Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS

Transcription

1 Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS LIBERGE Erwan erwan.liberge@univ-lr.fr Directeur de thèse : A. Hamdouni Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 1/18

2 Introduction Intérêt de la réduction de modèles par la méthode POD Système dynamique de faible dimension Etude de stabilité Contrôle actif Temps de calcul réduit et diminution du stockage de données Développement croissant en turbulence depuis une décénnie Initié en turbulence par Lumley(1967) En mécanique des structure la POD est un domaine récent d investigation Trindade (2005), Sarkar et Paidousis (2004), Epureanu (2004) Cela débuteadaptation en de interaction la POD aux domaines fluides mobiles fluide : application àstructure la réduction de modèle par POD en IFS p. 2/18

3 Plan Introduction Décomposition orthogonale aux valeurs propres problème aux valeurs propres associé à la POD Propriétés des fonctions issues de la POD La snaphot POD Application aux domaines mobiles Problématique Introduction d un domaine de référence Test de la base POD Application à la réduction de modèle Test sur un cas monodimensionel Conclusion Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 3/18

4 Décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD) Analyse en composantes principales (ACP) en analyse de données Introduite en mécanique des fluides par Lumley (1967) identification des structures cohérentes Construction d une base "physique" optimale au sens énergétique Essor fin des années 80 nombreuses applications : canal, cavité entraînée, disque contra-rotatif, couche de mélange, jet... (Sirovich et al., Adaptation Cazemier de la POD aux...) domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 4/18

5 Problème aux valeurs propres associé à la POD Soit u (x,t) le champ de vitesses (supposé aléatoire) à valeurs réelles, on cherche une fonction φ (déterministe), dans H = L 2 (Ω), telle que max Φ H (u,φ) 2 (Φ,Φ) = 1 (, ) correspond au produit scalaire de H et est un opérateur de moyenne statistique. Trouver λ R et φ L 2 (Ω) tels que R(x,y) φ(y) = λφ(x) (2) Ω où R(x,y) = u(x,t) u(y,t) est le tenseur de corrélations spatial Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 5/18 (1)

6 Propriétés des fonctions issues de la POD λ n R + λ 1 > λ 2 >... > λ n 1 > λ n (φ n,φ m ) = δ nm, φ n vérifient les CL et div (φ n ) = 0 Toute réalisation du champ u (x,t) peut s écrire : u (x,t) = + n=1 a n (t) φ n (x) au sens de L 2 (Ω) où a n (t) = (u (,t),φ n ) N Energie : E N = a n (t)a n (t) = n=1 N n=1 λ n Meilleure approximation au sens énergétique Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 6/18

7 La Snapshot POD (Sirovitch, 1987) M : nombre de réalisation de l écoulement N m le nombre de noeud n c Le nombre de composantes M << N m n c On recherche les coefficient temporels a sous la forme : Φ (x) = M k=1 a (t k )u(x,t k ) Ce qui revient à résoudre le problème aux valeurs propres suivant : M k=1 1 M (u (t i),u(t k ))a(t k ) = λa (t i ) pour i = 1...M Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 7/18

8 Application aux domaines mobiles u ΓI = V ΓI F F = σ F.n avec n normale extérieure Problématique Base spatiale alors que les domaines sont mobiles. Difficulté à connaître le domaine relatif à chaque modes Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 8/18

9 Application aux domaines mobiles Calcul de la matrice Snapshot : C = [c ij ] où c ij = 1 (u (t M i, ),u(t j, )) Problème : Definition du produit scalaire (, ) pour le calcul de C? les domaine fluides à l instant i et j ne sont pas identiques. Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 8/18

10 Application aux domaines mobiles Solutions envisagées : Avoir une évolution des modes propres au cours du temps (base adaptative?) Utiliser un domaine de référence englobant toutes les positions du domaines mobiles. Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 8/18

11 Utilisation d un domaine de référence Domaine de référence fixe Ω comportant une discrétisation fixe au cours du temps. Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 9/18

12 Utilisation d un domaine de référence Domaine de référence fixe Ω comportant une discrétisation fixe au cours du temps. Utilisation d une fonction caractéristique du domaine mobile χ F ( x,t) = 1 si x Ω F (t) 0 si x Ω S (t) (3) Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 9/18

13 Utilisation d un domaine de référence Domaine de référence fixe Ω comportant une discrétisation fixe au cours du temps. Utilisation d une fonction caractéristique du domaine mobile χ F ( x,t) = 1 si x Ω F (t) 0 si x Ω S (t) (4) Interpolation des champs du domaines mobile (vitesse, pression,...) sur le maillage fixe. v f (x,t) if x Ω F (t) v (x,t) = v s (x,t) if x Ω S (t) (5) Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 9/18

