Econométrie approfondie

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1 Econométrie approfondie Michel BEINE CADRE,Université de Lille2, France et DULBEA, Université Libre de Bruxelles, Belgique. Econométrie approfondie p. 1/

2 Manuel Le cours d économétrie II est basé sur le livre Introductory Econometrics, a Modern Approach (second edition) de Jeffrey M. Wooldridge, édition Thomson South-Western. Sur le site web : wooldridge2e/wooldridge2e.html il y a des données nécessaires pour les exercices et plusieurs liens intéressants. Econométrie approfondie p. 2/

3 Plan du cours Rappels: Chapitres 1-9 Partie I. Partie II: Séries temporelles. Chapitre 10. Introduction. Chapitre 11. Propriétés des MCO. Chapitre 12. Corrélation sérielle et hétéroscédasticité. Econométrie approfondie p. 3/

4 Plan du cours Partie III: Techniques avancées. Chapitre 13. Pooling: Méthodes simples de Panel. Chapitre 14. Données de Panel: techniques avancées. Chapitre 15. Variables instrumentales et MCO en 2 étapes. Chapitre 16. Modèles à équations simultanées. Econométrie approfondie p. 4/

5 Infos pratiques Logiciel économétrique: Celui que vous voulez Eviews, Rats, PcGive, etc. Examen: modalités à discuter. Econométrie approfondie p. 5/

6 Rappels Structure des données: Chapitre 1 Econométrie approfondie p. 6/

7 Structure des données Il existe 3 types de données. Chaque type de données peut appeler des techniques économétriques particulières. Données Cross-section. Séries temporelles. Données de Panel. Econométrie approfondie p. 7/

8 Données Cross-section Échantillon d individus, ménages, firmes,..., pris à un point du temps donné. Important: on peut souvent supposer que les obs. = échantillon aléatoire simplifie l analyse. Données très utilisées en économie et sciences sociales micro appliquée: marché du travail, finances publiques, organisation industrielle, économie spatiale, démographie, économie de la santé, etc. Example: Wage1.wf1. Econométrie approfondie p. 8/

9 Séries temporelles Séries chronologiques. Ex: PNB, importations, indices de prix, etc. Important: Rarement indépendantes au court du temps complexifie l analyse. Différentes fréquences: annuel, trimestriel, mensuel, hebdomadaire, journalier, intra-journalier. Données très utilisées en macro-économie et en finance. Example: PRMINWGE.wf1. Econométrie approfondie p. 9/

10 Données de panel Série temporelle pour chaque unité/individu. Important: la même unité est observée plusieurs fois au court du temps. Example: WAGEPAN.wf1. Econométrie approfondie p. 10/

11 Rappels Modèle de régression simple: Chapitre 2 Econométrie approfondie p. 11/

12 Modèle de régression simple Objectif: estimer un modèle du type De manière générale: wage = β 0 + β 1 educ + u. (1) y = β 0 + β 1 x + u. (2) (??) est supposé tenir sur la population d intérêt. u est le terme d erreur (aléas) = facteurs non-observés autres que x qui affectent y. u et x sont des variables aléatoires. Interprétation Ceteris Paribus: Si u = 0 (autres facteurs inchangés) y = β 1 x. Econométrie approfondie p. 12/

13 Modèle de régression simple Pour estimer β 0 et β 1 et garder cette interprétation CP il faut faire certaines hypothèses. E(u) = 0: normalisation on ne perd rien. E(u x) = E(u): pour toute valeur de x, la moyenne des u correspondantes est la même. implique la non-corrélation (linéaire). Ex: wage = β 0 + β 1 educ + u E(abil 8) = E(abil 16). En combinant ces 2 hypothèses: E(u x) = E(u) = 0: hyp. moyenne cond. nulle. E(y x) = β 0 + β 1 x: fonction de régression de la population. Econométrie approfondie p. 13/

14 Estimation de β 0 et β 1 (x i,y i ) : i = 1,...,n = échantillon aléatoire de taille n tiré de la population. y i = β 0 + β 1 x i + u i, i. E(u) = 0 E(y β 0 β 1 x) = 0. E(u x) = 0 Cov. nulle entre u et x E[(y β 0 β 1 x)x] = 0. Pour obtenir ˆβ 0 et ˆβ 1 on va résoudre ce système en remplaçant E(.) par son équivalant empirique 1/n n i=1 (.). Econométrie approfondie p. 14/

15 Estimation de β 0 et β 1 n n 1 (y i ˆβ 0 ˆβ 1 x i ) = 0 (3) i=1 n n 1 [(y i ˆβ 0 ˆβ 1 x i )x i ] = 0 (4) i=1 ˆβ 0 = y ˆβ 1 x (5) n ˆβ i=1 1 = (x i x)(y i y) n i=1 (x i x) 2 si > 0. (6) Estimation de β 0 et β 1 par la méthode des moments. Econométrie approfondie p. 15/

16 Moindres carrés ordinaires (MCO) min b0,b 1 n i=1 (y i b 0 b 1 x i ) 2 2 équations de premier ordre : 2 2 n (y i ˆβ 0 ˆβ 1 x i ) = 0 (7) i=1 n [(y i ˆβ 0 ˆβ 1 x i )x i ] = 0 (8) i=1 ˆβ 0 = y ˆβ 1 x (9) n ˆβ i=1 1 = (x i x)(y i y) n i=1 (x i x) 2 si > 0. (10) Estimation de β 0 et β 1 par la méthode des MCO donne les même ˆβ 0 et ˆβ 1. Econométrie approfondie p. 16/

17 Propriétés des estimateurs MCO SLR=Simple Linear Regression. SLR.1 y = β 0 + β 1 x + u linéaire en les paramètres. SLR.2 (x i,y i ) : i = 1,...,n échantillon aléatoire de taille n tiré de la population. SLR.3 E(u x) = 0 moyenne conditionnelle nulle. Permet de dériver les propriétés des MCO conditionnellement aux valeurs de x i dans notre échantillon. Techniquement identique à supposer x i fixes dans des échantillons répétés (pas très réaliste). SLR.4 n i=1 (x i x) 2 0 variation dans les x. Théorème 2.1: Sous les hypothèses SLR.1 - SLR.4, E(ˆβ 0 ) = β 0 et E(ˆβ 1 ) = β 1. Econométrie approfondie p. 17/

18 Propriétés des estimateurs MCO SLR.5 V ar(u x) = σ 2 homoscédasticité. Théorème 2.2: Sous les hypothèses SLR.1 - SLR.5, V ar(ˆβ 0 ) = σ2 n 1 n i=1 x2 i n i=1 (x i x) 2 V ar(ˆβ 1 ) = σ 2 n i=1 (x i x) 2 Théorème 2.3: Sous les hypothèses SLR.1 - SLR.5, E(ˆσ 2 ) = σ 2, où ˆσ 2 = 1 n 2 n i=1 û2 i. Econométrie approfondie p. 18/

19 Rappels Modèle de régression multiple: Chapitre 3 Econométrie approfondie p. 19/

20 Modèle de régression multiple Objectif: estimer un modèle du type wage = β 0 + β 1 educ + β 2 exper + u. (11) De manière générale: y = β 0 + β 1 x β k x k + u. (12) OLS: min n b0,b 1,...,b k i=1 (y i b 0 b 1 x i1... b k x ik ) 2. Econométrie approfondie p. 20/

