Signal sinusoïdal, représentation complexe. Notion d impédance complexe

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1 I Signal sinusoïdal, représentation complee. Notion d impédance complee Les signau sinusoïdau jouant un rôle important dans l étude des signau périodiques. Nous allons dans cette partie introduire des outils qui simplifient l étude des systèmes soumis à des signau sinusoïdau que nous continuerons dans le chapitre suivant. I. Signal sinusoïdal Un signal sinusoïdal est de la forme (t) = X m cos(φ(t)) = X m cos(ωt + ϕ) avec X m l amplitude du signal, ω la pulsation du signal, telle que T = π ω = f où T est la période et f la fréquence, Φ(t) = ωt + ϕ est la phase du signal et ϕ la phase à l origine. Un signal périodique f(t) est caractérisé par sa valeur moyenne f et sa valeur efficace f eff, telles que f(t) = T f(t) et f eff = Dans le cas particulier d un signal sinusoïdal : t0 +T f T (t) [ Xm sin(ωt + ϕ) ] t0 +T f(t) = T f(t) = T X m cos(ωt + ϕ) = T ω la moyenne est nulle. Par ailleurs f eff = T f (t) = T X m cos (ωt + ϕ) qui s écrit aussi, en utilisant cos (α) = ( + cos(α)) T Xm ( + cos(ω + ϕ)) Le résultat est vrai pour la fonction sin aussi.

2 où la deuième partie de l intégrale est nulle (voir calcul juste au dessus), il reste donc à calculer T = T [ ] t0 +T t = et finalement f eff = X m Déphasage entre deu signau sinusoïdau Par définition, le déphasage Φ entre deu signau sinusoïdau (t) = X m cos(ω t + ϕ ) et (t) = X m cos(ω t + ϕ ) est la quantité Φ(t) = Φ Φ = ω t + ϕ ω t + ϕ = (ω ω )t + (ϕ ϕ ) Dans le cas de signau synchrones, ω = ω et le déphasage se réduit à Φ = ϕ ϕ et est en général 3 indépendant du temps. Dans ce cas, on peut relier le déphasage (angulaire) au décalage temporel t, observé par eemple sur un oscilloscope I. Représentation complee ϕ = π t T Cette partie présente une nouvelle notion d une importance capitale en électronique, mais aussi dans d autres domaines de la physique. Les méthodes évoquées sont très générales. Il ne faut donc pas négliger cette partie en la classant dans une catégorie "astuce à connaitre, mais pas fondamentales". Rappels Un nombre complee z peut être représenté sous deu formes : la forme cartésienne z = a + jb où a et b sont réels, respectivement partie réelle et imaginaire de z et j = est imaginaire pur, la forme polaire z = ρ ep(jθ) où ρ est le module de z et θ son argument. On passe de l un à l autre grâce au formules ρ = a + b et tan θ = b/a. On note le complee conjugué par une étoile z = a jb. Enfin, parfois i représentera le nombre imaginaire i = au lieu de j. On retiendra important ce résultat sous la forme cos (f(t)) = sin (f(t)) = 3 On verra un contre eemple magistral en deuième année.

3 Représentation complee On peut représenter, pour simplifier les calculs et en particulier la résolution de certaines équations différentielles (voir plus loin), un signal sinusoïdal par sa représentation complee. Au signal réel (t) = X m cos(ωt + ϕ) on associe la représentation complee (ou notation complee) : (t) = X m ep(j(ωt + ϕ)) = X m ep(iωt) où X m est l amplitude complee du signal. On a alors X m = X m est l amplitude du signal, arg(x m ) = ϕ est la phase à l origine, (t) = Re((t)) La représentation complee est un outil formidable de résolution, mais on ne doit pas oublier que dans l immense majorité des cas, les quantités étudiées sont intrinsèquement réelles. Il faut donc repasser en notation réelle à la fin des calculs afin d obtenir quelque chose de comparable au résultats epérimentau. I.3 Propriétés importantes de la représentation complee Opérations de dérivation et d intégration La puissance de la représentation complee vient de la facilité à effectuer des calculs de dérivation et d intégrale, puisque l opération se résume à dériver ou intégrer une fonction eponentielle d = jω et = jω Moyenne d un produit On considère le produit de deu signau sinusoïdau synchrones (t) = X m cos(ωt + ϕ ) et (t) = X m cos(ωt + ϕ ) On cherche à calculer la moyenne du produit de ces deu signau (t) (t) = T X m X m cos(ωt + ϕ ) cos(ωt + ϕ ) On transforme le produit de deu cosinus avec la formule suivante cos a cos b = (cos(a b) + cos(a + b))4 cos(ωt + ϕ ) cos(ωt + ϕ ) = cos(ωt + ϕ + ϕ ) + cos(ϕ ϕ ) Le premier terme est une fonction sinusoïdale, donc de moyenne nulle, il reste à intégrer T X m X m cos(ϕ ϕ ) = X mx m cos(ϕ ϕ ) 4 Cette formule est la "réciproque" des formules cos(a + b) et cos(a b). 3

