Plan. Formulations. Écriture matricielle Plaque, coque. Interpolation de Lagrange et Hermite Élément quadrangulaire. Éléments tridimensionnels

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Plan. Formulations. Écriture matricielle Plaque, coque. Interpolation de Lagrange et Hermite Élément quadrangulaire. Éléments tridimensionnels"

Transcription

1 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D Méthode des Éléments Finis : Éléments 2D et 3D Plan Formulations Élasticité 3D Écriture matricielle Plaque, coque Élément Finis de membrane Éléments isoparamétriques Intégration numérique Interpolation de Lagrange et Hermite Élément triangulaire Élément quadrangulaire Contrôle des éléments Éléments tridimensionnels

2 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 2 Rappels d élasticité [repère cartésien de référence - petites perturbations] Déplacement : vecteur u u i Déformations : tenseur ε = ε i j = 2 (u i, j + u j,i ) Contraintes : tenseur σ σ i j Loi de comportement : relation σ ε σ = Eε σ i j = E i jkl ε kl E est le tenseur d élasticité, dépend de E et ν (élasticité linéaire, isotrope, homogène). Énergies : Travail des forces extérieurs : U = ε i j σ i j dd = ε i j E i jkl ε kl dd 2 D 2 D T = ρ u i u i dd 2 D W ext = fi d u i dd Fi d u i ds D D

3 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 3 Écriture matricielle Comportement : σ xx ε xx {σ} = [E]{ε} {σ} = σ yy σ zz σ xy {ε} = ε yy ε zz ε xy σ xz σ yz ε xz ε yz Matrice d élasticité : [E] = E( ν) ( + ν)( 2ν) ν +ν ν +ν ν ν +ν ν ν +ν ν ν ( 2ν) ( ν) ( 2ν) 0 2( ν) ( 2ν) 2( ν) Élasticité bidimensionnelle : σ xx σ yy = σ xy ν +ν 0 ν +ν ( 2ν) 2( ν) ε xx ε yy ε xy

4 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 4 Écriture matricielle Déplacement : Déformations : u {u} = v w {ε} = [D]{u} [D] = x y y 0 z x 0 y z z 0 x Élasticité bidimensionnelle : ε xx ε yy ε xy = x 0 0 y y x u v

5 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 5 Plaques - coques Plaque : w v u Coque : w v u Cinématique : Tension (Membrane) : u et v mouvement dans le plan de la plaque (idem problème bidimensionnel) Flexion : w mouvement hors plan

6 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 6 problèmes 2D : maillage Couverture du domaine D par des éléments bidimensionnels (triangles, quadrangles,... ). Approximation de la géométrie. Possibilité d utiliser des éléments à bords courbes. Maillage automatique. Approximations en 2D et en 3D : de la géométrie (maillage), de la solution u(x, y,t) = n i= q i (t)ϕ i (x,y), de la répartition des masses (matrice de masse diagonale).

7 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 7 Élément de membrane triangulaire y 3 2 x Continuité : du déplacement aux nœuds mais surtout au travers des arêtes. Interpolation polynomiale de degré : u(x,y) = a 0 + a x + a 2 y v(x,y) = b 0 + b x + b 2 y u(x i,y i ) = a 0 + a x i + a 2 y i = u i (6eq. - 6inc.) v(x i,y i ) = b 0 + b x i + b 2 y i = v i u(x,y) = ϕ (x,y)u + ϕ 2 (x,y)u 2 + ϕ 2 (x,y)u 3 v(x,y) = ϕ i (x,y)v i u u v = ϕ 0 ϕ 2 0 ϕ ϕ 0 ϕ 2 0 ϕ 3 v u 2 v 2 = [ϕ(x,y)]{q e } u 3 v 3

8 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 8 Élément de membrane triangulaire Interpolation : Les fonctions de base ϕ i sont bilinéaires en x et y : ϕ 3 3 ϕ 2 3 ϕ Énergies élémentaires : élément d épaisseur h (cste) U e = 2 {q e} [h T D T e = 2 { q e} [ρ T Travaux élémentaires : ] [ϕ(x,y)] T [D] T [E][D][ϕ(x,y)]dxdy {q e } D ] [ϕ(x,y)] T [ϕ(x,y)]dxdy { q e } force volumique { f d (x,y)} : W e = {q e } {h T D } [ϕ(x,y)] T { f d (x,y)}dxdy force linéique {F d (x,y)} sur l arête 2 : } W e = {q e } {h T [ϕ(x,y)] T {F d (x,y)}ds 2

9 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 9 Élément de membrane triangulaire Interpolation bilinéaire du déplacement : déformations constantes contraintes constantes Discontinuité des contraintes d un élément à l autre Déséquilibre local. Élément C 0. Éléments d ordre supérieur (biquadratiques ou bicubiques) et surtout C Les fonctions de base utilisées sont propres à chaque élément : elles dépendent de : la taille, de la forme de l élément Éléments isoparamétriques Les intégrations sur l élément et sur ses arêtes peuvent être délicates. Intégration numérique Éléments isoparamétriques Mêmes difficultés en 3D