21 Modèle de régression multiple Exemple: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + u. Comment obtenir β 1? Régresser x 1 sur x 2 : ˆx 1 = ˆα 0 + ˆα 1 x 2. Calculer ˆr 1 = x 1 ˆx 1. ˆβ 1 = n i=1 ˆr i1y i n i=1 ˆr2 i1. β 1 est bien l effet net de x 1 sur y, où net signifie après avoir tenu compte de l effet des autres variables. Econométrie approfondie p. 21/

22 Goodness-of-Fit Il est possible de décomposer la variabilité observée sur y, c-à-d SST n i=1 (y i y) 2, en 2 quantités: SSE n i=1 (ŷ i y) 2 : variabilité expliquée par le modèle; SSR n modèle. i=1 û2 i : variabilité non-expliquée par le SST = SSE + SSR. On peut donc définir une mesure de qualité de la régression (GoF): R 2 = SSE/SST compris entre 0 et 1. Econométrie approfondie p. 22/

23 Propriétés des estimateurs MCO MLR=Multiple Linear Regression. MLR.1 y = β 0 + β 1 x β k x k + u linéaire en les paramètres. MLR.2 (x 1i,...,x ki,y i ) : i = 1,...,n échantillon aléatoire de taille n tiré de la population. MLR.3 E(u x 1,...,x k ) = 0 moyenne conditionnelle nulle. MLR.4 n i=1 (x ji x) 2 0 j = 1,...,k et pas de relation linéaire parfaite entre les x j variation dans les x j et pas de collinéarité parfaite. Théorème 3.1: Sous les hypothèses MLR.1 - MLR.4, E(ˆβ j ) = β k j = 0,...,k. Econométrie approfondie p. 23/

24 Propriétés des estimateurs MCO MLR.5 V ar(u x 1,...,x k ) = σ 2 homoscédasticité. Théorème 3.2: Sous les hypothèses MLR.1 - MLR.5, V ar(ˆβ j ) = σ 2 (1 R 2 j ) n i=1 (x ij x j ) 2 où R 2 j est le R2 de le régression de x j sur les autres x (+ une constante). Théorème 3.3: Sous les hypothèses MLR.1 - MLR.5 (appelées hypothèses de Gauss-Markov), E(ˆσ 2 ) = σ 2, où ˆσ 2 = 1 n k 1 n i=1 û2 i. Théorème 3.4 où théorème de Gauss-Markov: Sous les hypothèses MLR.1 - MLR.5, ˆβ j est BLUE, i = 0,...,k. Econométrie approfondie p. 24/

25 Rappels Inférence: Chapitre 4 Econométrie approfondie p. 25/

26 Hypothèse de normalité Pour faire de l inférence statistique, il faut ajouter une hypothèse supplémentaire: MLR.6 u N(0,σ 2 ) et indépendant des x j normalité. Les hypothèses MLR.1 - MLR.6 sont appelées hypothèses classiques du modèle linéaire (CLM) = Gauss-Markov + normalité. CLM MCO à la variance minimale. Comment justifier cette hypothèse de normalité des résidus? Si u est la somme de beaucoup de facteurs non-observés différents, on peut appeler le théorème central limite pour justifier la normalité. Econométrie approfondie p. 26/

27 Théorème Central Limite Soit Y 1,Y 2,...,Y n un échantillon de variables aléatoires de moyenne µ et de variance σ 2. Z n = Y n µ σ/ n N(0,1). suit asymptotiquement une distribution Si Y χ 2 (1), µ = 1 et σ 2 = 2. Exemple. Econométrie approfondie p. 27/

28 Inférence Théorème 4.1: Sous les hypothèses MLR.1 - MLR.6, ˆβ j N(β j,v ar(ˆβ j )), i = 0,...,k, où V ar(ˆβ j ) = σ 2 (1 R 2 j ) n i=1 (x ij x j ) 2. Exemple. Théorème 4.2: Sous les hypothèses MLR.1 - MLR.6, ˆβ j β j t se(ˆβ j ) n k 1, i = 0,...,k, où se(ˆβ j ) = V ar(ˆβ j ) et σ 2 est remplacé par ˆσ 2. On peut donc tester H 0 : β j = a j contre H 1 : β j <,, > a j. Econométrie approfondie p. 28/

29 P-valeur P-valeur: Quelle est le plus petit niveau de significativité auquel H 0 serait rejeté. Comment la calculer? Prendre la t-stat et regarder à quel pourcentile elle correspond dans la distribution de Student appropriée. Rejeter H 0 si la P-Valeur < au seuil fixé (ex: 5%). Econométrie approfondie p. 29/

30 Tests multiples de restrictions linéaires Si H 0 : β j = 0 pour j 0, 1,...,k. Ex: H 0 : β 1 = β 2 = 0. et H 1 : H 0 n est pas vrai. 1) Estimer le modèle non contraint. 2) Estimer le modèle contraint. 3) Calculer la statistique F (SSR c SSR nc )/q SSR nc /(n k 1), où SSR dénote la somme des carrés des résidus et les indices c et nc signifient respectivement contraint et non-contraint. Sous H 0, F F q,n k 1, où F =Fisher. Rejet H 0, si F > c α, où c = F α q,n k 1. Econométrie approfondie p. 30/

31 Exercices récapitulatifs Exercice Exercice Exercice Econométrie approfondie p. 31/

32 Rappels propriétés asymptotiques des MCO: Chapitre 5 Econométrie approfondie p. 32/

33 Propriétés exactes des MCO Pour prouver le caractère non-biaisé et BLUE des MCO nous avons imposé des hypothèses assez fortes (MLR.1-MLR.5). Idem pour effectuer de l inférence statistique (MLR.6: normalité). Ces propriétés sont vraies quel que soit la taille de l échantillon ( n). On parle dès lors de propriété exacte, d échantillon fini, ou encore de petit échantillon. Econométrie approfondie p. 33/

34 Propriétés asymptotiques des MCO Dans certains cas, le rejet de certaines hypothèses ne signifie pas que les MCO sont invalides. Ex: non-normalité de u. En effet, les MCO peuvent être encore valides en grand échantillon sous des hypothèses plus faibles. Étudier les propriétés statistiques pour n grand = étudier les propriétés asymptotiques. Nouveau concept: CONVERGENCE. Econométrie approfondie p. 34/

35 Propriétés asymptotiques des MCO Pour rappel. Théorème 3.1: Sous les hypothèses MLR.1 - MLR.4, E(ˆβ j ) = β k j = 0,...,k. Pour rappel. MLR.3 E(u x 1,...,x k ) = 0 moyenne conditionnelle nulle. On a vu que E(u x 1 ) = 0 implique Cov(u,x 1 ) = 0. Définition: plim = Limite en probabilité = valeur vers laquelle un estimateur converge lorsque la taille de l échantillon tend vers l infini. Voir page 741. Hors, il est possible de montrer que: plim ˆβ 1 = β 1 + Cov(x 1,u) V ar(x 1 ) = β 1, si Cov(u,x 1 ) = 0. Econométrie approfondie p. 35/

36 Propriétés asymptotiques des MCO Il est possible de relâcher MLR.3 pour prouver tout de même que les MCO sont convergents. MLR.3 E(u) = 0 et Cov(x j,u) = 0 j = 1,...,k moyenne nulle et correlation nulle. Sous les hypothèses MLR.1 - MLR.2 - MLR.3 - MLR.4, ˆβ j est un estimateur convergent de β j, j = 1,...,k. Econométrie approfondie p. 36/

