Détection statistique d anomalies en présence de paramètres de nuisance

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Détection statistique d anomalies en présence de paramètres de nuisance"

Transcription

1 Détection statistique d anomalies en présence de paramètres de nuisance Lionel Fillatre ENST Bretagne, département Signal & Communication Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 1 / 29

2 Structure de l exposé 1 Introduction 2 Position du problème 3 Détection d anomalies (modèle linéaire) 4 Détection d anomalies (modèle non-linéaire) 5 Résultats expérimentaux 6 Conclusions Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 2 / 29

3 Structure de l exposé 1 Introduction 2 Position du problème 3 Détection d anomalies (modèle linéaire) 4 Détection d anomalies (modèle non-linéaire) 5 Résultats expérimentaux 6 Conclusions Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 3 / 29

4 Introduction Motivation générale : proposer des outils originaux pour inspecter des systèmes industriels. Problème traité : détection d une éventuelle anomalie dans un environnement inconnu, considéré comme un paramètre de nuisance, à partir d un nombre limité de données bruitées. Applications envisageables : contrôle non destructif industriel, imagerie médicale, imagerie radar, surveillance des réseaux de télécommunications,... Application considérée : contrôle non destructif par rayons X. Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 4 / 29

5 Surveillance des systèmes Modèle général : Y k = F(θ k, X k, ξ k ), k = 1, 2,... lacements Paramètres informatifs (anomalie) Nature Analyste θ k Paramètres non-informatifs (nuisance) F X k Système Y k Détection Localisation Bruit ξ k Reconfiguration Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 5 / 29

6 Structure de l exposé 1 Introduction 2 Position du problème 3 Détection d anomalies (modèle linéaire) 4 Détection d anomalies (modèle non-linéaire) 5 Résultats expérimentaux 6 Conclusions Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 6 / 29

7 Description du système étudié nts y l = 0 Source X Projection X d une fonction s : X s (t, ω)= L 0 s(t cos ω l sin ω, t sin ω+l cos ω)dl l d O lie t ω X s (t, ω) s : D s(x, y) = h(x, y) Photon X Environnement l = L x Détecteur k-ième capteur t Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 7 / 29

8 Description du système étudié nts y l = 0 Source X Anomalie Projection X d une fonction s : X s (t, ω)= L 0 s(t cos ω l sin ω, t sin ω+l cos ω)dl l d s : D s(x, y) = h(x, y) + f(x, y) O t ω X s (t, ω) Photon X Environnement l = L x Détecteur k-ième capteur t Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 7 / 29

9 Objectifs généraux Il s agit de détecter des anomalies en respectant les contraintes suivantes : Manque de données : le nombre N de projections tomographiques est très faible recherche d un modèle parcimonieux. Environnement inconnu : la présence d un paramètre de nuisance doit interférer le moins possible avec la prise de décision recherche de tests invariants. Qualité de l inspection : il est souhaitable de contrôler précisément la probabilité de fausses alarmes et la probabilité de détection de défauts lors de la procédure d inspection recherche des critères d optimalité. Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 8 / 29

10 Innovations principales des travaux Approche non bayésienne : l environnement paramétrique peut être construit par un adversaire dont le comportement ne peut pas être décrit a priori pas de distribution a priori sur les coefficients du modèle paramétrique. Optimalité vectorielle : adaptation et interprétation des critères d optimalité proposés par Wald dans le cas de la détection d anomalies interprétation précise de l optimalité. Pertes d optimalité limitées : les pertes d optimalité des procédures proposées, quand elles sont inévitables, doivent être quantifiées précisément développement de tests ε-optimaux. Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 9 / 29

11 Structure de l exposé 1 Introduction 2 Position du problème 3 Détection d anomalies (modèle linéaire) 4 Détection d anomalies (modèle non-linéaire) 5 Résultats expérimentaux 6 Conclusions Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 10 / 29

12 Modélisation de l environnement Hypothèse : l environnement est limité dans l espace et contenu dans une partie compacte D connue de R 2 (la généralisation à R 3 est immédiate). L environnement h est supposé linéairement paramétré : m h(x, y) = h µ (x, y) = µ k h k (x, y), (x, y) D, k=1 où {h 1,..., h m } est une famille connue de fonctions carrées-intégrables sur D µ = (µ 1,..., µ m ) T R m est inconnu (paramètres de nuisance). Exemple (environnement polynômial de degré 2) : h µ (x, y) = µ 1 + µ 2 x + µ 3 y + µ 4 xy + µ 5 x 2 + µ 6 y 2. Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 11 / 29

13 Modélisation de l anomalie Hypothèse : l anomalie g est définie sur un compact d D. Le contraste entre l anomalie et l environnement est défini par : g(x, y) h µ (x, y) si (x, y) d f g,µ (x, y) =. 0 si (x, y) D \ d Exemple (contraste circulaire) : f d si (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 R 2 f g,µ (x, y) = 0 sinon, avec R > 0 et (f d, x 0, y 0 ) R 3. Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 12 / 29

14 Modélisation des observations (1/2) Soient les hypothèses H 0 : { il n y a pas d anomalie } et H 1 : { une anomalie est présente }. La scène observée s est alors définie par : { h s(x, y)= µ (x, y) sous H 0, (x, y) D. f g,µ (x, y) + h µ (x, y) sous H 1 Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 13 / 29

15 Modélisation des observations (1/2) Soient les hypothèses H 0 : { il n y a pas d anomalie } et H 1 : { une anomalie est présente }. La scène observée s est alors définie par : { h s(x, y)= µ (x, y) sous H 0, (x, y) D. f g,µ (x, y) + h µ (x, y) sous H 1 Après un échantillonnage de X s (t, ω) selon les abscisses {t 1, t 2,..., t n }, le vecteur des observations Y = (X s (t 1, ω), X s (t 2, ω),..., X s (t n, ω)) T R n est : Y = θ + Hµ + ξ, avec : θ = ( X fg,µ (t 1, ω),..., X fg,µ (t n, ω) ) T H = (H 1 ω,..., H m ω ) où H k ω = (X hk (t 1, ω),..., X hk (t n, ω)) T ξ N (0, σ 2 I n ) (σ 2 connu). Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 13 / 29

16 ents Modélisation des observations (2/2) Source X Source X Photon X s ti (l) = s(t i cos ω l sin ω, t i sin ω+l cos ω) l =0 l =0 s ti (l) Environnement (x, y) h µ(x, y) (a) (b) D ω l Environnement (x, y) h µ(x, y) t l =L l =L Anomalie t i Détecteur y i = L 0 sti(l) dl (x, y) g(x, y) Détecteur H 0 : ξ + Y =Hµ+ξ H 1 : ξ + Y =θ+hµ+ξ d l D y i = L 0 sti(l) dl Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 14 / 29