10 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 0 Éléments isoparamétriques Élément de référence commun à tous les éléments du même type : η T y 2 T 2 x Espace de référence (,η) Transformation géométrique : x(,η) = φ (,η)x + φ 2 (,η)x 2 + φ 3 (,η)x 3 y(,η) = φ i (,η)y i φ i bilinéaires : éléments réels droits φ i biquadratiques : éléments réels courbes Choix des fonctions de forme : φ i degré φ i = degré ϕ i : éléments isoparamétriques φ i = ϕ i degré φ i degré ϕ i : éléments sous-paramétriques degré φ i degré ϕ i : éléments sur-paramétriques

11 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D Éléments isoparamétriques Fonctions de base dans l espace de référence : ϕ i (,η) Calcul des déformations : η = x x η y y η x y = [J] x y [J] est la matrice jacobienne de la transformation dépend des positions des nœuds et des dérivées des fonctions de forme. Son inverse existe pour des géométries standards : x y = [J] η et dxdy = det[j] ddη D réel D réf permet le calcul des déformations en tout point de l élément de référence : {ε} = [B(,η)]{q e } Énergies élémentaires : élément d épaisseur h (cste) ] U e = 2 {q e} [h T [B] T [E][B]dxdy {q e } D réel ] = 2 {q e} [h T [B] T [E][B]det[J]ddη {q e } D réf T e =...

12 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 2 Éléments isoparamétriques : généralisation y η T 2 T 2 x y T 2 - T 2 x y η T ζ z x

13 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 3 Intégration numérique Intégration numérique = somme pondérée des valeurs prises par la fonction en un certain nombre de points particuliers. D réf f (,η)ddη = r i= w i f ( i,η i ) Méthode de Gauss : La plus utilisée en éléments finis D f ()d = r i= w i f ( i ) les points ( i ) de Gauss et les poids (w i ) sont calculés pour intégrer de manière exacte les polynômes de degré m le plus élevé possible : 2D méthode directe (triangles) D réf 2D méthode produit (quadrangle) m = 2r f (,η)ddη = r i= w i f ( i,η i ) f (,η)ddη = r i= r 2 w i w j f ( i,η j ) j= 3D idem... formulaires

14 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 4 Éléments triangulaires de Lagrange Élément de Lagrange à 3 nœuds 3 η ϕ (,η) = η ϕ 2 (,η) = ϕ 3 (,η) = η 2 = λ (,η) = λ 2 (,η) = λ 3 (,η) élément de classe C 0, premier degré, polynômes complets les λ i sont les coordonnées barycentriques. Élément de Lagrange à 6 nœuds 3 η ϕ i (,η) = λ i (2λ i ), i =,...,3 ϕ 4 (,η) = 4λ λ 2 ϕ 5 (,η) = 4λ 2 λ 3 ϕ 6 (,η) = 4λ 3 λ élément de classe C 0, deuxième degré, polynômes complets

15 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 5 Élément triangulaire de Hermite Élément de Hermite à 4 nœuds 3 η 4 2 Les 0 fonctions de base sont les polynômes de Hermite : les 4 polynômes P i qui valent au nœud i et 0 aux autres (i =...4). les 3 polynômes P j, qui valent 0 en tous nœuds et dont la dérivée par rapport à vaut au nœud j (j =,2,3). les 3 polynômes P j,η qui valent 0 en tous nœuds et dont la dérivée par rapport à η vaut au nœud j (j =,2,3). Troisième degré, polynômes complets Élément de classe C 0 seulement Nbre de ddl différent sur le nœud milieu Nœud interne éliminé par condensation Trop compliqué...

16 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 6 Éléments quadrangulaires de Lagrange Élément de Lagrange à 4 nœuds 4 η 3 ϕ (,η) = ( )( η) ϕ 2 (,η) = ( η) ϕ 3 (,η) = η ϕ 4 (,η) = ( )η 2 Élément de classe C 0, premier degré, polynômes complets Élément de Lagrange à 9 nœuds 4 η η élément de classe C 0, deuxième degré, polynômes complets Nœud interne éliminé par condensation Élément de Lagrange à 8 nœuds ( Serendipity )

17 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 7 Convergence des éléments Approximation (Ritz) : des fréquences et des modes en excès par rapport aux valeurs réelles (si les conditions de continuité et les CL géométriques sont assurées). Convergence de la solution EF vers la solution réelle lorsque la taille des éléments tend vers 0 : conditions complémentaires à remplir (état de déformation constant, inf-sup, HBB,... ) Patch Test donne une condition suffisante de convergence : un élément est soumis à un état de déformation uniforme, le test vérifie que cet état se retrouve dans la solution. Tests standards publiés par les organismes de contrôle. La non convergence ne vient pas forcément des éléments : Éléments non conformes (pas de continuité aux interfaces), Intégration réduite : les polynômes ne sont pas intégrés exactement. Calcul d erreur a posteriori. Adaptativité. Maillage 2. Calcul d une solution 3. Calcul de l erreur locale (et des tailles optimales) 4. R lage

18 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 8 Éléments tridimensionnels Tétraèdres : 4 et 0 nœuds Pyramides : 5 et 3 nœuds Prismes : 6 et 5 nœuds Cubes : 8 et 20 nœuds

Rappels (1) Objectif et plan. Rappels (2) On considère le problème modèle, supposé bien posé, Chercher uh V h tel que (1) a(u, v) = b(v)

