Calcul des réacteurs à lits fluidisés

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1 Calcul des réacteurs à lits fluidisés par Khalil SHAKOURZADEH Docteur d État ès Sciences Physiques Enseignant-Chercheur au Département de Génie Chimique de l Université de Technologie de Compiègne. Importance de l hydrodynamique des lits fluidisés... J Lois de comportement hydrodynamique dans les lits fluidisés Modèle de mise en contact dans les lits bouillonnants Modèles réactionnels pour lits fluidisés Classement des modèles Modèle à deux phases de Orcutt et Davidson Modèle triphasique de Kunii et Levenspiel Modèle de Werther Exemples de calculs et comparaison des modèles Propriétés de mise en contact Modèle de Orcutt et Davidson Modèle de Kunii et Levenspiel Modèle de Werther Modèles réactionnels pour la zone au-dessus de la grille et la zone de désengagement Réactions à solides consommables Introduction aux réactions gaz-solide Bilan matière sur la phase solide Bilan matière sur le gaz Technologie des réacteurs à lits fluidisés Conclusion... 4 Références bibliographiques... 5 L es lits fluidisés présentent un certain nombre de caractéristiques hydrodynamiques et de mise en contact entre phases qui les rendent potentiellement attractifs pour être le siège de réactions gaz-solides ou de réactions catalytiques hétérogènes. Parmi les avantages reconnus, on notera la possibilité d opérer en système ouvert ou en système fermé, de pouvoir manipuler de gros débits de solides, de bénéficier d un excellent mélange de solides et, de ce fait, d avoir une bonne isothermie radiale et axiale et un bon contrôle de la température. Par ailleurs, les caractéristiques physiques des catalyseurs, dont la taille moyenne se situe entre 50 et 00 µm et qui ont une surface spécifique élevée, demeurent compatibles avec des conditions de fluidisation et de mise en contact acceptables. Si la première application industrielle de la fluidisation à une réaction chimique remonte à 926 avec la gazéification du charbon, c est depuis 940, après le lancement des premiers réacteurs de craquage catalytique, que cette technique a pris son véritable essor. Les variantes techniques qui permettent de prendre en compte les caractères spécifiques d une réaction et les contraintes de procédé sont nombreuses. Tous ces facteurs font que la conception, l extrapolation ou même la transformation d unités font encore largement appel à l expérience et ne sont pas sans risques. Techniques de l Ingénieur, traité Génie des procédés J 4 00

2 CALCUL DES RÉACTEURS À LITS FLUIDISÉS On trouve dans la littérature différents types de modèles applicables aux réacteurs à lits fluidisés, qui peuvent être utilisés pour le dimensionnement. Nous présenterons les principaux de ces modèles et discuterons de leur applicabilité selon les conditions opératoires.. Importance de l hydrodynamique des lits fluidisés Le comportement hydrodynamique des lits fluidisés est exposé de façon détaillée dans l article Techniques de mises en contact entre phases solides et gazeuses [A 5 850], du traité Génie des procédés. Cependant, il est utile de rappeler ici quelques principes sur lesquels sont basés les modèles réactionnels ainsi que les méthodes qui peuvent être appliquées au cas des réacteurs ayant des dimensions importantes (plusieurs mètres). Dans les systèmes gaz-solides, la fluidisation homogène est rarement observable et, dès que le gaz atteint la vitesse minimale de fluidisation (U mf ), des bulles se forment dans la zone au-dessus de la grille de fluidisation. Celles-ci grossissent et coalescent au cours de leur ascension vers la surface du lit, mais elles peuvent aussi se diviser de sorte que l ensemble de ces mouvements induit au sein de la suspension solide une vigoureuse agitation en partie responsable des propriétés particulières des lits fluidisés. Il est indispensable de connaître les propriétés de mise en contact entre la phase gazeuse (qui se trouve en majeure partie sous forme de bulles) et les particules solides (catalyseurs ou solides réactifs). Chaque bulle entraîne avec elle une certaine quantité de solides que nous appellerons le nuage (figure 2a ). Le phénomène d entraînement de solides dans le sillage des bulles crée un mouvement de particules au sein du lit fluidisé.. Lois de comportement hydrodynamique dans les lits fluidisés Le passage d un gaz à travers une couche de particules solides conduit, suivant la vitesse superficielle du gaz, à des régimes différents de fluidisation (figure ). La littérature fournit un certain nombre de critères expérimentaux permettant de distinguer les régimes opératoires. Ainsi le lit bouillonnant est caractérisé par une variation linéaire de la pression en fonction de la hauteur dans le lit et par des fluctuations de pression irrégulières ayant une fréquence de quelques hertz. Il est important d identifier le régime opératoire principal dans lequel on se trouve pour pouvoir modéliser correctement un réacteur et prévoir ses performances chimiques. Nous traiterons ici seulement les lits bouillonnants qui sont les plus courants dans la pratique industrielle. Figure Différents régimes de fluidisation Figure 2 Caractéristiques d un lit fluidisé bouillonnant J Techniques de l Ingénieur, traité Génie des procédés

