Renforcer ses compétences

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1 Renforcer ses compétences en mathématiques Tome 1

2 AVANT PROPOS Vos études ou vos activités professionnelles vous ont peut-être éloignés des mathématiques et ceci, parfois depuis longtemps. Vous souhaitez actualiser vos connaissances pour vous préparer à aborder des épreuves de concours, pour aider vos proches dans leurs études, ou tout simplement par pure curiosité intellectuelle. Nous vous proposons de vous accompagner dans votre démarche, en mettant à votre disposition cet ouvrage, facile d accès, qui vous permet de voir ou de revoir les notions mathématiques indispensables à votre projet. L ouvrage se compose de 15 chapitres progressifs qui alternent algèbre, analyse et géométrie. En regardant la table des matières, vous remarquerez que chaque chapitre est construit selon la même démarche. Il se compose de trois parties : Le cours dans lequel sont présentés toutes les définitions et théorèmes que vous devez savoir. Les exercices et problèmes accompagnant le cours sont répartis en quatre rubriques : - les applications directes du cours : ce sont des exercices simples, faisant intervenir des propriétés ou définitions rappelées dans le cours ; leur résolution ne doit pas poser de problème particulier si le cours a bien été appris ; - les problèmes relatifs au cours : ils font apparaître des situations où les notions et définitions du cours interviennent en même temps que d autres notions vues précédemment ; ces problèmes sont en général un peu plus difficiles et demandent un certain temps de réflexion ; - les exercices et problèmes d entretien des connaissances : ils sont de niveaux très inégaux ; ils ont pour but de maintenir, voire de conforter les acquis antérieurs (tout en réfléchissant parfois à des situations abordées dans le chapitre) ; - les problèmes de recherche et/ou d approfondissement : ils présentent des situations pour lesquelles vous n avez pas a priori de méthode de résolution ; on vous demande donc de mobiliser au mieux ce que vous connaissez afin de mettre en œuvre une démarche originale. Dans ce cas, le temps de réflexion est très variable : n hésitez pas à passer à autre chose puis à revenir en arrière. Certains problèmes sont certes délicats mais font partie d une culture mathématique qu il faut acquérir. Les corrigés présentent des corrections les plus détaillées possible afin de vous présenter, quand cela est intéressant, plusieurs façons de résoudre un problème ; en mathématiques, comme ailleurs, il existe généralement plusieurs façons d opérer : si votre solution diffère de celle qui vous est proposée, cela est l occasion de confronter deux méthodes (N y a-t-il pas de faille dans ma démarche déductive? Laquelle des deux méthodes est la plus rapide? Pourquoi n ai-je pas pensé à ce qui m est proposé? ). Afin de tirer le meilleur profit de ce cours, n hésitez pas à consulter régulièrement l index ou mieux, à vous constituer un répertoire personnel des notions étudiées. Vous trouverez aussi en annexe à la fin de l ouvrage quelques exemples de fiches de synthèse comme : «Pour démontrer que, on peut, selon la situation, chercher à montrer que» ; nous ne saurions que trop vous inciter à constituer tout au long de votre étude de telles fiches pour les notions qui vous semblent difficiles ou centrales. Nous espérons que cet ouvrage et les conseils qui l accompagnent répondront à vos attentes. 3

3 SOMMAIRE CHAPITRE I : LES NOMBRES ENTIERS CHAPITRE II : PREMIÈRES NOTIONS DE GÉOMÉTRIE PLANE CHAPITRE III : LES NOMBRES RATIONNELS, LES NOMBRES RÉELS, LES NOMBRES DÉCIMAUX CHAPITRE IV : FIGURES DU PLAN CHAPITRE V : CALCULS DANS L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS CHAPITRE VI : ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE CHAPITRE VII : RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DE PROBLÈMES. MISES EN ÉQUATIONS CHAPITRE VIII : DEUX THÉORÈMES FONDAMENTAUX DE LA GÉOMÉTRIE : LE THÉORÈME DE THALÈS ET LE THÉORÈME DE PYTHAGORE