Rappels (1) Objectif et plan. Rappels (2) On considère le problème modèle, supposé bien posé, Chercher uh V h tel que (1) a(u, v) = b(v) Rappels (1) On considère le problème modèle, supposé bien posé, { Chercher u V tel que a(u, v) = b(v) v V (1) Éléments finis en 2D Alexandre Ern ern@cermics.enpc.fr http://cermics.enpc.fr/cours/cs (V Hilbert,

Plus en détail

Utilisation de la méthode des éléments finis

Utilisation de la méthode des éléments finis Simulation numérique des équations multi-physiques Institut FEMTO-ST, Université de Bourgogne Franche-Comté et CNRS, 15 B avenue des Montboucons, F-25030 Besançon Cedex, France vincent.laude@femto-st.fr

Plus en détail

Yves Debard. Institut Universitaire de Technologie du Mans Département Génie Mécanique et Productique

Yves Debard. Institut Universitaire de Technologie du Mans Département Génie Mécanique et Productique Élasticité Yves Debard Institut Universitaire de Technologie du Mans Département Génie Mécanique et Productique http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html 4 mars 006 31 mai 011 Table des matières 1 Contraintes

Plus en détail

Outils de post-traitement des calculs éléments finis dans Catia F. Louf

Outils de post-traitement des calculs éléments finis dans Catia F. Louf Outils de post-traitement des calculs éléments finis dans Catia F. Louf Dans cette fiche, on propose de détailler les différents outils à disposition dans Catia pour post-traiter des calculs éléments finis.

Plus en détail

Utilisation du théorème de Gauss

Utilisation du théorème de Gauss Utilisation du théorème de Gauss Table des matières 1 Méthode générale 1 2 Plan infini uniformément chargé 2 2.1 Invariances et symétries................................... 2 2.2 Calcul du champ électrique.................................

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Statistiques appliquées (L3 d'économie) - Cours de Patrick Sevestre - TD 2 - Corrigé

Statistiques appliquées (L3 d'économie) - Cours de Patrick Sevestre - TD 2 - Corrigé Statistiques appliquées (L3 d'économie) - Cours de Patrick Sevestre - TD 2 - Corrigé Marc Sangnier - marc.sangnier@ens-cachan.fr 29 octobre 2007 Exercice 1 - Lien entre salaire et formation Remarques préliminaires

Plus en détail

Résistance des matériaux : méthode des éléments finis. Rappels de cours et exercices avec solutions

Résistance des matériaux : méthode des éléments finis. Rappels de cours et exercices avec solutions Résistance des matériaux : élasticité, méthodes énergétiques, méthode des éléments finis Rappels de cours et exercices avec solutions Yves Debard Institut Universitaire de Technologie du Mans Département

Plus en détail

Validation numérique de l homogénéisation pour un modèle simplifié de stockage avec sources aléatoires

Validation numérique de l homogénéisation pour un modèle simplifié de stockage avec sources aléatoires Validation numérique de l homogénéisation pour un modèle simplifié de stockage avec sources aléatoires Introduction Modélisation de la migration de radionucléide Vers un modèle probabiliste Calcul des

Plus en détail

Cristaux, tenseurs, élasticité & piézoélectricité

Cristaux, tenseurs, élasticité & piézoélectricité Cristaux, tenseurs, élasticité & piézoélectricité par Vincent Laude Institut FEMTO-ST, département MN2S équipe MINANO «Micro-Instrumentation, NANosciences et Ondes» 32 avenue de l Observatoire F-25044

Plus en détail

CHAPITRE 07 MISE EN EVIDENCE DU CHAMP ELECTRIQUE

CHAPITRE 07 MISE EN EVIDENCE DU CHAMP ELECTRIQUE CHAPITRE 07 MISE EN EVIDENCE DU CHAMP EECTRIQUE I) Champ électrique A l'intérieur des armatures d'un condensateur plan, le champ est uniforme. Ses caractéristiques sont : A l'intérieur des armatures d'un

Plus en détail

Liste complète des sujets d oral (SESSION 2004) servant pour 2004-2005. Leçons d Algèbre et de Géométrie

Liste complète des sujets d oral (SESSION 2004) servant pour 2004-2005. Leçons d Algèbre et de Géométrie http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/agreg.htm Liste complète des sujets d oral (SESSION 2004) servant pour 2004-2005 Légende : En italique : leçons dont le libellé a changé ou évolué par rapport

Plus en détail

Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner...

Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner... Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner... I Savoir reconnaître un produit scalaire Les applications ci-dessous sont-elles des formes bilinéaires? Si oui sont-elles symétriques? Définies?

Plus en détail

Sujet Projet Informatique: Circuit électrique 3D

Sujet Projet Informatique: Circuit électrique 3D Sujet Projet Informatique: Circuit électrique 3D 2011 FIGURE 1 Principe du projet. Gauche : Schéma à modéliser. Milieu : Description formelle analysable. Droite: Visualisation 3D correspondante au schéma

Plus en détail

Epreuve de Physique I-B Durée 4 h

Epreuve de Physique I-B Durée 4 h * Banque filière PT * BANQUE PT - EPREUVE I-B. Epreuve de Physique I-B Durée 4 h Etude d'une micropompe électrostatique Indications générales : On donnera tous les résultats avec leur unité. Les candidats

Plus en détail

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale Devoir maison n 5 MP Lycée Clemenceau A rendre le 7 janvier 214 Centrale - Dans le problème, λ désigne toujours une application continue de IR + dans IR +, croissante et non majorée. - Dans le problème,

