Application des lois de Newton et des lois de Kepler

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1 Application des lois de Newton et des lois de Kepler Actiités Chapitre 6 1 Proenons-nous dans les chaps (p ) A Étude epérientale d un oueent dans le chap de pesanteur unifore 1 a a (s ) ate (s),3,5,7,9 c 1,5 1, () 5 1 a y Graphiqueent, on obtient : a s et a y k 1 1 s b 3 (s 1 ) a,5 ate (s),,1,3,5,7,9 On obtient : (t) 1,9 t,8,6,4, y () On obtient : y (t) 5, t + 4,1 t ; k 4 5, k 1 1 ate (s),1,3,5,7,9 Graphiqueent, on obtient : k, s 1,,8,6,4,,,4,6,8 ate (s) y () y (s 1 ) 4 ate (s),,4,6,8 4 On obtient : y 9,8 t + 4, ; k 1 9,8 s et k 3 4, s 1,5 1,5 1,5 () On obtient : y 1,4 +, 3 a Coparaison : a i 1 j Les coordonnées du ecteur accélération sont identiques, au iprécisions de esure près, à celles du ecteur chap de pesanteur g : a s et a y 1 s ; g s et g y 9,8 s b ans ce référentiel terrestre considéré galiléen, la deuièe loi de Newton appliquée au centre de la balle de asse s écrit : ΣF dp Hachette Lire, 1 Physique Chiie Terinale S spécifi que, Lire du professeur La photocopie non autorisée est un délit 56

2 On a : ΣF P g La asse de la balle ne ariant pas, on peut écrire : dp d( ) d a d où : a g, soit a g On retroue donc le résultat epériental 4 a Le ecteur accélération est défi ni coe étant la dériée teporelle du ecteur itesse : a d a d et a y d y a s, la priitie de par rapport au teps est une constante, d où cte a y 1 s, la priitie d une constante A par rapport au teps est de la fore A t + B d où : y a y t + y Epérientaleent, on obtient : s -1 et y 9,8 t + 4, b Le ecteur itesse est défi ni coe étant la dériée teporelle du ecteur position : d, d et y dy cte, la priitie par rapport au teps d une constante s écrit t + y a y t + y, la priitie par rapport au teps d une fonction A t + B est de la fore : 1 A t + B t + C donc : y 1 a y t + y t + y Epérientaleent, on obtient : (t) 1,9 t et y (t) 5, t + 4,1 t 5 a Voir le cours g y ( cos α) + tan α Epérientaleent, on obtient : y 1,4 +, b Par identifi cation : g 1,4 et tan α, ( cos α) B Siulation de oueents dans des chaps unifores 6 ans un référentiel terrestre considéré galiléen, la deuièe loi de Newton appliquée à un point atériel P de asse s écrit : ΣF dp On a : ΣF P g La asse du point atériel ne ariant pas, on peut écrire : dp d où d( ) d a a g, soit a g Le oueent du systèe ne dépend pas de sa asse g 7 L équation étant y ( cos α) + tan α, l allure de la trajectoire dépend de la aleur de la itesse initiale, de la aleur g du chap de pesanteur, ainsi que de l angle α entre l horizontale et le ecteur 8 ans un référentiel terrestre considéré galiléen, la deuièe loi de Newton appliquée à un point atériel P de asse s écrit : ΣF dp On a : ΣF F q E La asse du point atériel ne ariant pas, on peut écrire : dp d( ) d a d où : a q E, soit a q E L accélération et donc le oueent du systèe dépendent de sa asse q E 9 L équation étant y ( cos α) + tan α, l allure de la trajectoire dépend de la aleur de la itesse initiale, de l angle α entre l horizontale et le ecteur, de la asse du point atériel, de la aleur E du chap électrostatique ainsi que de sa charge électrique q 1 ans un référentiel donné, les paraètres pouant aoir une infl uence sur le oueent du systèe sont : Paraètres relatifs au systèe Masse Charge électrique Paraètres relatifs au conditions initiales Vecteur itesse initial Position initiale Paraètres relatifs au ilieu etérieur Chap de pesanteur g Chap électrostatique E Hachette Lire, 1 Physique Chiie Terinale S spécifi que, Lire du professeur La photocopie non autorisée est un délit 57

3 Lois de Kepler (p ) B Vérification des trois lois de Kepler pour la planète Mercure S Preière loi de Kepler C Méthode de recherche du deuièe foyer S de l ellipse : S Tracer deu segents [AB] et [E] parallèles et de êe longueur, aec A, B, et E quatre points de l ellipse B E Tracer les diagonales [AE] et [B] Elles se coupent en C, le centre de l ellipse Le deuièe foyer S est le syétrique de S par rapport à C 1 Pour ettre en éidence la preière loi de Kepler, choisir différents points M sur la trajectoire de Mercure et esurer les distances MS et MS Vérifi er que leur soe est constante Eeples de esures : La preière loi de Kepler est bien érifi ée MS (piels) MS (piels) MS + MS (piels) euièe loi de Kepler Le oueent de Mercure n est pas unifore, la aleur de la itesse de la