3 CALCUL DES RÉACTEURS À LITS FLUIDISÉS Nous allons considérer qu un lit fluidisé bouillonnant est composé de trois phases (figure 2a ) : une phase bulles où le solide est pratiquement absent ; une phase nuages qui accompagne la phase bulles dans son ascension ; une phase émulsion où les particules solides se trouvent en état de fluidisation. Par ailleurs, l éclatement des bulles à la surface du lit est à l origine de l entraînement de particules dans la zone que nous appelons la zone de désengagement (figure 2b ). Si cet entraînement est important, la réaction chimique peut continuer au-delà de la surface du lit bouillonnant..2 Modèle de mise en contact dans les lits bouillonnants Au-dessus de la grille fluidisation, on peut distinguer une zone de formation et d accélération des bulles (figure 2b ). Dans cette zone, les bulles ont pratiquement la même taille. Celle-ci dépend de la granulométrie du solide et de la vitesse du gaz, et peut varier de quelques millimètres à plusieurs dizaines de centimètres. Le comportement d une bulle isolée a été étudié par de nombreux chercheurs. Parmi les travaux les plus classiques, on retiendra ceux de Davidson et Harrison qui ont été complétés par d autres chercheurs []. Ces travaux nous permettent d admettre les principes suivants : le débit gazeux passant dans la phase émulsion est sensiblement le même que celui qui passe à travers cette phase au moment de l apparition des bulles ; ce débit correspond à la vitesse minimale de fluidisation U mf ; la vitesse d ascension d une bulle dans le lit fluidisé dépend de son diamètre D b et de la vitesse de passage du gaz dans la phase bulles ; le réactif gazeux A passe de la phase bulles vers la phase nuages puis vers la phase émulsion par le double effet de la diffusion et de la convection. Le flux molaire spécifique de matière transférée entre ces phases ṁ (mol s m 2 ) est proportionnel au gradient de concentration en matière réactive et peut être défini par : ṁ = K g ( C Ab C An ) avec K g (m/s) coefficient de transfert de matière de la phase bulles vers la phase nuages, C Ab et C An (mol/m 3 ) concentrations molaires en réactif gazeux A respectivement dans la phase bulles et dans la phase nuages. Dans les conditions opératoires des lits fluidisés industriels, la vitesse de fluidisation U est beaucoup plus grande que la vitesse minimale de fluidisation U mf. On remarque ainsi que la quantité de gaz passant directement dans la phase émulsion est négligeable par rapport à celle présente dans la phase bulles ( U mf U U mf ). Ainsi, on admet, dans certains modèles (celui de Kunii et Levenspiel et celui de Werther), que tout le gaz passe dans la phase bulles en négligeant le débit gazeux passant dans la phase émulsion. Enfin, en écrivant l équation de continuité de la phase solide lors de son expansion, on peut obtenir une relation entre le taux de vide du lit fluidisé en régime opératoire, ε (que nous appellerons la porosité), et celui correspondant au minimum de fluidisation (ε mf ). En effet, on peut écrire que le volume du solide dans le lit est égal à H mf S ( ε mf ) si l on utilise les données correspondant au minimum de fluidisation, mais aussi égal à H S ( ε) en régime opératoire : H mf S ( ε mf ) = H S ( ε ) (2) () avec S section droite du lit, H et H mf hauteurs du lit (figure ). L équation (2) permet de calculer la porosité du lit ε en régime opératoire mais nécessite la connaissance de la hauteur H. Comme la hauteur du lit fluidisé en régime opératoire est difficile à mesurer, certains chercheurs proposent des corrélations empiriques pour l estimation théorique de la porosité ε [2]. Ces corrélations s appliquent à des vitesses de fluidisation très faibles et leur application au cas des réacteurs à lits fluidisés est déconseillée. Il existe cependant une méthode de calcul basée sur le bilan de continuité de la phase bulles, qui donne généralement des résultats cohérents avec une précision suffisante pour le dimensionnement des réacteurs. Dans cette méthode, on calcule d abord la fraction volumique du lit occupée par les bulles ε b en écrivant l égalité du débit de gaz traversant la phase bulles et du débit de gaz véhiculé par les bulles : (U U mf ) S = U b ε b S (3) U b étant la vitesse moyenne d ascension des bulles. Puis on utilise l équation de Davidson et Harrison [] [2] pour la vitesse d ascension des bulles U b ; on obtient : ε b = ( U U mf )/ ( 0,7 gd b + U U mf ) g étant l accélération due à la pesanteur (ou constante de gravité) égale à 9,8 m/s 2. Le diamètre de bulles D b peut être estimé par la corrélation de Darton [3] en fonction de la hauteur dans le lit (encadré ), mais, comme les bulles se divisent au-delà d une certaine taille, il faut vérifier que le diamètre calculé est inférieur à celui défini comme diamètre maximal des bulles (D b max dans l encadré ). Comme la taille des bulles augmente au fur et à mesure de leur ascension, la fraction ε b varie en fonction de la hauteur dans le lit. Pour obtenir la valeur moyenne de ε b, il faut intégrer l équation (4), de bas en haut du lit fluidisé : ε b = ε H b dz En pratique, étant donnée la forme exponentielle de la fonction sous l intégrale, on peut estimer la valeur moyenne de ε b directement à partir de l équation (4) pour une hauteur égale à un tiers de la hauteur du lit (on pose z = H/3). Par ailleurs, on peut relier la fraction volumique des bulles ε b à la hauteur H du lit en écrivant : ε b = volume du lit occupé par les bulles / volume total du lit (6) ε b = ( H H mf )S HS = ( H mf H ) Dans cette équation, le volume occupé par les bulles correspond à l augmentation du volume du lit depuis l apparition de celles-ci. Comme les bulles apparaissent pratiquement à la vitesse minimale de la fluidisation, cette augmentation de volume correspond à S (H H mf ). En combinant les équations (2) et (6), on peut exprimer la porosité moyenne du lit en régime opératoire (ε ) en fonction de la fraction volumique occupée par les bulles : ε = ( ε mf )( ε b ) Nous avons rassemblé dans l encadré les équations permettant d estimer les propriétés physiques d une réacteur à lit fluidisé bouillonnant. Ces équations peuvent être utilisées pour les besoins des modèles réactionnels présentés ci-après. H (4) (5) (7) Techniques de l Ingénieur, traité Génie des procédés J

4 CALCUL DES RÉACTEURS À LITS FLUIDISÉS Encadré Équations de base pour le calcul des propriétés physiques des réacteurs à lits fluidisés Vitesse minimale de fluidisation (en m/s) : µ U mf = ,7 ρ g d + 0,040 8 Ar 33,7 p (équation de Wen et Yu [20]) avec d p (m) taille moyenne des particules, µ (Pa s) viscosité du gaz, ρ g (kg/m 3 ) masse volumique du gaz, Ar nombre d Archimède : ρ p étant la masse volumique des particules. Diamètre de bulles (en m) : 3 g Ar = d p µ 2 ( ρ p ρ g )ρ g D b = 0,54 ( U U mf ) 0,4 z + 4 S o 0,8 g 0,2 (équation de Darton [3]) avec z (m) hauteur par rapport à la grille de fluidisation, U (m/s) vitesse de fluidisation (débit volumique/ section du lit), S o (m 2 ) section du lit divisée par le nombre de trous de la grille. Diamètre maximal des bulles (en m) : 2 2 U D t b max = g avec U t (m/s) vitesse terminale de chute libre des particules ayant une taille de 2,7 d p [7]. Vitesse moyenne d ascension des bulles (en m/s) : Les réactions à solides consommables sont naturellement plus compliquées à modéliser puisqu elles produisent non seulement un changement dans la composition de la phase gazeuse, mais aussi des modifications de la granulométrie du solide (dans certains cas) ou de sa densité (dans d autres cas). D une manière générale, le réacteur à lit fluidisé peut être schématisé selon la figure 3 sur laquelle on peut distinguer plusieurs zones : la zone des jets qui se trouve juste au-dessus de la grille et qui a un comportement hydrodynamique complexe ; la partie fluidisée bouillonnante comportant trois phases : bulles, nuages et émulsion avec un transfert de la matière réactive de la phase bulles vers la phase nuages puis vers la phase émulsion, et un transfert des produits dans le sens opposé ; la zone de désengagement au-dessus de la surface du lit où les particules sont projetées par éclatement des bulles. Les différents types de modèles utilisés pour la partie bouillonnante des réacteurs industriels sont représentés sur la figure 4. Étant donnée la complexité des phénomènes hydrodynamiques, les modèles proposés pour la zone des jets ainsi que ceux pour la zone de désengagement sont des modèles simples et ils sont peu nombreux. Par contre, il existe un nombre important de modèles pour le calcul du taux de conversion dans la partie bouillonnante du lit. May [4] et Van Deemter [5] ont proposé des modèles basés sur des résultats de traçage des phases gazeuse et solide. Ces modèles prennent en compte la dispersion axiale. Les autres modèles utilisent le principe connu des phénomènes de transfert de matière avec une force motrice due au gradient de concentration entre les phases bulles et émulsion. Parmi les modèles les plus simples, on peut citer ceux de Orcutt et Davidson [6] et de Grace et coll. [7] qui ne considèrent que deux phases constituées d une part par des bulles et d autre part par la suspension solide-gaz. Un autre modèle original est aussi proposé par Kato et Wen [8] assimilant une chaîne de bulles à un système de n réacteurs agités en série. Cependant, ce modèle n a pas été vérifié pour des applications industrielles. U b = 0,7 gd b + U U mf (équation de Davidson [3]) Fraction volumique occupée par les bulles : U U ε b = mf U b ε b = Hε H b dz 0 Porosité du lit : ε = ( ε b )( ε mf ) 2. Modèles réactionnels pour lits fluidisés 2. Classement des modèles Les réactions chimiques mises en œuvre dans les lits fluidisés se divisent en deux groupes distincts : les réactions catalytiques ; les réactions à solides consommables. Figure 3 Différentes zones d un réacteur à lit fluidisé J Techniques de l Ingénieur, traité Génie des procédés

