n v n. Alors : lim u n = +. Démonstration : Soit B un réel. Démontrons que l'intervalle I =]B, + [ contient tous les termes de la suite (u n) n p à partir d'un certain rang (cf dénition (7.2.7)). Puisque lim vn = +, il existe un entier r supérieur ou égal à p tel que, pour tout n de [[r, + [[, vn I, ie vn > B. Soit m le plus grand des deux entiers r et N. Pour tout n de [[m, + [[, on a : u n v n et v n > B. En particulier, pour tout n de [[m, + [[, u n > B c'est-à-dire que, pour tout n de [m, + [[, u n appartient à I. 10

11 De façon analogue on a aussi le théorème suivant : Théorème Soit p un entier positif. Soient (u n ) n p et (v n ) n p deux suites. On suppose que les deux conditions suivantes sont vériées : lim v n = ; Il existe un entier N (supérieur ou égal à p) tel que, pour tout n de N tel que n N, u n v n. Alors : lim u n =. Démonstration : il sut d'adapter la démonstration vue dans le cas des fonctions. Exercice 6 Exercice 7 de la feuille d'exercices distribuée Comportement asymptotique des suites monotones Exercice 7 Exercice 8 de la feuille d'exercices distribuée. Théorème Soit p un entier positif. Soit (u n ) n p une suite. On suppose que la suite (u n ) n p est croissante. Deux cas seulement peuvent se présenter : la suite (u n ) n p est majorée, auquel cas il existe un réel l tel que la suite (u n ) n p converge vers l. la suite (u n ) n p n'est pas majorée, auquel cas la suite (u n ) n p admet + comme limite en +. Démonstration : Notons A = {u n, n [[p, + [[}. Il est clair que A est non vide. Comme de plus, la suite (u n) n p est majorée, A est majorée. On en déduit que A admet une borne supérieure, que l'on note l. Soit ε un réel strictement positif. Il existe un entier N (supérieur ou égal à p) tel que u N > l ε : si ce n'était pas le cas, on aurait pour tout n de [[p, + [[, u n l ε, contredisant le fait que l est le plus petit des majorants de A. Comme la suite (u n) n p est croissante, on en déduit, avec une récurrence immmédiate, que l'on a, pour tout n de [[N, + [[, u n > l ε. De plus, comme l est un majorant de A, on a, pour tout n de [[N, + [[, u n l. On a donc, pour tout n de [[N, + [[, l ε < u n < l + ε. Ainsi, l'intervalle ]l ε, l + ε[ contient tous les termes de la suite (u n) n p à partir d'un certain rang, d'où le résultat. Soit B un réel. Il existe un entier N (supérieur ou égal à p) tel que u N > B : si ce n'était pas le cas, on aurait pour tout n de [p, + [, u n B, contredisant le fait que la suite (u n) n p n'est pas majorée. Comme la suite (u n) n p est croissante, on en déduit, avec une récurrence immédiate, que l'on a, pour tout n de [[N, + [[, u n > B. Ainsi, l'intervalle ]B, + [ contient tous les termes de la suite (u n) n p à partir d'un certain rang, d'où le résultat. Proposition Soit p un entier positif. Soient (u n ) n p une suite. On suppose que la suite (u n ) n p est croissante et majorée par M. Alors la suite (u n ) n p est convergente et sa limite l vérie l M. Démonstration : Découle du premier point de la démonstration précédente (avec les notations introduites, M est un majorant de A donc est supérieur ou égal à l qui est le plus petit des majorants de A). Voici une autre justication : D'après le théorème précédent, la suite (u n) n p converge vers un réel l. De plus, comme la suite (u n) n p est majorée par l, on a, pour tout n de [[p, + [[, u n M. En passant à la limite dans 11

