Terminale STG Chapitre 1 : Droites Régionnement du plan - Optimisation à deux variables

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1 1. EQUATIONS DE DROITES Toute droite du plan a une équation, non unique, de la forme ax + by = c, où a et b sont deux réels non nuls en même temps. Si b = 0, l équation est x = c c'est-à-dire de la forme x = k. Cette droite est parallèle à l axe a des ordonnées. Si a = 0, l équation est y = b c'est-à-dire de la forme y = k. Cette droite est parallèle à l axe a des abscisses. Si a 0 et b 0 alors l équation dite réduite est de la forme y = mx + p. Cette droite est sécante à l axe des ordonnées. Exemple : 2x + 4y = 7 a pour équation réduite y = x REGIONNEMENT DU PLAN (demi-plan et frontière) Toute droite δ partage le plan en deux demi-plans P 1 et P 2 de frontière δ. Chaque demi-plan est alors caractérisé par une inéquation. Soit ax + by + c = 0, avec a et b non nuls, une équation de δ, alors l un des demi-plans correspond à ax + by + c > 0 et l autre à ax + by + c < 0 Exemple : la partie verte correspond à l inéquation y 3x - 2 de frontière y = 3x 2 comprise N.B. Pour représenter un demi-plan caractérisé par une inéquation, on procède de la façon suivante : On trace la droite frontière On choisit un point du plan en dehors de cette frontière et on teste s il appartient au demi-plan cherché ou non. Le plus souvent, quand la droite ne passe par l origine, on choisit O(0 ;0) qui fournit le résultat facilement. Exemple ci-dessus : O n est pas un point de la frontière et l inéquation devient ce qui est toujours vrai, alors la partie contenant O convient, on la colorie en vert.

2 3. Résolution graphique d un système d inéquations linéaires Résoudre graphiquement un système d inéquations linéaires à deux inconnues x et y revient à déterminer la région du plan telle que l ensemble des points de coordonnées (x ;y) vérifient simultanément chaque inéquation. Exemple : Résoudre graphiquement le système x 3 y -1 x y 0 Méthode : 1. On pose D 1 la droite d équation x = 3, D 2 la droite d équation y = -1 et D 3 la droite d équation x y = 0 qui sont les frontières. 2. On trace D 1 la droite d équation x = 3, D 2 la droite d équation y = -1 et D 3 la droite d équation x y = 0 dans un repère. 3. On hachure les demi-plans qui ne correspondent pas aux inégalités données. Pour x 3, il suffit de hachurer la partie à droite de D 1, pour y -1 on hachure le demiplan en dessous de D 2 et pour D 3 on teste avec le point I(1 ;0) qui n est pas sur cette droite. On a 1 0 = 1 qui est 0 donc le demi-plan contenant I convient, on hachure l autre.

3 4. conclusion : la partie non hachurée représente l ensemble des solutions du système. Optimisation Elle consiste à déterminer un couple (x ;y) réalisant un bénéfice maximal ou une dépense minimale vérifiant une équation de la forme ax + by = k sous certaines contraintes mises sous la forme d un système d inéquations. Toutes les droites D k de la forme ax + by = k, avec a et b fixes, b non nul, sont parallèles entre elles. Si b >0, plus k augmente, plus l ordonnée à l origine de D k augmente. Si b <0, plus k augmente, plus l ordonnée à l origine de D k diminue. Conclusion : pour un bénéfice maximal, on cherche la droite qui coupe l axe vertical le plus haut possible, tout en restant dans le domaine et pour une dépense minimale, on cherche la droite qui coupe l axe vertical le plus bas possible, tout en restant dans le domaine

4 4. PROBLEME RESOLU Un artisan fabrique des voitures et des motos en bois. Une voiture nécessite 0,5 h de travail et une moto 1 h. Une voiture nécessite 300g de bois et une moto 200g. L artisan dispose de 2,4kg de bois par jour et travaille au plus 8h par jour. La production des voitures est limitée à 7 unités par jour pour des raisons de demande. Traduire les contraintes de l artisan par un système d inéquations. Décrire l ensemble des solutions L artisan réalise un bénéfice de 8 par voiture vendue et 12 par moto vendue. Quel bénéfice maximum peut-il réaliser? Solution Soit x le nombre de voitures et y le nombre de motos fabriquées quotidiennement. Les contraintes de l'artisan sont -Il ne peut pas utiliser plus de 2,4 kg de bois. Or, en fabriquant x voitures et y motos, il consomme 0,3x + 0,2y kg de bois. D'où 0,3x + 0,2y 2,4. -Il travaille au plus 8 heures. En fabriquant x voitures et y motos, il travaille 0,5x + y h. D'où 0,5x + y h. 8. -Il limite sa production de voitures à 7 unités. D'où x 7. -Par ailleurs, x et y sont des entiers naturels. En particulier x 0 et y 0. Les contraintes sont donc après simplification 3x + 2y 24 x + 2y 16 soit 0 x 7 y 0 L ensemble des solutions est constitué par les points à coordonnées entières du domaine non hachuré. Son bénéfice est de 8 par voiture et 2 par moto vendues En vendant x voitures et y motos, il réalise un bénéfice B = 8x + 2y. Cherchons par exemple les couples (x;y) pour lesquels l'artisan réalise un bénéfice de 48. Pour cela, on trace la droite d'équation 8x + 12y = 48. Les solutions sont les couples de coordonnées entières des points de cette droite compatibles avec les contraintes de l'artisan. L'examen du graphique montre que trois points de cette droite conviennent. Ce sont les points de coordonnées respectives (0 ; 4). (3 ; 2) et (6 ; 0). Ce sont donc les couples (x ; y) pour lesquels B = 48 et qui respectent les contraintes de l'artisan. Cherchons maintenant le couple (x ;y) permettant à l'artisan de réaliser un bénéfice maximum. La droite d'équation 8x + 12y= B est la parallèle à la droite d'équation 8x + 12y = 48 ayant l'ordonnée à l'origine la plus grande possible, dans la limite du respect des contraintes de l'artisan. Ici, un seul point de cette droite convient le point de coordonnées (4 ; 6). L'artisan réalise un bénéfice maximum lorsqu'il fabrique et vend quotidiennement 4 voitures et 6 motos

5 Ce bénéfice est B = 8 x x 6 = 104.