5 CALCUL DES RÉACTEURS À LITS FLUIDISÉS Figure 4 Différents types de modèles pour la partie bouillonnante des réacteurs à lits fluidisés Kunii et Levenspiel [9] ont proposé un modèle relativement simple considérant les trois phases : bulles, nuages et émulsion et admettant que tout le fluide passe dans la phase bulles. Ce modèle a été l objet de controverses pendant un certain temps, mais les travaux de Grace [0] et d autres chercheurs [] ont pu démontrer que, parmi les modèles existants, le modèle de Kunii et Levenspiel donne les meilleurs résultats, probablement parce qu il s adapte le mieux aux différentes situations. Enfin, sur la base d études d expansion et de distribution de la taille des bulles dans les lits fluidisés et par analogie au cas des réacteurs gaz-liquide, Werther a proposé récemment [2] un modèle qui utilise les principes connus du phénomène de transfert de matière avec profil de concentration autour des bulles. Ce modèle semble prometteur mais a l inconvénient d être compliqué, en particulier quand la réaction n est pas du premier ordre. La comparaison de ces différents modèles a fait l objet de plusieurs travaux et publications [0] [] [3]. Ces comparaisons permettent de tirer des conclusions générales pour le choix des modèles à utiliser suivant le type de la réaction chimique et les conditions opératoires favorisant tel ou tel phénomène. D une façon générale, on notera que la conversion du réactif dans un lit fluidisé peut être limitée par deux phénomènes : le transfert de matière entre les phases bulles, nuages et émulsion d une part, et la transformation chimique (dont la vitesse est proportionnelle à la teneur en catalyseur) d autre part. En considérant deux nombres sans dimension : K et N k (nombre d unités de transfert de matière) (encadré 2), on peut classer les réacteurs chimiques à lits fluidisés en trois catégories de la façon suivante. Réactions lentes ( K N k ) : le transfert de matière n est pas le phénomène prédominant et le modèle hydrodynamique utilisé n a pas beaucoup d importance puisque c est la cinétique chimique qui définit les performances. Réactions très rapides ( K! N k ) : une grande partie de la réaction chimique se passe aux interfaces bulles-émulsion (la zone de nuages). Le modèle de Werther ( 2.4) est celui qui convient le mieux dans ce cas, puisqu il prend en compte le profil de concentration autour des bulles. Étant donné que la région au-dessus de la grille (zone des jets) joue un rôle très important pour ce type de réaction, il est souhaitable de combiner le modèle représentant la partie bouillonnante avec un modèle tenant compte de l effet des jets ( 2.6). Réactions intermédiaires (K et N k du même ordre de grandeur) : la réaction chimique et le transfert de matière constituent ensemble les étapes limitantes de la conversion. Le modèle de Kunii et Levenspiel ( 2.3) peut être appliqué dans ce cas. La figure 5 montre l arbre de décision pour le choix du modèle à utiliser en première approximation. Il est évident que les modèles très simples (comme celui de Orcutt et Davidson) conduisent à une plus grande imprécision des résultats. Toutefois, ils offrent deux avantages essentiels : leur simplicité permet d obtenir rapidement des informations grossières et de procéder à des analyses simples ; ils ne nécessitent aucun développement particulier pour les réactions d ordre différent de un. Cependant il est conseillé d utiliser le modèle de Kunii et Levenspiel ou celui de Werther sachant que, dans le cas de réactions à mécanismes complexes, ces modèles impliquent l écriture et la résolution de systèmes d équations plus lourds. Nous allons exposer ci-après les modèles de Orcutt et Davidson, de Kunii et Levenspiel et de Werther, qui couvrent, dans l ensemble, les différents systèmes réactionnels et qui sont complémentaires au niveau des hypothèses simplificatrices. 2.2 Modèle à deux phases de Orcutt et Davidson Ce modèle [6] considère deux phases : bulles et émulsion avec un écoulement piston pour la phase bulles et un mélange parfaitement agité en phase émulsion (figure 4b ). Le flux gazeux passant dans la phase bulles correspond au flux total moins le flux nécessaire pour obtenir le minimum de fluidisation. Dans ce cas, le flux passant dans la phase émulsion correspond à celui du minimum de fluidisation. Cette hypothèse est utilisée dans presque tous les modèles réactionnels et elle est justifiée par le fait que la porosité locale de l émulsion fluide-solide ne change pas quand le flux d alimentation augmente. Par ailleurs, on considère que la teneur en catalyseur de la phase bulles est négligeable et, par conséquent, qu il n y a pas de réaction dans cette phase. Le bilan sur la phase bulles, pour une tranche de hauteur dz, s écrit alors de la manière suivante : (U U mf ) dc Ab = K g (C Ae C Ab ) a b ε b dz (8) avec C Ab (mol/m 3 ) concentration du réactif dans la phase bulles, C Ae (mol/m 3 ) concentration du réactif dans l émulsion, K g (m/s) coefficient de transfert de matière de la phase bulles à la phase émulsion, a b (m 2 /m 3 ) aire interfaciale d une bulle divisée par son volume, ε b fraction volumique occupée par les bulles. Le produit a b ε b correspond à l aire interfaciale bulles-émulsion par unité de volume du lit. Techniques de l Ingénieur, traité Génie des procédés J

6 CALCUL DES RÉACTEURS À LITS FLUIDISÉS Encadré 2 Variables du modèle de Orcutt et Davidson et résolution pour différents types de cinétique U mf, D b, ε b comme dans l encadré : 6 U U a b ; β = mf D b U Le coefficient de transfert de matière de la phase bulles vers la phase émulsion est : 0,975 g K g 0,75 U 0,25 = mf ,5 0,25 D b avec (m 2 /s) coefficient de diffusion du réactif. Le nombre d unités de transfert de matière est : N k K g a b ε b H = βu La constante réactionnelle adimensionnelle est : pour une réaction d ordre n. K K R H mf ( ε mf )( C Ai ) n = U Résolution du système d équations d après [7] : Réaction A R Calcul du taux de conversion X A du réactif d ordre 0 : r A = K R d ordre /2 : 0,5 r A = K R C A d ordre : r A = K R C A d ordre 2 : 2 r A = K R C A X A X A X A X A C = A = K C Ai C A C ( K ) 2 Ai 2[ β exp ( N k ) 2 ] 4[ β exp ( N k )] 2 = = ( K ) 2 C A β exp ( N k ) + β K exp ( N k ) = = C Ai β exp ( N k ) + K C A [ β exp ( N k )] β exp ( N C k ) Ai 2 K 4 K = = β exp ( N k ) r A vitesse de la réaction chimique (en mol/s) par kilogramme de catalyseur. Le bilan matière global sur la phase émulsion donne : U mf ( C Ai C Ae ) + HK g ( C Ab C Ae )a b ε b dz = ( ε )HK R ( C Ae ) n 0 avec C Ai (mol/m 3 ) concentration initiale du réactif, K R (s ) ε H (m) n (9) constante cinétique par rapport au volume du catalyseur, porosité du lit, hauteur opératoire du lit, ordre de la réaction chimique. La résolution simultanée des équations (8) et (9) permet de définir les profils de concentration en réactif A, dans les deux phases bulles et émulsion. La concentration moyenne à la surface du lit, C A pour z = H, peut être alors calculée par la relation : C A = β C Ab + ( β ) C Ae (0) avec β fraction du gaz passant dans la phase bulles. L intérêt de ce modèle très simple se trouve dans son développement pour les réactions d ordre différent de un. L encadré 2 résume l ensemble des équations nécessaires pour le calcul du taux de conversion suivant ce modèle. 2.3 Modèle triphasique de Kunii et Levenspiel La principale hypothèse de ce modèle [9], prenant en compte les trois phases bulles, nuages et émulsion, est que la totalité du fluide d alimentation passe dans la phase bulles (on néglige le flux passant dans les deux autres phases). Les phases nuages et émulsion participent toutefois activement à la réaction par le transfert de matière entre les trois phases (figure 4c ). J Techniques de l Ingénieur, traité Génie des procédés