4 TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE I : LES NOMBRES ENTIERS INTRODUCTION LES ENTIERS NATURELS Description L'addition La multiplication Désignation chiffrée des nombres entiers : notre système de numération Divisibilité Définitions Caractères de divisibilité Division euclidienne Nombres premiers Décomposition d'un nombre en facteurs premiers P.G.C.D. de deux nombres Définition L algorithme d Euclide LES ENTIERS RELATIFS Description. Rapports avec N Quelques règles de calcul CHAPITRE II : PREMIÈRES NOTIONS DE GÉOMÉTRIE PLANE CONCEPTS FONDAMENTAUX DE LA GÉOMÉTRIE PLANE PARALLÉLISME ET ANGLES Droites et demi-droites parallèles Angle (secteur angulaire) DISTANCE DANS LE PLAN Inégalité triangulaire Segment de longueur donnée ORTHOGONALITÉ Propriétés Distance d'un point à une droite Distance de droites parallèles Médiatrice d'un segment Bissectrice d'un angle

5 5 - CONSTRUCTIONS ÉLÉMENTAIRES Construction de la médiatrice d'un segment donné [AB] au moyen de la règle (non graduée) et du compas Construction de la médiatrice d'un segment [AB] au moyen de la règle (graduée) et de l'équerre Construction de la perpendiculaire à une droite donnée D et passant par un point donné A (compas, règle non graduée) Construction de la bissectrice d'un angle saillant xoy donné (compas, règle non graduée) Construction de la bissectrice d'un angle rentrant xoy donné (compas, règle non graduée) Construction de la parallèle à une droite donnée D passant par un point donné A (règle non graduée, compas) TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES USUELLES DU PLAN Les translations du plan Les symétries axiales du plan Les symétries centrales du plan (ou demi-tours) PROJECTION SUR UNE DROITE DANS UNE DIRECTION CHAPITRE III : LES NOMBRES RATIONNELS, LES NOMBRES RÉELS, LES NOMBRES DÉCIMAUX LES NOMBRES RATIONNELS Insuffisances des nombres entiers Description de Q Définition Réduction de fractions au même dénominateur Fractions particulières Opérations dans Q L addition des rationnels La soustraction des rationnels La multiplication de rationnels La division Simplification des fractions et fractions irréductibles Ordre dans Q Résolution de l'équation s x = r dans Q LES RÉELS LES NOMBRES DÉCIMAUX Définition des nombres décimaux Désignation des nombres décimaux

6 4 - LES NOMBRES À «VIRGULE» Un exemple Nombres rationnels décimaux et non décimaux Et les nombres irrationnels? DIVERS RÉSUMÉS Diagramme montrant les positions relatives des ensembles de nombres considérés aux chapitres I et III Tableau récapitulatif sur les relations définies dans les divers ensembles de nombres CHAPITRE IV : FIGURES DU PLAN MESURES DES ANGLES Angles saillants adjacents Mesure en degrés d un angle Somme des mesures des angles d'un triangle Angles opposés par le sommet Angles déterminés par une sécante commune à deux droites parallèles LIGNES POLYGONALES, POLYGONES Segments adjacents. Ligne polygonale. Polygone Polygones convexes, concaves, croisés LES TRIANGLES Droites remarquables dans un triangle Les trois médiatrices Les trois hauteurs Les trois médianes Les trois bissectrices intérieures Classification Triangle isocèle Triangle équilatéral Triangle rectangle Triangle rectangle isocèle Un théorème important concernant les triangles LES QUADRILATÈRES CONVEXES Classification traditionnelle des quadrilatères convexes Classification par les éléments de symétrie Comment reconnaître un quadrilatère particulier Propriétés caractéristiques des parallélogrammes Propriétés caractéristiques des rectangles Propriétés caractéristiques des losanges Propriétés caractéristiques des carrés 9