planète augente lors de son passage à proiité du Soleil 3 Groupe 1 Groupe Groupe 3 Groupe 4 Moyenne s n 1 En piels En % 3,73 % 3,56 % 3,55 % 3,61 % 3,78 % 3,88 % 3,87 % 3,75 % 3,7 %,13 % La collecte des esures des différents groupes éite un trop grand nobre de esures à chacun (éliiner les aleurs anifesteent fausses, liées à des erreurs de zonage) A L incertitude de répétabilité associée à un nieau de confi ance de 95 % s eprie par : U (S) k σ n 1 dn où k,37 et n 8 (oir fi che n o 3, p 584 du anuel) : U (S), piels d8 L incertitude relatie aut 3 % La deuièe loi de Kepler est érifi ée Troisièe loi de Kepler 4 Planète Mercure Vénus Terre Mars T (j) 87,93 4,7 365,5 686,73 a (piels) a (ua),78 1,4, 3, T a 3 en j ua 3 1, , , ,4 1 5 Valeur oyenne : 1, j ua 3 Écart-type : σ n 1 7, j ua 3 L incertitude de répétabilité associée à un nieau de confi ance de 95 % s eprie par : U (S) k σ n 1 dn où k 3,18 et n 4 (oir fi che n o 3, p 584 du anuel) : U ( T 7,47 13 a ) 3 3,18 1,19 1 d4 4 j ua 3 L incertitude relatie aut 8,6 % La troisièe loi de Kepler est érifi ée pour ces quatre planètes 5 La aleur oyenne du rapport T a pour aleur : a3 1, j ua 3 1,38 15 (4 36) (1, ) 3 4π G M soleil 3, s 3 4π 6, , 1 3, s 3 L écart relatif est d eniron 3 % On peut considérer que les aleurs sont égales Hachette Lire, 1 Physique Chiie Terinale S spécifi que, Lire du professeur La photocopie non autorisée est un délit 58

4 3 Satellisation (p ) 1 a Les satellites géostationnaires perettent de toujours obserer la êe zone de la surface de la Terre et d aoir des inforations en teps réel b Il faut égaleent utiliser des satellites à orbite polaire pour pouoir obtenir conenableent la situation étéo des pôles En effet, les satellites géostationnaires situés dans le plan équatorial ne peuent pas aoir une obseration précise des pôles No Masse (kg) Altitude (k) Période Année de lanceent Utilisation eeter h 39 in 4 Obserations géophysiques Gioe A h 5 in 5 Systèe de positionneent Galileo Hot Bird 7A h 54 in 6 Télécounications (TV) Jason in 8 Obserations des océans après la troisièe loi de Kepler : cte T a 3 Cette constante peut être calculée grâce au inforations que l on donne sur le satellite Gioe A : ( ) cte ( ) 3 9, s 3 Pour calculer l altitude z : z ( cste) T 1/3 R T Ainsi z (Jason-) 133 k et z (Meteosat-9) k Pour calculer la période T : T (cte (R T + z) 3 ) 1/ Ainsi, T (eeter) s, soit 1 h et 39 in et T (Hot Bird 7A) 86 s, soit 3 h et 54 in Eercices QCM (p ) 1 1 C ; B ; 3 B ; 4 A ; 5 A ; 6 A ; 7 C ; 1 B ; B ; 3 A ; 4 B et C Application iédiate 3 éteriner la trajectoire d une particule dans un chap unifore 1 Le systèe est le proton ; on choisit un référentiel terrestre supposé galiléen pour étudier son oueent après la deuièe loi de Newton : F p a aec F e E et E ( E) d où : a ( a a y e E p ) 3 a Les aleurs de 1 et sont : 1 d G M T R T 1 d 6, , , , s 1 7, d 1,1 1 4 s 1 b Pour qu un objet soit satellisé, il faut qu il reste en orbite autour de la Terre, donc que la aleur de sa itesse soit coprise entre les aleurs des deu itesses cosiques 4 Les déchets qui restent en orbite, circulaire ou elliptique, autour de la Terre sont des satellites En entrant en collision aec des satellites/astronautes à grande itesse, ces déchets constituent un danger, d autant que les plus petits d entre eu sont diffi cileent repérables et que toute collision augente le nobre de débris ( cos α y sin α ) ( cos α y e E t + sin p α) ( cos α t y 1 e E t + sin α t p ) Équation de la trajectoire : y 1 e E p cos α + tan α La trajectoire est une portion de parabole 3 Lorsque la particule sort au point S : S y s 1 e E p cos α + tan α Le proton sort au point S de coordonnées : OS ( S 1, 1 y S 1,47 1 ) Hachette Lire, 1 Physique Chiie Terinale S spécifi que, Lire du professeur La photocopie non autorisée est un délit 59