14 Interpolation sur le maillage de référence On considère le problème 2D d un solide rigide immergé dans un fluide incompressible Ω S domaine solide Ω F domaine fluide Γ I Interface fluide solide Fluide incompressible de Reynolds 200. La simulation à été effectuée sous Castem pour une durée de 5.55s Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 10/18

15 Interpolation sur le maillage de référence discrétisation initial Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 10/18

16 Interpolation sur le maillage de référence Noeuds composants le maillage initial Discrétisation du domaine de référence Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 10/18

17 Interpolation sur le maillage de référence Superposition des deux discrétisations Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 10/18

18 Interpolation sur le maillage de référence Le noeud N au maillage de reférence r i :distance entre le noeud i du maillage mobile et le noeud N Interpolation inverse (Shepard method, 1968) U N = U 1 r 1 + U 2 r 2 + U 3 r 3 + U 4 r 4 1 r r r r 4 Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 10/18

19 Fonction caratéristique On définit la fonction caratéristique «par maille» de la manière suivante : 1 si les 4 noeuds Ω F (t) χ F (i,t) = Taux d occupation de la maille par le domaine fluide 0 si les 4 noeuds Ω S (t) (6) Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 11/18

20 Fonction caratéristique Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 11/18

21 Test de la base POD Efficacité de la base POD à retranscrire le phénomène testé sur le champ de vitesse total interpolé (sur Ω = Ω F (t) Ω S (t)) Avec 5 modes on capture % de l énergie totale mode i eigenvalue λ i % energy e e e Contribution énergétique des 5 premiers modes Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 12/18

22 Test de la base POD La reconstruction du champ de vitesse sur la base POD tronquée à Nmodes modes est évaluée en norme L2 a n (t) = (u (,t), Φ n ) U (x,t) = Nmodes n=1 a n (t) Φ n (x) Res (Nmodes) = U U Nmodes L (0,T;L 2 (Ω)) U L (0,T;L 2 (Ω)) (7) Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 12/18

23 Test de la base POD Erreur de reconstruction inférieure à 1% à partir de 5 modes Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 12/18

24 Application à la réduction du système dynamique Formulation pour une structure rigide en ALE ρ u t H dv dt + ρ(u w). u = p + µ u u = 0 dans Ω F (t) + [V, HV ] = F s + F F pour Ω S (t) avec w la vitesse du maillage Formulation variationnelle V et v compatibles ( ρ v ) f t + ρv f. v f,v (µ v f,v ) + H dv dt,v + [V, HV ],V = F s,v Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 13/18

25 Application à la réduction du système dynamique Formulation variationnelle V et v compatibles ( ρ v ) f t + ρv f. v f,v (µ v f,v ) + H dv dt,v + [V, HV ],V = F s,v V et v compatibles + action réaction F f,v + σ n v dγ = 0 Γ I Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 13/18

26 Système réduit En choissisant v = Φ m Pour n = 1..N : où da n dt + N m=1 N B nmp a m a p + p=1 N m=1 A nm a m = H dv dt + [V, HV ] = F s + F F in Ω S (t) Ω Ω v s t.φ ndx A nm = µ Φ m. Φ n X ΩF dx + 2µ ( Φ m.φ n ) dγ Ω Γ I B nmp = Φ m. Φ p.φ n X ΩF dx Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 14/18

27 Application à un cas monodimensionel FIG. 1 schématisation du domaine d étude Le fluide est modélisé par l équation de Burgers résolue en ALE couplée à une équation de ressort Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 15/18

28 Contribution énergétique des modes mode i eigenvalue λ i % energy e e e e Valeurs propres et contribution énergétique des modes POD calculés pour le champ de vitesse sur le maillage de référence Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 16/18

29 Contribution énergétique des modes Modes POD 1 et 2 obtenus sur le maillage de référence Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 16/18

30 Performance du système dynamique N On injecte v N (x,t) = a n (t) Φ n (x) dans le système dynamique n=1 Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 17/18

31 Performance du système dynamique Résidu issue de la POD directe et du système réduit Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 17/18

32 Performance du système dynamique Solution numérique et solution du système réduit à différents instants Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 17/18

33 Performance du système dynamique FIG. Adaptation 2 de temporal la POD aux domainescoefficients fluides mobiles : applicationaà la 1 réduction,a 2,ade 3 modèle,a 4 par POD en IFS p. 17/18

34 Conclusions La méthode de réduction de modèle par la POD semble permettre une bonne reproduction pour peu de modes. Perspectives : Finir le système réduit 2D Recherche d une base a priori (Chinesta, Ryckelynck,Verdon) Adaptation de la POD aux domaines fluides mobiles : application à la réduction de modèle par POD en IFS p. 18/18