37 Normalité asymptotique La normalité ne joue aucun rôle dans le caractère non-biasés des MCO ni dans leur caractère BLUE. Par contre, pour effectuer de l inférence statistique nous avons supposé que u N(0,σ 2 ) et donc que la distribution de y x 1,...,x k est normale. distribution symétrique autour de sa moyenne. peut prendre des valeurs sur R. plus de 95% des observations sont comprises entre 2 écart-types. Econométrie approfondie p. 37/

38 Normalité asymptotique Devons nous abandonner les t-stats si u n est pas normalement distribué? Non: on fait appel au théorème central limite pour conclure que les MCO satisfont la normalité asymptotique. Si n grand, ˆβ j est approximativement N(β j,v ar(ˆβ j )). Illustration via une Simulation de Monte-Carlo: Prg, Output n=2000,output n=30. Econométrie approfondie p. 38/

39 Rappels Hétéroscédasticité: Chapitre 8 Econométrie approfondie p. 39/

40 Conséquences de l hétéroscédasticité Une fois de plus l hétéroscédasticité n a pas d influence sur le caractère non-biaisé ou convergent des MCO. Par contre la formule traditionnelle de V ar(ˆβ j ) donne un estimateur biaisé de la variance des estimateurs si l hypothèse d homoscédasticité est violée. Inférence incorrecte si on utilise cette formule. MCO ne sont plus BLUE. Solution 1: Corriger cette formule Écart-types robustes à l hétéroscédasticité (White, 1980). Solution 2: Déterminer la source de cette hétéroscédasticité et la prendre en compte dans l estimation Moindres Carrés Pondérés. Econométrie approfondie p. 40/

41 Régression avec des séries temporelles: Chapitre 10 Econométrie approfondie p. 41/

42 Séries temporelles Les séries chronologiques diffèrent des séries cross-section pour plusieurs raisons: l ordre (temporel) importe; le passé influence souvent le futur; la notion d échantillon aléatoire est plus discutable car on n a qu une seule réalisation (sauf si on pense que des conditions initiales auraient donné une réalisation ). Example: Phillips.wf1. Question: Peut-on toujours utiliser les MCO avec ces séries? Econométrie approfondie p. 42/

43 Séries temporelles Il y a deux types principaux de modèles de séries temporelles simples: les modèles statiques du type: y t = β 0 + β 1 z t + u t,t = 1,...,n. les modèles dynamiques du type: y t = α 0 + δ 0 z t + δ 1 z t δ q z t q + u t,t = 1,...,n. Econométrie approfondie p. 43/

44 Modèles statiques y t = β 0 + β 1 z t + u t,t = 1,...,n. y t = β 1 z t si u t = 0 Effet immédiat. Example 1. Courbe de Phillips (annuel): inf t = β 0 + β 1 unem t + u t. Example 2. Consommation de tabac (mensuel): ConsTabac t = µ 0 + µ 1 DepPubl t + u t. Econométrie approfondie p. 44/

45 Modèles dynamiques FDL(2): y t = α 0 + δ 0 z t + δ 1 z t 1 + δ 2 z t 2 + u t,t = 1,...,n. Supposons que z = c, observation avant t. En t z = c + 1. En t + 1,t + 2,...,n z = c. Pour simplifier supposons que u t = 0. Econométrie approfondie p. 45/

46 Modèles dynamiques: temporaire y t 1 y t y t+1 = α 0 + δ 0 c + δ 1 c + δ 2 c = α 0 + δ 0 (c + 1) + δ 1 c + δ 2 c = α 0 + δ 0 c + δ 1 (c + 1) + δ 2 c y t+2 = α 0 + δ 0 c + δ 1 c + δ 2 (c + 1) y t+3 = α 0 + δ 0 c + δ 1 c + δ 2 c Multiplicateurs d impact Après un changement temporaire d une unité de z (c-à-d z = 1) y t y t 1 = δ 0 = effet immédiat sur y. y t+1 y t 1 = δ 1 = effet dans 1 période sur y. y t+2 y t 1 = δ 2 = effet dans 2 périodes sur y. Econométrie approfondie p. 46/

47 Modèles dynamiques: permanente y t 1 y t y t+1 = α 0 + δ 0 c + δ 1 c + δ 2 c = α 0 + δ 0 (c + 1) + δ 1 c + δ 2 c = α 0 + δ 0 (c + 1) + δ 1 (c + 1) + δ 2 c y t+2 = α 0 + δ 0 (c + 1) + δ 1 (c + 1) + δ 2 (c + 1) Multiplicateur de long-terme Après un changement permanent d une unité de z (c-à-d z = 1) y t y t 1 = δ 0 = effet immédiat sur y. y t+1 y t 1 = δ 0 + δ 1 = effet dans 1 période sur y. y t+2 y t 1 = δ 0 + δ 1 + δ 2 = effet dans 2 périodes sur y. q i=0 δ i = multiplicateur de long-terme. Econométrie approfondie p. 47/

48 Propriétés des MCO Nous allons montrer que les MCO sont encore valables avec des séries temporelles et faire le parallèle avec les séries cross-section. Hypothèses de base: MLR.1 y = β 0 + β 1 x β k x k + u linéaire en les paramètres. TS.1 y t = β 0 + β 1 x t β k x tk + u t linéaire en les paramètres. Ex: x t3 = salaire t 2. MLR.2 (x 1i,...,x ki,y i ) : i = 1,...,n échantillon aléatoire de taille n tiré de la population. Pas nécessaire. Econométrie approfondie p. 48/

49 Propriétés des MCO MLR.3 E(u x 1,...,x k ) = 0 moyenne conditionnelle nulle. TS.2 E(u t X) = 0 t moyenne conditionnelle nulle étant donné les variables explicatives t = exogénéité stricte. implique exogénéité contemporaine (hypothèse plus faible) : E(u t x t ) = 0). Pour des séries cross-section, pas nécessaire de vérifier E(u t X) = 0 t, c-à-d Corr(u i,x j ) pour i j car MLR.2.! Ne dit rien sur Corr(u t,u s ) ou Corr(y t,y s ) pour t s! Econométrie approfondie p. 49/

50 Causes du rejet de TS.2 Modèle statique simple: y t = β 0 + β 1 z t + u t. TS.2 Corr(u t,z t ) = 0 et Corr(u t,z s ) = 0 t s. Variables omises z t 1 Corr(u t,z t 1 ) 0. Erreurs de mesure dans des variables exogènes. Corr(u t,z t+1 ) 0. Ex: mrdrte t = β 0 + β 1 polpc t + u t où mrdrte = taux de criminalité dans une ville et polpc = nombre de policiers par personne. Quand + mrdrte t non expliquée + u t. Si dans ce cas la ville engage plus de policiers ( + polpc t ) corr(polpc t+1,u t ) > 0. Econométrie approfondie p. 50/

51 Propriétés des MCO MLR.4 n i=1 (x ji x) 2 0 j = 1,...,k et pas de relation linéaire parfaite entre les x j variation dans les x j et pas de collinéarité parfaite. TS.3 Pas de variable explicative constante et pas de collinéarité parfaite. Théorème 10.1: Sous les hypothèses TS.1 - TS.3, E(ˆβ j ) = β j j = 0,...,k (conditionnellement à X). Econométrie approfondie p. 51/