4 et donc (t) (t) = X mx m cos(ϕ ϕ ) Cette formule sera utilisée dans les calculs de puissance et d énergie. Notons dés maintenant que lorsqu un produit est effectué, c est une opération non linéaire. Cette non linéarité rentre en conflit avec l utilisation "sans précautions" de la représentation complee. On prendra donc soin à repasser en représentation réelle avant le calcul d un produit. On peut cependant noter aussi la relation, valable elle sur les représentations complees : Intérêt de la représentation complee ( ) (t) (t) = Re Lorsque l on rencontre une équation différentielle linéaire à coefficients constants comportant un second membre de forme sinusoïdale de pulsation ω, il est légitime de chercher les solutions sous une forme sinusoïdale de même pulsation ω. Comme on l a déjà évoqué, l intérêt de la représentation complee est de simplifier les calculs. Les propriétés de dérivation permettent de voir que le traitement d une équation différentielle avec une représentation complee va la transformer en simple équation algébrique, éventuellement complee, mais bien plus simple à résoudre. Notons comme nous l avons déjà dit, que la linéarité de l équation est une condition absolument indispensable à l utilisation effective de la notation complee. I.4 Impédance complee Avant d étudier l oscillateur amorti soumis à une ecitation sinusoïdale, nous allons généraliser les relations constitutives pour les dipôles vues au chapitre sur les circuits dans le cadre de l ARS au cas de circuits en régime sinusoïdal. Définition Comme on l a évoqué dans le chapitre sur l ARS, un dipôle linéaire est un dipôle pour lequel la tension u(t) et l intensité i(t) sont reliées par une équation différentielle linéaire. Cette équation linéaire se transforme en utilisant la notation complee en équation algébrique liant i(t) et u t. Pour un dipôle linéaire passif, la tension complee à ses bornes u est reliée à l intensité qui le traverse i par une relation similaire à la loi d Ohm u = Zi où Z est un nombre complee appelé impédance complee du dipôle. L impédance complee est homogène à une résistance. Cette epression obtenue en régime sinusoïdal est une généralisation de la loi d Ohm à l ensemble des dipôles linéaires passifs. On comprend mieu maintenant le caractère linéaire de la bobine et du condensateur. Un dipôle actif linéaire est lui représenté par la relation u = E + Zi. 4

5 L admittance complee Y est définie par la relation suivante, toujours en régime sinusoidal : Y = Z Enfin, compte tenu des propriétés de l argument et du module arg(z) = arg(u) arg(i) U m = Z I m (amplitude) U eff = Z I eff (valeur eff) I.5 Impédance complee des dipôles usuels Conducteur ohmique La loi d Ohm ne change pas en notation complee u = Ri Z R = R Condensateur idéal ce qui donne ce qui donne la relation suivante : On utilise la relation constitutive du condensateur i = C du C i = C du C = jcωu C en notation complee, u C = jcω i Z C = jcω L argument de Z est égal à l argument de /j, c est à dire π, ce qui implique que i(t) et u(t) sont en quadrature de phase. L epression de l impédance complee du condensateur permet d étudier son comportement en fonction de la fréquence qu il est primordial de bien connaitre : à basse fréquence, le module de Z tend vers l infini. L amplitude de l intensité I m = Um Z 0. Le condensateur se comporte alors comme un circuit ouvert, à haute fréquence, le module de Z tend vers 0. L amplitude de la tension U m = Z I m 0. Le condensateur se comporte alors comme un court circuit (ou un fil). Bobine idéale qui donne ce qui donne la relation suivante : On utilise la relation constitutive du condensateur u L = L di u L = L di = jlωi u L = jlωi Z L = jlω en notation complee, ce L argument de Z est égal à l argument de j, c est à dire π, ce qui implique que i(t) et u(t) sont en quadrature de phase (mais dans l autre sens que pour le condensateur!). L epression de l impédance complee de la bobine permet d étudier son comportement en fonction de la fréquence qu il est primordial de bien connaitre : 5