17 Définition du problème statistique Au vu sur l observation Y = θ + Hµ + ξ, choisir entre H 0 ={θ =0, µ R m } et H 1 ={θ 0, µ R m }. Ce problème est invariant par rapport aux translations Y Y + HC, C R m, ce qui conduit au modèle réduit : Z = W Y = W θ + ζ avec ζ N (0, σ 2 I n q ), avec q =rank (H), W est la matrice de réjection telle que W H = 0 et W T W =P H (les lignes de W forment une base orthonormée du noyau de H), P H est la projection sur le noyau de H (P H H =0). Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 15 / 29

18 Détecteur optimal Résultat (test UPPC) Le test δ défini par : H 0 si Λ(Y ) = 1 P δ σ (Y )= 2 H Y 2 2 < λ α H 1 sinon, avec Pr (Λ(Y )>λ α θ =0)=α, est invariant, possède Uniformément la Plus grande Puissance Constante (UPPC) sur les surfaces } S c : { PH θ 2 2 = σ2 c 2 pour tout c ]0; + [. Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 16 / 29

19 Exemple graphique pour n=3 et m=1 y 3 PSfrag replacements Droite engendrée par H θ Hµ P H Y S c : θ T P H θ = σ2 c 2 P H Y 2 Y ξ P H θ y 1 O Espace noyau de H y 2 Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 17 / 29

20 Exemple graphique pour n=3 et m=1 y 3 PSfrag replacements θ Droite engendrée par H O y 2 Hµ P H Y S c : θ T P H θ = σ2 c 2 P H Y 2 Y ξ P H θ y 1 Espace noyau de H Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 17 / 29

21 Exemple graphique pour n=3 et m=1 y 3 PSfrag replacements θ Hµ Droite engendrée par H O y 2 P H Y S c : θ T P H θ = σ2 c 2 P H Y 2 Y ξ P H θ y 1 Espace noyau de H Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 17 / 29

22 Exemple graphique pour n=3 et m=1 y 3 PSfrag replacements θ Hµ ξ Droite engendrée par H O y 2 P H Y S c : θ T P H θ = σ2 c 2 P H Y 2 Y P H θ y 1 Espace noyau de H Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 17 / 29

23 Exemple graphique pour n=3 et m=1 y 3 PSfrag replacements θ Hµ Y ξ Droite engendrée par H O y 2 P H Y S c : θ T P H θ = σ2 c 2 P H Y 2 y 1 Espace noyau de H P H θ Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 17 / 29

24 Exemple graphique pour n=3 et m=1 y 3 PSfrag replacements P H Y θ Hµ Y ξ P H Y 2 Droite engendrée par H O y 2 S c : θ T P H θ = σ2 c 2 Espace noyau de H y 1 P H θ Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 17 / 29

25 Exemple graphique pour n=3 et m=1 y 3 PSfrag replacements P H Y θ Hµ Y ξ P H Y 2 Droite engendrée par H P H θ O y 2 S c : θ T P H θ = σ2 c 2 Espace noyau de H y 1 Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 17 / 29

26 Exemple graphique pour n=3 et m=1 y 3 PSfrag replacements P H Y θ Hµ Y ξ P H Y 2 Droite engendrée par H S c : θ T P H θ = σ2 c 2 P H θ O y 2 Espace noyau de H y 1 Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 17 / 29

27 Exemple numérique : géométrie connue Défaut circulaire dans un environnement polynomial Scène originale Projection à 50 : Y Λ(Y ) = < (= λ 0.01) Z = W Y y 2 0 y i z i ments x PSfrag replacements i : indice du capteur PSfrag replacements i : indice du capteur Scène originale Projection à 50 : Y Λ(Y ) = > (= λ 0.01) Anomalie Z = W Y Anomalie 6 40 y y i Anomalie z i ments PSfrag replacements PSfrag replacements x i : indice du capteur i : indice du capteur Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 18 / 29

28 Structure de l exposé 1 Introduction 2 Position du problème 3 Détection d anomalies (modèle linéaire) 4 Détection d anomalies (modèle non-linéaire) 5 Résultats expérimentaux 6 Conclusions Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 19 / 29

29 Frontières imprécises ents Source X X-photon y D 1 (η 1 ) ϱ malie d O ω t X h (t, ω) ω ξ + Y x t Détecteur X Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 20 / 29

30 Frontières imprécises ents Source X X-photon y ϱ ϱ D 1 (η 1 ) malie d O ω t X h (t, ω) ω ξ + Y x t Détecteur X Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 20 / 29

31 Frontières imprécises ents y Source X X-photon ϱ ϱ D 1 (η 1 ) { 1 si (x, y) I D1 (η 1 ) (x, y) = D1 (η 1 ) 0 sinon { }} { (x, y) h(x, y) = µ 1 h 1 (x, y) I A D 1 (η 1 ) malie d O ω t X h (t, ω) ω ξ + Y x t Détecteur X Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 20 / 29

32 Frontières imprécises ents y Source X X-photon ϱ ϱ D 1 (η 1 ) { 1 si (x, y) I D1 (η 1 ) (x, y) = D1 (η 1 ) 0 sinon { }} { (x, y) h(x, y) = µ 1 h 1 (x, y) I A D 1 (η 1 ) } {{ } malie d O ω t X h (t, ω) ω ξ + x t Détecteur X Y =H(µ)+ξ ) ( µ1 µ = η 1 Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 20 / 29

33 Frontières imprécises ents y Source X X-photon ϱ ϱ Anomalie d D 1 (η 1 ) { 1 si (x, y) I D1 (η 1 ) (x, y) = D1 (η 1 ) 0 sinon { }} { (x, y) h(x, y) = µ 1 h 1 (x, y) I A D 1 (η 1 ) } {{ } O ω t X h (t, ω) ω ξ + x t Détecteur X Y =θ+h(µ)+ξ ) ( µ1 µ = η 1 Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 20 / 29

34 Rapport de Vraisemblance Généralisé (RVG) Motivation : lorsque la géométrie est connue, le test δ est confondu avec δ RVG. Définition : le test δ RVG est défini par : H 0 si Λ RVG (Y )= ˆε 2 2 =min σ δ RVG (Y )= 2 µ R m Y H(µ) 2 2 <λ σ 2 α H 1 sinon où λ α est choisi tel que Pr(δ RVG (Y ) = H 1 θ = 0 ) = α. Inconvénients majeurs : Propriétés d optimalité inconnues dans le cas général, Calcul souvent délicat de l estimateur du maximum de vraisemblance ˆµ : ˆµ = arg min µ R m Y H(µ) 2. Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 21 / 29

35 E-optimalité : test UPPC (1/2) Motivation : les limitations du test du RVG : biais de l estimateur ˆµ, difficulté à initialiser l algorithme calculant ˆµ, instabilité numérique de l algorithme. Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 22 / 29