5 4 Calculer une période de réolution Systèe : {satellite} noté S de asse ; référentiel sélénocentrique Bilan des forces : force graitationnelle F L/S eercée par la Lune sur le satellite L application de la deuièe loi de Newton conduit à : a F L/S L epression de la force d attraction graitationnelle eercée par la Lune est : F L/S G M L (r + z) n G M L (r + z) Il ient : a n a G M L (r + z) n Il n y a pas d accélération tangentielle, donc la aleur de la itesse est constante Ce oueent circulaire est donc unifore En identifi ant l epression ci-dessus à : a d t + (r + z) n on en déduit : r + z G M L (r + z) d où : d G M L r + z, soit 1,68 13 s 1 T est la durée pour effectuer un tour Elle est égale au périètre de la trajectoire circulaire diisé par la aleur de la itesse du satellite : π (r + z) T soit T 6,5 1 3 s Pour coencer 5 Faire un inentaire de forces Systèe : {cycliste} Bilan des forces etérieures appliquées au centre de graité du systèe : poids, réaction de la route, forces de frotteent de l air, poussée d Archiède Systèe : {satellite} Bilan des forces etérieures appliquées au centre de graité du systèe : force d attraction graitationnelle eercée par la Terre F T/S Systèe : {Terre} Bilan des forces etérieures appliquées au centre de graité du systèe : force d attraction graitationnelle eercée par le Soleil F T/S 6 Eprier le ecteur accélération 1 Systèe : {bille} de asse Référentiel terrestre considéré galiléen Bilan des forces etérieures : poids après la deuièe loi de Newton : ΣF P g e plus, la asse de la balle ne ariant pas, on peut écrire : dp d( ) d a d où : g a, soit a g ans le repère (O ; i, j ) choisi, a i g j 3 Les coordonnées du ecteur a sont : a ( g) 7 Eprier le ecteur itesse 1 À t, la itesse est : ( cos α y sin α) a a d b On cherche la priitie teporelle de chaque coordonnée du ecteur accélération : ( cos α α) y e E t sin 8 Eprier le ecteur position 1 On a choisi un référentiel terrestre adapté au oueent de la boule Voir le cours, docuent 4a, p 164 du anuel 3 À t, ( ) sin j O i cos 4 d Une intégration peret de déteriner les coordonnées du ecteur position à partir de celles du ecteur itesse : ( cos α t y 1 g t + sin α t) 9 Étudier un lancer de poids 1 a La trajectoire d un point est l enseble des positions successies occupées par ce point au cours de son oueent Son équation est du type y f () b La relation (C) doit être éliinée, car elle est du type y f (t) a À t, le poids P est à une hauteur y h : OP ( h) b On éliine l équation (A) où l ordonnée de P à t est nulle (B) est l équation de la trajectoire : y 1 ( g 1 Faire une analyse diensionnelle g cos α) + tan α + h T représente la période de réolution de la planète epriée en seconde r représente le rayon de la trajectoire circulaire eprié en ètre Hachette Lire, 1 Physique Chiie Terinale S spécifi que, Lire du professeur La photocopie non autorisée est un délit 6

6 M S représente la asse du Soleil epriée en kilograe G est la constante de graitation unierselle : G 6, kg 1 s On écrit l unité de chaque ebre de l epression : T r 3 4π G M S Preier ebre euièe ebre Mebre T r 3 Unité s 3 4π G M S 1 3 kg 1 s kg s 3 Chacun des ebres de l epression ayant la êe unité, l epression est bien hoogène 11 Illustrer les lois de Kepler 1 ans le référentiel géocentrique, la trajectoire du centre du satellite est une ellipse dont le centre de la Terre est l un des foyers Le segent de droite [TS] reliant la Terre au satellite balaie des aires égales pendant des durées égales A 1 et A ont les êes surfaces 1 1 écrire le oueent d une planète 1 Un oueent circulaire unifore est un oueent dont la trajectoire est un cercle (ou une portion de cercle) qui est parcourue aec une itesse de aleur constante Le oueent de Vénus (le systèe) est étudié dans le référentiel héliocentrique Après aoir fait l inentaire des forces eercées sur Vénus et défi ni le repère (n ; t ), on applique la deuièe loi de Newton Le ecteur itesse sera déduit du ecteur accélération ainsi obtenu On en déduit la aleur de la itesse de Vénus Pour s entraîner 13 Phobos 1 Systèe : {Phobos} de asse M Ph et référentiel arsocentrique (oir le schéa, p 171) Bilan des forces etérieures s eerçant sur Phobos : F M/Ph F M/Ph G M M M Ph r n, aec M M la asse de Mars L application de la deuièe loi de Newton conduit à : a F M/Ph M Ph T S Il ient : a G M M M Ph r M Ph n soit a G M M r n 3 En identifi ant cette epression à : a d t + r n, r u d u on en déduit : w u G M M q r r L égalité d entraîne que la aleur de la itesse de Phobos est constante Ce oueent circulaire est donc unifore 14 Orientation du chap 1 Le systèe cation étudié dans un référentiel terrestre considéré galiléen est souis à la force électrostatique F q E et à son poids que l on négligera après la deuièe loi de Newton : a q E Puisqu un cation est chargé positieent, le ecteur accélération est colinéaire et de êe sens que le chap électrostatique a E doit être ertical ascendant b E doit être horizontal ers la