Plus en détail

Surfaces à subdivision. Surfaces à Subdivision. Subdivision en 3D. Types de Subdivision. L algorithme de Chaiken. But des surfaces à subdivision

Surfaces à subdivision. Surfaces à Subdivision. Subdivision en 3D. Types de Subdivision. L algorithme de Chaiken. But des surfaces à subdivision Surfaces à Subdivision Surfaces à subdivision Approximer la courbe limite, au travers d un processus itératif. Raffinement 1 Raffinement 2 Geri s Game (1998) : Pixar Animation Studios Raffinement! Master

Plus en détail

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif. Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE. 2015-2016, Automne. N. Débit & J. Bastien

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif. Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE. 2015-2016, Automne. N. Débit & J. Bastien TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE 2015-2016, Automne N. Débit & J. Bastien Document compilé le 13 novembre 2015 Liste des Travaux Dirigés Avant-propos iii Travaux

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Code_Aster. Indicateurs de décharge et de perte de proportionnalité du chargement en élastoplasticité

Code_Aster. Indicateurs de décharge et de perte de proportionnalité du chargement en élastoplasticité Titre : Indicateurs de décharge et de perte de proportionn[...] Date : 21/07/2009 Page : 1/7 Indicateurs de décharge et de perte de proportionnalité du chargement en élastoplasticité Résumé On présente

Plus en détail

L2 2011/2012 USTV. Analyse. numérique M43. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour

L2 2011/2012 USTV. Analyse. numérique M43. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour L / Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire USTV M Analyse numérique G FACCANONI Dernière mise-à-jour Jeudi mai Avertissement : ces notes sont régulièrement mises à jour et corrigées, ne vous étonnez

Plus en détail

Cours 2 6 octobre. 2.1 Maximum de vraisemblance pour une loi Gaussienne multivariée

Cours 2 6 octobre. 2.1 Maximum de vraisemblance pour une loi Gaussienne multivariée Introduction aux modèles graphiques 2010/2011 Cours 2 6 octobre Enseignant: Francis Bach Scribe: Nicolas Cheifetz, Issam El Alaoui 2.1 Maximum de vraisemblance pour une loi Gaussienne multivariée Soit

Plus en détail

Modèle électromécanique

Modèle électromécanique Première partie I Modèle électromécanique La femme est une substance matérielle organique composée de nombreux sels minéraux et autres produits chimiques parés de noms gréco-latins qu on retrouve également

Plus en détail

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Arithmétique Algorithmique http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Partie III Algorithmes classiques 1 Coût de la multiplication et de la division 2 Exponentiation rapide 3 Algorithme d Euclide

Plus en détail

Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS

Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS LIBERGE Erwan erwan.liberge@univ-lr.fr Directeur de thèse : A. Hamdouni Adaptation de la POD aux

Plus en détail

TD n 1 : Dopage des semiconducteurs

TD n 1 : Dopage des semiconducteurs TD n 1 : Dopage des semiconducteurs Exercice 1 : Silicium intrinsèque : On s intéresse au Silicium dans cet exercice On considère le semiconducteur intrinsèque 10 3 qui a une densité n i = 10 cm à T=300K

Plus en détail

Maîtrise de Mathématiques Travaux Pratiques

Maîtrise de Mathématiques Travaux Pratiques Maîtrise de Mathématiques Travaux Pratiques Pedro Ferreira 4 mai 2 Le but des travaux pratiques d Analyse Numérique est de créer un premier programme de mise en œuvre de la méthode des éléments finis.

Plus en détail

Estimateur d'erreur de ZHU-ZIENKIEWICZ

Estimateur d'erreur de ZHU-ZIENKIEWICZ Titre : Estimateur d'erreur de ZHU-ZIENKIEWICZ Date : 24/04/2012 Page : 1/12 Estimateur d'erreur de ZHU-ZIENKIEWICZ Résumé : On expose dans ce document la méthode d'estimation de l'erreur de discrétisation

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51 Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes Polytech Paris-UPMC - p. /5 Rappels mathématiques s Propriétés - p. 2/5 Rappels mathématiques Soit à résoudre le système linéaire Ax = b. Rappels mathématiques

Plus en détail

Thermique des bâtiments Généralités

Thermique des bâtiments Généralités Thermique des bâtiments Généralités Si initialement, l étude du bilan thermique des bâtiments est effectuée afin d économiser les combustibles de chauffage (fuel, gaz, charbon ou électricité), elle est

Plus en détail

Régression logistique

Régression logistique Régression logistique Gilles Gasso. INSA Rouen -Département ASI Laboratoire LITIS Régression logistique p. 1 Introduction Objectifs Le classifieur de Bayes est basé sur la comparaison des probabilités

Plus en détail

RDM Flexion Manuel d utilisation

RDM Flexion Manuel d utilisation RDM Flexion Manuel d utilisation Yves Debard Institut Universitaire de Technologie du Mans Département Génie Mécanique et Productique http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html 10 avril 2006 29 mars 2011

Plus en détail

M2 Fluides Complexes et Milieux Divisés. Notes de cours 2013-2014. Florence Elias florence.elias@univ-paris-diderot.fr

M2 Fluides Complexes et Milieux Divisés. Notes de cours 2013-2014. Florence Elias florence.elias@univ-paris-diderot.fr M2 Fluides Complexes et Milieux Divisés ÉLASTICITÉ Notes de cours 2013-2014 Florence Elias florence.elias@univ-paris-diderot.fr 2 Table des matières 1 Introduction à l élasticité 5 2 Théorie de l élasticité