52 Propriétés des MCO MLR.5 V ar(u x 1,...,x k ) = σ 2 homoscédasticité. TS.4 V ar(u t X) = V ar(u) = σ 2 t = 1,...,n homoscédasticité. Exemple de violation: NASDAQ, données journalières (+ de 4000 observations). TS.5 Corr(u t,u s X) = 0, t s pas de corrélation sérielle. Exemple de violation: Corr(u t,u t 1 ) = 0.5. Théorème 10.2: Sous les hypothèses TS.1 - TS.5 (appelées hypothèses de Gauss-Markov des séries σ temporelles), V ar(ˆβ j ) = 2 (1 Rj 2) n t=1 (x tj x j, où R 2 ) 2 j est le R 2 de la régression de x j sur les autres x (+ une cst). Econométrie approfondie p. 52/

53 Propriétés des MCO Théorème 10.3: Sous les hypothèses TS.1 - TS.5, E(ˆσ 2 ) = σ 2, où ˆσ 2 = 1 n k 1 n t=1 û2 t. Théorème 10.4 où théorème de Gauss-Markov: Sous les hypothèses TS.1 - TS.5, ˆβ j est BLUE, i = 0,...,k (conditionnellement à X). même propriétés qu avec des séries cross-section. Pour effectuer de l inférence statistique il faut également supposer: MLR.6 u N(0,σ 2 ) et indépendant des x j normalité. TS.6 u N(0,σ 2 ) et indépendant de X normalité. L inférence classique est d application. Econométrie approfondie p. 53/

54 Exemple 10.2 et exercice 10.7 En utilisant la base de données INTDEF.wf1, estimez le modèle de tx d intérêt suivant: i3 t = α 0 + α 1 inf t + α 2 def t + u t, où i3 est le tx d intérêt obligataire à 3 mois, inf est le tx d inflation annuel basé sur l indice des prix à la consommation et def est le déficit budgétaire en % du PNB. En Octobre 1979, la FED a changé sa politique pour modifier la masse monétaire en utilisant directement l instrument du tx d intérêt. Comment tenir compte de cette information? Est-ce que cela change les résultats? Econométrie approfondie p. 54/

55 Trend linéaire Beaucoup de séries ont un trend. Ex: Output par heure aux USA (47-87). Modèle du type: y t = α 0 + α 1 t + e t, t = 1,...,n. Quand e t = 0, y t = y t y t 1 = α 1. Ceteris paribus, α 1 mesure la y t due au passage du temps. E(y t ) = α 0 + α 1 t. Croissant ou décroissant en fonction de α 1. V ar(y t ) = V ar(e t ). Le trend n a pas d effet sur la variance de y t. On appelle ce type de trend: trend linéaire. Econométrie approfondie p. 55/

56 Trend exponentiel Beaucoup de séries sont mieux représentées par des trend exponentiels. Ex: Série mensuelle représentant le nombre de demandeurs d emploi dans le canton d Anderson dans l Indiana sur la période à Figures: Chômeurs et log(chômeurs). Appelle plutôt une modélisation du type log(y t ) = β 0 + β 1 t + e t, t = 1,...,n. comme log(y t ) y t y t 1 y t 1 pour log(y t ) petit, log(y t ) = β 1 est approximativement le taux de croissance moyen par période de y t. Econométrie approfondie p. 56/

57 Trend quadratique Autre modèle: y t = α 0 + α 1 t + α 2 t 2 + e t, t = 1,...,n. y t t = α 1 + 2α 2 t. Si α 1 > 0 et α 2 < 0, le trend a une forme en bosse. Econométrie approfondie p. 57/

58 Exemple Données annuelles ( ) sur l investissement immobilier (invpc) et sur un indice des prix immobilier (price, 1982 = 1). Graphique des données. Modèle simple sans trend. L élasticité Investissement-Indice de prix est très élevée: et statistiquement > 0. Modèle simple avec trend. L élasticité Investissement-Indice de prix est négative mais non significative. Par contre le trend est significatif et implique environ une hausse de 1% par an de invpc. De plus le R 2 est passé de à relation fallacieuse expliquée par un trend commun, c-à-d l existence d une variable omise qui explique l évolution conjointe des deux séries. Econométrie approfondie p. 58/

59 Autre interprétation Modèle estimé: ŷ t = ˆβ 0 + ˆβ 1 x t1 + ˆβ 2 x t2 + ˆβ 3 t. Il est facile de montrer que l on peut obtenir également ˆβ 1 et ˆβ 2 de cette manière. Régresser par MCO: y t sur cst et trend; sauver les résidus: y t. x t1 sur cst et trend; sauver les résidus: x t1. x t2 sur cst et trend; sauver les résidus: x t2. Régresser par MCO y t sur x t1 et x t2 constante). (avec ou sans Revenons à l exemple précédant. Graphiques log(invpc) et log(price). Important: le R 2 = sur les variables détrendées, log(price) n explique rien de l évolution de Econométrie approfondie p. 59/ log(invpc).

60 Séries temporelles (plus) avancées: Chapitre 11 Econométrie approfondie p. 60/

61 Rappels Nous avons étudié les propriétés des MCO en échantillon fini. Nous avons obtenu les même propriétés avec des séries temporelles qu avec des séries cross-section mais au prix d hypothèses très fortes. Nous allons tenter de relâcher certaines hypothèses comme celle d exogénéité stricte, hypothèse violée si par exemple X comprend y t i avec i > 0. On ne pourra plus étudier le comportement en échantillon fini des MCO mais bien le comportement asymptotique (n grand). On va devoir introduire pour cela 2 nouveaux concepts: la stationnarité et la dépendance faible. Econométrie approfondie p. 61/

62 Stationnarité Définition formelle: Le processus {x t : t = 1, 2,...} est strictement stationnaire si pour chaque collection d indices de temps 1 t 1 < t 2 <... < t m, la distribution jointe de (x t1,x t2,...,x tm ) est la même que la distribution jointe de (x t1 +h,x t2 +h,...,x tm +h), entier h 1. Les x t peuvent être corrélés mais la corrélation doit être constante. Exemple de processus non-stationnaire: y t = α 0 + α 1 t + e t, t = 1,...,n et e t iid(0, 1). E(y t ) = α 0 + α 1 t. Par contre, y t α 0 α 1 t est stationnaire. Il est très difficile de tester l hypothèse de stationnarité. Econométrie approfondie p. 62/

63 Processus Covariance-stationnaire Définition: Un processus stochastique {x t : t = 1, 2,...} avec second moment fini [E(x 2 t ) < ] est covariance-stationnaire si: i) E(x t ) est constante; ii) V ar(x t ) est constante; iii) t,h 1,Cov(x t,x t+h ) dépend seulement de h et non de t. implique uniquement les 2 premiers moments. Si un processus stationnaire a E(x 2 t ) < il est covariance-stationnaire. L inverse n est pas vrai. Exemples : Rejet et non rejet de l hypothèses de covariance-stationnarité. Econométrie approfondie p. 63/

64 Dépendance faible Définition 1: Un processus stationnaire {x t : t = 1, 2,...} est faiblement dépendant si x t et x t+h sont ± indépendant au fur et à mesure que h. Définition 2: Un processus covariance-stationnaire {x t : t = 1, 2,...} est faiblement dépendant si Corr(x t,x t+h ) 0 suffisamment rapidement si h. Cette hypothèse remplace celle d échantillon aléatoire permettant au théorème centrale limite et à la loi des grands nombres de s appliquer aux séries temporelles. Econométrie approfondie p. 64/

65 Exemple: MA(1) MA(1) : x t = e t + α 1 e t 1, où e t i.i.d.(0,σ 2 e). Corr(x t,x t+1 ) = α 1 1+α 2 1. Corr(x t,x t+h ) = 0 h > 1. M A(1) est faiblement dépendent. Exemple de processus M A(1). Econométrie approfondie p. 65/