12 l'inégalité précédente, on en déduit l M (cf proposition (7.2.4)). On dispose bien évidemment d'un théorème analogue au précédent pour les suites décroissantes : Théorème Soit p un entier positif. Soient (u n ) n p une suite. On suppose que la suite (u n ) n p est décroissante. Deux cas seulement peuvent se présenter : la suite (u n ) n p est minorée, auquel cas il existe un réel l tel que la suite (u n ) n p converge vers l et l est supérieur ou égal à tout minorant de la suite (u n ) n p. la suite (u n ) n p n'est pas minorée, auquel cas la suite (u n ) n p admet comme limite en +. Démonstration : laissée au lecteur (il sut d'adapter la démonstration du théorème précédent). Théorème (théorème de la limite monotone) Soit p un entier positif. Soient (u n ) n p une suite. On a les résultats suivants : Si la suite (u n ) n p est croissante et majorée, alors elle converge (et sa limite est inférieure ou égale à tout majorant). Si la suite (u n ) n p est décroissante et minorée, alors elle converge (et sa limite est supérieure ou égale à tout minorant). Démonstration : déjà vu dans ce qui précède. Exercice 8 Exercices 9 et 10 de la feuille d'exercices distribuée Suites adjacentes Dénition Soient (u n ) n p et (v n ) n p deux suites. On dit que les suites (u n ) n p et (v n ) n p sont adjacentes si et seulement si les trois conditions suivantes sont vériées : la suite (u n ) n p est croissante ; la suite (v n ) n p est décroissante ; lim v n u n = 0. Théorème Soient (u n ) n p et (v n ) n p deux suites adjacentes. Alors les suites (u n ) n p et (v n ) n p convergent vers un même réel l. De plus, pour tout n de [p, + [, on a : u n u n+1 l v n+1 v n. Démonstration : On se place dans le cas p = 0, on laisse le soin au lecteur d'adapter la démonstration suivante au cas p quelconque. Introduisons la suite (w n) n 0 dénie pour tout n de N par w n = v n u n. Par hypothèse la suite (w n) n 0 converge vers 0. De plus, pour tout n de N : w n+1 w n = v n+1 u n+1 (v n u n) = (v n+1 v n) }{{} + (u n u n+1 ) }{{} 0 0 ((vn) n 0 est décroissante) ((un) n 0 est croissante) Donc la suite (w n) n 0 est décroissante. Ainsi 0 est la borne inférieure de l'ensemble {w n, n N} (cf théorème (7.2.16)), donc, pour tout n de N, w n 0 ce qui se réécrit : n N, u n v n. 0 12

13 Comme la suite (u n) n 0 est croissante et que la suite (v n) n 0 est décroissante, on a, pour tout n de N, u n u n+1 et v n+1 v n. Donc, avec ce que l'on vient de voir, pour tout n de N, on a : u n u n+1 v n+1 v n. On en déduit, à l'aide d'une récurrence immédiate que, pour tout n de N, on a : u 0 u n v n v 0. La suite (u n) n 0 est donc majorée par v 0. Comme elle est croissante, on en déduit qu'elle converge vers un réel l. De plus, pour tout n de N, on a u n l (l est la borne supérieure de l'ensemble {u n, n N}). En particulier, pour tout n de N, on a : u n u n+1 l. On montre de façon tout à fait analogue, que la suite (v n) n 0 converge vers un réel l et que l'on a, pour tout n de N : l v n+1 v n. Pour conclure, il ne reste qu'à établir que l'on a l = l ce qui découle des égalités suivantes : 0 = lim wn = lim vn un = l l. Le théorème précédent se généralise de la façon suivante : Remarque Si (u n ) n p et (v n ) n q sont deux suites telles que : la suite (u n ) n p est croissante à partir d'un certain rang N ; la suite (v n ) n q est décroissante à partir d'un certain rang N ; lim v n u n = 0. Alors les suites (u n ) n p et (v n ) n q convergent vers un même réel l. De plus, pour tout n de N tel que n N, on a : u n u n+1 l v n+1 v n. Exercice 9 Exercices 11 et 12 de la feuille d'exercices distribuée. 13