36 E-optimalité : test UPPC (1/2) Motivation : les limitations du test du RVG : biais de l estimateur ˆµ, difficulté à initialiser l algorithme calculant ˆµ, instabilité numérique de l algorithme. La non-linéarité de H(µ) dépend souvent d un sous-ensemble de paramètres. Exemple : H(µ) = F (r)a + Gb avec µ = (r, a, b) T et F (r), G des matrices connues. Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 22 / 29

37 E-optimalité : test UPPC (1/2) Motivation : les limitations du test du RVG : biais de l estimateur ˆµ, difficulté à initialiser l algorithme calculant ˆµ, instabilité numérique de l algorithme. La non-linéarité de H(µ) dépend souvent d un sous-ensemble de paramètres. Exemple : H(µ) = F (r)a + Gb avec µ = (r, a, b) T et F (r), G des matrices connues. Linéarisation autour des paramètres porteurs de la non-linéarité. Exemple : Y = θ + H(µ) + ξ θ + H 0 x + ξ, avec H 0 connue et x = (a, b, c) T où c désigne des paramètres de nuisance additionnels. Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 22 / 29

38 E-optimalité : test UPPC (2/2) Dans le cas idéalement linéaire Y = θ + Hµ + ξ lorsque les paramètres non-linéaires sont tous connus, les résidus ˆε = P H Y du test optimal δ sont non-biaisés. Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 23 / 29

39 E-optimalité : test UPPC (2/2) Dans le cas idéalement linéaire Y = θ + Hµ + ξ lorsque les paramètres non-linéaires sont tous connus, les résidus ˆε = P H Y du test optimal δ sont non-biaisés. Dans le cas linéarisé Y θ + H 0 x + ξ, la courbure du modèle induit un biais dans les résidus ˆε = P H 0 Y du test δ associé. Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 23 / 29

40 E-optimalité : test UPPC (2/2) Dans le cas idéalement linéaire Y = θ + Hµ + ξ lorsque les paramètres non-linéaires sont tous connus, les résidus ˆε = P H Y du test optimal δ sont non-biaisés. Dans le cas linéarisé Y θ + H 0 x + ξ, la courbure du modèle induit un biais dans les résidus ˆε = P H 0 Y du test δ associé. Si la courbure du modèle est faible et si les nuisances sont bornées par un compact K, il existe une petite constante ε 0 > 0 telle que sup sup β δ (θ, x) β δ (θ) ε 0 θ Θ m x K où β δ (θ, x) = Pr(δ(y) = H 1 θ, x), β δ (θ) = Pr(δ (y) = H 1 θ), Θ m est l ensemble des anomalies détectables selon la matrice H 0. Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 23 / 29

41 Structure de l exposé 1 Introduction 2 Position du problème 3 Détection d anomalies (modèle linéaire) 4 Détection d anomalies (modèle non-linéaire) 5 Résultats expérimentaux 6 Conclusions Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 24 / 29

42 Inspection de crayons de combustible ts D D Corps du crayon Compensateur Source X Photon X Bouchon z x y O ) yi,j Zone de soudure Détecteur i Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 25 / 29

43 Inspection de crayons de combustible ts D D Source X y Corps du crayon PSfrag replacements Compensateur Photon X Corps Zone Bouchon de soudure Rayon interne ri ya Compensateur Axe du crayon z x y O ) yi,j Zone de soudure Détecteur r Rayon externe Bouchon Zone de soudure i O x Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 25 / 29

44 Inspection de crayons de combustible ts D D Source X y Corps du crayon PSfrag replacements Compensateur Photon X Corps Zone Bouchon de soudure Rayon interne ri ya Compensateur Axe du crayon z x y O ) yi,j Zone de soudure Détecteur r Rayon externe Bouchon Zone de soudure i O x Modèle de mesures : y i,j θ i,j + h i,j (r, a, b) + ξ i,j θ i,j : atténuation de l anomalie, h i,j (r, a, b) : approximation de l atténuation du crayon (avec prise en compte du durcissement de spectre et du rayonnement diffusé), ξ i,j : bruit de mesure Gaussien. Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 25 / 29

45 Test UPPC sur données réelles PSfrag replacements y x PSfrag replacements y x Radiographie sans défaut Résidu ˆε ˆε 2 2 = < λ 0.01(= 5 222) Comparaison radiographie/résidus Radiographie PSfrag replacements Intensité Résidus p q p q y Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 26 / 29

46 Test UPPC sur données réelles PSfrag replacements y y x x PSfrag replacements PSfrag replacements y y x x Radiographie sans défaut Résidu ˆε ˆε 2 2 = < λ 0.01(= 5 222) Comparaison radiographie/résidus Radiographie PSfrag replacements Intensité Résidus p q Radiographie avec défaut p q Résidu ˆε ˆε 2 2 = > λ y Comparaison radiographie/résidus Anomalie Radiographie PSfrag replacements Intensité Anomalie Résidus PSfrag replacements pq p q y Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 26 / 29

47 E-optimalité Enveloppes ε-optimales de la courbe de puissance 10 0 Probabilité de détection PSfrag replacements β + (λ(θ)) β (λ(θ)) λ(θ) = P H θ 2 (paramètre de non-centralité pour un test idéalement linéaire) Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 27 / 29

48 Structure de l exposé 1 Introduction 2 Position du problème 3 Détection d anomalies (modèle linéaire) 4 Détection d anomalies (modèle non-linéaire) 5 Résultats expérimentaux 6 Conclusions Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 28 / 29

49 Conclusions Approche proposée : le problème de détection d une anomalie dans un environnement inconnu est traité d un point de vue statistique. Contrainte principale : les approches paramétriques contre-balancent le manque de projections mais elle nécessite une modélisation fiable des objets. Précaution d usage : il est nécessaire de bien étudier les effets secondaires de l élimination des paramètres de nuisances (linéaire ou non) : détectabilité, impact de la non-linéarité,... Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 29 / 29

MODELISATION DE DONNÉES QUALITATIVES PREMIÈRE PARTIE

MODELISATION DE DONNÉES QUALITATIVES PREMIÈRE PARTIE MODELISATION DE DONNÉES QUALITATIVES PREMIÈRE PARTIE Pierre-Louis Gonzalez 1 I INTRODUCTION 1 variable qualitative. Tri à plat. Représentations graphiques. Modélisation : loi binomiale loi multinomiale

Plus en détail

Statistique. Jean-Yves Tourneret (1) (1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA Thème 1 : Analyse et Synthèse de l Information jyt@n7.