gauche Pour le systèe anion, on a de êe a q E ais aec une charge électrique négatie Le ecteur accélération est colinéaire au chap électrostatique et de sens opposé a E doit être ertical descendant b E doit être horizontal ers la droite 3 eu ions isotopes auront la êe charge ais des asses différentes Puisque l accélération dépend de la asse du systèe, ces ions ne seront pas accélérés de la êe anière par un chap électrostatique unifore 15 À chacun son rythe 1 Schéa de la situation : y i O h d Le oueent du systèe {pierre}, assiilé à un point, est étudié dans un référentiel terrestre supposé galiléen Il n est souis qu à son poids dans l hypothèse d une chute libre H + M r t P + n Hachette Lire, 1 Physique Chiie Terinale S spécifi que, Lire du professeur La photocopie non autorisée est un délit 61

7 Sachant que la asse de la pierre ne arie pas, la deuièe loi de Newton s écrit : P dp a g a 3 Pour un ae horizontal orienté dans le sens du oueent et un ae ertical ers le haut : a (t) et a y (t) g a d donc le ecteur itesse a pour coordonnées : (t) C et y (t) g t + C y Sachant qu à t : () i cos α et y () i sin α, il ient, par identifi cation : (t) i cos α et y (t) g t + i sin α d, une seconde intégration donne les équations horaires : (t) i cos α t + y (t) 1 g t + i sin α t + y Sachant qu à t, () et y () h, il ient, par identifi cation : (t) i cos α t y (t) 1 g t + i sin α t + h On retroue les équations proposées 4 L équation de la trajectoire est obtenue en éliinant le teps dans la cobinaison des équations horaires : t i cos α d où : y () 1 g i cos α + tan α + h 5 On calcule l ordonnée du point atteint par le caillou quand son abscisse est égale à d, : 9,8, y (,) 1 cos + tan 6, +, (6 ) y (,) 4,7 Le bas de la fenêtre étant à 4,5 au-dessus du sol et sa hauteur égale à 1,, la pierre atteindra bien la fenêtre de Juliette 16 Manquera, anquera pas? 1 Schéatisation de la situation à la date initiale : h Bip-Bip d Enclue a Systèe {enclue} assiilée à son centre de graité G On choisit l origine du repère au nieau du sol et on oriente l ae ertical (Oz) ers le haut L enclue est souise à son poids et, en négligeant toute autre force, la deuièe loi de Newton conduit, dans ce référentiel galiléen, à a g z H Une preière intégration donne : ( g t) Une seconde intégration donne : ( H) g t + Les coordonnées du ecteur position sont les équations horaires du oueent b Il s agit d un oueent rectiligne, uniforéent accéléré 3 La chute est terinée à t f lorsque z (t f ), g t f + H t f d H g L application nuérique donne : t f d 3,,47 s 9,81 4 ans le référentiel terrestre choisi, le oueent de Bip-Bip est rectiligne unifore Sa itesse est constante 5 Soit t B la date à laquelle l enclue atteint la cote z h (c est la cote correspondant à la hauteur de Bip- Bip) : (H h) t B d g t B d 8,8,4 s 9,81 Or, le teps is par Bip-Bip pour atteindre l endroit où tobera l enclue est : t E d, aec 3,6 s 1 t E 5, 1,64 s 3,6 t B ` t E, donc Bip-Bip est passé au point de chute aant que l enclue ne l atteigne Il ne se fait pas assoer 17 Étude du canon à électrons 1 a Systèe : {électron} de asse e et référentiel terrestre considéré galiléen Bilan des forces etérieures : force électrostatique F après la deuièe loi de Newton et coe la asse de l électron est constante : F e a Or, F e E (a donc : a e E ) e a y Par intégration et sachant que ( y ) : ( e E ) t e y b d + y e E e t Hachette Lire, 1 Physique Chiie Terinale S spécifi que, Lire du professeur La photocopie non autorisée est un délit 6

8 Par intégration, sachant qu à t, la particule est en O : ( 1 e E ) t e y 3 a On connaît la position de l électron en B : B d 3, 1 On en déduit t B, date à laquelle il atteint la plaque B : d où : t B d e e E d B e E e t B e E e d e e E d B d e E d e b AN : B d 1, , 1 4 3, 1 9, B, s 1 18 Neptune et Galatée 1 a Pour Galatée : Q 5, s 3 b L incertitude est : U (Q ) Q d ( U (T ) T ) + ( 3 U (a) a ) U (Q) Q d (,1,49 ) + ( 3,1 6,19 ) U (Q) 6,7 1 3 Q U (Q) s 3 c Encadreent de la aleur Q : 5, s 3 ~ Q ~ 5, s 3 a Pour Neptune : Q 5, s 3 b U (Q ) s 3 c Encadreent de la aleur Q : 5, s 3 ~ Q ~ 5, s 3 3 Les interalles calculés pour Q et Q se recoupent On peut écrire : Q Q, soit T a 3 4π G M N La troisièe loi de Kepler est bien érifi ée 19 Kepler third law Traduction du tete : «La troisièe loi de Kepler est etrêeent iportante pour les astronoes Parce qu elle et en jeu la asse, elle