14 7.3 Suites du type u n = f(n) Soit p un entier positif et (u n ) n p une suite. Dans toute la suite de cette partie, on suppose qu'il existe une fonction f contenant l'ensemble [p, + [ dans son ensemble de dénition telle que, pour tout n de [p, + [, u n = f(n). L'objectif de cette partie est de s'intéresser aux propriétés transmises par la fonction f à la suite (u n ) n p. Remarque La représentation graphique usuelle de (u n ) n p dans ce contexte est analogue à celle des fonctions : on représente les points de coordonnées (p, u p ), (p + 1, u p+1 ), (p + 2, u p+2 ),... Exemple }{{} =f(p) }{{} =f(p+1) }{{} =f(p+2) On considère la suite (u n ) n 3 dénie pour tout n de [3, + [, par u n = 4 x et la fonction ] [ 2 5 f : 2, + R x 4. Par construction, pour tout n de [3, + [, on a u n = f(n) et les n représentations graphiques de (u n ) n 3 et f sont les suivantes : Proposition Soit l un réel. On a les résultats suivants : Si la fonction f est majorée par M sur [p, + [ alors la suite (u n ) n p est Si la fonction f est minorée par m sur [p, + [ alors la suite (u n ) n p est Si la fonction f est constante sur [p, + [ alors la suite (u n ) n p est Si la fonction f est croissante sur [p, + [ alors la suite (u n ) n p est Si la fonction f est strictement croissante sur [p, + [ alors la suite (u n ) n p est Si la fonction f est décroissante sur [p, + [ alors la suite (u n ) n p est Si la fonction f est strictement décroissante sur [p, + [ alors la suite (u n ) n p est 14

15 Si la fonction f admet l comme limite en + alors la suite (u n ) n p Si la fonction f admet + comme limite en + alors la suite (u n ) n p Si la fonction f admet comme limite en + alors la suite (u n ) n p Démonstration : laissée au lecteur. Remarque Les réciproques sont toutes incorrectes ( cf remarque suivante). Remarque On n'a pas unicité de f : Considérons la suite (u n ) n 0 dénie, pour tout n de N, par u n = 1. Alors les fonctions dénies sur R par g : x 1 et h : x cos(2πx) sont telles que, pour tout n de N, u n = g(n) et v n = h(n). Exercice 10 Exercice 13 de la feuille d'exercices distribuée. 15

16 7.4 Suites du type u n+1 = f(u n ) Proposition Soient p un entier positif et a un réel. Soit f une fonction à valeurs dans R d'ensemble de dénition un sous-ensemble D de R. En posant, u p = a et, pour tout n de [p, + [, u n+1 = f(u n ), la suite (u n ) n p est bien dénie si, et seulement si, pour tout n de [p, + [, u n appartient à D. Démonstration : immédiat par récurrence. Remarque Il est fréquent en pratique que l'on n'utilise pas directement la proposition précédente et que l'on montre, à l'aide d'une récurrence, la bonne dénition d'une telle suite, en établissant que a est un élément d'un intervalle I inclus dans l'ensmble de dénition de f et stable par f, c'est-à-dire vériant f(i) I. Usuellement, on représente graphiquement une telle suite en construisant les points de coordonnées (u p, 0), (u p+1, 0), (u p+2, 0),... en s'aidant de la représentation graphique de f (et de celle de la droite d'équation y = x). Exercice 11 Exercice 14 de la feuille d'exercices distribuée. Exercice 12 On considère la fonction f suivante : f : R R x 1 2 x ) Construire le tableau de variations de f (en indiquant les limites de f en + et en ). 2) On considère la suite (u n ) n 0 dénie par u 0 = 4 et, pour tout n de N, u n+1 = f(u n ). a) Justier que la suite (u n ) n 0 est bien dénie. b) Justier que la suite (u n ) n 0 est strictement décroissante. Indication : raisonner par récurrence. c) Justier que la suite (u n ) n 0 est minorée par 2. d) Justier que la suite (u n ) n 0 converge vers un réel l. e) Justier que l vérie l'égalité l = 1 l + 1. En déduire l. 2 3) On considère la suite (u n ) n 0 dénie par u 0 = 6 et, pour tout n de N, u n+1 = f(u n ). a) Justier que la suite (u n ) n 0 est bien dénie. b) Justier que la suite (u n ) n 0 est strictement croissante. c) Justier que la suite (u n ) n 0 est majorée par 2. d) Justier que la suite (u n ) n 0 converge et déterminer sa limite. Remarque (importante) Comme on l'a vu dans l'exercice précédent, la proposition (7.3.3) n'est pas valable dans le cas des suites du type u n+1 = f(u n ). Remarque Lors d'études de suites du type u n+1 = f(u n ), on utilise souvent des récurrences pour conclure. 16