7 CALCUL DES RÉACTEURS À LITS FLUIDISÉS Figure 5 Choix du modèle pour différents systèmes réactionnels La constante cinétique K R utilisée par Kunii et Levenspiel est définie par rapport au volume du catalyseur et les équations de bilan de matière pour une réaction du er ordre s écrivent : pour la phase bulles : dc Ab /dt = γ b K R C Ab + K bn (C Ab C An ) () pour la phase nuages : K bn (C Ab C An ) = γ n K R C An + K ne (C An C Ae ) (2) pour la phase émulsion : K ne (C An C Ae ) = γ e K R C Ae (3) avec dc Ab /dt variation de la concentration de A dans la phase bulles lors de leur ascension dans le lit, γ b volume de catalyseur en phase bulles par unité de volume des bulles, γ e volume de catalyseur en phase émulsion par unité de volume des bulles, γ n volume de catalyseur en phase nuages par unité de volume des bulles, K bn coefficient de transfert de matière de la phase bulles à la phase nuages, K ne coefficient de transfert de matière de la phase nuages à la phase émulsion. Les coefficients de transfert de matière K bn et K ne sont calculés respectivement par l équation de Davidson et Harrison et d après la théorie de Higbie. La résolution simultanée de ces équations conduit à une équation très simple : C A /C Ai = exp ( K T H /U b ) (4) avec K T (s ) constante globale de conversion comprenant les paramètres du système, U b vitesse moyenne d ascension des bulles dans le lit fluide. L encadré 3 résume l ensemble des équations qui permettent de définir les paramètres du modèle et de calculer le taux de conversion du réactif. Encadré 3 Équations du modèle de Kunii et Levenspiel Calcul des rapports volumiques : γ b 0,00 à 0,0 3U γ n ( ε mf ) mf ε mf + α U b U mf ε mf où α est une constante dépendant de la nature du solide employé [9] : α 0,25 pour du sable ; α 0,4 pour des billes de verre ; α 0,6 pour des catalyseurs de type Fee : ε γ e = γ ε n γ b b Calcul des constantes du transfert de matière : K bn 4,5 U mf = D 5, ,5 g 0,25 b ( D b ),25 (équation de Davidson et Harrison) ε mf U K ne b 6,78 0, D b (équation de Higbie) Calcul du taux de conversion X A du réactif : K T = γ b K R K bn γ n K R K ne γ e K R X A C A exp C K H = = T Ai U b Techniques de l Ingénieur, traité Génie des procédés J

8 CALCUL DES RÉACTEURS À LITS FLUIDISÉS 2.4 Modèle de Werther 2.5. Propriétés de mise en contact Par similitude avec les modèles applicables aux réacteurs gaz-liquide, Werther [2] [3] a proposé un modèle à deux phases, tenant compte du profil de concentration autour des bulles (figure 4d ). Le passage du réactif de la phase bulles à la phase émulsion (où la réaction a lieu) se fait d abord à travers un film de la phase émulsion dans lequel la concentration décroît pour arriver à la concentration finale au sein du volume de la phase émulsion. Dans ce modèle, comme dans celui de Kunii et Levenspiel, on néglige le passage du gaz à travers la phase émulsion et l on considère un écoulement piston dans la phase bulles. Par contre, Werther tient compte du changement des propriétés physiques du lit (tailles des bulles, porosité...) suivant la hauteur. Un des avantages du modèle de Werther est qu il utilise ses propres corrélations pour le calcul des paramètres du modèle (coefficient de transfert de matière, aire interfaciale bulle-émulsion, etc.). Ce modèle est particulièrement intéressant pour les réactions rapides mais peut être aussi utilisé pour les autres types de réactions. Cependant, l inconvénient de ce modèle réside dans sa complexité pour les réactions d ordre supérieur à un. Un exemple d application au cas du réacteur de production d anhydride maléique a été développé par Werther [3]. L ensemble des équations nécessaires pour l application du modèle de Werther à une réaction d ordre un est donné dans l encadré Exemples de calculs et comparaison des modèles L oxydation catalytique d ammoniac a fait l objet d une étude publiée par Massimila et reprise par Werther [2] comme exemple d application de son modèle. Il s agit d un lit fluidisé de 0,4 m de diamètre dont la hauteur à la vitesse minimale de fluidisation (H mf ) est de 0,58 m et la porosité (ε mf ) égale à 0,45. Les particules de catalyseur ont une taille moyenne de 200 µm et leur masse volumique est de 800 kg/m 3. La vitesse opératoire choisie (U ) est de 0, m/s. Les autres données du système sont : réaction du er ordre ; température : 250 o C ; pression : 0, MPa ; masse volumique du gaz : 0,7 kg/m 3, viscosité du gaz : Pa s ; coefficient de diffusion de l oxygène dans le milieu gazeux : 0,7 0 4 m 2 /s ; constante cinétique de réaction chimique : K R = 0,044 6 s par rapport à l unité de volume de l émulsion (pour avoir cette constante par rapport à l unité de volume du catalyseur, il faut la diviser par ( ε mf ), ce qui donne K R = 0,08 s par rapport au volume du catalyseur). On prend une grille en plaque de 000 trous par mètre carré, d où S o = 0 3 m 2. Dans ces conditions, nous allons appliquer les trois modèles présentés ci-avant et comparer les taux de conversion obtenus. En considérant z = H/3 suivant l équation (5) simplifiée, les valeurs calculées d après l encadré sont les suivantes : vitesse minimale de fluidisation : U mf = 0,04 m/s ; diamètre moyen des bulles : D b = 0,056 m ; vitesse moyenne d ascension des bulles : U b = 0,6 m/s ; fraction volumique occupée par les bulles : ε b = 0,4 ; porosité du lit : ε = 0,53 ; hauteur opératoire du lit [équation (2)] : H = 0,68 m Modèle de Orcutt et Davidson Les paramètres du modèle (l encadré 2) sont : la fraction du gaz passant dans la phase bulles : β = 0,86 ; la constante réactionnelle adimensionnelle : K = 0,258 ; le coefficient de transfert de matière de la phase bulles vers la phase émulsion : K g = 0,04 m/s ; le nombre d unités de transfert de matière : N k = 4,83. Le taux de conversion calculé est : X A = 20,5 % Modèle de Kunii et Levenspiel Les paramètres du modèle (l encadré 3) sont : la constante α = 0,25 ; la fraction volumique de solide dans la phase bulles : γ b = 0,00 ; la fraction volumique de solide dans la phase nuages : γ n = 0,23 ; la fraction volumique de solide dans la phase émulsion : γ e = 3, ; le coefficient de transfert de matière de la phase bulles vers la phase nuages : K bn = 4,3 s ; le coefficient de transfert de matière de la phase nuages vers la phase émulsion : K ne = 2,2 s ; la constante globale de la conversion : K T = 0,23 s. Le taux de conversion calculé est : X A = 22,6 % Modèle de Werther Les paramètres du modèle (l encadré 4) sont : l aire interfaciale totale bulles-émulsion : a = 24,2 m 2 /m 3 ; la fraction volumique occupée par les bulles : ε b = 0,4 ; les paramètres intermédiaires : F = 5,04 et J = 0,544 ; le coefficient de transfert de matière K g = 0,0 m/s obtenu avec x = 0,055 ; le nombre d unités de transfert de matière : N k = 2, ; le nombre de Hatta : Ha = 0,6. Le taux de conversion calculé est : X A = 24,4 %. J Techniques de l Ingénieur, traité Génie des procédés