Statistique. Jean-Yves Tourneret (1) (1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA Thème 1 : Analyse et Synthèse de l Information jyt@n7. Statistique Jean-Yves Tourneret (1) (1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA Thème 1 : Analyse et Synthèse de l Information jyt@n7.fr Cours Statistique, 2010 p. 1/52 Plan du cours Chapitre 1 : Estimation

Plus en détail

Tests statistiques Formation «Analyse de données RNA-seq/ChiP-seq»

Tests statistiques Formation «Analyse de données RNA-seq/ChiP-seq» Tests statistiques Formation «Analyse de données RNA-seq/ChiP-seq» Guy Perrière Pôle Rhône-Alpes de Bioinformatique 14 novembre 2012 Guy Perrière (PRABI) Tests statistiques 14 novembre 2012 1 / 40 Plan

Plus en détail

1/4 2/4 3/4 4/4. 10. Estimation MTH2302D. S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016. (v1) MTH2302D: estimation 1/50

1/4 2/4 3/4 4/4. 10. Estimation MTH2302D. S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016. (v1) MTH2302D: estimation 1/50 10. Estimation MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016 (v1) MTH2302D: estimation 1/50 Plan 1. Introduction 2. Estimation ponctuelle 3. Estimation par intervalles de confiance 4. Autres

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

Cours 2 6 octobre. 2.1 Maximum de vraisemblance pour une loi Gaussienne multivariée

Cours 2 6 octobre. 2.1 Maximum de vraisemblance pour une loi Gaussienne multivariée Introduction aux modèles graphiques 2010/2011 Cours 2 6 octobre Enseignant: Francis Bach Scribe: Nicolas Cheifetz, Issam El Alaoui 2.1 Maximum de vraisemblance pour une loi Gaussienne multivariée Soit

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Vision Par Ordinateur. Techniques Statistiques de la Reconnaissance de Forme. Segmentation...2. Variables Aléatoires...7

Vision Par Ordinateur. Techniques Statistiques de la Reconnaissance de Forme. Segmentation...2. Variables Aléatoires...7 Vision Par Ordinateur James L. Crowley DEA IVR Premier Bimestre 1999/00 Séance 4 26 octobre 1999 Plan de la séance : Techniques Statistiques de la Reconnaissance de Forme Segmentation...2 La Distribution

Plus en détail

Analyse en composantes principales

Analyse en composantes principales Analyse en composantes principales Alain Rakotomamonjy - Gilles Gasso. INSA Rouen -Département ASI Laboratoire LITIS Analyse en composantes principales p. 1/18 Introduction Objectifs Soit {x i } i=1,,l

Plus en détail

Bases du traitement des images. Détection de contours

Bases du traitement des images. Détection de contours Détection de contours Dominique.Bereziat@lip6.fr Contributions: N. Thome, D. Béréziat, S. Dubuisson Octobre 2015 1 / 76 Introduction Rôle primordial de la détection de contours en vision 1 Réduction d

Plus en détail

Mathieu Fauvel. 19 janvier 2007

Mathieu Fauvel. 19 janvier 2007 Méthodes à Noyaux pour L analyse de Données Mathieu Fauvel gipsa-lab 19 janvier 2007 Mathieu Fauvel (gipsa-lab) Méthodes à Noyaux 19 janvier 2007 1 / 39 Introduction 1 Présentation Générale Les Données

Plus en détail

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP)

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) SESSION DE 2005 concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) section : mathématiques deuxième composition de mathématiques (épreuve de remplacement)

Plus en détail

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense.

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense. 1 Feuille d exercices n o 1 1. Deuxième forme géométrique du théorème de Hahn-Banach Soient A E et B E deux convexes, non vides, disjoints (E est une espace vectoriel normé). On suppose que A est fermé

Plus en détail

BACCALAURÉATS PROFESSIONNELS EN 3 ANS

BACCALAURÉATS PROFESSIONNELS EN 3 ANS BACCALAURÉATS PROFESSIONNELS EN ANS Électrotechnique énergie équipements communicants Exemple de progression pédagogique Programmes : BOEN n 11 du 1/06/199 / A 8/07/99 modifié A 19/07/0 Mathématiques :

Plus en détail

Modélisation de la demande de transport

Modélisation de la demande de transport Modélisation de la demande de transport Fabien Leurent ENPC / LVMT Introduction Approche empirique Fonctions de répartition Position microéconomique : préférences et rationalité Distribution des décideurs,

Plus en détail

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

Estimateur et Estimation Prof Franck Bonnetain Unité de méthodologie & de qualité de vie en cancérologie (EA3181) CHRU Besançon

Estimateur et Estimation Prof Franck Bonnetain Unité de méthodologie & de qualité de vie en cancérologie (EA3181) CHRU Besançon PACES - APEMK UE 4 Evaluation des méthodes d analyses appliquées aux sciences de la vie et de la santé Estimateur et Estimation Prof Franck Bonnetain Unité de méthodologie & de qualité de vie en cancérologie

Plus en détail

Master de Sciences & Technologies. Année universitaire 2013 2014 Travaux dirigés et télé-enseignement : C. Audiard. Travaux pratiques Scilab N 2

Master de Sciences & Technologies. Année universitaire 2013 2014 Travaux dirigés et télé-enseignement : C. Audiard. Travaux pratiques Scilab N 2 Université Pierre et Marie Curie Bases des méthodes numériques Master de Sciences & Technologies MM006 Mention Mathématiques & Applications Cours : L. Boudin et E. Trélat Année universitaire 013 014 Travaux

Plus en détail

Tracé de lignes et de courbes planes

Tracé de lignes et de courbes planes Département d informatique Université de Toulon et du Var Plan 1 Introduction 2 Tracé de segments 3 Tracé de cercles 4 Tracé de courbes Définition Le processus de représentation d objets graphiques continus

Plus en détail

PROBABILITÉ ET CONVEXITÉ : APPLICATIONS À LA GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE (GROUPE DE LECTURE À L ENS LYON 2015) Huayi Chen

PROBABILITÉ ET CONVEXITÉ : APPLICATIONS À LA GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE (GROUPE DE LECTURE À L ENS LYON 2015) Huayi Chen PROBABILITÉ ET CONVEXITÉ : APPLICATIONS À LA GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE (GROUPE DE LECTURE À L ENS LYON 2015) Huayi Chen Le but de ce groupe de lecture est de comprendre les méthodes probabilistes dans l étude

Plus en détail

«Cours Statistique et logiciel R»

«Cours Statistique et logiciel R» «Cours Statistique et logiciel R» Rémy Drouilhet (1), Adeline Leclercq-Samson (1), Frédérique Letué (1), Laurence Viry (2) (1) Laboratoire Jean Kuntzmann, Dép. Probabilites et Statistique, (2) Laboratoire

Plus en détail

Distributions, analyse de Fourier, EDP Amphi no. 1. Distributions, Fourier, EDP

Distributions, analyse de Fourier, EDP Amphi no. 1. Distributions, Fourier, EDP Distributions, analyse de Fourier, EDP Amphi no. 1 Organisation du cours/ressources Un problème à rendre en petite classe avant les vacances de Noël Contrôle classant le lundi 20 janvier 2014 Documents