66 Exemple: AR(1) AR(1) : y t = ρ 1 y t 1 + e t, où e t i.i.d.(0,σ 2 e). Si ρ 1 < 1 Corr(y t,y t+h ) = ρ h 1 h 1. AR(1) est faiblement dépendent si ρ 1 < 1 car dans ce cas, ρ h 1 0 si h. Exemple de processus AR(1) stable. Voir les détails mathématiques dans le bouquin. Econométrie approfondie p. 66/

67 Propriétés asymptotiques des MCO Nous allons montrer que les MCO sont encore valables avec des hypothèses plus faibles que celles postulées au Chapitre 10. Hypothèses de base: TS.1 y t = β 0 + β 1 x t β k x tk + u t linéaire en les paramètres. TS.1 y t = β 0 + β 1 x t β k x tk + u t linéaire en les paramètres et (x t,y t ) : t = 1, 2,... est stationnaire et faiblement dépendant. Econométrie approfondie p. 67/

68 Propriétés asymptotiques des MCO TS.2 E(u t X) = 0 t moyenne conditionnelle nulle étant donné les variables explicatives t = exogénéité stricte. TS.2 E(u t x t ) = 0 moyenne conditionnelle nulle étant donné les variables explicatives contemporaines = exogénéité contemporaine implique que E(u t ) = 0 et Cov(x tj,u t ) = 0, j = 1,...,k. Econométrie approfondie p. 68/

69 Propriétés asymptotiques des MCO TS.3 Pas de variable explicative constante et pas de collinéarité parfaite. TS.3 Idem. Théorème 11.1: Sous les hypothèses TS.1, TS.2 et TS.3, plimˆβ j = β j j = 0,...,k. AR(1): y t = β 0 + β 1 y t 1 + u t, où E(u t y t 1,y t 2,...) = 0. E(y t y t 1,y t 2,...) = E(y t y t 1 ) = β 0 + β 1 y t 1. seulement y t 1 affecte la valeur espérée de y t. la valeur espérée de y t est une fonction linéaire de y t 1. Econométrie approfondie p. 69/

70 Estimation du modèle AR(1) Comme x t contient seulement y t 1, E(u t y t 1,y t 2,...) = 0 implique que l hypothèse TS.2 tient. Par contre TS.2 ne tient pas. En effet cette hypothèse implique que t, u t est non corrélé avec x 1,...,x t,...,x n. Ceci est faux pour un processus AR(1) car Cov(x t+1,u t ) = Cov(y t,u t ) = Cov(β 0 + β 1 y t 1 + u t,u t ) = β 2 1 Cov(y t 1,u t ) + Cov(u t,u t ) = 0 + σ 2 > 0, alors que Cov(y t 1,u t ) = 0 exogénéité contemporaine. Pour que l hypothèse de dépendance faible tienne il faut que β 1 < 1. Théorème 11.1: Convergence des MCO. Illustration: Modèle classique et Modèle AR(1). Econométrie approfondie p. 70/

71 Propriétés asymptotiques des MCO TS.4 V ar(u t X) = V ar(u) = σ 2, t = 1,...,n homoscédasticité. TS.4 V ar(u t x t ) = σ 2, t = 1,...,n homoscédasticité contemporaine. TS.5 Corr(u t,u s X) = 0, t s pas de corrélation sérielle. TS.5 E(u t u s x t, x s ) = 0, t s pas de corrélation sérielle. En pratique on omet souvent le conditionnement sur x t et x s et on vérifie que u t et u s sont non-corrélés. Econométrie approfondie p. 71/

72 Propriétés asymptotiques des MCO Théorème 11.2: Sous les hypothèses TS.1 - TS.5, les estimateurs MCO sont asymptotiquement normalement distribués. De plus, les écart-types standards sont asymptotiquement valides ainsi que les t, F et LM tests. Illustration: Modèle classique et Modèle AR(1). Exemple: Tester l hypothèse d efficience des marchés. y t est le rendement hebdomadaire en % (le mercredi) du New York Stock Exchange composite index. Une forme faible de l hypothèse d efficience des marché stipule que l information publique disponible en t 1 ne doit pas permettre pour prédire y t E(y t y t 1,y t 2,...) = E(y t ). Estimer un AR(q) et tester H 0 : coefficient AR(q) sont nuls. Econométrie approfondie p. 72/

73 Séries temporelles très persistantes Beaucoup de séries chronologiques sont très persistantes, ce qui peut mener au rejet de l hypothèse de dépendance faible évoquée plus haut. L exemple le plus courant est celui d une marché aléatoire. y t = y t 1 + e t,t = 1, 2,..., où e t iid(0,σ 2 e). AR(1) avec ρ 1 = 1. y t = e t + e t e 1 + y 0. E(y t ) = E(e t ) + E(e t 1 ) E(e 1 ) + E(y 0 ). E(y t ) = E(y 0 ), t 1. V ar(y t ) = V ar(e t ) + V ar(e t 1 ) V ar(e 1 ) + V ar(y 0 ) = tσ 2 e. Econométrie approfondie p. 73/

74 Séries temporelles très persistantes Persistance? y t+h = e t+h + e t+h e t+1 + y t. E(y t+h y t ) = y t, h 1. Alors que pour un AR(1) : E(y t+h y t ) = ρ h 1 y t. Corr(y t,y t+h ) = t/(t + h) 1 pour t grand. une marche aléatoire n est pas covariance-stationnaire. une marche aléatoire n est pas faiblement dépendante. Illustration. Econométrie approfondie p. 74/

75 Exemple de marche aléatoire 14 Taux d intérêt US obligataire à 3 mois Econométrie approfondie p. 75/

76 Implication économique Si y est faiblement dépendant, une de politique économique affectant y (ex: PNB) aujourd hui aura peu d effet dans quelques années. Par contre, si y suit une marche aléatoire (ou plus généralement a une racine unitaire, c-à-d ρ 1 = 1), une de politique économique affectant y aujourd hui aura un effet important dans plusieurs années. Tester la présence d une racine unitaire a donc une implication économique importante. Econométrie approfondie p. 76/

77 Marche aléatoire avec tendance (drift) y t = α 0 + y t 1 + e t : AR(1) avec constante. y t = α 0 t + e t + e t e 1 + y 0. E(y t ) = α 0 t si E(y 0 ) = 0. E(y t+h y t ) = α 0 h + y t, h 1. V ar(y t ) = tσe. 2 Exemple de marche aléatoire avec tendance. Comment détecter une RU? Econométrie approfondie p. 77/

78 Inspection Visuelle 180 NYSE stock price index Econométrie approfondie p. 78/

79 Correlogramme 1.0 ACF NYSE stock price index Econométrie approfondie p. 79/

80 Difficile de distinguer RU et trend 100 y t = t+e t ACF y t Econométrie approfondie p. 80/

81 Tester la présence d une RU Modèle AR(1) : y t = α + ρy t 1 + e t. y 0 est supposé observé et E(e t y t 1,y t 2,...,y 0 ) = 0. RU si ρ = 1 H 0 : ρ = 1 et H 1 : ρ < 1. Notons que: y t y t 1 = α + (ρ 1)y t 1 + e t. y t = α + θy t 1 + e t. RU si H 0 : θ = 0 et H 1 : θ < 0. Problème sous H 0, y t 1 n est pas faiblement dépendant et donc les t-stats n ont pas une distribution standard (théorème centrale limite pas applicable, même pour n grand). Il faut utiliser des valeurs critiques tabulées par Dickey Fuller (1979). Econométrie approfondie p. 81/