9 CALCUL DES RÉACTEURS À LITS FLUIDISÉS Encadré 4 Équations du modèle de Werther pour une réaction catalytique d ordre U mf comme dans l encadré (équation de Wen et Yu [20]). On calcule D b = f (z) et D b max suivant les équations données dans l encadré. On ne déduit h* hauteur à laquelle les bulles atteignent leur taille maximale (pour une première approximation h* m). L aire interfaciale totale bulles-émulsion (en m 2 /m 3 ) est donnée par : avec Φ (D L ) = 0,64 pour D L 0, m =,60 (D L ) 0,4 pour 0, m < D L < m =,60 pour D L m D L étant le diamètre du lit fluidisé : pour H > h*. La fraction volumique occupée par les bulles est : avec : ou : pour H > h*. Le coefficient de transfert de matière de la phase bulles vers la phase émulsion (en m/s) est : avec x = 0,56 pour le sable, x ( U U mf ) a = ,2 ( U U mf ) Φ ( D L )F H F = ,8 [ ( + 6,84H ) 0,8 ] pour H < h* H F = ,8 [ ( + 6,84 h* ) 0,8 ] + [( + 6,84 h* ),8 ( H h* )] U U mf J ε b = 2, [ + 27,2 ( U U mf )] 6 / Φ ( D L ) 0,37 J = [( + 6,84 H ) H 0,4 ] pour H < h* 0,37 J [( + 6,84 h* ) H 0,4 ] ( + 6,84 h* ) 0,6 h* = H K g = 3, ,2( U U x mf ) = 0,055 pour les catalyseurs poreux silice-alumine. Le nombre de Hatta est : Ha K R = K g Le nombre d unités de transfert de matière est : K N g ah k = U U mf Le rapport volumique nuages/émulsion est : a δ ψ = ( ε b ) avec δ = épaisseur de la couche formée autour des bulles. K g Encadré 4 Équations du modèle de Werther pour une réaction catalytique d ordre (suite) Le taux de conversion du réactif (X A ) est calculé par : X A C = A = C Ai exp ψ (tanh signifiant tangente hyperbolique). ( )Ha + ( tanhha ) ( ψ )Ha ( tanhha ) + N Ha K 2.6 Modèles réactionnels pour la zone au-dessus de la grille et la zone de désengagement La zone de désengagement des particules est au-dessus de la surface du lit. Le rôle de ces deux zones peut être plus ou moins important selon les conditions opératoires. Dans la zone au-dessus de la grille, des jets se forment juste au-dessus des orifices de la grille et, de ce fait, les modèles basés sur le transfert de matière entre la phase bulles et la phase émulsion ne peuvent être appliqués sans certaines modifications. Le modèle pour cette zone doit être impérativement pris en compte pour les réactions rapides où une partie importante de la réaction se fait dès l entrée du réactif. Grace propose [7] [4] [7], pour la zone au-dessus de la grille, l application du modèle de Orcutt (ou modèle à deux phases de Grace) en tenant compte des propriétés particulières de mise en contact dans cette région (hauteur de pénétration des jets, aire de contact...). Dans la zone de désengagement, les particules de solide sont projetées par l éclatement des bulles à la surface du lit [5] [6]. Il existe donc une certaine présence du catalyseur au sein du volume gazeux et la réaction peut continuer dans cette zone. Yates et Rowe ont proposé [6] un modèle simple et efficace qui considère qu un tiers du volume des bulles est constitué par une traînée de particules dont une fraction f est projetée vers le haut avec une répartition uniforme dans l espace. Ces hypothèses simples permettent à Yates et Rowe de définir la porosité dans la zone de désengagement par : ε f = f ( ε mf ) (U U mf )/3 (U U t ) (5) avec f constante du modèle de Yates : fraction volumique de la traînée des bulles éjectées dans la zone de désengagement, U t vitesse terminale de chute libre des particules (à calculer selon les méthodes classiques données dans [] [7]). Le bilan matière en réactif A s écrit alors : dc A /dt = K g [6 ( ρ g )/d p ] (C A C Ap ) (6) où ρ g représente la masse volumique du gaz et CAp la concentration de A à la surface des particules, qui peut être calculée en égalant le flux massique de la matière réactive vers la surface de la particule et celui de la disparition du réactif A due à la réaction chimique. L équation (6) peut être alors intégrée et donne : C Ad /C As exp ( z H)f = ( U U t )[ d p 6K g ( ε mf ) + /K R ] (7) avec z variable de hauteur par rapport à la grille de fluidisation, H hauteur du lit bouillonnant, C As concentration du réactif A à la surface du lit, C Ad concentration du réactif A dans la zone de désengagement. Techniques de l Ingénieur, traité Génie des procédés J