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail

Statistiques des lois à queue régulière avec l application sur les perturbations des comètes

Statistiques des lois à queue régulière avec l application sur les perturbations des comètes Statistiques des lois à queue régulière avec l application sur les perturbations des comètes Shuyan LIU Université Paris - SAMM Youri DAVYDOV et Radu STOICA Université Lille - Laboratoire Paul Painlevé

Plus en détail

Contrôle commun : 4 heures

Contrôle commun : 4 heures Exercice 1 (5 points) Contrôle commun : 4 heures PARTIE A On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f(x) = ln x + x. 1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +.. Étudier

Plus en détail

Prof.É.D.Taillard. Classification automatique @Prof. E. Taillard 1 EIVD, Informatique logiciel, 4 e semestre

Prof.É.D.Taillard. Classification automatique @Prof. E. Taillard 1 EIVD, Informatique logiciel, 4 e semestre INFORMATIQUE ORIENTATION LOGICIELS CLASSIFICATION AUTOMATIQUE Prof.É.D.Taillard Classification automatique @Prof. E. Taillard EIVD, Informatique logiciel, 4 e semestre CLASSIFICATION AUTOMATIQUE But :

Plus en détail

1.1. Le moment cinétique en mécanique classique

1.1. Le moment cinétique en mécanique classique c M Dunseath-Terao - Master 1 de Physique UR1 2006 2007 1 Complément 1 Le moment cinétique 1.1. Le moment cinétique en mécanique classique L équation du mouvement d un corps en rotation en mécanique classique

Plus en détail

Rappels (1) Objectif et plan. Rappels (2) On considère le problème modèle, supposé bien posé, Chercher uh V h tel que (1) a(u, v) = b(v)

Rappels (1) Objectif et plan. Rappels (2) On considère le problème modèle, supposé bien posé, Chercher uh V h tel que (1) a(u, v) = b(v) Rappels (1) On considère le problème modèle, supposé bien posé, { Chercher u V tel que a(u, v) = b(v) v V (1) Éléments finis en 2D Alexandre Ern ern@cermics.enpc.fr http://cermics.enpc.fr/cours/cs (V Hilbert,

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Le Global Process Control pour la surveillance de process à partir de l analyse multivariée de courbes collectées

Le Global Process Control pour la surveillance de process à partir de l analyse multivariée de courbes collectées France En partenariat avec Standards Certification Education & Training Publishing Conferences & Exhibits Le Global Process Control pour la surveillance de process à partir de l analyse multivariée de

Plus en détail

Deuxième partie II. Cours 4 à 6 : Construction d estimateurs, Modèle linéaire, Tests et intervalles de confiance

Deuxième partie II. Cours 4 à 6 : Construction d estimateurs, Modèle linéaire, Tests et intervalles de confiance Deuxième partie II Cours 4 à 6 : Construction d estimateurs, Modèle linéaire, Tests et intervalles de confiance (version corrigée, 4 avril 27) Construction d estimateurs 4 Construction d estimateurs Estimateur

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

1 Cinématique du solide

1 Cinématique du solide TBLE DES MTIÈRES 1 Cinématique du solide 1 1.1 Coordonnées d un point dans l espace......................... 1 1.1.1 Repère et référentiel................................ 1 1.1.2 Sens trigonométrique...............................

Plus en détail

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire P. HUBERT La plupart des exercices ci-dessous se trouvent dans les livres suivants : - E. Leichtnam, X. Schaeur, Exercices corrigés de mathématiques

Plus en détail

COURBES PARAMÉTRÉES. t + 1. c ex :]0, [ R n, t + Γ ex := c ex (I). c est une courbe paramétrée de classe C 2.

COURBES PARAMÉTRÉES. t + 1. c ex :]0, [ R n, t + Γ ex := c ex (I). c est une courbe paramétrée de classe C 2. COUBES PAAMÉTÉES 1 Propriétés géométriques des courbes paramétrées Soit n = 2 ou 3 et E n un espace ane associé à l'espace vectoriel n Soit une norme sur n Dénition 11 Une courbe paramétrée est une application

Plus en détail

Introduction d un biais près d une borne (pour x = ph, 0 p < 1 ) si f(x) 0. Rectification : utilisation des "boundary kernels", par exemple :

Introduction d un biais près d une borne (pour x = ph, 0 p < 1 ) si f(x) 0. Rectification : utilisation des boundary kernels, par exemple : Problème d estimation aux bornes Introduction d un biais près d une borne (pour x = ph, 0 p < 1 ) si f(x) 0. Soit a l (p) = p 1 ul K(u) du, notons que a 0 (p) < 1 E[ f(x)] = a 0 (p)f(x) h a 1 (p)f (x)+

Plus en détail

Statistiques - Notes de cours - M1. Elisabeth Gassiat

Statistiques - Notes de cours - M1. Elisabeth Gassiat Statistiques - Notes de cours - M1 Elisabeth Gassiat Table des matières 1 Introduction 5 1.1 Estimation et régions de confiance...................... 5 1.2 Tests.......................................

Plus en détail

CHAPITRE 1 CINÉTIQUE. 1.1 Masse et inertie. 1.1.1 Notions d inertie

CHAPITRE 1 CINÉTIQUE. 1.1 Masse et inertie. 1.1.1 Notions d inertie TABLE DE MATIÈRE 1 Cinétique 1 1.1 Masse et inertie................................ 1 1.1.1 Notions d inertie........................... 1 1.1.2 Masse.................................. 2 1.1.3 Centre d

Plus en détail

Inférence via distribution asymptotique Objective : Construction des intervalles de confiance (approximatifs) c 2 µ 2 m (2) σ 2

Inférence via distribution asymptotique Objective : Construction des intervalles de confiance (approximatifs) c 2 µ 2 m (2) σ 2 Inférence via distribution asymptotique Objective : Construction des intervalles de confiance (approximatifs) Soit h = c n 1/5. Donc, par conséquent d un TCL, pour n : Estimateur localement linéaire :

Plus en détail

PHYSIQUE. Lampe à incandescence et bilans thermiques. Partie I - Lampe à incandescence en régime permanent

PHYSIQUE. Lampe à incandescence et bilans thermiques. Partie I - Lampe à incandescence en régime permanent PHYSIQUE Lampe à incandescence et bilans thermiques Partie I - Lampe à incandescence en régime permanent IA - Détermination de la température du filament Le filament d une ampoule à incandescence est constitué

Plus en détail

et Transversalité par Pierre Vogel

et Transversalité par Pierre Vogel Université Paris 7 Denis Diderot Institut de Mathématiques de Jussieu Géométrie des Variétés et Transversalité par Pierre Vogel Introduction Ce cours est destiné à l étude des variétés différentiables

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Résumé de Math Sup et compléments : algèbre linéaire

Résumé de Math Sup et compléments : algèbre linéaire Résumé de Ma Sup et compléments : algèbre linéaire I - Espaces vectoriels - Sous espaces vectoriels 1) Structure de K-espace vectoriel Soient K un sous-corps de C et E un ensemble non vide muni d une l.d.c.i.