7 5 - CERCLES Théorème de l angle inscrit Positions relatives d'un cercle et d'une droite Positions relatives de deux cercles CHAPITRE V : CALCULS DANS L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS INTRODUCTION STABILITÉ DE L'ÉGALITÉ POUR LES OPÉRATIONS STABILITÉ DE L'ORDRE POUR LES OPÉRATIONS PUISSANCES ENTIÈRES D UN RÉEL Définition et conventions Calculs avec les puissances VALEUR ABSOLUE D UN RÉEL Définition Calculs sur les valeurs absolues Distance entre deux réels RACINE CARRÉE Définition Calculs sur les racines carrées Exemples de simplification de calculs UNE PROPRIÉTÉ, OUTIL DE TRANSFORMATION D EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES : LA DISTRIBUTIVITÉ DE LA MULTIPLICATION SUR L ADDITION ET LA SOUSTRACTION Remarque générale importante sur les conventions d'écriture d'expressions Exemple de développement Méthodes de factorisation Recherche d'un facteur commun Utilisation (donc connaissance) d'identités remarquables Technique pratique Applications à la résolution d'équations dans R Équation x 2 = a " Suppression " de radicaux pour comparer, réduire INÉQUATIONS DANS R Inéquations du premier degré Inéquations de la forme A(x) B (x) >

8 6 - DÉCIMAUX APPROCHANT DES RÉELS Valeurs approchées décimales Troncatures, arrondis Notation scientifique d'un décimal CHAPITRE VI : ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE POSITIONS RELATIVES DE DROITES ET DE PLANS Positions relatives de deux droites Positions relatives d'une droite et d'un plan Positions relatives de deux plans DISTANCE ENTRE POINTS DE L ESPACE Sphère de centre O et de rayon r Régionnement de l'espace par une sphère S (O, r) PERPENDICULARITÉ Droites perpendiculaires Droite perpendiculaire à un plan Plans perpendiculaires Distance d'un point à un plan Plan médiateur d'un segment TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES USUELLES DE L ESPACE Translations, symétries centrales Symétrie par rapport à un plan QUELQUES SOLIDES DE L ESPACE Quelques polyèdres Prismes Cubes Pavés Prismes Pyramides Les solides «ronds» Boules Cylindres Cônes CHAPITRE VII : RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DE PROBLÈMES. MISES EN ÉQUATIONS L ART DE POSER DES ÉQUATIONS

9 2 - RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DE PROBLÈMES Premier temps : MISE EN ÉQUATIONS Deuxième temps : RÉSOLUTION Troisième temps : INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS DE LA RÉSOLUTION EN TERMES DE LA SITUATION REMARQUES SUR LA DÉMARCHE PRÉCÉDENTE Sur le premier temps Choix des inconnues Inconnues auxiliaires Sur le deuxième temps Sur le troisième temps COMPLÉMENT SUR LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ (non indispensable) SYSTÈMES D ÉQUATIONS Système de deux équations à deux inconnues Méthode par substitutions Méthode par combinaisons Systèmes à plus de deux inconnues ou à plus de deux équations L ALGÈBRE AU SECOURS DE LA GÉOMÉTRIE CHAPITRE VIII : DEUX THÉORÈMES FONDAMENTAUX DE LA GÉOMÉTRIE : LE THÉORÈME DE THALÈS ET LE THÉORÈME DE PYTHAGORE LE THÉORÈME DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE Le théorème de Thalès Le théorème réciproque de Thalès Partage d un segment dans un rapport rationnel donné Division régulière d un segment Partage d un segment dans un rapport r, r rationnel positif LE THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE Le théorème de Pythagore Le théorème réciproque de Pythagore Une «démonstration» du théorème de Pythagore par découpage et réassemblage Conséquences (résultat qu on peut connaître par cœur mais qu on peut aussi retrouver) Diagonale d un carré de côté a Hauteur d un triangle équilatéral de côté a AUTRES RELATIONS MÉTRIQUES DANS LES TRIANGLES RECTANGLES