10 CALCUL DES RÉACTEURS À LITS FLUIDISÉS L encadré 5 résume l ensemble des équations nécessaires pour le calcul de la zone de désengagement ainsi que celles pour le calcul de la région au-dessus de la grille. Encadré 5 Modèle pour les réactions dans la zone des jets au-dessus de la grille et dans la zone de désengagement au-dessus du lit Zone des jets au-dessus de la grille On applique le modèle de Orcutt avec les variables ci-dessous : H j = 5,2 d or ρ g d 0,3 or ρ p d p β, U U or f ; f πd 2 = = = or or or 4 N k 2 0,2 U, gd or / L j 2 ; a j 6 à 8 f or K gj a j H = j U K K R ( ε j )( ε mf )H = j U d or avec H j (m) hauteur des jets, d or (m) diamètre des orifices de la grille, f or rapport de la surface totale occupée par les orifices de la grille et de la section du lit, U or (m/s) vitesse de passage du gaz à travers les orifices de la grille, a j (m 2 /m 3 ) aire interfaciale jet-émulsion, L j (m) distance séparant les jets au niveau de la grille de fluidisation, K gj (m/s) coefficient de transfert de matière des jets vers la phase émulsion, ε j porosité dans la zone des jets. Zone de désengagement au-dessus du lit On applique le modèle de Yates et Rowe [6] : Sh = 2 + 0,69 Sc /3 Re /2 (relation liant le nombre de Sherwood Sh, le nombre de Schmidt Sc et le nombre de Reynolds Re ). K g Sh = d p 3. Réactions à solides consommables 3. Introduction aux réactions gaz-solide Les solides consommables sont ceux qui réagissent directement avec le réactif gazeux. Il existe deux types de réactions à solides consommables : A (gaz) + ν B (solide) C (produits) celles qui donnent un produit gazeux entraînant la diminution de la taille des particules au fur et à mesure que la réaction avance (figure 6a ) ; celles qui donnent lieu à la formation d un produit solide qui se forme sur la surface des particules et n entraînent pas un changement sensible de la taille de celles-ci (figure 6b ). Comme nous l avons vu dans les paragraphes précédents, les bulles entraînent dans leur sillage les particules de solide et, de ce fait, elles créent une certaine agitation dans le lit fluidisé. Ainsi a-t-il été démontré [] [7] que la phase émulsion est parfaitement mélangée. Dans ce cas, la fonction de distribution des temps de séjour des particules est du type exponentielle : E (t ) = (/τ ) exp ( t /τ ) où E (t ) représente la fonction de la distribution des temps de séjour t et τ le temps de séjour moyen des particules dans le lit fluidisé [9]. La mise en équations des systèmes réactionnels à solides consommables nécessite l établissement de deux séries de bilans matières : le bilan matière sur la phase gazeuse ; le bilan matière sur la phase solide. Les équations concernant ces deux bilans sont interactives et leur résolution simultanée implique l utilisation des méthodes itératives. Nous ne considérerons ci-après que les systèmes réactionnels où l aspect physique des particules ne change pas au cours de la réaction. K g étant le coefficient de transfert de réactif A du fluide aux particules. X A C = Ad = exp C As ( z H)f d 3( U U t ) p K g ( ε mf ) K R avec f fraction volumique de la traînée des bulles éjectées dans la zone de désengagement (constante à ajuster), X A taux de conversion du réactif au-dessus de la surface du lit. Figure 6 Différents types du processus de transformation des solides consommables J Techniques de l Ingénieur, traité Génie des procédés

11 CALCUL DES RÉACTEURS À LITS FLUIDISÉS 3.2 Bilan matière sur la phase solide Considérons d abord le cas des particules de taille d pi appartenant à la tranche granulométrique i. Le taux de conversion de ces particules dépend essentiellement de trois variables : leur taille initiale ; la concentration du réactif gazeux dans la phase émulsion (C Ae ) où se trouvent les particules du réactif solide ; le temps de réaction t. On écrira dans ce cas : X pi = ( d pi, C Ae, t ) (8) où X pi représente le taux de conversion d une particule et la fonction qui relie X pi aux trois variables mentionnées ci-dessus. Comme toutes les particules (de taille d pi ) ne passent pas le même temps dans le réacteur (principe de la distribution des temps de séjour), alors le taux de conversion moyen des particules est défini par : X pi = X pi E i ( t )dt 0 (9) avec E i (t ), fonction de distribution des temps de séjour des particules de taille d pi, définie par : E i (t ) = (/τ i ) exp ( t /τ i ) (20) Pour les lits fluidisés avec une certaine élutriation, le temps de séjour moyen des particules de taille initiale d pi peut être calculé d après [] [7] par la relation : τ i = M /[W + K i ( η i ) S ] (2) avec K i constante d élutriation des particules de taille d pi au-dessus de la hauteur de désengagement, η i efficacité du cyclone pour la récupération des particules de taille d pi, M masse totale du solide réactif dans le lit, S section droite du réacteur, W débit massique de soutirage du solide réactif. Pour les solides ayant une large distribution granulométrique, on doit appliquer les équations (8), (9), (20) et (2) par tranche de taille. Le taux de conversion moyen du solide réactif (X B ) est alors défini par : n X B = X pi G i (22) i = avec G i fraction massique des particules solides appartenant à la classe granulométrique i. La résolution des équations (8), (9), (20), (2) et (22) fait intervenir la concentration du réactif gazeux dans la phase émulsion (C Ae ). Celle-ci peut être calculée en écrivant les équations du bilan matière sur le gaz. C Ae /C Ai = [ β exp ( N k )]/ [ β exp ( N k ) + K ] β exp ( N C Ab / C k ) + K exp ( N k ) Ai = β exp ( N k ) + K (24) (25) avec C Ab (mol/m 3 ) concentration du réactif gazeux A dans la phase bulles, C Ai (mol/m 3 ) concentration initiale du réactif gazeux A dans l alimentation, C Ae (mol/m 3 ) concentration du réactif gazeux A dans la phase émulsion, N k nombre d unités de transfert de matière, K constante adimensionnelle de la réaction chimique, β fraction volumique du gaz passant dans la phase bulles. Les équations (24) et (25) comportent trois constantes : β, N k et K dont les deux premières peuvent être calculées selon les équations données dans l encadré 2 (p. 6) : β = (U U mf )/U (26) N k = K g a b ε b H /(βu ) (27) Cependant K, qui correspond à la constante adimensionnelle de la réaction chimique, ne peut être calculée par l équation donnée dans l encadré 2. En effet, cette équation est basée sur la cinétique des réactions catalytiques et ne peut être appliquée au cas des solides consommables. En fait, la valeur de K est incluse indirectement dans l équation (8) où le taux de conversion d une particule est lié à la concentration du réactif gazeux (C Ae ). De ce fait, le système d équations (8) à (27) ne peut être résolu que par une méthode itérative basée sur la variable K. Enfin, les taux de conversion des réactifs gazeux et solide (respectivement X A et X B ) doivent satisfaire le rapport stœchiométrique ν de la réaction : ν (nombre de moles du réactif gazeux A consommé) = nombre de moles du réactif solide B consommé (28) ν U S C Ai X A = (W o /M B ) X B avec ν coefficient stœchiométrique de la réaction gaz-solide, M B (kg/mol) masse molaire du réactif solide, W o (kg/s) débit massique du réactif solide à l alimentation. L équation (28) constitue le test de convergence de la procédure des calculs itératifs du système d équations (8) à (27). L ensemble des équations du système et la démarche à effectuer sont exposés dans l encadré 6. Un exemple de dimensionnement du réacteur de traitement de minerai de zinc (solide consommable) est traité dans [24]. 3.3 Bilan matière sur le gaz Le bilan sur la phase gazeuse s écrit en appliquant le modèle de Orcutt [6] développé pour les réactions catalytiques. La résolution simultanée des équations (8), (9) et (0) de ce modèle pour une réaction d ordre donne (encadré 2) : X A = (C A /C Ai ) = [β C Ab /C Ai + ( β ) C Ae /C Ai ] (23) Techniques de l Ingénieur, traité Génie des procédés J 4 00