Plus en détail

Reconnaissance des formes

Reconnaissance des formes Reconnaissance des formes Discrimination A. Belaïd LORIA - Nancy Discrimination linéaire Notion d hyperplan Discrimination linéaire Principe Une forme x R d (vecteur forme) Rôle de la Trouver D : R d x

Plus en détail

Validation numérique de l homogénéisation pour un modèle simplifié de stockage avec sources aléatoires

Validation numérique de l homogénéisation pour un modèle simplifié de stockage avec sources aléatoires Validation numérique de l homogénéisation pour un modèle simplifié de stockage avec sources aléatoires Introduction Modélisation de la migration de radionucléide Vers un modèle probabiliste Calcul des

Plus en détail

Econométrie des modèles de durée

Econométrie des modèles de durée Econométrie des modèles de durée Guillaume Horny Banque de France et UCLouvain Master 2 MOSEF Guillaume Horny (Banque de France) Econométrie des durées (chap 1) 2009 1 / 70 Introduction Introduction Pourquoi

Plus en détail

Analyse des algorithmes distribués pour l approximation stochastique dans les réseaux de capteurs

Analyse des algorithmes distribués pour l approximation stochastique dans les réseaux de capteurs Analyse des algorithmes distribués pour l approximation stochastique dans les réseaux de capteurs Directeur de thèse: Pascal BIANCHI Département: Traitement du Signal et des Images Télécom ParisTech 28/02/15

Plus en détail

Le second degré. Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d un problème :

Le second degré. Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d un problème : Chapitre 1 Ce que dit le programme Le second degré CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Second degré Forme canonique d une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant.

Plus en détail

I. ÉTUDE DES FONCTIONS SIN ET COS

I. ÉTUDE DES FONCTIONS SIN ET COS I. ÉTUDE DES FONCTIONS SIN ET COS Les propriétés mises en évidence au thème précédent vont permettre d étudier les fonctions trigonométriques { { R R R R cos : et sin : x cosx) x sinx). On fixe un repère

Plus en détail

L2 ÉCONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE MÉTHODES MATHÉMATIQUES 3. Alexandre VIDAL

L2 ÉCONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE MÉTHODES MATHÉMATIQUES 3. Alexandre VIDAL L2 ÉCONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE MÉTHODES MATHÉMATIQUES 3 Alexandre VIDAL Dernière modification : 11 janvier 2011 Table des matières I Généralités et rappels sur les fonctions 1 I.1 Définition....................................

Plus en détail

Algorithmes de descente par blocs pour l apprentissage creux

Algorithmes de descente par blocs pour l apprentissage creux Algorithmes de descente par blocs pour l apprentissage creux Mehdi Meghzifene 11//211 1 Table des matières 1 Introduction 3 1.1 Principe......................................... 3 2 Résolution 4 2.1 Minimisation

Plus en détail

Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur. Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147

Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur. Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147 Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147 14 Janvier 2015 2 Il est impossible d envisager l étude des méthodes

Plus en détail

Modélisation de matériaux photoréfractifs

Modélisation de matériaux photoréfractifs Modélisation de matériaux photoréfractifs B. Bidégaray-Fesquet Laboratoire de Modélisation et de Calcul CNRS, Grenoble Journées EDP Rhône-Alpes, 2006 B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux

Plus en détail

ETUDE DES E VI V B I RATIO I N O S

ETUDE DES E VI V B I RATIO I N O S ETUDE DES VIBRATIONS 1 Chapitre I - Présentation et définitions 2 Les objectifs à atteindre: 1) Savoir décrire le modèle de l'oscillateur harmonique et savoir l'appliquer à l'étude des systèmes physiques

Plus en détail

Calculs et Fonctions. Commandes Calculs et Fonctions

Calculs et Fonctions. Commandes Calculs et Fonctions Calculs et Fonctions Commandes Calculs et Fonctions Asymptote CercleOsculateur Coefficients Courbe CourbeImplicite Courbure Degré Dénominateur Dérivée ElémentsSimples Extremum Facteurs Fonction Intégrale

Plus en détail

Exercice 1. [Échauffement sur quelques inclusions] 2. Soient p, q [1, ]. Quelle inclusion y a-t-il entre L p et L q? Cette inclusion est-elle

Exercice 1. [Échauffement sur quelques inclusions] 2. Soient p, q [1, ]. Quelle inclusion y a-t-il entre L p et L q? Cette inclusion est-elle ENS de Lyon TD 1 21/09/2015 M1 - Analyse Avancée Exercice 1. [Échauffement sur quelques inclusions] 1. Soient p, q [1, ]. Quelle inclusion y a-t-il entre l p et l q? Cette inclusion est-elle continue?

Plus en détail

Pierre BOURDET sept. 96 - fev. 2005. Tolérancement géométrique

Pierre BOURDET sept. 96 - fev. 2005. Tolérancement géométrique Tolérancement géométrique Modèle nominal - Réel - Écarts Géométrie nominale Représentation du réel Écarts Écarts Nuage de points Éléments de substitution Tolérancement : spécifier les limites de variation

Plus en détail

Estimation indirecte en sciences humaines : une méthode bayésienne

Estimation indirecte en sciences humaines : une méthode bayésienne Estimation indirecte en sciences humaines : une méthode bayésienne Henri Caussinus, Institut de Mathématiques de Toulouse, en collaboration avec Daniel Courgeau, INED Isabelle Séguy, INED Luc Buchet, CNRS

Plus en détail

Reconstruction d'images pour la caméra Compton. Application à la détection des γ de fragmentation.

Reconstruction d'images pour la caméra Compton. Application à la détection des γ de fragmentation. Reconstruction d'images pour la caméra Compton. Application à la détection des γ de fragmentation. Voichiµa Maxim, Xavier Lojacono, Rémy Prost 25/05/2012 Plan 1 Imagerie de contrôle en hadronthérapie 2

Plus en détail

Thèse de statistiques dans une PME : La localisation intra-muros WiFi

Thèse de statistiques dans une PME : La localisation intra-muros WiFi Thèse de statistiques dans une PME : La localisation intra-muros WiFi Thierry Dumont 1 1 Bureau E 20 Bât.G, Université Paris Ouest, 200 Av. République Nanterre France Résumé. Cet exposé revient sur la

Plus en détail

3D Compléments de cours. Guy GREISEN

3D Compléments de cours. Guy GREISEN 3D Compléments de cours Guy GREISEN 14 septembre 2009 3D 3 Table des matières 1 SECOND DEGRÉ 6 1.1 Introduction................................................ 6 1.2 Formule générale.............................................