82 Tester la présence d une RU Valeurs critiques asymptotiques pour un test de RU avec constante mais sans trend: α 1% 2.5% 5% 10% Valeur critique Exemple: Taux d intérêt US obligataire à 3 mois. Notez que à 5% la valeur critique traditionnelle pour n grand est contre Limite: dans le test DF usuel, on suppose sous H 0 que y t n a pas d autocorrélation. Econométrie approfondie p. 82/

83 Test ADF Le test ADF (Augmenté) généralise le test de DF: y t = α + θy t 1 + γ 1 y t γ p y t p + e t. Les valeurs critiques sont les mêmes que le test de DF. Les t-stats de γ 1,...,γ p sont standards asymptotiquement. Le F-test γ 1 =... = γ p = 0 est valide asymptotiquement. Inclure le bon nombre de lags est important car cela pourrait affecter la fiabilité du test de RU. En effet, les valeurs critiques sont calculées en supposant que toute la dynamique de y t a été modélisée. Exemple: Taux d intérêt US obligataire à 3 mois. Econométrie approfondie p. 83/

84 Test ADF avec trend Nous avons évoqué le fait qu il est parfois difficile de distinguer RU et tendance. une série peut donc être stationnaire autour d un trend, c-à-d y t ˆδt est faiblement dépendant. Il est donc important d inclure un trend dans le test ADF si celui-ci est apparent (visuellement). Le test ADF (Augmenté) généralise le test de DF: y t = α + δt + θy t 1 + γ 1 y t γ p y t p + e t. Sous H 0 : θ = 0 et sous H 1 : y t est stationnaire autour d un trend. Econométrie approfondie p. 84/

85 Test ADF avec trend Les valeurs critiques sont différentes. Valeurs critiques asymptotiques pour un test de RU avec constante et avec trend: α 1% 2.5% 5% 10% Valeur critique Le t-stat relatif au trend n a pas une distribution standard. Exemple: Taux d intérêt US obligataire à 3 mois. Il y a beaucoup d autres tests de RU qui ont tous leurs avantages et inconvénients. Econométrie approfondie p. 85/

86 Que faire si y t a une RU? Si y t = α + y t 1 + e t y t y t y t 1 = α + e t. Si par contre y t est stationnaire, y t est dit Intégré d ordre 1 ou I(1) et y t est dit Intégré d ordre 0 ou I(0). Si l application le permet, on peut donc estimer par MCO un modèle sur y t. Dans beaucoup d applications économiques, on définit des rendements en %: r t = 100 log(y t ) 100 y t y t 1 y t 1. Si différentier les séries n est pas possible de part la nature de l application, on peut avoir recourt à des techniques plus avancées connues sous le nom Cointégration (voir section 18.4), permettant de modéliser y t et non r t. Qu est-ce qu une régression fallacieuse (ou spurious regression)? Econométrie approfondie p. 86/

87 Corrélation sérielle et hétéroskedasticité: Chapitre 12 Econométrie approfondie p. 87/

88 Biais des MCO et autocorrélation Supposons que y t = β 0 + β 1 x t + u t. Supposons que le terme d erreur suit un AR(1) : u t = ρu t 1 + e t avec ρ < 1 et e t iid(0,σ 2 e). Chapitre 10: TS.1-TS.3 MCO non-biaisés pour autant que x soit strictement exogène. Chapitre 11: TS.1 -TS.3 MCO consistant pour autant que y t soit faiblement dépendant et E(u t x t ) = 0. Rien n est dit sur le fait que u t ne puisse pas suivre un AR(1). Par contre les MCO ne sont plus BLUE car violation de TS.5 et TS.5. Econométrie approfondie p. 88/

89 Efficience-Inférence des MCO Estimation du modèle y t = β 0 + β 1 x t + u t par MCO, où u t supposé iid(0,σ 2 ) et pour simplifier x = 0. Rappelons que u t suit en réalité un AR(1). ˆβ 1 = β 1 + SSTx 1 n i=1 x tu t, où SST x = n i=1 x2 t. V ar(ˆβ 1 ) = SST 2 x = SST 2 x = V ar( n x t u t ) i=1 n x 2 tv ar(u t ) + 2 i=1 σ 2 SST x + 2 σ2 SST 2 x n 1 n t t=1 j=1 n 1 t=1 ρ j x t x t+j n t j=1 x t x t+j E(u t u t+j ) Econométrie approfondie p. 89/

90 Efficience-Inférence des MCO La formule traditionnelle ignore le second terme. Si ρ > 0 on sous-estime V ar(ˆβ 1 ). Si ρ < 0 on sur-estime V ar(ˆβ 1 ). Question: Supposons que u t = e t + αe t 1. Montrez que la formule traditionnelle pour calculer V ar(ˆβ 1 ) est incorrecte si α 0. Econométrie approfondie p. 90/

91 Tester la présence d autocorrélation Dans le modèle général: y t = β 0 + β 1 x t β k x tk + u t comment tester la présence de corrélation sérielle? Deux types de tests: 1. Tests basés sur l hypothèse que X est strictement exogène: t-test ou DW. 2. Tests basés sur l hypothèse que X n est pas strictement exogène. Econométrie approfondie p. 91/

92 Si X est strictement exogène Supposons que y t = β 0 + β 1 x t + u t. Nous voulons tester si le terme d erreur suit un AR(1) : u t = ρu t 1 + e t avec ρ < 1. H 0 : ρ = 0. Développons tout d abord un test valide quand n est grand et quand X est strictement exogène. Hypothèses supplémentaires disant en quelque sorte que e t est iid: E(e t u t 1,u t 2,...) = 0 et V ar(e t u t 1 ) = V ar(e t ) = σ 2 e. Si les u t étaient observés on pourrait utiliser le Théorème 11.2 pour valider l utilisation asymptotique des t-tests dans la régression u t = ρu t 1 + e t. Que ce passe-t-il si on remplace u t par û t? A noter que û t dépend de ˆβ 0 et de ˆβ 1. Econométrie approfondie p. 92/

93 Marche à suivre pour le t-test Estimer y t = β 0 + β 1 x t + u t et obtenir û t. Estimer û t = ρû t 1 + e t. Utiliser un t-test pour tester H 0 : ρ = 0 contre H 1 : ρ < > 0. Econométrie approfondie p. 93/

94 Test de Durbin-Watson Le test de Durbin-Watson est une autre test pour tester la corrélation sérielle d ordre 1 sous l hypothèse que X est strictement exogène. La statistique DW = n t=2 (û t û t 1 ) 2 n t=1 û2 t d une régression du type y t = β 0 + β 1 x 1t beta k x kt + u t. Il est facile de montrer que DW 2(1 ˆρ)., où û t est le résidu Durbin et Watson (1951) ont dérivé la distribution de DW conditionnellement à X sous l hypothèse que les hypothèses du modèle linéaire classique sont vérifiées (incluant la normalité). La distribution de DW dépend de n,k, et du fait qu on a inclut une constante ou pas. Econométrie approfondie p. 94/

95 Test de Durbin-Watson Notons que n t=2 (û t û t 1 ) 2 = n t=2 û2 t + n t=2 û2 t 1 2 n t=2 ûtû t 1. Si ˆρ = 1 DW = 0. Si ˆρ = 1 DW = 4. Si ˆρ = 0 DW = 2. H 0 : ρ = 0 contre généralement H 1 : ρ > 0. Durbin et Watson (1951) reportent des valeurs critiques inférieures d L et supérieures d U. Si d L DW d U, on ne rejette pas H 0. La plupart des logiciels économétriques reportent DW mais pas les valeurs critiques. Econométrie approfondie p. 95/