Plus en détail

Devoir de Sciences Physiques n 1 pour le 09-09-2015

Devoir de Sciences Physiques n 1 pour le 09-09-2015 1 DM1 Sciences Physiques MP 20152016 Devoir de Sciences Physiques n 1 pour le 09092015 Problème n o 1 Capteurs de proximité E3A PSI 2013 Les capteurs de proximité sont caractérisés par l absence de liaison

Plus en détail

1.1 Nombre d inconnues, nombre d équations

1.1 Nombre d inconnues, nombre d équations MÉTHODES ANALYTIQUES 1 Bilan 1.1 Nombre d inconnues, nombre d équations En élasticité linéaire, et dans l hypothèse des petites perturbations, le nombre d inconnues dans un problème de mécanique des milieux

Plus en détail

axe par rapport auquel on calcule les moments des efforts appliqués au système

axe par rapport auquel on calcule les moments des efforts appliqués au système 1. Calcul du chargement en fatigue de la vis de fixation du robot Afin de calculer la charge sur chaque fixation, on calcule le moment des différentes forces appliquées au système ( + socle), en négligeant

Plus en détail

Inférence via distribution asymptotique Objective : Construction des intervalles de confiance (approximatifs) c 2 µ 2 m (2) σ 2

Inférence via distribution asymptotique Objective : Construction des intervalles de confiance (approximatifs) c 2 µ 2 m (2) σ 2 Inférence via distribution asymptotique Objective : Construction des intervalles de confiance (approximatifs) Soit h = c n 1/5. Donc, par conséquent d un TCL, pour n : Estimateur localement linéaire :

Plus en détail

1.1.1 Composantes contravariantes, covariantes d un vecteur

1.1.1 Composantes contravariantes, covariantes d un vecteur Chapitre 1 Prérequis Ce chapitre regroupe les définitions et les résultats sur les tenseurs qui sont utilisés dans la théorie des coques et des membranes. Il comprend deux parties : 1. L algèbre tensorielle,

Plus en détail

Méthode des domaines fictifs

Méthode des domaines fictifs Méthode des domaines fictifs Patrick Joly Patrick.Joly@inria.fr On se propose dans ce projet de résoudre le problème de Laplace par une méthode, dite de domaine fictif qui permet de simplifier la prise

Plus en détail

Indicateurs de décharge et de perte de proportionnalité du chargement en élastoplasticité

Indicateurs de décharge et de perte de proportionnalité du chargement en élastoplasticité Titre : Indicateurs de décharge et de perte de proportionn[...] Date : 10/10/2012 Page : 1/9 Indicateurs de décharge et de perte de proportionnalité du chargement en élastoplasticité Résumé On présente

Plus en détail

Définition d une norme

Définition d une norme Définition d une norme Définition E est un K-ev. L application N : E R + est une norme sur E ssi 1. x E, N(x) = 0 x = 0. 2. k K, x E, N(k.x) = k N(x). 3. x, y E, N(x + y) N(x) + N(y) Notation N,. Propriété

Plus en détail

TP3 Réseaux et synthèse de diagramme d antennes

TP3 Réseaux et synthèse de diagramme d antennes TP3 Réseaux et synthèse de diagramme d antennes Pour des antennes decommunication, oncherche à optimiser le ratio P U P T, oùp U est la puissance reçue par l utilisateur, et P T est la puissance totale

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

Méthodes de placement multidimensionnelles. Fabrice Rossi Télécom ParisTech

Méthodes de placement multidimensionnelles. Fabrice Rossi Télécom ParisTech Méthodes de placement multidimensionnelles Fabrice Rossi Télécom ParisTech Plan Introduction Analyse en composantes principales Modèle Qualité et interprétation Autres méthodes 2 / 27 F. Rossi Plan Introduction

Plus en détail

TOPOLOGIE. une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ; définition : diamètre : diam(x)=min{ r R

TOPOLOGIE. une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ; définition : diamètre : diam(x)=min{ r R TOPOLOGIE 1) DISTANCE, ESPACES MÉTRIQUES a : distances : d'après le cours de M. Nicolas Tosel professeur en MP* au Lycée du Parc, Lyon Année 2004 2005 une distance est une application d de E dans R + telle

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 2. Durée : 4 heures

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 2. Durée : 4 heures SESSION 2003 PCM2007 EPEUVE SPECIFIQUE FILIEE PC MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures L utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont indépendants *** N.B. : Le candidat attachera la

Plus en détail

Annexe V. Notice du programme DYNAPOUL

Annexe V. Notice du programme DYNAPOUL Annexe V Notice du programme DYNAPOUL Les entrées peuvent s effectuer soit par le clavier, soit par fichier, enfin par bloc de trois. Ce chapitre se décompose en deux sous-chapitres indépendants suivant

Plus en détail

Remerciements. Partie 1 Algèbre linéaire 1

Remerciements. Partie 1 Algèbre linéaire 1 Table des matières Préface Remerciements xix xxi Partie 1 Algèbre linéaire 1 1 Compléments d algèbre linéaire 3 I Rappels du cours de première année.......................... 3 I.1 Famille dans un espace

