Concours National Commun d Admission aux Grandes Écoles d Ingénieurs

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1 ROYAUME DU MAROC Ministère de l Éducation Nationale et de la Jeunesse Ministère de l Enseignement Supérieur, de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique Concours National Commun d Admission au Grandes Écoles d Ingénieurs Session 24 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I Durée 4 heures Concours MP Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde L usage de la calculatrice est interdit

2 L énoncé de cette épreuve, particulière au candidats du concours MP, comporte 4 pages. L usage de la calculatrice est interdit. Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction seront des éléments pris en compte dans la notation. Les candidats pourront admettre et utiliser le résultat d une question non résolue s ils l indiquent clairement sur la copie. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. Définitions et notations Dans tout le problème, par solution d une équation différentielle, on fait référence au solutions à valeurs réelles définies sur R. Si f est une fonction continue sur R à valeurs réelles, on lui associe l équation différentielle y y + f =. (E f Le but du problème est d étudier des conditions d eistence de solutions bornées de l équation différentielle (E f, et lorsque ces conditions sont remplies, certaines propriétés des ces solutions sont ensuite étudiées. 1. Un premier eemple Soient α un réel et f α la fonction e α. I. EXEMPLES ET RÉSULTATS GÉNÉRAUX (a Résoudre l équation différentielle (E f1. Cette équation possède-t-elle des solutions bornées au voisinage de +? (b Ici on suppose que α 1. i. Résoudre l équation différentielle (E fα. ii. À quel condition nécessaire et suffisante sur α cette équation admet-elle des solutions bornées au voisinage de +? Lesquelles? (c L équation différentielle (E fα admet-elle des solutions bornées sur R? 2. Résultats générau (a Quelle est la structure de l ensemble des solutions de l équation différentielle (E f? (b Montrer que les solutions de l équation différentielle (E f sont de la forme y λ : e ( λ e t f(t dt, λ R. (c On suppose que la solution y λ est bornée au voisinage de +. Montrer alors que l intégrale e t f(t dt est convergente et vaut λ. (d Combien de solutions bornées au voisinage de + l équation différentielle (E f peut-elle avoir au maimum? Épreuve de Mathématiques I 1 / 4 Tournez la page S.V.P.

3 (e On suppose maintenant que l intégrale λ f = e t f(t dt est convergente et on pose e t f(t dt et Y f = y λf. i. Vérifier que, pour tout réel, Y f ( = e e t f(t dt. ii. La solution Y f est-elle nécessairement bornée au voisinage de +? (f On suppose ici que f est bornée. i. Montrer que Y f est bien définie et que c est l unique solution bornée, sur R, de l équation différentielle (E f. ii. Si en outre f tend vers en +, montrer que Y f possède une limite nulle en +. iii. Si maintenant f tend vers en, montrer que Y f possède une limite nulle en. 3. Un autre eemple On pose p (2p + 2n n u n,p ( = ( 1 (2p + 1! n!, R et (n, p N2. (a Montrer que, pour tout réel, la suite double ( u n,p ( (n,p N 2 est sommable. (b En déduire le rayon de convergence et la somme de la série entière n a n = + p= p (2p + 2n ( 1 (2p + 1!, n N. Dans la suite on pose u( = e sin(e, R. (c Montrer que l intégrale e t u(t dt est convergente. a n n n!, où (d Montrer que, pour tout réel, e t sin θ u(t dt = dθ e θ (e En faisant une intégration par partie dans l intégrale du second membre de l égalité précédente, montrer que la solution Y u de l équation différentielle (E u est bornée sur R. II. CAS D UNE FONCTION INTÉGRABLE A- Cas où f est intégrable sur R On suppose que f est intégrable sur R et on pose, pour tout réel, G( = f(t dt. 1. Montrer que la fonction G est continue, bornée et tend vers en. 2. Montrer que, pour tout réel, la fonction t e t f(t est intégrable sur [, + [. 3. Montrer alors que la solution Y f de l équation différentielle (E f vérifie R, Y f ( f(t dt, puis en déduire que Y f est bornée sur R et tend vers en +. Épreuve de Mathématiques I 2 / 4

4 4. Montrer que Y f = G + Y G et conclure que Y f tend vers en. 5. Justifier que la solution Y f de l équation différentielle (E f est bornée et tend vers en ±. 6. Montrer alors que Y f est intégrable sur R. 7. En déduire que Y f est intégrable sur R et montrer que Y f (t dt = f(t dt. 8. On désigne par E l espace vectoriel des fonctions réelles continues et intégrables sur R ; on le muni de la norme N 1 définie, pour tout élément g de E, par N 1 (g = g(t dt. Montrer que l application Φ : norme. g Y g est un endomorphisme continu de E et calculer sa B- Cas où l intégrale de f sur R converge On suppose ici que f possède une intégrale convergente sur R et on pose, pour tout réel, F ( = f(t dt. 1. Montrer que la fonction F est continue, bornée et tend vers en Montrer que, pour tout réel, l intégrale e t f(t dt est convergente et que e e t f(t dt = F ( Y F (. (on pourra faire une intégration par partie 3. En déduire que la solution Y f de l équation différentielle (E f est bornée et tend vers en Montrer que Y f tend vers en. 5. Montrer alors que Y f possède une intégrale convergente sur R, égale à celle de f. On suppose ici que f est 2π-périodique. III. CAS D UNE FONCTION PÉRIODIQUE 1. Montrer que l équation différentielle (E f possède une unique solution bornée qui est la fonction Y f. 2. Montrer que Y f est 2π-périodique et de classe C Calculer les coefficients de FOURIER complees de Y f en fonction de ceu de f. 4. On pose f = f et f n+1 = Y fn, n. (a Pour tout n N, eprimer les coefficient de FOURIER complees de f n en fonction de ceu de f 1. Épreuve de Mathématiques I 3 / 4 Tournez la page S.V.P.

5 (b Montrer que la série de FOURIER de f 1 est normalement convergente. (c En déduire la convergence de la série ( c k (f 1 + c k (f 1. k N (d En utilisant le théorème de DIRICHLET, montrer que ( 1 n 1 + ( n N, R, f n ( c (f 2 c k (f 1 + c k (f 1. (e Quelle conclusion concernant le mode de convergence de la suite (f n n N peut-on tirer de ce qui précède? k=1 FIN DE L ÉPREUVE Épreuve de Mathématiques I 4 / 4 FIN