Plus en détail

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Arithmétique Algorithmique http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Partie III Algorithmes classiques 1 Coût de la multiplication et de la division 2 Exponentiation rapide 3 Algorithme d Euclide

Plus en détail

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ TRINÔME DU SECOND DEGRÉ Définition On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur IR qui, à x associe f(x) = ax 2 + bx + c, a, b et c étant trois réels avec a 0. Exemple Les

Plus en détail

Animation et manipulation de papier froissé

Animation et manipulation de papier froissé Animation et manipulation de papier froissé Camille Schreck Encadrants : Stefanie Hahmann (LJK-Inria/Imagine), Damien Rohmer (CPE Lyon, Inria/Imagine) 14 Novembre 2013 C. Schreck (Imagine) papier froissé

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, texte d exercice diffusé en 2012 Épreuve de modélisation, option informatique

Agrégation externe de mathématiques, texte d exercice diffusé en 2012 Épreuve de modélisation, option informatique Agrégation externe de mathématiques, texte d exercice diffusé en 2012 Épreuve de modélisation, option informatique Résumé : A partir du problème de la représentation des droites sur un écran d ordinateur,

Plus en détail

FONCTIONS CONVEXES. Chapitre 3. 3.1 Notations et définitions préliminaires

FONCTIONS CONVEXES. Chapitre 3. 3.1 Notations et définitions préliminaires Chapitre 3 FONCTIONS CONVEXES 3.1 Notations et définitions préliminaires L étude des fonctions convexes montrera que celles ci sont continues sur tout l intérieur de leur domaine de définition et qu elles

Plus en détail

Estimation de la durée de vie résiduelle et optimisation de la maintenance prédictive : application à des véhicules industriels

Estimation de la durée de vie résiduelle et optimisation de la maintenance prédictive : application à des véhicules industriels Estimation de la durée de vie résiduelle et optimisation de la maintenance prédictive : application à des véhicules industriels Elias KHOURY 1 E. DELOUX 1, A. GRALL 1 et C. BERENGUER 2 1 Université de

Plus en détail

Les théorèmes de Gerschgorin et de Hadamard

Les théorèmes de Gerschgorin et de Hadamard Localisation des valeurs propres : Quelques propriétés sur les disques de Gerschgorin. Jean-Baptiste Campesato 22 septembre 29 Gerschgorin est parfois retranscrit en Gershgorin, Geršgorin, Hershhornou

Plus en détail

TD de Physique n o 10 : Interférences et cohérences

TD de Physique n o 10 : Interférences et cohérences E.N.S. de Cachan Département E.E.A. M2 FE 3 e année Physique appliquée 2011-2012 TD de Physique n o 10 : Interférences et cohérences Exercice n o 1 : Interférences à deux ondes, conditions de cohérence

Plus en détail

Exercices de rentrée MPSI-PCSI

Exercices de rentrée MPSI-PCSI Exercices de rentrée MPSI-PCSI Lycée Saint-Louis 015-016 Introduction Cette feuille d exercices s adresse aux élèves rentrant en MPSI ou en PCSI au lycée Saint- Louis Il s agit d exercices qui sont entièrement

Plus en détail

Apprentissage Automatique Numérique

Apprentissage Automatique Numérique Apprentissage Automatique Numérique Loïc BARRAULT Laboratoire d Informatique de l Université du Maine (LIUM) loic.barrault@lium.univ-lemans.fr 16 septembre 2015 1/42 Problème classique Automatique Autre

Plus en détail

Plan. Définition et Objectifs Analyse discriminante Régression logistique Arbres de décision Réseaux bayésiens Exemple

Plan. Définition et Objectifs Analyse discriminante Régression logistique Arbres de décision Réseaux bayésiens Exemple La classification Plan Définition et Objectifs Analyse discriminante Régression logistique Arbres de décision Réseaux bayésiens Exemple Définition et Objectifs Prévoir l appartenance à une «classe» non

Plus en détail

Modélisation des codes de calcul dans. le cadre des processus gaussiens

Modélisation des codes de calcul dans. le cadre des processus gaussiens Modélisation des codes de calcul dans le cadre des processus gaussiens Amandine Marrel Laboratoire de Modélisation des Transferts dans l Environnement CEA Cadarache Introduction (1) Fiabilité et calcul

Plus en détail

L estimation du modèle a priori Décompter les ddl

L estimation du modèle a priori Décompter les ddl L estimation du modèle a priori Décompter les ddl ------------ François Cheptou Juin 004 Dans le programme de mathématiques BTS Chimiste, trois modèles a priori sont étudiés. ) = µ (modèle simple) ) =

Plus en détail

L2 2011/2012 USTV. Analyse. numérique M43. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour

L2 2011/2012 USTV. Analyse. numérique M43. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour L / Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire USTV M Analyse numérique G FACCANONI Dernière mise-à-jour Jeudi mai Avertissement : ces notes sont régulièrement mises à jour et corrigées, ne vous étonnez

Plus en détail

Chapitre I Théorie de la ruine

Chapitre I Théorie de la ruine Chapitre I Théorie de la ruine Olivier Wintenberger ISUP 2, Université Paris VI (slides Olivier Lopez) Année universitaire 2013-2014 1 Risque collectif 2 Modélisation des coûts de sinistres 3 Probabilité

Plus en détail

Section 3 - Méthode des prix hédoniques

Section 3 - Méthode des prix hédoniques Section 3 - Méthode des prix hédoniques L3 économétrie - Modélisation et inférence statistique Florence Goffette-Nagot GATE CNRS - Université Lyon 2 - ENS-LSH XX Section 3 - Estimation de prix hédoniques

Plus en détail

CPGE MPSI Programme de khôlle. Programme de khôlle. - Semaines 7 et 8 - (24/10 au 10/11) Bases de l optique géométrique

CPGE MPSI Programme de khôlle. Programme de khôlle. - Semaines 7 et 8 - (24/10 au 10/11) Bases de l optique géométrique Programme de khôlle - Semaines 7 et 8 - (24/10 au 10/11) Bases de l optique géométrique 1. Savoir que la lumière est une onde électromagnétique, se propagent de manière omnidirectionnelle à partir d une

Plus en détail

Introduction à l optimisation

Introduction à l optimisation Chapitre 1 Introduction à l optimisation 1.1 Problématique 1.1.1 Cadre Un problème d optimisation consiste, étant donnée une fonction f : S R, àtrouver: 1) son minimum v (resp. son maximum) dans S 2) un

Plus en détail

PLAN Analyse d images Morphologie et Segmentation

PLAN Analyse d images Morphologie et Segmentation PLAN Analyse d images et Segmentation L.Chen, J.Y.Auloge. INTRODUCTION. DEFINITIONS 3. VISION HUMAINE ET SYSTEMES DE COULEURS 4. ECHANTILLONNAGE ET QUANTIFICATION. TRANSFORMATIONS D IMAGES 6. AMELIORATION