6 à haute fréquence, le module de Z tend vers l infini. L amplitude de l intensité I m = Um Z 0. La bobine se comporte alors comme un circuit ouvert, à basse fréquence, le module de Z tend vers 0. L amplitude de la tension U m = Z I m 0. La bobine se comporte alors comme un court circuit (ou un fil). I.6 Lois de l électrocinétique en régime sinusoïdal Lois de Kirchoff Les lois de Kirchoff, loi des noeuds et loi des mailles, sont valables en régime sinusoïdal en utilisant les grandeurs complees. Elles ne sont pas valables pour les amplitudes car il y a en général un déphasage! Diviseur de tension et de courant Les formules du diviseur de tension et du diviseur de courant, que vous connaissez évidemment par coeur et savez redémontrer, s écrivent de manière identique pour les impédances complees dans le cas des dipôles linéaires passifs. On a donc, en particulier pour le diviseur de tension u = Z Z + Z u où u est la tension au bornes du dipôle d impédance complee Z et u la tension au borne du dipôle entier. Associations série et parallèle de deu impédances Compte tenu de la forme prise par la relation définissant les impédances, il est évident (mais potentiellement à démontrer en colle) que Z eq serie = Z + Z et = + Z eq par Z Z II Oscillateur amorti soumis à une ecitation sinusoïdale On reprend l étude des oscillateurs amortis amorcée au chapitre précédent dans le cas du régime libre et de l échelon. Cette fois, on s intéresse à la réponse du système, c est à dire son comportement, lorsqu il est soumis à une perturbation sinusoïdale. II. Présentation du problème Oscillateur électrique On considère le circuit électrique suivant dans lequel e(t) = E cos(ωt) 6

7 i R K u R (t) e(t) u L (t) u C (t) L C L équation différentielle obtenue est identique à celle obtenue dans le chapitre précédent, moyennant le remplacement de E par e(t), soit, sous forme canonique d u C + ξω 0 du C + ω 0u C = ω 0E cos(ωt) Remarque Comme dans le cas de l échelon de tension, le système réagit et on peut séparer deu régime, le régime permanent et le régime transitoire. Le régime transitoire a les même propriétés que précédemment puisqu il correspond à la solution générale de l équation homogène. Dans la suite, nous allons nous intéresser uniquement au régime permanent sinusoïdal. II. Résonance en tension On s intéresse à la tension en régime permanent sinusoïdal u C,p (t) = u C (t) que l on cherche sous forme sinusoïdale u C,p (t) = U m cos(ωt + ϕ) = Re(U m ep(jωt)) On commencera par s intéresser à son amplitude U m, c est à dire au module de l amplitude complee, puis à la phase à l origine ϕ. II.. Amplitude complee en régime sinusoïdal On utilise les grandeurs complees associées à chaque grandeur du problème : fém e(t) = E ep(jωt) tension au bornes du condensateur u C (t) = U m ep(jωt) En tenant compte du fait que l opération de dérivation se traduit par une multiplication par jω, on transforme l équation différentielle d u C + ξω 0 du C + ω 0u C = ω 0E cos(ωt) 7

8 ce qui donne ω U m ep(jωt) + ξω 0 ωu m ep(jωt) + ω0u m ep(jωt) = ω0e ep(jωt) Comme ep(jωt) est non uniformément nul, on peut le simplifier ce qui donne ω U m + jξω 0 ωu m + ω0u m = ω0e ce qui donne finalement pour l epression de l amplitude complee U m = ω 0 ω 0 ω + jξω 0 ω E Pour simplifier les calculs, on introduit la pulsation réduite = ω ω 0 ce qui permet d obtenir l amplitude complee sous la forme U m = ω0 ω ( ω0 ω 0 + jξ E + jξ ω 0ω ) E = ω0 où l on fait apparaitre le facteur de qualité = /ξ U m = + j E On va étudier successivement le module et l argument de cette amplitude complee pour obtenir les informations sur l amplitude réelle et sur la phase à l origine du signal réel. II.. Module et résonance en tension Le module de l amplitude complee est donné par z = zz, soit U m = U m = E ( ) + ( On peut tout de suite constater que pour une pulsation nulle, c est à dire une tension constante au bornes du générateur, l amplitude de la tension en régime permanent au bornes du condensateur vaut E, ce qui est conforme avec les résultats du chapitre précédent. Pour aller plus loin, on introduit la fonction f() = ( ) + ( ) ) 8