peret au astronoes de calculer la asse de n iporte quel objet astronoique ayant un satellite Les astronoes déterinent les asses de tous les objets astronoiques en appliquant la troisièe loi de Kepler à leurs orbites Ils calculent la asse du Soleil en étudiant les orbites des planètes Ils calculent la asse des planètes en étudiant les orbites de leurs lunes Si les lunes n ont pas de satellites, pour calculer leur asse, les astronoes doient enoyer une sonde (satellite artifi ciel) qui sera souise à leur chap de graitation» 1 a Le carré de la période de réolution T d une planète autour du Soleil est proportionnel au cube du dei-grand ae a de son orbite elliptique : T a 3 cte b Cette loi a peris de déteriner les asses des étoiles à partir de l étude des orbites des planètes et la asse des planètes à partir de l étude des orbites de leurs «lunes» c Si l objet céleste n a pas de satellite, il faut enoyer une sonde orbiter autour de lui Les esures de la période de réolution et de son rayon de trajectoire perettront de déteriner la asse du corps céleste a Le systèe {lune} de asse est souis, en preière approiation, à une unique force d attraction graitationnelle eercée par Jupiter J On applique la deuièe loi de Newton à la Lune : a F G M R n a G M R n En identifi ant cette epression à a d t + r n, on en déduit : r u d u w u q R G M R Par suite : F d G M R La période de réolution T de la lune est la durée pendant laquelle elle effectue un tour (distance parcourue π R) Sa itesse est donc π R (1) T T π R On élèe au carré, puis on replace par l epression (1) : T 4π R 3 G M On retroue ainsi la troisièe loi de Kepler : T b G 4π R 3 M T R 3 4π G M cte d où M 4π R 3 G T Grandeur n Unité R 3 3 M kg T s 4π L Sans unité G 4π R 3 M T 3 kg s 3 kg 1 s La constante unierselle de graitation a pour unité 3 kg 1 s Hachette Lire, 1 Physique Chiie Terinale S spécifi que, Lire du professeur La photocopie non autorisée est un délit 63

9 3 et 4 Io Ganyède Europe Callisto T R M 1,8 J s 7, J 64 8 s 3,5 J 3 4 s 16,5 J s Moyenne :, 1 7 kg Valeur théorique : 1,9 1 7 kg 4,5 1 5 k 1,6 1 7 kg 1,1 1 6 k, 1 7 kg Poids ou force électrostatique 1 a F e e E b F e e E F 1, , 1 15 N a P e e g b P e e g P e 9, ,1 1 3 N 3 a P e F e 9, , k, 1 7 kg 1 6 k,3 1 7 kg P e < F e, on peut donc négliger le poids de l électron deant la force 1 électrostatique b La déiation des électrons est due à la force électrostatique Pour aller plus loin 1 e l optique aec des électrons! 1 Systèe : {électron}, noté M Référentiel d étude : référentiel terrestre considéré galiléen Repère spatial (O ; i, k ) aec i ers la droite Inentaire des forces : force électrostatique : F e E Elle est erticale descendante La deuièe loi de Newton donne a e E Les coordonnées du ecteur ( accélération sont : a ) e E Par intégration, sachant qu à t, on a : 1 ( 1 sin i 1 1 cos i 1) on obtient les coordonnées du ecteur itesse de l électron : ( 1 sin i 1 e E t + 1 cos i 1) Par intégration, sachant qu à t, on a : OM ( ) on obtient les coordonnées du ecteur position de l électron ou les équations horaires de son oueent : OM ( 1 sin i 1 t z e E t + 1 cos i 1 t) e la preière équation, on obtient t : t 1 sin i 1 La seconde deient : e E z () ( 1 sin i 1 ) 1 + tan i 1 C est l équation de la trajectoire de l électron 3 a La trajectoire de l électron est parabolique b Au soet S, le ecteur itesse, tangent à la trajectoire, a une coposante erticale nulle c après la question précédente, on a : ( S 1 sin i ) 1 S Sz e E t S + 1 cos i 1 d Sz e E t S + 1 cos i 1, t S 1 cos i 1 e E e En utilisant l epression de l équation horaire de la question 1, on peut écrire : z S e E t S + 1 cos i 1 t S En replaçant t S par son epression : e E ) z S e E ( 1 cos i 1 z S ( 1 cos i 1 ) e E + 1 cos i 1 1 cos i 1 e E ( 1 1 ) ( 1 cos i 1 ) e E 4 L électron atteint la zone supérieure à condition que la cote du soet de sa trajectoire soit supérieure ou égale à d, ce qui entraîne : ( 1 cos i 1 ) d e E E X ( 1 cos i 1 ) e d Il faut que la aleur du chap E ne soit pas trop grande pour que l électron puisse sortir au-dessus de la grille supérieure 5 a Maintenant, l électron n est plus souis à aucune force (son poids est négligeable par hypothèse), donc, d après la preière loi de Newton, l électron est en oueent rectiligne unifore b Au point de sortie, qui appartient à la trajectoire parabolique, toutes les équations des questions 1 et sont érifi ées En particulier, la itesse horizontale s eprie par 1 sin i 1 e plus : sin i 1 sin i 1 c Après les grilles, la trajectoire de l électron est rectiligne L électron est déié à la traersée du dispositif Les angles d incidence et d éergence érifi ent la relation : 1 sin i 1 sin i Hachette Lire, 1 Physique Chiie Terinale S spécifi que, Lire du professeur La photocopie non autorisée est un délit 64