Plus en détail

Influence des conditions de bord dans les réseaux d automates booléens à seuil et application à la biologie

Influence des conditions de bord dans les réseaux d automates booléens à seuil et application à la biologie Influence des conditions de bord dans les réseaux d automates booléens à seuil et application à la biologie Sylvain Sené Directeurs de thèse Jacques Demongeot et Michel Morvan 15 octobre 2008 S. Sené Réseaux

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin

Plus en détail

Définition d une norme

Définition d une norme Définition d une norme Définition E est un K-ev. L application N : E R + est une norme sur E ssi 1. x E, N(x) = 0 x = 0. 2. k K, x E, N(k.x) = k N(x). 3. x, y E, N(x + y) N(x) + N(y) Notation N,. Propriété

Plus en détail

Régression logistique

Régression logistique Régression logistique Gilles Gasso. INSA Rouen -Département ASI Laboratoire LITIS Régression logistique p. 1 Introduction Objectifs Le classifieur de Bayes est basé sur la comparaison des probabilités

Plus en détail

Bases du Modèle Linéaire

Bases du Modèle Linéaire AgroParisTech Bases du Modèle Linéaire J.J. Daudin, E. Lebarbier, C. Vuillet Table des matières 1 Introduction 3 2 Estimation des paramètres 5 2.1 Estimation des paramètres de l espérance......................

Plus en détail

Chapitre 8: Inférence, échantillonnage et estimation

Chapitre 8: Inférence, échantillonnage et estimation Chapitre 8: Inférence, échantillonnage et estimation 1. Echantillonnage aléatoire simple 2. Inférence statistique 3. Estimation 4. Evaluation graphique de l adéquation d un modèle de distribution 1 L inférence

Plus en détail

Rapport de Recherche. 1 Estimation fonctionnelle en temps continu. 1.1 Vitesses de convergence pour l estimateur à noyau. (D. Blanke - Mars 2008)

Rapport de Recherche. 1 Estimation fonctionnelle en temps continu. 1.1 Vitesses de convergence pour l estimateur à noyau. (D. Blanke - Mars 2008) Rapport de Recherche (D. Blanke - Mars 2008) L essentiel de mes activités de recherche porte sur l estimation fonctionnelle ou paramétrique pour des processus. L ensemble de ces travaux peut se diviser

Plus en détail

Cours de Mathématiques 2

Cours de Mathématiques 2 Cours de Mathématiques 2 première partie : Analyse 2 DEUG MIAS 1 e année, 2 e semestre. Maximilian F. Hasler Département Scientifique Interfacultaire B.P. 7209 F 97275 SCHOELCHER CEDEX Fax : 0596 72 73

Plus en détail

Rapport de stage Mise à plat d'un polygone

Rapport de stage Mise à plat d'un polygone Rapport de stage Mise à plat d'un polygone Stagiaire : Sejjil Olfa Tuteurs de stage: Luc BIARD et Bernard LACOLLE Laboratoire: Jean Kuntzmann (LJK) Equipe: Modélisation Géométrique & Multirésolution pour

Plus en détail

Statistique de base avec R Partie 2 : Test d hypothèses et régression linéaire

Statistique de base avec R Partie 2 : Test d hypothèses et régression linéaire Statistique de base avec R Partie 2 : Test d hypothèses et régression linéaire Julien JACQUES Polytech Lille - Université Lille 1 Julien JACQUES (Polytech Lille) Statistiques de base 1 / 48 Plan 1 Tests

Plus en détail

Reconnaissance de Forme Statistique

Reconnaissance de Forme Statistique Reconnaissance de Forme Statistique James L. Crowley Deuxième Année ENSIAG Deuxième semestre 2002/2003 Séance 7 7 avril et 26 mars 2003 PCA et la discriminante linéaire de Fisher Plan de la séance : L'analyse

Plus en détail

Statistique (MATH-F-315, Cours #3)

Statistique (MATH-F-315, Cours #3) Statistique (MATH-F-315, Cours #3) Thomas Verdebout Université Libre de Bruxelles 2015 Plan de la partie Statistique du cours 1. Introduction. 2. Théorie de l estimation. 3. Tests d hypothèses et intervalles

Plus en détail

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11.1. Espaces vectoriels, algèbres 11.1.1. Structure d espace vectoriel et d algèbre 11.1.2. Combinaisons linéaires 11.1.3. Espaces vectoriels et algèbres

Plus en détail

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Auteur : Alain Ladureau DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS TI-Nspire CAS 1. Objectifs Découvrir la notion de développement limité. Utiliser des développements limités dans l étude locale des fonctions. Les appliquer

Plus en détail

Conditions de piégeage d une particule dans un piège optique. Cas d un piège à un faisceau focalisé

Conditions de piégeage d une particule dans un piège optique. Cas d un piège à un faisceau focalisé Conditions de piégeage d une particule dans un piège optique Cas d un piège à un faisceau focalisé Faisceau laser z 0 r Faisceau laser z Faisceau gaussien TEM 00 θ z R r w 0 z Faisceau gaussien TEM 00

Plus en détail

CHAPITRE 5 EXERCICES 5.2 0,1 ( 4; 0,10) 2. y. Chapitre 5 Régression et modélisation 43. f (x) = 1,8 x (3; 5,83) (2; 3,24) (1; 1,8) (0; 1)

CHAPITRE 5 EXERCICES 5.2 0,1 ( 4; 0,10) 2. y. Chapitre 5 Régression et modélisation 43. f (x) = 1,8 x (3; 5,83) (2; 3,24) (1; 1,8) (0; 1) Chapitre 5 Régression et modélisation CHAPITRE 5 EXERCICES 5.. 0 7 f () =,8 (;,8) (;,) (; 5,8) 0,7 0,5 0, 0, 0, ( ; 5 0,) ( ; 0,7) (0; ) 9( ; 0,5) 0, ( ; 0,0) 0 5 7 8 9.,0 0,7 0,5 0, 0, 0, 0, 5 7 0 Chapitre

Plus en détail

Sourour Ammar. To cite this version: HAL Id: tel-00568136 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00568136

Sourour Ammar. To cite this version: HAL Id: tel-00568136 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00568136 Modèles Graphiques Probabilistes pour l Estimation de Densité en grande dimension : applications du principe Perturb & Combine pour les mélanges d arbres Sourour Ammar To cite this version: Sourour Ammar.

Plus en détail

Variational method for 3D image segmentation.

Variational method for 3D image segmentation. June 6, 2013 3D Magnetic Resonance Images Figure : 3D MRI images of mouse vascular network. The Segmentation Problem We want to detect structures that can be modeled as small section tubes. Problems: High

Plus en détail