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 3 4 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document : Solution des exercices d algèbre linéaire Table des matières

Plus en détail

Lois de l électrocinétique

Lois de l électrocinétique Retour au menu! Lois de l électrocinétique 1 Courant électrique 1.1 Notion de courant n conducteur est un matériau contenant des charges libres capables de se déplacer. Dans les électrolytes les charges

Plus en détail

Chapitre 4 : RÉGRESSION

Chapitre 4 : RÉGRESSION Chapitre 4 : RÉGRESSION 4.3 Régression linéaire multiple 4.3.1 Equation et Estimation 4.3.2 Inférence 4.3.3 Coefficients de détermination 4.3.4 Spécifications Régression linéaire multiple 1 / 50 Chapitre

Plus en détail

Fiche méthodologique Les pièges dans les dénombrements

Fiche méthodologique Les pièges dans les dénombrements Fiche méthodologique Les pièges dans les dénombrements BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Dans cette fiche, on résume quelques points techniques sur les dénombrements et la théorie des probabilités.

Plus en détail

TD3. Exercice 1 Un cas particulier du théorème de Cauchy-Lipschitz. f (s,y(s))ds.

TD3. Exercice 1 Un cas particulier du théorème de Cauchy-Lipschitz. f (s,y(s))ds. Analyse fonctionnelle A. Leclaire - L. Magnis ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016 TD3 Exercice 1 Un cas particulier du théorème de Cauchy-Lipschitz Soient I un intervalle de, E un espace de Banach et f :

Plus en détail

Économétrie. Francesco Quatraro M1 EFM 2010/2011

Économétrie. Francesco Quatraro M1 EFM 2010/2011 Francesco Quatraro M1 EFM 2010/2011 1 La violation des hypothèses Le modèle des MCO considère que les hypothèses suivantes sont toutes respectées: H1: le modèle est linéaire en x i,t H2: les valeurs x

Plus en détail

Intégrales curvilignes et de surfaces

Intégrales curvilignes et de surfaces Intégrales curvilignes et de surfaces Fabrice Dodu FORMATION CONTINUE : DUT+3 DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES : INSA TOULOUSE 2-21 Version 1. Sommaire I Le cours 6 1 Intégrales curvilignes 8 1.1 Notions sur

Plus en détail

Jacobiennes modulaires non hyperelliptiques de dimension 3

Jacobiennes modulaires non hyperelliptiques de dimension 3 Jacobiennes modulaires non hyperelliptiques de dimension 3 Roger Oyono University of Waterloo Séminaire de Théorie des nombres, Limoges 2007 Jacobiennes modulaires de dimension 3 1 Courbes non hyperelliptiques

Plus en détail

Condensation dynamique de modèle par sousstructuration. Fascicule u2.07 : Méthodes pour réduire la taille de la modélisation

Condensation dynamique de modèle par sousstructuration. Fascicule u2.07 : Méthodes pour réduire la taille de la modélisation Titre : Condensation dynamique de modèle par sous- structu[...] Date : 24/07/2015 Page : 1/7 Condensation dynamique de modèle par sousstructuration statique Résumé : Ce document décrit un mode d utilisation

Plus en détail

Master de Sciences & Technologies. Année universitaire 2013 2014 Travaux dirigés et télé-enseignement : C. Audiard. Travaux pratiques Scilab N 2

Master de Sciences & Technologies. Année universitaire 2013 2014 Travaux dirigés et télé-enseignement : C. Audiard. Travaux pratiques Scilab N 2 Université Pierre et Marie Curie Bases des méthodes numériques Master de Sciences & Technologies MM006 Mention Mathématiques & Applications Cours : L. Boudin et E. Trélat Année universitaire 013 014 Travaux

Plus en détail

Codes linéaires. Distance d un code linéaire

Codes linéaires. Distance d un code linéaire Distance d un code linéaire Un code binaire C est linéaire si la somme de deux mots quelconques du code est encore un mot du code : w 1, w 2 C, w 1 + w 2 C Un code linéaire est donc un sous-espace vectoriel

Plus en détail

Identification de la conductivité anisotrope de laines minérales

Identification de la conductivité anisotrope de laines minérales Identification de la conductivité anisotrope de laines minérales JEAN-FRANÇOIS WITZ a,stéphane ROUX a, FRANÇOIS HILD a, JEAN-BAPTISTE RIEUNIER b a. Laboratoire de Mécanique et Technologie de Cachan b.

Plus en détail

Analyse en composantes principales

Analyse en composantes principales Analyse en composantes principales Alain Rakotomamonjy - Gilles Gasso. INSA Rouen -Département ASI Laboratoire LITIS Analyse en composantes principales p. 1/18 Introduction Objectifs Soit {x i } i=1,,l

Plus en détail

Introduction aux automates cellulaires

Introduction aux automates cellulaires Introduction aux automates cellulaires Antoine Delignat-Lavaud 1 Introduction aux automates cellulaires Définition 1 (Automate cellulaire) Un automate cellulaire A = (d, S, V, δ) est la donnée de : 1.