10 Cette relation est analogue à la loi de Snell-escartes de la réfraction de la luière On peut donc dire que le faisceau d électrons est réfracté par ce dispositif Quelle est la asse de Jupiter? 1 a La force de graitation eercée par Jupiter de asse M sur le satellite de asse est : F J/S G M r n b Schéatisation de la force F J/S : + J r F J/S t S + n Systèe : {satellite} et référentiel jupitocentrique Bilan des forces etérieures s eerçant sur le satellite : la force F J/S de graitation eercée par Jupiter L application de la deuièe loi de Newton conduit à : Il ient : a a F J/S G M r a G M r n En identifi ant cette epression à a d t + r n, on en déduit : r u d u w u q r G M r L égalité d entraîne que la aleur de la itesse du satellite est constante Ce oueent circulaire est donc unifore et d G M r 3 La aleur de la itesse du satellite est indépendante de sa asse et elle est d autant plus grande que le rayon de l orbite est petit Le satellite le plus rapide est celui qui est le plus proche de Jupiter 4 La période de réolution est la durée ise par le satellite pour décrire sa trajectoire circulaire à la itesse de aleur constante : πr T T π r n π d r3 G M 5 a La représentation graphique proposée est une droite passant par l origine, donc le carré de la période est proportionnel au cube de la distance entre les centres, soit T k r 3, k étant le coeffi cient directeur de la droite On retroue la troisièe loi de Kepler dans le cas d un oueent circulaire : T r 3 cte b Le résultat de la question 4 peret d écrire : T 4π r 3 ou T G M 4π r3 G M En coparant aec le résultat de la question 5a, il ient : k 4π G M M 4π G k 4π M 6, , M 1,9 1 7 kg 3 Particule alpha dans un chap électrostatique unifore 1 La particule α est un noyau d héliu 4 He Elle est constituée de protons et de neutrons Elle est donc chargée positieent q e, soit q 3, 1 19 C Pour être déiée ers le haut la particule doit être attirée par la plaque C qui doit être négatie, et repoussée par la plaque qui doit être positie 3 Le chap électrostatique E est perpendiculaire au aratures et orienté de l arature chargée positieent ers l arature chargée négatieent La force électrostatique F q E, aec q ` C, est colinéaire et de êe sens que E y O F C 4 Systèe : {particule α} de asse α Référentiel terrestre supposé galiléen Repère : (O ;, y) Bilan des forces etérieures : force électrostatique F après la deuièe loi de Newton : F α a Or : F q E, aec E U d (a d) d où : a a y q U α Par intégration, sachant que ( y ) : ( t) y q U α d Par intégration, sachant qu à t la particule est en O, on obtient les équations horaires de la particule α : ( t ) y 1 q U α d t E Hachette Lire, 1 Physique Chiie Terinale S spécifi que, Lire du professeur La photocopie non autorisée est un délit 65

11 En éliinant t, on obtient l équation de la trajectoire : y 1 q U α d 5 a Lorsque la particule sort au point S, : y 1 e U α d b U α d y e U 6, , 1 (5, 1 5 ) 1, 1 1, (5, 1 ) U C 1, V 4 Le hockey sur gazon 1 Le oueent de la balle est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen associé au repère (O;, z) Coordonnées du ecteur B à t s : ( B B cos α ) Bz B sin α Coordonnées du ecteur position à t s : ( B z B h) 3 La balle n est souise qu à son poids, donc d après la deuièe loi de Newton : a g Par projection dans le repère (O;, z), on obtient : a ( a a z g) Par intégration, étant donné les conditions initiales : ( B cos α z g t + B sin α ) 4 Quel que soit le point de la trajectoire, les coordonnées du ecteur itesse en ce point sont : ( B cos α z g t + B sin α) La coordonnée horizontale du ecteur itesse, B cos α, est une constante qui ne dépend pas de la position du point G Au soet S de la trajectoire, le ecteur itesse de la balle est horizontal, donc Sz La nore du ecteur itesse au point S est alors : S d S + y S S B cos α Ainsi S B cos α 14, cos (3) S 1,1 s 1 5 d Par intégration, et en tenant copte des conditions initiales () B et z () z B h, on obtient : ( B cos α