10 Renforcer ses compétences en mathématiques Tome 2

11 SOMMAIRE CHAPITRE IX : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. ÉQUATIONS DE DROITES CHAPITRE X : MESURES : LONGUEURS AIRES VOLUMES DURÉES VITESSES CHAPITRE XI : FONCTIONS. GÉNÉRALITÉS. FONCTIONS NUMÉRIQUES. APPLICATIONS AFFINES, LINÉAIRES. PROPORTIONNALITÉ. POURCENTAGES CHAPITRE XII : LA ROTATION DANS LE PLAN CHAPITRE XIII : AUTRES FONCTIONS NUMÉRIQUES CHAPITRE XIV : ORGANISATION DES DONNÉES. STATISTIQUE CHAPITRE XV : LE RAISONNEMENT MATHÉMATIQUE ANNEXE : FICHES DE SYNTHÈSES

12 TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE IX : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. ÉQUATIONS DE DROITES REPÈRE SUR LA DROITE REPÈRE DANS LE PLAN Repère du plan Milieu d un segment Distance dans le plan rapporté à un système d axes orthonormés ÉQUATION D UN ENSEMBLE DE POINTS ÉQUATIONS DE DROITES Forme générale des équations de droites Examen d équations particulières Équation réduite Recherche de l équation réduite d une droite donnée par 2 de ses points Coefficients directeurs et droites parallèles ou perpendiculaires RÉSOLUTION GRAPHIQUE DE SYSTÈMES D ÉQUATIONS CHAPITRE X : MESURES : LONGUEURS AIRES VOLUMES DURÉES VITESSES INTRODUCTION MESURE DES LONGUEURS MESURE DES AIRES Surfaces planes Surfaces de l espace Surfaces décomposables en surfaces planes quasi-disjointes Corps «ronds» GRANDEURS MESURABLES, REPÉRABLES MESURE DES VOLUMES MESURE DES DURÉES UNE GRANDEUR DÉRIVÉE : LA VITESSE

13 CHAPITRE XI : FONCTIONS. GÉNÉRALITÉS. FONCTIONS NUMÉRIQUES. APPLICATIONS AFFINES, LINÉAIRES. PROPORTIONNALITÉ. POURCENTAGES CONCEPT DE FONCTION LES APPLICATIONS AFFINES Définitions Représentation graphique d une application affine sur R Représentation graphique d une application affine sur une partie A de R Variation des applications affines sur une partie A de R LES APPLICATIONS LINÉAIRES DE R VERS R Définition Propriétés PROPORTIONNALITÉ Définitions Partages proportionnels POURCENTAGES ÉCHELLES CHAPITRE XII : LA ROTATION DANS LE PLAN CHAPITRE XIII : AUTRES FONCTIONS NUMÉRIQUES FONCTIONS DU DEUXIÈME DEGRÉ Fonction «carré», définie par f : R! R x! x Fonction définie par f(x) = ax 2, a étant un réel donné FONCTION «INVERSE» DÉFINIE PAR f(x) = 1/x CHAPITRE XIV : ORGANISATION DES DONNÉES. STATISTIQUE INTRODUCTION LES TABLEAUX Des tableaux pour s informer Des tableaux pour résoudre LES GRAPHIQUES Les graphes

14 2.2 Les diagrammes Diagramme en bâtons Courbe Histogramme Diagrammes circulaires Les cartes ASPECTS ÉLÉMENTAIRES DE LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE Série statistique Paramètres de position d une série statistique Mode Médiane Moyenne Paramètres de dispersion d une série statistique Étendue Variance, écart-type CHAPITRE XV : LE RAISONNEMENT MATHÉMATIQUE INTRODUCTION UNE PEU DE LOGIQUE Les propositions Calcul sur les propositions Négation d une proposition Opérateurs logiques binaires Quelques tautologies Fonctions propositionnelles. Quantificateurs QU EST-CE QUE DÉMONTRER? COMMENT SE PRÉSENTE UN PROBLÈME? Le texte Les non-dits En quoi consiste la tâche de résolution? UN RAISONNEMENT RIGOUREUX : LA DÉDUCTION Présentation Modalités selon la forme de la conclusion souhaitée Résolution de problème. Cas d un problème où la conclusion est connue AUTRES TYPES DE RAISONNEMENT L induction L analogie ANNEXE : FICHES DE SYNTHÈSES