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : économique et commerciale Option : Technologique (ECT) Discipline : Mathématiques- Informatique Seconde année Ministère de l enseignement

Plus en détail

HSNV140 - Thermo-plasticité avec restauration d'écrouissage : essai de dilatométrie bloquée

HSNV140 - Thermo-plasticité avec restauration d'écrouissage : essai de dilatométrie bloquée Titre : HSNV140 - Thermo-plasticité avec restauration d'éc[...] Date : 29/06/2015 Page : 1/11 HSNV140 - Thermo-plasticité avec restauration d'écrouissage : essai de dilatométrie bloquée Résumé : Ce test

Plus en détail

PC* Espaces préhilbertiens réels

PC* Espaces préhilbertiens réels I. Espace préhilbertien réel................................... 3 I.1 Produit scalaire dans un espace vectoriel réel................... 3 I.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski..................

Plus en détail

Quelques éléments d algèbre pour l analyse de

Quelques éléments d algèbre pour l analyse de Fiche TD avec le logiciel : tdr80 Quelques éléments d algèbre pour l analyse de données A.B. Dufour, D. Chessel et M. Royer L algèbre matricielle est fondamentale dans la compréhension de la théorie liée

Plus en détail

Arrêt optimal et optimisation de la maintenance

Arrêt optimal et optimisation de la maintenance Benoîte de Saporta CQFD - Contrôle de Qualité et Fiabilité Dynamique 22 septembre 2011 Benoîte de Saporta 1/34 Plan 1 Un problème de maintenance 2 Modélisation mathématique 3 Stratégie de résolution 4

Plus en détail

1 Rappels sur les champs électriques

1 Rappels sur les champs électriques Rappels sur les champs électriques. Cadre de l étude On considère un diélectrique homogène ie ayant les mêmes propriétés dans tout le volume). On note E le champ électrique global et D le champ excitation

Plus en détail

Modélisation Physique et Numérique : TD02

Modélisation Physique et Numérique : TD02 Modélisation Physique et Numérique : TD0 Introduction Vos rapports doivent être envoyer, de préférence en format pdf, par email à vilotte@ipgp.ussieu.fr ou pfavre@ipgp.ussieu.fr. Les groupes ne doivent

Plus en détail

Travaux pratiques MPI Liste des exercices

Travaux pratiques MPI Liste des exercices Travaux pratiques MPI Liste des exercices 1 T.P. MPI Exercice 1 : Environnement MPI... 2 2 T.P. MPI Exercice 2 : Ping-pong... 3 3 T.P. MPI Exercice 3 : Communications collectives et réductions... 5 4 T.P.

Plus en détail

Introduction à la statistique inférentielle

Introduction à la statistique inférentielle Introduction à la statistique inférentielle Didier Concordet Unité de Biométrie Ecole Vétérinaire de Toulouse Sommaire 1 Statistiques descriptives 7 1.1 Description numérique...................... 7 1.1.1

Plus en détail

Vision Par Ordinateur. Techniques Statistiques de la Reconnaissance de Forme. Segmentation...2. Variables Aléatoires...7

Vision Par Ordinateur. Techniques Statistiques de la Reconnaissance de Forme. Segmentation...2. Variables Aléatoires...7 Vision Par Ordinateur James L. Crowley DEA IVR Premier Bimestre 1999/00 Séance 4 26 octobre 1999 Plan de la séance : Techniques Statistiques de la Reconnaissance de Forme Segmentation...2 La Distribution

Plus en détail

Optimisation numérique. Outline. Introduction et exemples. Daniele Di Pietro A.A. 2012-2013. 1 Dénitions et notations

Optimisation numérique. Outline. Introduction et exemples. Daniele Di Pietro A.A. 2012-2013. 1 Dénitions et notations Optimisation numérique Introduction et exemples Daniele Di Pietro A.A. 2012-2013 Outline 1 Dénitions et notations 2 Applications Exemples en recherche opérationnelle Exemples en algèbre linéaire Exemples

Plus en détail

Tableau comparatif des connaissances et capacités des programmes de CM2 et 6ème

Tableau comparatif des connaissances et capacités des programmes de CM2 et 6ème Lundi Matin - «Comparatif des programmes de CM2 et 6 ème» Page 1 Tableau comparatif des connaissances et capacités des programmes de CM2 et 6ème CM2 6 ème Plus tard... Vocabulaire divers Le vocabulaire

Plus en détail

Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2014

Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Centres étrangers juin 04 A. P. M. E. P. Dans l ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d initiative même non fructueuse,

Plus en détail

Correction du devoir maison n o 7 PARTIE I

Correction du devoir maison n o 7 PARTIE I Lycée Kléber Pour le 5 décembre 2014 PSI* 2014-2015 Correction du devoir maison n o 7 (Mines I PSI 2001) MATHEMATIQUES PARTIE I Remarquons d abord que la définition de la semi-linéarité de u est équivalente

Plus en détail

Conductivité conductimétrie

Conductivité conductimétrie Conductivité conductimétrie I. Généralités sur les milieux conducteurs Le courant électrique est dû à un mouvement d'ensemble des porteurs de charges sous l'action d'un champ électrique. Ils sont de trois

Plus en détail

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume.