t + B z 1 B) g t + B sin α t + z ) g t + B sin α t + h ( B cos α t z 1 6 Équation de la trajectoire : on isole le teps «t» de la preière équation que l on reporte dans l epression de z : donc : z 1 g ( Finaleent : t B cos α + ( B cos α) B sin α) B cos α + h z 1 ( g B cos α) C est une équation de parabole + tan α + h 7 Pour que le but soit arqué, il faut, pour d, que X z (d) X L Pour d 15 : z (d) 1 g ( d B cos α) 14, cos 3) z (d) 1 9,8 ( 15, z (d) 1,6 + tan α d + h + tan 3 15, +,4 On a donc bien X z (d) X L, aec L,14 Le but est arqué 5 Le cercle des planètes disparues 1 Le carré de la période de réolution T d une planète autour du Soleil est proportionnel au cube du dei-grand ae a de l orbite elliptique : a 3 cte On applique la troisièe loi de Kepler à Pluton et Éris éoluant autour du Soleil : Or : donc : alors : T É a 3 É T É T P a 3 P T a3 É P a 3 P T É ( 557 ans) 1 T P ( 48 ans) a 3 É a 3 P T É T P ou a 3 É 1 a3 P a É 1 a P : l orbite d Éris se situe au-delà de celle de Pluton 3 On utilisera un référentiel dont le centre est confondu aec le centre de graité d Éris et dont les aes sont dirigés ers trois étoiles lointaines supposées fi es On pourrait parler de référentiel «ériscentrique» Ce référentiel est considéré coe galiléen 4 a On considère le oueent circulaire unifore de ysnoia dans le référentiel «ériscentrique» Le satellite ysnoia est souis, en preière approiation, à une unique force d attraction graitationnelle eercée par Éris, F É/ u É É T F É/ Hachette Lire, 1 Physique Chiie Terinale S spécifi que, Lire du professeur La photocopie non autorisée est un délit 66

12 On applique la deuièe loi de Newton à ysnoia, M étant constante : F É/ M a M a G M É M u R É d où : a G M É u R É b Le ecteur accélération est porté par le rayon de la trajectoire (il est radial) et est orienté ers le centre de la trajectoire (il est centripète) 5 a La période de réolution T de ysnoia est la durée pendant laquelle ysnoia effectue un tour (distance parcourue : π R ) Sa itesse est π R T Soit : T π R (1) Le oueent de ysnoia est circulaire et unifore, l accélération est centripète, de aleur : a R En coparant aec l epression de la question 4a : R G M É R d G M É R 3 En reportant dans l epression (1), on obtient : T π d R 3 G M É En éleant cette relation au carré, on retroue la troisièe loi de Kepler : T R 3 4π cte G M É car G et M É sont constantes b après la troisièe loi de Kepler, on a : G M É 4π R 3 T M É 4π R 3 G T 4π (3,6 1 7 ) 3 M É 6, (1,3 1 6 ) 1,63 1 kg 6 M É 1,63 1 1,4 M P 1,3 1 La asse d Éris est un peu plus grande que celle de Pluton Si Éris n est pas considérée coe une planète, alors Pluton, qui a une asse oins iportante que celle d Éris, ne l est pas non plus Éris et Pluton sont en fait des représentants des «planètes naines» 6 Principe de la spectroétrie de asse 1 Les cations sont souis à la force électrostatique F q E, aec q 1 après la deuièe loi de Newton, cette force est colinéaire à l accélération et de êe sens Pour accélérer les ions, il faut que itesse et accélération soient dans le êe sens, ici celui de i, donc il faut orienter E dans la direction et le sens de PP a Un oueent circulaire unifore est un oueent de trajectoire circulaire et de aleur de itesse constante (l accélération est alors centripète) b a i d i t + i n R i c À partir des inforations de l énoncé, on applique la deuièe loi de Newton à l ion i de asse constante, souis à la force de Lorentz dans le référentiel terrestre galiléen Or : a i q i i B n i Cela peret d écrire : r u d u w i u q i i B q R i Rearque : la preière égalité ontre effectieent que le oueent est unifore e la deuièe égalité, il ient : R i i i B q i d Le rayon de la trajectoire peut aussi s écrire, copte tenu des epressions des aleurs des itesses initiales : R i d i E d q i B Le rayon dépend donc de la asse et de la charge de l ion Chaque ion aura sa propre trajectoire circulaire, il sera possible de les séparer en fonction de leur asse et de leur charge 3 Les ions sont des systèes isolés, une fois sortis de la chabre de déiation On préoit donc un oueent rectiligne unifore d après la preière loi de Newton 4 En ionisant l uraniu, on obtient des ions isotopes (35 et 38) Ils possèdent la êe charge ais des asses différentes Il est donc possible de les séparer ou de décourir de noueau isotopes (il y en a autant que de trajectoires obserées dans la chabre de déiation) i 7 Un record qui tient toujours 1 La trajectoire d un oueent rectiligne uniforéent accéléré est une droite ; les ecteurs itesse et accélération du systèe sont colinéaires et de êe sens ; la aleur du ecteur accélération est constante a P j O y i est la itesse initiale du sauteur, le point O correspond à son point d appui b Systèe : P, centre de graité du sauteur Référentiel d étude : référentiel terrestre considéré galiléen S Hachette Lire, 1 Physique Chiie Terinale S spécifi que, Lire du professeur La photocopie non autorisée est un délit 67