96 Table de Durbin-Watson pour H 1 : ρ > 0 Econométrie approfondie p. 96/

97 Si X n est pas strictement exogène Durbin (1970 propose un autre test valable si X n est pas strictement exogène, par exemple si le modèle contient y t 1 comme variable explicative. i) Estimer le modèle y t = β 0 + β 1 x t β k x tk + u t et obtenir û t, t = 1, 2,...,n. ii) Estimer le modèle û t = γ 0 +γ 1 x t γ k x tk +ρû t 1, t = 2, 3,...,n et obtenir ˆρ ainsi que tˆρ. iii) Utiliser tˆρ de la manière usuelle pour tester H 0 : ρ = 0 contre H 1 : ρ < > 0. On régresse û t sur x t et û t 1 et donc on permet à chaque x tj d être corrélé avec u t 1. tˆρ a approximativement une distribution en t si n est grand. Econométrie approfondie p. 97/

98 Tester un AR(q) i) Estimer le modèle y t = β 0 + β 1 x t β k x tk + u t et obtenir û t, t = 1, 2,...,n. ii) Estimer le modèle û t = γ 0 + γ 1 x t γ k x tk + ρ 1 û t ρ q û t q, t = q + 1,q + 2,...,n. iii) Effectuer le F-test suivant H 0 : ρ 1 =... = ρ q = 0 contre H 1 : un des ρ j < > 0, j = 1,...,q. Si les x t sont supposés strictement exogènes, ont peut les omettre dans les étapes i) et ii). A noter que ces tests supposent V ar(u t x t,u t 1,...,u t q ) = σ 2. Il existe une version de ces tests robuste à l hétéroskedasticité comme on le verra plus loin. Econométrie approfondie p. 98/

99 Tester un AR(q) Une alternative a F -test est d utiliser un Lagrange Multiplier (LM) Test: LM = (n q)r 2 û, où R 2 û est le R2 de la régression û t = γ 0 + γ 1 x t γ k x tk + ρ 1 û t ρ q û t q, t = q + 1,q + 2,...,n. Sous H 0,LM χ 2 q asymptotiquement. Ce test est connu sous le nom de test de Breusch-Godfrey. Il est test est disponible en Eviews (avec le F -test). Exemple: Taux d intérêt US obligataire à 3 mois. ci3 t = α 0 + α 1 ci3 t 1. Econométrie approfondie p. 99/

100 Correction pour corrélation sérielle Si on détecte de la corrélation sérielle, on peut modifier le modèle initial pour tenter d obtenir un modèle dynamiquement complet (ex: AR(1) AR(2)). Dans certains cas nous ne sommes pas intéressé par modéliser cette dynamique l intérêt réside plutôt dans les autres variables incluses dans le modèle. Mais l inférence est compromise Que faire? Calculer des écart-types robustes à n importe quelle forme de corrélation sérielle. Econométrie approfondie p. 100/

101 Écart-types robustes Considérons le modèle y t = β 0 + β 1 x t β k x tk + u t, t = 1,...,n. Comment obtenir un écart-type pour ˆβ 1 robuste à la corrélation sérielle? x t1 = δ 0 + δ 2 x t δ k x tk + r t, où E(r t ) = 0 et Corr(r t,x tj ) = 0, j 2. Il est possible de montrer que Avar(ˆβ 1 ) = V ar ( n où Avar dénote la variance asymptotique. ( n i=1 r tu t) i=1 E(r2 t )) 2, Sous l hypothèse TS.5, a t r t u t est non corrélé sériellement et donc la formule traditionnelle de V ar(ˆβ 1 ) est valide. Par contre si TS.5 ne tient pas, Avar(ˆβ 1 ) doit tenir compte de la corrélation entre a t et a s t s. Econométrie approfondie p. 101/

102 Écart-types robustes Newey et West (1987) et Wooldridge (1989) ont montré que Avar(ˆβ 1 ) peut être estimé de la manière suivante. i) Estimer par MCO y t = β 0 + β 1 x t β k x tk + u t, t = 1,...,n. se(ˆβ 1 ) dénote l écart-type de ˆβ 1 et ˆσ l écart-type de û t. ii) Estimer la régression auxiliaire: x t1 = δ 0 + δ 2 x t δ k x tk + r t. iii) Calculer â t = ˆr t û t, t = 1,...,n. iv) Pour une valuer g > 0 donnée, calculer: ˆv = n t=1 â2 t + 2 g h=1 [1 h/(g + 1)]( n t=h+1 âtâ ) t h. g contrôle la quantité" de corrélation sérielle que nous permettons. Econométrie approfondie p. 102/

103 Écart-types robustes Ex: g = 1, ˆv = n t=1 â2 t + n t=2 âtâ t 1. v) L écart-type robuste à la corrélation sérielle de ˆβ 1 est: se (ˆβ 1 ) = [se(ˆβ 1 )/ˆσ 2 ] ˆv. On peut montrer que cet estimateur est aussi robuste à toute forme d hétéroskedasticité cas plus général de ce qui est exposé au Chapitre 8. Comment choisir g? La théorie nous dit que g doit croître avec n. Econométrie approfondie p. 103/

104 Choix de g Certains travaux ont suggéré pour: - des données annuelles g = 1, 2; - des données trimestrielles g = 4, 8; - des données mensuelles g = 12, 24. Newey et West (1987) recommandent de prendre la partie entière de 4(n/100) 2/9 implémenté en Eviews. Exemple: Taux d intérêt US obligataire à 3 mois. ci3 t = α 0 + α 1 ci3 t 1. Econométrie approfondie p. 104/

105 Hétéroscédasticité Pour beaucoup de séries temporelles, l hypothèse TS.4 ou TS.4 d homoscédasticité est violée. Exemple: Rendements journaliers du NYSE n affecte pas le caractère non-biaisé ou convergent des MCO mais invalide l inférence statistique traditionnelle. Il existe deux manières d aborder le problème lié à l hétéroscédasticité. i) Corriger les écart-types pour effectuer de l inférence correctement. ii) Modéliser la dynamique présente dans la variance. Econométrie approfondie p. 105/

106 Écart-types robustes à la White (1980) White (1980) propose une méthode permettant de rendre les écart-types robustes à toute forme d hétéroscédasticité. offre une solution intéressante, pour autant que l intérêt ne se porte que sur la modélisation de la moyenne conditionnelle. Eviews, ainsi que beaucoup d autres logiciels économétriques, offre cette option. Il est possible de montrer que la formule de White (1980) est un cas particulier de la formule de Newey et West (1987) qui permet de tenir compte également d une possible autocorrélation des résidus. Exemple: AR(1) sur NYSE Econométrie approfondie p. 106/

107 Tester la présence d hétéroscédasticité Avant de modéliser la dynamique présente dans la variance, il est judicieux de tester la présence d hétéroscédasticité afin d avoir une meilleure idée de la spécification à adopter. Pour appliquer les tests présentés ci-dessous il faut supposer que les résidus u t sont non corrélé sériellement tester avant. Test de Breusch-Pagan: u 2 t = δ 0 + δ 1 x t δ k x tk + v t ; H 0 : δ 1 =... + δ k = 0. Pour utiliser un F -test, il faut que les écart-types des MCO soient valables et donct que v t satisfasse TS.4 ou TS.4 et TS.5 ou TS.5. Exemple: AR(1) sur NYSE: Estimer û 2 t = α 0 + α 1 return t 1 + e t Econométrie approfondie p. 107/