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume. Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

FreeFem++ : un outil libre pour la résolution d EDP par la méthode des Eléments Finis Arnaud Lejeune

FreeFem++ : un outil libre pour la résolution d EDP par la méthode des Eléments Finis Arnaud Lejeune FreeFem++ : un outil libre pour la résolution d EDP par la méthode des Eléments Finis Arnaud Lejeune Pôle Calcul Scientifique Département Mécanique Appliquée 20 Février 2014 Logiciels Libres et/ou OpenSource

Plus en détail

TD de Physique n o 10 : Interférences et cohérences

TD de Physique n o 10 : Interférences et cohérences E.N.S. de Cachan Département E.E.A. M2 FE 3 e année Physique appliquée 2011-2012 TD de Physique n o 10 : Interférences et cohérences Exercice n o 1 : Interférences à deux ondes, conditions de cohérence

Plus en détail

Systèmes dynamiques. Chapitre 1

Systèmes dynamiques. Chapitre 1 Chapitre 1 Systèmes dynamiques 1) Placement financier On dépose une quantité d argent u 0 à la banque à l instant t 0 = 0 et on place cet argent à un taux r > 0. On sait qu en vertu de la loi des intérêts

Plus en détail

Circuit fixe dans un champ magnétique variable

Circuit fixe dans un champ magnétique variable Circuit fixe dans un champ magnétique variable Calcul d un flux On peut montrer, dans le cadre de la mécanique des fluides, que le champ de vitesse pour un fluide visqueux incompressible, de coefficient

Plus en détail

PROBLÈME : Endomorphismes semi-linéaires et valeurs co-propres. Partie I

PROBLÈME : Endomorphismes semi-linéaires et valeurs co-propres. Partie I PROBLÈME : Endomorphismes semi-linéaires et valeurs co-propres Sujet complet Mines Pont 2001 - PSI Partie I 1. Premières propriétés Remarquons d abord que la définition de la semi-linéarité de u est équivalente

Plus en détail

Un générateur d éléments finis pour la résolution de problèmes couplés - Organisation et implémentation orientée objet du code CAVOK -

Un générateur d éléments finis pour la résolution de problèmes couplés - Organisation et implémentation orientée objet du code CAVOK - Un générateur d éléments finis pour la résolution de problèmes couplés - Organisation et implémentation orientée objet du code CAVOK - Pierre Lamary (*,**) & Yvon Chevalier (*) (*) ISMCM-CESTI Laboratoire

Plus en détail

CHAPITRE 1 CINÉTIQUE. 1.1 Masse et inertie. 1.1.1 Notions d inertie

CHAPITRE 1 CINÉTIQUE. 1.1 Masse et inertie. 1.1.1 Notions d inertie TABLE DE MATIÈRE 1 Cinétique 1 1.1 Masse et inertie................................ 1 1.1.1 Notions d inertie........................... 1 1.1.2 Masse.................................. 2 1.1.3 Centre d

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE ANNÉE 2006 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte (dans l énoncé d origine, pas

Plus en détail

Matrices et déterminants

Matrices et déterminants Matrices et déterminants Matrices Définition.. Une matrice réelle (ou complexe) M = (m i,j ) (m, n) à m lignes et n colonnes est un tableau à m lignes et n colonnes de réels (ou de complexes). Le coefficient

Plus en détail

Série n 5 : Optimisation non linéaire

Série n 5 : Optimisation non linéaire Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France Option: M2AO 2007-2008 Série n 5 : Optimisation

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES. D. Azé

LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES. D. Azé LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul Différentiel et Équations Différentielles D. Azé Université Paul Sabatier Toulouse 2008 Table des matières 1 Généralités sur les espaces normés 3 1.1 Espaces

Plus en détail

Introduction à l optimisation

Introduction à l optimisation Université du Québec à Montréal Introduction à l optimisation Donnée dans le cadre du cours Microéconomie II ECO2012 Baccalauréat en économique Par Dominique Duchesneau 21 janvier septembre 2008 Ce document

Plus en détail

EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 13/14

EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 13/14 EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 3/4 PRODUIT SCALAIRE. : Dire si chacune des applications suivantes est un produit scalaire surr : x x x x y y = symétrique? bilinéaire? = positif? défini?

Plus en détail

L2 ÉCONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE MÉTHODES MATHÉMATIQUES 3. Alexandre VIDAL

L2 ÉCONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE MÉTHODES MATHÉMATIQUES 3. Alexandre VIDAL L2 ÉCONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE MÉTHODES MATHÉMATIQUES 3 Alexandre VIDAL Dernière modification : 11 janvier 2011 Table des matières I Généralités et rappels sur les fonctions 1 I.1 Définition....................................

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0)

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0) NOMBRES COMPLEXES 1 Corps C des nombres complexes 1.1 Construction de C Construction de C On munit R de deux lois internes + et de la manière suivante. Pour (a, b, c, d) R 4, on pose (a, b) + (c, d) =

Plus en détail

COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUES PARTIE 2 1998-2011

COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUES PARTIE 2 1998-2011 COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUES PARTIE 2 1998-2011 2 PC Deuxième semestre Version 2011 Cours Exercice Auteur de la Ressource Pédagogique PICQ Martine MATHEMATIQUES Cours et exercices de Mathématiques

Plus en détail

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 48 Chapitre 4 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées La motivation de ce chapitre est la suivante. Étant donné un endomorphisme f d un espace E de dimension finie, déterminé par sa matrice

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

Modélisation des erreurs de couplage et de focalisation

Modélisation des erreurs de couplage et de focalisation Journées Accélérateurs de la SFP Roscoff 2-22 Mars 2 Modélisation des erreurs de couplage et de focalisation L Farvacque R Nagaoka But: Améliorer la correction des erreurs de champ magnétique Erreurs de

Plus en détail