17 Proposition Soit p un entier positif. Soit (u n ) n p une suite. On suppose qu'il existe une fonction f telle que, pour tout n de [p, + [, u n+1 = f(u n ). On suppose de plus que la suite (u n ) n p converge vers un réel l et que la fonction f est continue en l. Alors : f(l) = l. Démonstration : Pour tout n de [[p, + [[, on a u n+1 = f(u n) ( ). Or, on a lim un = l et comme f est continue en l, on en déduit un = l que l'on a lim lim f(un) = f(l). On déduit aussi de l'égalité lim Avec ( ) on a donc : l = f(l). u n+1 = l. Remarque Lorsqu'on sait résoudre l'équation f(x) = x, le résultat précédent permet de déterminer les diérents candidats pour la limite de la suite (lorsque l'on a plus d'une solution, les résultats de minoration et majoration obtenus sur la suite permettent alors souvent d'éliminer tous les candidats sauf un et donc d'obtenir la limite). Pour établir la convergence de la suite (u n ) n p on utilise presque systématiquement le théorème de la limite monotone ( cf théorème (7.2.17)). Exercice 13 Exercices 15, 16 et 17 de la feuille d'exercices distribuée. 17

18 7.5 Quelques suites récurrentes usuelles Suites arithmétiques Dénition Soit (u n ) n N une suite. On dit que la suite (u n ) n N est arithmétique si, et seulement si, il existe un réel r, appelé raison de la suite (u n ) n N, tel que, pour tout n de N, u n+1 = u n + r. Remarque Le réel r est, par dénition, indépendant de n. Une suite est arithmétique si, et seulement si, on passe d'un terme au suivant en ajoutant une même constante réelle. Exercice 14 1) La suite (u n ) n N dénie, pour tout n de N, par u n = 3n + 1 est-elle arithmétique? 2) Et la suite (v n ) n N dénie, pour tout n de N, par v n = n 2 3n + 1? Proposition (expression explicite) Soit (u n ) n N une suite arithmétique de raison r. Pour tout n de N, on a : u n = u 0 + nr. Démonstration : une récurrence immédiate permet de conclure. Proposition Soit (u n ) n N une suite arithmétique de raison r. On a les résultats suivants : Cas r > 0 : Cas r < 0 : Cas r = 0 : Proposition Soit (u n ) n N une suite arithmétique de raison r. Pour tous entiers positifs p et m tels que p m, on a : On peut retenir la formule m k=p u k = (m p + 1) u p + u m. 2 m u k = (nombre de termes) (moyenne du premier et du dernier terme). k=p Démonstration : une récurrence (laissée au lecteur) permet de conclure. 18

19 7.5.2 Suites géométriques Dénition Soit (u n ) n N une suite. On dit que la suite (u n ) n N est géométrique si, et seulement si, il existe un réel q non nul, appelé raison de la suite (u n ) n N, tel que, pour tout n de N, u n+1 = qu n. Remarque Le réel q est, par dénition, indépendant de n. Une suite est géométrique si, et seulement si, on passe d'un terme au suivant en multipliant par une même constante réelle. Proposition (expression explicite) Soit (u n ) n N une suite géométrique de raison non nulle q. Pour tout n de N, on a : u n = q n u 0. Démonstration : une récurrence immédiate (laissée au lecteur) permet de conclure. Remarque Si (u n ) n N est une suite pour laquelle il existe un réel non nul q tel que, pour tout n de N, u n+1 = qu n, alors, pour tout n de N, u n = u 1 q n 1. Si (u n ) n N est une suite telle que, pour tout n de N, u n+1 = 0 u n, alors, pour tout n de N, u n = 0. Donc, dans le cas q = 0, la formule précédente est encore valable pour tout n de N (et aussi valable dans le cas n = 0 en posant q 0 = 0 0 = 1). Proposition Soit (u n ) n N une suite géométrique de raison q (avec q 0). On a les résultats suivants : u 0 > 0 u 0 = 0 u 0 < 0 1 < q q = 1 0 < q < 1 q < 0 Démonstration : découle du fait, que, pour tout n de N, on a : u n+1 u n = q n+1 u 0 q n u 0 = q n (q 1) u 0. Pour obtenir le comportement asymptotique d'une suite géométrique on utilise le théorème suivant : 19

