Coniques Parabole. 4ème Maths ABDELBASSET LAATAOUI

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1 Coniques Parabole 4ème Maths ABELBASSET LAATAOUI Activité 1 age 97 f : x x² ; P = Cf : y = -1/4 et F(, ¼) M(x, y) et H = ( M) 1) onner les coordonnées de H en fonction de x uis calculer et MH ) = MH 1 1 x² + y = y+ 4 4 Activité age 97 une droite du lan et F 1) H M est le centre d un cercle assant ar F et tangent à en H = MH M (MH) en H M MH = ) P = { M centre d un cercle assant ar F et tangent à } On note H = ( M) a) Montrons que P = M P/ = 1 MH M P M centre d un cercle assant ar F et tangent à d(m, ) = MH = 1 MH = Inversement si 1 MH = avec H = ( ) M = MH = d(m, ) est tangente à ζ ( M, ) en H b) Construction 3) Soit K = ( F) et O = K F 1 Coniques : Parabole 4 ème Maths wwwesacemathscom

2 Coniques Parabole 4ème Maths ABELBASSET LAATAOUI éfinition OF OF = OK 1 OK = et K = ( ) F O P Etant donnés une droite et un oint F n aartenant as à, On aelle arabole de foyer F et de directrice l ensemble des oints M du lan tels que = MH où H = ( M) ou bien = d(m, ) On note P (F, ) = {M P / = d(m, )} Vocabulaire P une arabole de foyer F et de directrice La erendiculaire menée de F est aelée axe focal d(f, ) est aelée aramètre de P Activité 3 age 98 P une arabole de foyer F et de directrice K = ( F) 1) Soit S = F K Montrer que S (FK) P ) M P et N = S( ) ( M ) = NF FK Si H = ( N) MHH N est un MH = NH Toute arabole admet comme axe de symétrie son axe focal Toute arabole rencontre son axe focal en un oint unique S aelé sommet de la arabole Le sommet de P (F, ) est le milieu de [FK] où K = ( F) Activité 4 age 98 Coniques : Parabole 4 ème Maths wwwesacemathscom

3 Coniques Parabole 4ème Maths ABELBASSET LAATAOUI Equation réduite d une arabole Activité 1 age 98 FK = 1 i= un vecteur unitaire ( Si,, j ) 1) est un reère orthonormé = i= i F, SK = K, : ( ) ( ) ) M(x, y) P H(, ) ² = MH² = ² = MH² P une arabole de sommet S, de foyer F, de aramètre et de directrice On munit le lan à un reère orthonormé ( Si,, j) 1 où i= La arabole P a our équation y² = x, : x = et F, Inversement ans un reère orthonormé ( Oi,, j) du lan, l ensemble des oints M(x, y) tels que y² = x ( > ) est la arabole de foyer F,, de directrice : x =, de aramètre et de sommet O y² = x est l équation réduite de P Activité age 99 P = {M(x, y) / y² = x} et P = {M(x, y) / y² = - x} 1) M(x, y) P y² = x N(x, y ) = ( ) ( ) x ' = S M O, j y ' = y ² = N P ) P est une arabole de foyer F ', et de 3 Coniques : Parabole 4 ème Maths wwwesacemathscom

4 Coniques Parabole 4ème Maths ABELBASSET LAATAOUI directrice : x = 3) P = {M(x, y) / x² = y} On ose F '', et : y = Soit M(x, y) P Montrer que = d(m, ) et conclure euxième forme R = (,, i j) Ω est un reère orthonormé du lan Une courbe (Γ) ayant our équation dans R : (x² = ky ; k IR*) est une arabole, son foyer est le oint k F, et sa directrice est la droite : k y = Le oint Ω est le sommet de cette arabole, la droite ( Ω, j) est son axe Le réel ositif = k est son aramètre Activité 1 age 113 Exercice : est un reère orthonormé direct du lan ( Oi,, j ) Soit f la similitude directe de centre A(, 1), de raort et d angle 4 π ( Γ ) : x² + y² - xy + x 3y = 1) a) éterminer une équation de ( Γ ) image de Γ ar f En déduire que ( Γ ) est une arabole dont on récisera le sommet, le foyer et la directrice b) Construire ( Γ ) ) En déduire la nature de ( Γ ) et la construire 4 Coniques : Parabole 4 ème Maths wwwesacemathscom

5 Coniques Parabole 4ème Maths ABELBASSET LAATAOUI Tangente à une arabole Soit P une arabole de foyer F, de directrice, de aramètre P : y² = x ( i et sont de même sens) ( Si,, j ) P : y² = x y = ; x P = (C f ) (C -f ) où f : x Soit x ], + [ Calculer f ( ) x Soit (, ) M x y (C f ) écrire une équation cartésienne de la droite (T) tangente à (C f ) au oint M Si x = alors M = S le sommet de P Calculer f( x) - f lim x x + x x ( x ) uis donner une équation de la tangente à P en S est un reère orthonormé du lan P est une arabole d équation y² = kx ; k IR* P admet en chacun de ses oints (, ) reère : yy = k( x+ x ) M x y une tangente (T) ayant our équation cartésienne dans le même En articulier : P admet en son sommet S une tangente dont l équation cartésienne dans le même reère est celle de la droite ( S, j), elle est donc arallèle à la directrice de P euxième forme Si la arabole P a our équation cartésienne dans ( Si,, j) : (x² = ky ; k IR*) alors la tangente (T) à P en un oint M ( x, y ) de P a our équation cartésienne dans le même reère : xx k( y y ) En articulier : = + La tangente à P en son sommet S a our équation (y = ), c est la droite ( Si, ) arallèle à la directrice : Exercice résolu 1 age 1 Exercices : k y = 5 Coniques : Parabole 4 ème Maths wwwesacemathscom