13 Repère (O ;, y) aec l ae horizontal orienté ers la droite et l ae ertical ers le haut Inentaire des forces etérieures : le poids après la deuièe loi de Newton : a g a ( g) En calculant une priitie teporelle de chacune des coordonnées du ecteur accélération et en tenant copte de la itesse initiale du sauteur : ( cos α g t + sin α) On en déduit le ecteur position, sachant qu à l instant initial, le sauteur est à l abscisse et que son centre de graité se situe à l ordonnée z h ( cos α t y 1 h) g t + sin α t + On éliine le teps en cobinant ces équations horaires pour obtenir l équation de la trajectoire : t cos α y 1 g ( cos α) + tan α + h 3 a La longueur l du saut correspond à l abscisse de P lorsque y (P) On doit résoudre : 1 g ( cos α) + tan α + h Les solutions sont : tan α + d tan g h α + ( cos α) 1 g ( cos α) tan α d tan g h α + ( cos α) et g ( cos α) On ne garde que la solution positie,, physiqueent acceptable b La longueur est 1,5 c La longueur est surestiée par ce odèle : les forces de frotteent de l air ne peuent être négligées, le sauteur ne peut pas tout à fait être odélisé par son centre de graité 4 On eploite une idéo (prise de côté, dans le plan de la trajectoire, le sautoir peut serir d étalon de longueur), on repère la position de G à interalles (courts) de teps réguliers et à partir de (t) et y (t), on calcule dans un tableur (t), a (t) et on trace la trajectoire de G Retour sur l ouerture du chapitre 8 Halley la Bleue! 1 «En tenant copte de l attraction graitationnelle de Jupiter et de Saturne,» J LALANE et A C CLAI- RAULT ont affi ré que la coète réapparaîtrait à une certaine date, ce qui a effectieent eu lieu Leur préision a donc peris de alider les lois de la écanique newtonienne Preière loi de Kepler : loi des orbites ans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre de graité d une planète est une ellipse dont le centre de graité du Soleil est l un des foyers euièe loi de Kepler : loi des aires Le segent de droite reliant les centres de graité du Soleil et de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales Troisièe loi de Kepler : loi des périodes Pour toutes les planètes du systèe solaire, le rapport entre le carré de la période de réolution T et le cube de la longueur a du dei-grand ae est égal à une êe constante : T a 3 cte 3 La nature elliptique de la trajectoire illustre la preière loi (aec le Soleil au foyer) 4 a après le tete, la période de réolution T de la coète est peu différente de 76 ans b T ( ) a3 (17,9 1, ) 3 3, 1 19 s 3 La trajectoire de la coète de Halley n est pas circulaire, ais la constante de Kepler a la êe aleur pour le oueent d un astre autour du Soleil pour une trajectoire elliptique ou circulaire Son epression a été établie dans le cours (p 167 du anuel) et aut : 4π 3, 1 G M 19 s 3 S La troisièe loi de Kepler est bien érifi ée Coprendre un énoncé 9 Pesanteur artienne 1 a g M G M M G M T R M 1 R M b g M 3,46 s g T G M T 9,77 s R T g T 9,77 g M 3,46,8 a Les coordonnées du ecteur position sont : ( M cos α t t) y M 1 g M t + sin α Hachette Lire, 1 Physique Chiie Terinale S spécifi que, Lire du professeur La photocopie non autorisée est un délit 68

14 b En éliinant le teps : y M 1 g M ( cos α) M + tan α M 3 a Sur Terre : y M 1 g T ( cos α) + tan α b La longueur du saut est l abscisse non nulle pour laquelle y M ( M ) s annule : g M ( cos α) M tan α Sur Terre : T ( cos α) tan α g T M T g T g M,8 Le saut artien sera presque trois fois plus long que sur la Terre 4 Le cœur continuera de fonctionner coe sur la Terre Le sang éjecté restera plus dans la partie haute du corps, car la pesanteur est oins forte, d où une suralientation desw parties supérieures M ( cos α) tan α g M Hachette Lire, 1 Physique Chiie Terinale S spécifi que, Lire du professeur La photocopie non autorisée est un délit 69