9 qui contient toute l information sur les variations de U m. Plus précisément, ici, U m = E f( du m d df = E d L amplitude de la tension présente donc des etremums là où df/d est nulle, soit f 3/ df d = ( )( ) + = ( ) = + = 0 La solution = 0 est évidente. Il reste à trouver la solution de qui a deu solutions : + = 0 ± = ± dont les solutions ne sont réelles que pour 0 ce qui implique, donc On distingue donc deu cas :, alors la fonction est monotone et ne présente pas d etrémum. Par ailleurs, df/d est alors positive, donc du m /d est négative et la fonction U m () est une fonction décroissante de et maimale en = 0, > /, alors la dérivée s annule en m = puisque la fonction f est définie pour 0. Pour < m, df/d est négative, et donc la fonction U m est croissante. Pour > m, c est le contraire et la fonction U m () est décroissante, ce qui montre que m est un maimum 5. Dans le cas > /, la fonction f() vaut f( m ) = ( ( ) ) + = ( ) + ce qui donne f( m ) = = 4 4 = ( ) 4 5 On peut aussi calculer la dérivée seconde pour arriver à la même conclusion. 9

10 La valeur du maimum est donnée par U ma = U m ( m ) = E f(m ) = E 4 Dans le cas d un grand facteur de qualité, alors m et U ma E. On peut donc obtenir des tensions au bornes du condensateurs bien plus élevées que l amplitude de la tension au bornes du générateur : c est le phénomène de résonance. Lorsqu un système est soumis à une ecitation sinusoïdale, il peut eister certaines fréquences appelées fréquences de résonance, pour lesquelles la réponse du système passe par un maimum. Une ecitation à cette fréquence peut produire de très grandes oscillations du système. La courbe de résonance de la tension a l allure suivante 6 4 = 5 = 3 = = / Um/E II..3 Étude de la phase Boite à outils mathématiques mathématiques : Pour l étude de la phase, nous aurons besoin de quelques rappels de la représentation graphique de la fonction tan(α) qui nous permet de constater que la fonction est périodique de période π 0

11 6 4 tan(α) α l argument du produit de deu nombres complees arg(z z ) = arg (ρ ep(iϕ )ρ ep(iϕ )) = arg (ep(i(ϕ + ϕ ))) = ϕ + ϕ propriétés de la fonction arctan : si tan(ϕ) = a et ϕ [ π ; π ], alors ϕ = arctan(a), arctan( a) = arctan(a) Étude de la phase La phase est donnée par l argument de U m ( ϕ = arg(u m ) = arg ( ) + j ) ( ( = arg j j ( ) + )) ( ( = arg j j( ) + )) donc On a alors ( ϕ = arg(j) arg j( ) + ) = π ( arg j( ) + ) }{{} ϕ tan ϕ = ( ) La résolution de cette équation nécessite, compte tenu de la périodicité de la fonction tan(α), la connaissance de l intervalle de longueur π dans lequel se trouve α, ce qui se voit très bien graphiquement. Dans notre cas sin ϕ = Im ρ = ( ) ρ ce qui implique que ϕ [ π ; π ]. Dans ce cas, la solution est et cos ϕ = Re ρ = ρ > 0 ( ϕ = arctan ( ) ( ) ( ) ) = arctan

12 ce qui permet finalement d obtenir l epression de la phase ϕ = π ( ( ) + arctan ) dont la courbe représentative pour plusieurs facteurs de qualité est donnée ici 0 = 5 = 3 = = / ϕ Remarque Lorsque =, le déphasage vaut précisément π/. Il est donc assez aisé compte tenu de l allure de la courbe, et pour des raisons de précision, de mesurer =, donc la pulsation propre du système, en mesurant un déphasage de π/, plutôt que sur la courbe de résonance en amplitude. II.3 Résonance en intensité On s intéresse maintenant à la résonance en intensité. Celle ci est de la forme i(t) = I m cos(ωt + φ). Il faut donc déterminer, comme dans le cas de la tension, l epression de I m et de φ, et nous allons utiliser les même méthodes. II.3. Amplitude complee de l intensité On utilise la représentation complee associée à l intensité i(t) = I m ep(jωt). Comme on connait la relation constitutive du condensateur i = C du C i = jcωu C ce qui donne I m ep(jωt) = jcωu m ep(jωt) I m = jcωu m et en utilisant l epression de U m en fonction de E trouvée dans la partie précédente, en fonction de la pulsation réduite I m = jcω + j E