108 Modèles ARCH Considérons un modèle simple: y t = β 0 + β 1 z t + u t. Une caractéristique largement admise des séries financières à fréquence élevée est que la variance n est pas constante au court du temps et qu il existe des grappes de volatilité. Si la variance en t est grande, elle le sera probablement demain et les jours qui suivent. Si la variance en t est petite, elle le sera probablement demain et les jours qui suivent. Engle (1982) a proposé un modèle appelé ARCH: Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Econométrie approfondie p. 108/

109 Modèles ARCH La caractéristique du modèle ARCH(1) est que: E(u 2 t u t 1,u t 2,...) = E(u 2 t u t 1) = α 0 + α 1 u 2 t 1, alors que E(u 2 t u t 1,u t 2,...) = 0. Les u t sont non corrélés sériellement alors que les u 2 t le sont. Conditions de positivité: E(u 2 t u t 1) > 0, t α 0 > 0 et α 1 0. Si α 1 = 0 homoscédasticité. on peut tester la présence d effets ARCH en estimant ce modèle (sur û t ), voir une version plus étendue (plus de retards). On peut tester α 1,...,α q = 0 en utilisant un LM test ou F test. Econométrie approfondie p. 109/

110 [ps,default,slidecolor,colorbg]prosper [latin1]inputenc pstricks,pst-node,pst-text,pst-3d amsmath 109-1

111 Pooling de données cross-section ou méthodes simples de données de panel: Chapitre 13 Econométrie approfondie p. 110/

112 Pooling Une série cross-section constitue bien souvent un ensemble de données relatives à des unités (individus, firmes, etc.) interrogées à un moment donné. Dans certains cas, l enquête est répétée plusieurs fois donnant lieu à des échantillons différents, représentatifs de la population. La technique du pooling suppose que les différents échantillons sont chaque fois tirés aléatoirement de la population. On n observe pas nécessairement les mêmes unités. On dispose de plusieurs échantillons indépendants. Par conséquent, Corr(u t,u s ) = 0, t s et donc on peut donc empiler les enquêtes et effectuer une analyse MCO traditionnelle. Econométrie approfondie p. 111/

113 Panel Par contre, lorsqu on observe la même unité au court du temps, on parle de données de panel ou longitudinales. Par conséquent, on ne peut pas supposer que les observations sont indépendantes. Un facteur non-observé (comme le QI) qui affecte le salaire d un individu en 1995 va également affecter son salaire en Requiert des techniques particulières pour traiter ce problème. Empiler les échantillons et utiliser les MCO donne des estimateurs biaisés. Econométrie approfondie p. 112/

114 Technique de pooling Beaucoup d enquêtes auprès des ménages sont répétées au court du temps. Vu que le taux d attrition est souvent assez grand, on veille à interroger de nouvelles personnes pour accroître l échantillon. On a alors des échantillons indépendants. Pourquoi effectuer plusieurs enquêtes? Pour avoir plus d observations et donc plus de précision dans l estimation des paramètres et des écart-types. Econométrie approfondie p. 113/

115 Technique de pooling Pour effectuer des tests nécessitant l utilisation d observations à différents moments du temps. Exemple: Pour tester l efficacité d une politique économique il faut des observations avant et après la mise en oeuvre de la politique. Etude de cas: La base de données FERTIL1.wf1 concerne l étude de Sanders (1994) sur la fertilité aux USA. Fréquence: une enquête tous les 2 ans de 1972 à vagues. La question posée est Comment évolue la fertilité au court du temps? après avoir contrôlé pour des facteurs tels que éducation âge, race, région (à 16 ans), environnement (à 16 ans). Econométrie approfondie p. 114/

116 Variable dépendante: KIDS Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C EDUC AGE AGESQ BLACK EAST NORTHCEN WEST FARM OTHRURAL TOWN SMCITY Y Y Y Y Y Y R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Econométrie approfondie p. 115/

117 Données de Panel à 2 périodes Supposons maintenant que nous disposons des données individuelles pour lesquelles un individu est observé en t = 1 et t = 2. Exemple: la base de donnée CRIME2 comprend des données sur les taux de criminalité et de chômage pour 46 villes américaines en 1982 et Estimation pour l année 1987 : Résultat. Comment expliquer ce résultat? Si chômage augmente, le crime diminue. Variables omises observables? On pourrait contrôler pour des facteurs tels que (la distribution de) l âge, éducation, etc. Econométrie approfondie p. 116/

118 Données de Panel à 2 périodes Variables omises non-observables? On peut imaginer que certains de ces facteurs sont constants au court du temps et certains varient au court du temps. y it = β 0 + δ 0 d2 t + β 1 x it + a i + u it,t = 1, 2. i unité et t temps. d2 t = 0 si t = 1 et d2 t = 1 si t = 2 intercept différent pour t = 1 ou 2. a i capture tous les facteur non-observé affectant y it effet non-observé ou fixe Ce modèle s appelle donc modèle à effet non-observé ou à effet fixe. u it est le terme d erreur idiosyncratique ou variant dans le temps. Econométrie approfondie p. 117/

119 Exemple crmrte it = β 0 + δ 0 d87 t + β 1 unem it + a i + u it,t = 1, 2. a i reprend tous les autres facteurs affectant le taux de criminalité qui ne varient pas entre t = 1 et 2. caractéristiques géographiques (localisations aux USA). caractéristiques démographiques (age, race, éducation, etc.): a vérifier. certaines villes peuvent avoir leurs propres comptabiliser les crimes. Comment estimer β 1? Pooling? Econométrie approfondie p. 118/

120 Pooling y it = β 0 + δ 0 d2 t + β 1 x it + v it,t = 1, 2. v it = a i + u it Pour estimer ce modèle par MCO il faut supposer que a i est non corrélé avec x it sinon v it (erreur composé) serait corrélé avec x it. Si ce n est pas le cas les MCO donne lieu à un biais d hétérogénéité non observée. Biais dû à l omission d une variable constante au court du temps. Exemple: CRIME. 92 observations: 46 villes et 2 périodes. Econométrie approfondie p. 119/

121 Panel Si a i est corrélé avec x it, la technique du pooling est donc inappropriée. Solution simple: estimer un modèle en différence première. y i1 = β 0 + β 1 x i1 + a i + u i1 (t = 1) y i2 = (β 0 + δ 0 ) + β 1 x i2 + a i + u i2 (t = 2) Par conséquent, (y i2 y i1 ) = δ 0 + β 1 (x i2 x i1 ) + (u i2 u i1 ) y i = δ 0 + β 1 x i + u i Econométrie approfondie p. 120/

122 Panel y i = δ 0 + β 1 x i + u i peut être estimé par MCO si les hypothèses traditionnelles sont validées. En particulier, il faut que Corr( u i, x i ) = 0, ce qui est naturellement vrai si Corr(u it,x it ) = 0, t = 1, 2. Dans notre exemple Corr( u i, unem i ) = 0? Faux si par exemple si l effort d application de la loi ( u it ) augmente plus dans des villes où le taux de chômage diminue Corr(u it,unem it ) < 0 biais des MCO. Important: on ne peut estimer par cette méthode l effet de variables constantes au court du temps (z i ). Exemple: Distance par rapport à la capitale z i = 0. Exemple: CRIME. Econométrie approfondie p. 121/