12 CALCUL DES RÉACTEURS À LITS FLUIDISÉS Encadré 6 Équations du modèle pour réacteurs fluidisés à solides consommables Réactions : A (gaz) + ν B (solide) produits (taille des particules constante) Phase gazeuse Appliquer le modèle de Orcutt pour les réactions d ordre : C Ae β exp ( N k ) = C Ai β exp ( N k ) + K C Ab β exp ( N k ) + K exp ( N k ) = C Ai β exp ( N k ) + K X A β C Ab ( β ) C Ae = C Ai C Ai Phase solide Définir le taux de conversion X pi = ( C Ae, d pi, t ) à partir de la cinétique. Calculer la valeur moyenne X pi par la relation : X pi = X pi exp ( t / τ 0 τ i ) dt i avec τ i M = , W + K i S ( η i ) τ i (s) temps moyen de séjour des particules de taille d pi, K i constante d élutriation des particules de taille d pi au-dessus de la hauteur de désengagement, M (kg) masse totale du solide réactif dans le lit fluidisé, S section droite du réacteur, W (kg/s) débit massique de solide réactif au soutirage, η i efficacité du cyclone pour la tranche granulométrique i. Calculer le taux de conversion globale du solide (réactif B) : n X B = G i X pi i = avec G i fraction massique des particules solides appartenant à la classe granulométrique i. Vérifier le bilan stœchiométrique : ν USC Ai X A W o = X M B B avec W o (kg/s) débit massique de solide à l alimentation, M B (kg/mol) masse molaire du solide (réactif B), X A taux de conversion du fluide (réactif A), X B taux de conversion du solide (réactif B). Nota : les calculs sont itératifs avec K comme variable d itération. 4. Technologie des réacteurs à lits fluidisés Les réacteurs à lits fluidisés peuvent être de conception très variée selon le type de solide, la vitesse opératoire, la nature de la réaction, etc. En pratique, on peut diviser ces réacteurs en trois catégories (figure 7) : réacteur à lit bouillonnant (régime de vitesses modérées) et à foyer unique ; réacteur à lit bouillonnant (régime de vitesses modérées) multiétagé ; réacteur à lit circulant (vitesses opératoires importantes). Les réacteurs à lit bouillonnant monoétagé sont couramment utilisés dans les procédés tels que réactions catalytiques [22] [23], traitement de minerais [24] [25] et régénération des solides [26]. Ces réacteurs ont l avantage d être simples et robustes, et nécessitent peu d entretien, mais ils ne sont pas les plus performants. Les réacteurs multiétagés permettent d obtenir une meilleure distribution des temps de séjour (aussi bien pour le gaz que pour le solide) et offrent une possibilité d échange de chaleur entre deux étages successifs. Cependant, ces réacteurs sont plus coûteux et leur fonctionnement est plus compliqué que celui des réacteurs à foyer unique. Les réacteurs à lits circulants offrent l avantage d opérer à des vitesses très importantes (jusqu à quelques mètres par seconde), mais posent souvent des problèmes d usure des pièces et de contrôles de la température et du débit de circulation des solides. En effet, la jambe de retour (la conduite dans laquelle le solide passe de la sortie basse du cyclone vers le foyer principal) est souvent le siège de problèmes dus à la formation de bouchons. Dans certains procédés utilisant ce type de réacteurs (comme la combustion du charbon), on mélange le solide réactif avec un produit non réactif pour, d une part, créer une certaine inertie thermique et, d autre part, répartir plus facilement la chaleur dégagée par la réaction sur toute la hauteur du lit fluidisé. Parmi les exemples les plus connus de réacteurs à lit bouillonnant, on peut citer le réacteur de production d acrylonitrile, qui est un lit fluidisé d une dizaine de mètres de hauteur et de plusieurs mètres de diamètre [23]. La réaction de formation du produit est du type catalytique avec fort dégagement de chaleur. La réaction principale est la suivante : C 3 H 6 + NH 3 + 3/2 O 2 CH 2 CH CN + 3/2 H 2 O + 84 kj propylène acrylonitrile Étant donnée la vitesse élevée de fluidisation ( 0,4 m/s), les particules de catalyseur (dont la taille ne dépasse pas une centaine de micromètres) sont fortement entraînées vers le haut. De ce fait, une batterie importante de cyclones est placée à l intérieur même de l enceinte, pour éviter la sortie des particules. Par ailleurs, un réseau de tubes échangeurs est plongé dans la partie bouillonnante du lit pour maintenir la température autour de 450 o C (figure 8). Un autre procédé typique utilisant ce type de réacteurs est celui du traitement du sulfure de zinc [24] [25]. Le mécanisme réactionnel de la conversion du minerai correspond à la réaction d oxydation suivante : ZnS + 3/2 O 2 ZnO + SO kj par kg ZnS Le caractère dangereux du gaz produit (air + SO 2 ) fait que l on opère sous une pression légèrement inférieure à 0, MPa. Étant donnée la température très élevée du réacteur (environ 000 o C), on utilise des matériaux réfractaires pour la construction des parois. Dans l exemple de la figure 9, qui correspond à un réacteur du type Lurgi, on distingue la boîte de distribution d air (appellée boîte à vent ), de forme conique, et un distributeur de gaz équipé de tuyères. J Techniques de l Ingénieur, traité Génie des procédés

13 CALCUL DES RÉACTEURS À LITS FLUIDISÉS Parmi d autres procédés de traitement des solides consommables, on peut citer ceux de la combustion de charbon (procédés Winkler, Babcock, U-gas, etc.), le procédé de calcination des carbonates et aussi celui de la réduction de minerais de fer. Ces procédés utilisent avantageusement les lits multiétagés et les lits circulants (figure 7). Figure 8 Réacteur du procédé Sohio de production d acrylonitrile (d après [23]) Figure 7 Exemples de différents types de réacteurs à lits fluidisés (d après []) Figure 9 Réacteur à lit fluidisé du type Lurgi utilisé pour le traitement du minerai de zinc (d après [25]) Techniques de l Ingénieur, traité Génie des procédés J

14 CALCUL DES RÉACTEURS À LITS FLUIDISÉS 5. Conclusion Notations et Symboles Nous avons étudié, dans les paragraphes précédents, le cas des réacteurs à lit fluidisé les plus courants dans la pratique industrielle. Cependant, les méthodes exposées ne s appliquent ni au cas des réacteurs à fluidisation rapide, ni au cas des réacteurs utilisés pour le traitement des solides consommables avec changement de taille des particules. En effet, ce type de réacteur nécessite l application de modèles basés sur des équations de bilan de population des particules, différentes de celles exposées ci-avant. Dans certains cas, le dimensionnement des installations dépend surtout des connaissances pratiques des phénomènes régissant le système. Il en est ainsi, par exemple, des lits circulants pour lesquels il existe peu de modèles applicables aux réacteurs industriels [9] [9]. Dans d autres cas, les modèles existants sont complexes et impliquent l utilisation des méthodes numériques. Par exemple, les réacteurs à solides consommables avec changement de taille des particules nécessitent l écriture des bilans de population sur l ensemble des classes granulométriques, qui alourdissent sensiblement les calculs [9]. Il existe actuellement quelques logiciels permettant d effectuer les calculs des systèmes fluidisés en conception assistée par ordinateur [22] [24]. Cependant, il ne faut pas oublier que le bon dimensionnement d un réacteur à lit fluidisé dépend avant tout d une connaissance approfondie du système étudié. Notations et Symboles Symbole Unité Définition A Réactif gazeux (fluide) Ar Nombre d Archimède a m 2 /m 3 Aire interfaciale totale bullesémulsion a b m 2 /m 3 Aire interfaciale d une bulle divisée par son volume a j m 2 /m 3 Aire interfaciale jet-émulsion B Réactif solide (pour le cas des solides consommables) C A mol/m 3 Concentration du réactif A à la surface du lit C Ab mol/m 3 Concentration du réactif A dans la phase bulles C Ad mol/m 3 Concentration du réactif A dans la zone de désengagement C Ae mol/m 3 Concentration du réactif A dans l émulsion C Ai mol/m 3 Concentration initiale du réactif A C An mol/m 3 Concentration du réactif dans la phase nuages C Ap mol/m 3 Concentration du réactif A à la surface des particules C As mol/m 3 Concentration du réactif A à la surface du lit m 2 /s Coefficient de diffusion du réactif dans le milieu gazeux D b m Diamètre moyen des bulles D b max m Diamètre maximal des bulles D L m Diamètre du lit fluidisé d or m Diamètre des orifices de la grille d p m Taille moyenne des particules d pi m Taille des particules de la classe granulométrique i Symbole Unité Définition F Paramètre intermédiaire du modèle de Werther f Constante du modèle des Yates : fraction volumique de la traînée des bulles éjectée dans la zone de désengagement f or m 2 /m 2 Surface totale occupée par les orifices de la grille divisée par la section du lit g 9,8 m/s 2 Accélération due à la pesanteur G i Fraction massique des particules solides appartenant à la classe granulométrique i H m Hauteur opératoire du lit H j m Hauteur des jets H mf m Hauteur du lit au minimum de fluidisation Ha Nombre de Hatta h* m Hauteur à laquelle les bulles atteignent leur taille maximale J Paramètre intermédiaire du modèle de Werther K bn s Coefficient de transfert de matière de la phase bulles à la phase nuages K i kg s m 2 Constante d élutriation des particules de taille d pi K ne s Coefficient de transfert de matière de la phase nuages à la phase émulsion K T s Constante globale de conversion dans le modèle de Kunii et Levenspiel K g m/s Coefficient de transfert de matière K gj m/s Coefficient de transfert de matière des jets vers la phase émulsion K R s Constante cinétique (par rapport au volume de catalyseur, sauf pour le modèle de Werther où elle est définie par rapport au volume de l émulsion) K Constante réactionnelle adimensionnelle du modèle d Orcutt et Davidson L j m Distance séparant les jets au niveau de la grille de fluidisation M kg Masse totale du solide dans le lit fluidisé M B kg/mol Masse molaire du solide (réactif B) ṁ mol s m 2 Flux spécifique molaire de matière transférée N k Nombre d unités de transfert de matière r A mol s kg Vitesse de la réaction chimique par unité de masse de catalyseur S m 2 Section droite du lit S o m 2 Section du lit divisée par le nombre de trous de la grille t s Temps de réaction t i s Temps moyen de séjour des particules de taille d pi U m/s Vitesse de fluidisation (débit volumique/section du lit) U b m/s Vitesse moyenne d ascension des bulles J Techniques de l Ingénieur, traité Génie des procédés