13 Comme jcω = jcω 0, on obtient I m = jcω 0 + j E = jcω 0 j + j ( )E = Cω 0 + j ( )E Enfin, comme Cω 0 = on obtient l amplitude complee de l intensité C LCξ = C L LC R C = R I m = E R + j ( ) II.3. Amplitude de l intensité L amplitude de l intensité réelle est donnée par le module de l amplitude complee I m = I m = E R + ( On constate que I m (0) = I m (+ ) = 0. La fonction présente donc, puisqu elle est positive, un maimum qui correspond à la minimisation du dénominateur, c est à dire à la minimisation de la fonction f() = (. ) Cette fonction positive s annule clairement en =, donc le maimum pour l amplitude de l intensité, et donc la résonance, se situe en ω = ω 0. A cette pulsation, la valeur de l amplitude de l intensité est I ma = I m (ω 0 ) = E C R = E L qui est d autant plus important que le facteur de qualité est élevé. En posant I 0 = E courbes suivantes pour la résonance en intensité I m = I 0 + ( ) ) C L, on obtient les 3

14 6 4 = 5 = 3 = = / Im/I Acuité de la résonance et facteur de qualité Comme la formule est plus simple, nous allons nous intéresser analytiquement à une autre propriété de la courbe de résonance qui est aussi valable pour la résonance en tension La largeur de la résonance est caractérisée par la bande de pulsation ω telle que I m (ω) I m /. On appelle acuité de la résonance la grandeur ω 0 ω étroite, plus l acuité de la résonance est grande. On doit donc calculer les valeurs de telles que donc I m = I 0 de sorte que plus la résonance est + ( ) = I ( 0 + ) ( = = ) = ± On doit donc résoudre deu équations du second degré qui ont le même déterminant = donc { = 0 + = qui est toujours positif, les solutions des deu équations sont + +4 > 0 et + +4 et < 0 On cherche des racines positives, on a donc = + 4 +, comme +4 >, alors + 4 > et la deuième racine positive est = On peut alors calculer la largeur de la bande 4

15 ω (puisque > ) et donc, en terme de pulsation = = ω = ω 0 Ce résultat confirme évidemment l allure des courbes : plus le facteur de qualité est grand, plus l acuité de la résonance est grande. Notons que ce résultat est très général, et que nous pouvons aussi l observer numériquement sur la résonance en tension. II.3.3 Phase de l intensité L étude la phase repose sur l étude faite pour la tension, et en constatant que, compte tenu de la relation constitutive du condensateur I m = jcωu m Le nombre j à pour argument π, et nous obtenons donc ce qui donne les courbes suivantes : φ = arg(i m ) = ϕ + π ( ( ) = arctan ) = 5 = 3 = = / ϕ Remarque En plus de la mesure de ω 0, comme dans le cas de la résonance en tension, on peut relier la largeur de la résonance à la phase. En effet, les valeurs et vérifient respectivement =, ce qui donne donc pour valeur de l amplitude complee en et I m = E R + j ( ) = E R ± j = et 5

16 dont l argument vaut arg(±j), c est à dire ± π 4. On peut donc relever sur le graphe de phase les valeurs de pour lesquelles la phase vaut ±π/4 pour obtenir le facteur de qualité du circuit et la bande ω. II.4 Aspects epérimentau Pour résumer les aspects epérimentau, on préfère travailler sur la résonance en intensité : à la résonance, la phase de l intensité est nulle. Il suffit donc de visualiser l intensité et la tension au bornes du générateur, et d observer en mode XY. Le déphasage nul se repère par le tracé d une droite en mode XY, l acuité de la résonance, qui permet de mesure le facteur de qualité, se mesure soit sur la courbe en amplitude, soit sur la courbe du déphasage. On peut malgré tout aussi utiliser la résonance en tension quand on a pas accès à l intensité, en prenant garde au fait que la courbe de résonance en amplitude n est pas parfaitement centrée sur ω = ω 0, en particulier pour les facteurs de qualité faibles ( ). 6