20 Théorème Soit q un réel. On a : lim qn = si 1 < q si q = 1 si 1 < q < 1 si q 1. Démonstration : déjà vue dans un exercice. Proposition Soit (u n ) n N une suite géométrique de raison q. Pour tous entiers positifs p et m tels que p m, on a : m 1 q m p+1 u p si q 1 u k = 1 q k=p (n p + 1)u 0 si q = 1. m de termes 1 raisonnombre Dans le cas q 1, on peut retenir la formule u k = (premier terme). 1 raison k=p Démonstration : une récurrence (laissée au lecteur) permet de conclure. Exercice 15 Exercice 17 de la feuille d'exercices distribuée Suites arithmético-géométrique Dénition Soit (u n ) n N une suite. On dit que la suite (u n ) n N est arithmético-géométrique si, et seulement si, il existe deux réels a et b tels que, pour tout n de N, u n+1 = au n + b. Remarque Si a = 0, la suite (u n ) n N est constante (égale à b) à partir du rang 1. Si a = 1, la suite (u n ) n N est arithmétique. Si b = 0, la suite (u n ) n N est géométrique. Proposition Soit (u n ) n N une suite. On suppose qu'il existe deux réels a et b (avec a R \ {0, 1} et b 0) tels que, pour tout n de N, u n+1 = au n + b. Il existe un réel λ tel que la suite (u n + λ) n 0 est géométrique de raison a. Démonstration : Soit λ un réel. Notons (v n) n 0 la suite dénie pour tout n de N, par v n = u n + λ. Pour tout n de N, on a : v n+1 = u n+1 + λ = au n + b + λ = a(v n λ) + b + λ = av n + ( aλ + b + λ). Or, on a l'équivalence, aλ + b + λ = 0 λ = raison a. b b, donc, en posant λ = 1 a 1 a, la suite (vn) n 0 est géométrique de 20

21 Remarque La proposition précédente permet d'obtenir l'expression explicite d'une suite arithmético-géométrique. Le résultat précédent est encore valable lorsque a = 0 ou b = 0 mais dans ces cas, on dispose déjà d'une expression explicite. Exercice 16 On considère la suite (u n ) n 0 dénie par u 0 = 5 et, pour tout n de N, u n+1 = 3u n 2. 1) Déterminer, pour tout n de N, une expression explicite de u n. 2) En déduire que (u n ) n 0 est monotone et l'éventuelle limite de la suite (u n ) n 0 en +. En pratique, pour obtenir une expression explicite d'une suite arithmético-géométrique, on procède usuellement comme dans l'exercice précédent. Mais on dispose bien entendu d'une formule : Proposition Soit (u n ) n N une suite. On suppose qu'il existe un réel a distinct de 1 et un réel b tels que, pour tout n de N, u n+1 = au n + b. Pour tout n de N, on a : ( u n = a n u 0 b ) + b 1 a 1 a. Démonstration : D'après ce que l'on a vu dans la démonstration précédente, la suite (v n) n 0 dénie pour tout n de N, par v n = u n est géométrique de raison a. On en déduit que l'on a, pour tout n de N : v n = a n v 0 d'où u n b 1 a = an d'où u n = a n ( u 0 ( u 0 b 1 a b ) 1 a ) + b 1 a. b 1 a 21