15 CALCUL DES RÉACTEURS À LITS FLUIDISÉS Notations et Symboles Symbole Unité Définition U mf m/s Vitesse minimale de fluidisation U or m/s Vitesse de passage du gaz à travers la grille U t m/s Vitesse terminale de chute libre des particules W o kg/s Débit massique de solide à l alimentation W kg/s Débit massique de solide au soutirage X A Taux de conversion du fluide (réactif A) X B Taux de conversion du solide (réactif B) X pi Taux de conversion des particules de taille d pi z m Hauteur par rapport à la grille de fluidisation α Constante du modèle de Kunii et Levenspiel β Fraction volumique du gaz passant dans la phase bulles δ m Épaisseur de la couche formée autour des bulles (modèle de Werther) ε Porosité du lit ε b Fraction volumique occupée par les bulles ε f Porosité dans la zone de désengagement ε j Porosité dans la zone des jets ε mf Porosité au minimum de fluidisation µ Pa s Viscosité du fluide γ b Volume de catalyseur en phase bulles par unité de volume des bulles γ e Volume de catalyseur en phase émulsion par unité de volume des bulles γ n Volume de catalyseur en phase nuages par unité de volume des bulles η Efficacité du cyclone ν Coefficient stœchiométrique de la réaction gaz-solide ρ g kg/m 3 Masse volumique du gaz ρ p kg/m 3 Masse volumique des particules τ i s Temps de séjour moyen des particules appartenant à la tranche granulométrique i ψ Facteur intermédiaire du modèle de Werther définissant le rapport volumique nuages/émulsion b d e i j mf n or p s Notations et Symboles Symbole Unité Définition Liste des Indices bulle désengagement émulsion (suspension gaz-solide) classe granulométrique des particules de taille d pi jets (zone au-dessus de la grille) minimum de fluidisation nuage (autour d une bulle) orifice (grille) particule surface Références bibliographiques [] GELDART (D.). Gas fluidization technology. J. Wiley et Sons (986). [2] THONGLIMP (V.), HIQUILY (N.) et LAGUÉRIE (C.). Powder Tech., 38, p. 233 (984). [3] DARTON (R.C.), LA NAUZE (R.D.), DAVIDSON (J.F.) et HARRISON (D.). Trans. Inst. Chem. Engrs., vol. 55, p. 274 (977). [4] MAY (W.G.). Chem. Eng. Prog., vol. 55, n o 2, p. 49 (959). [5] VAN DEEMTER (J.J.). Chem. Eng. Sc., vol. 3, p. 43 (96). [6] ORCUTT (J.C.), DAVIDSON (J.F.) et PIGFORD (R.L.). Chem. Eng. Prog. Sym., vol. 58, n o 38, p. (962). [7] GRACE (J.R.). Gas fluidization technology. J. Wiley et Sons (986). [8] KATO (K.) et WEN (C.Y.). Chem. Eng. Sc., vol. 24, p. 35 (969). [9] KUNII (D.) et LEVENSPIEL (O.). Fluidization engineering. 2 e éd. Butterworth-Heinemann (99). [0] GRACE (J.R.). I & EC Fundamentals, vol. 4, part I, II et III, p. 75 à 9 (975). [] WESTERINK (E.J.) et WERSTERTERP (K.R.). Chem. Eng. Sc., vol. 45, n o, p. 333 (990). [2] WERTHER (J.). Chem. Eng. Sc., vol. 35, p. 372 (980). [3] WERTHER (J.). 7 th. International Chem. Reaction Eng. Conf., Boston, p. (982). [4] GRACE (J.R.). NATO repport, juin 985. [5] YATES (J.G.). Fundamentals of fluidized-bed chemical processes. Butterworths (983). [6] YATES (J.G.) et ROWE (P.N.). Trans. Instn. Chem. Engrs., vol. 55, p. 37 (977). [7] GRACE (J.R.) et de LASA (H.I.). AIChE J., vol. 24, p. 364 (978). [8] BAKER (H.A.), BEER (J.M.) et GIBBS (B.M.). Inst. Fuel Sym. Ser., n o, p. A- (975). [9] KUNII (D.) et LEVENSPIEL (O.). Power Technology, vol. 6, p. 93 (990). [20] WEN (C.Y.) et YU (Y.H.). AIChE J., vol. 2, p. 60 (966). [2] CLIFT (R.) et GELDART (D.). Gas fluidization technology. J. Wiley et Sons (986). [22] SHAKOURZADEH (K.). Fluidisation VI. J. Casal, Girona, Espagne, p. 283 (990). [23] VEATCH (F.), CALLAHAN (J.L.), IDOL (J.D.) et MILBERGER (E.G.). Hydrocarbon Proc. and Petroleum Refiner, n o 4, vol., p. 87 (962). [24] SHAKOURZADEH (K.) et GUIGON (P.). Récents progrès en génie des procédés : la fluidisation (Congrès de Toulouse), vol., p. 9, Lavoisier. Technique et Documentation (99). [25] AVEDESIAN (M.M.). 24 th CSChE Meeting, Ottawa (974). [26] BAUDEQUIN (F.). Fluidisation VI. J. Casal, Girona, Espagne, p. 283 (990). Techniques de l Ingénieur, traité Génie des procédés J