Laurent Berger ALG` EBRE 1

Transcription

1 ALGÈBRE 1 Laurent Berger

2 Laurent Berger UMPA, ENS de Lyon, UMR 5669 du CNRS, Université de Lyon. [email protected] Url :

3 ALGÈBRE 1 Laurent Berger

4

5 TABLE DES MATIÈRES 1. Groupes Sous-groupes et quotients Actions de groupes Groupes symétriques Groupes linéaires sur un corps fini Représentations des groupes finis Représentations, sous-représentations et morphismes Caractères et fonctions centrales Décomposition des représentations Tables des caractères Anneaux et modules Modules Idéaux Corps des fractions Anneaux principaux et euclidiens Anneaux factoriels Anneaux noethériens Polynômes et corps finis Polynômes et racines Le théorème de Hilbert Polynômes à coefficients dans un anneau factoriel Corps finis Modules de type fini sur un anneau principal Modules libres de type fini et matrices Diviseurs élémentaires pour un anneau principal Modules de type fini sur un anneau principal Groupes abéliens de type fini et réduction des endomorphismes Produits tensoriels Produits tensoriels d espaces vectoriels Produits alternés Produits tensoriels de modules

6 6 TABLE DES MATIÈRES A. Relations d équivalence B. L axiome du choix C. Le lemme du serpent Index

7 CHAPITRE 1 GROUPES Un groupe est un ensemble G muni d une loi de composition associative notée qui admet une unité, notée e ou 1, et tel que tout élément admet un inverse, noté g 1. On dit que G est commutatif ou abélien si la loi est commutative. Dans ce cas on note parfois cette loi + et l unité et l inverse d un élément g sont alors notés 0 et g Sous-groupes et quotients Une partie H de G est dite être un sous-groupe de G si h H implique h 1 H et si h 1, h 2 H implique h 1 h 2 H. Si P est une partie de G, alors on note P le sous-groupe engendré par P, c est l ensemble des éléments de G qui peuvent s écrire comme produits d éléments de P et de leurs inverses. On dit qu un groupe G est cyclique s il est engendré par un seul élément x. Si x G, alors l ordre de x est le cardinal du groupe x qui est un sous-groupe de G. Si G est un groupe fini, l ordre de G est le cardinal de G. Si H est un sous-groupe de G, alors on définit une relation d équivalence sur G par x y si et seulement si x 1 y H, c est-à-dire si et seulement si xh = yh. Les classes d équivalence de sont alors de la forme xh avec x G et l ensemble G est la réunion disjointe de telles classes d équivalence. On dit que H est un sous-groupe d indice fini si le nombre de classes d équivalence est fini, et on note alors (G : H) ce nombre. Par exemple, si G est un groupe fini, alors tout sous-groupe H est nécessairement d indice fini et on a : card(g) = (G : H) card(h). En particulier, card(h) divise card(g), c est le théorème de Lagrange. Notons G/H l ensemble des classes d équivalence de G pour la relation. On dit que le sous-groupe H est distingué dans G si pour tout y G, on a yh = Hy, ce qui revient à yhy 1 = H. Dans ce cas, on a xhyh = xyh et le produit de deux classes est encore une classe. Cela nous permet de munir l ensemble G/H d une structure de groupe par

8 8 CHAPITRE 1. GROUPES xh yh = xyh. L application naturelle G G/H est alors un morphisme de groupes surjectif dont le noyau est H. Notons que si f : G K est un morphisme de groupes, alors ker(f) est toujours un sous-groupe distingué de G. Proposition Si Q est un groupe et si π : G Q est un morphisme de groupes surjectif dont le noyau est H, alors Q G/H. Démonstration. Si π : G Q est un morphisme comme ci-dessus, alors on définit une application r : Q G/H par r(q) = g où g G est tel que π(g) = q. Deux choix possibles d un tel g vérifient g = gh et donc g G/H est bien défini. Si q 1, q 2 Q, et π(g 1 ) = q 1 et π(g 2 ) = q 2, alors π(g 1 g 2 ) = q 1 q 2 et donc r est un morphisme de groupes. Enfin, r est surjectif car g = r(π(g)) et r est injectif car r(q) = 1 si et seulement si q = π(g) avec g H = ker(π). En particulier, si f : G K est un morphisme de groupes, alors im(f) G/ ker(f) et donc si G est fini, alors card(g) = card(ker(f)) card(im(f)) Actions de groupes On dit qu un groupe G agit sur un ensemble X si l on a une application G X X notée telle que e x = x et a (b x) = (ab) x, ce qui revient à se donner un morphisme de groupes G Bij(X). Les actions de groupes sont au cœur des mathématiques, et même les plus simples sont très utiles. Si x X, on note Stab(x) ou G x l ensemble des g G tels que g x = x, c est un sous-groupe de G appelé le stabilisateur de x. Par ailleurs, l orbite de x est l ensemble G x = {g x, g G}. L application g g x est alors une bijection entre G/ Stab(x) et G x. En particulier, G x est fini si et seulement si Stab(x) est un sous-groupe d indice fini de G et alors (G : Stab(x)) = card(g x). L ensemble X est réunion disjointe des orbites de ses éléments, X = i I G x i et donc si X est fini, alors : card(x) = i I (G : Stab(x i )). On dit que deux éléments x et y sont conjugués s ils sont dans la même orbite. Dans ce cas, il existe g G tel que y = g x et alors Stab(y) = g Stab(x)g 1. L action de G sur X est dite transitive si deux éléments sont toujours conjugués, c est-à-dire s il n y a qu une seule orbite. L action est dite fidèle si le morphisme G Bij(X) est injectif. Par exemple, un groupe G agit sur lui-même par translation par g h = gh et cette action est fidèle et transitive. Si G est fini de cardinal n, alors Bij(G) S n (le groupe

9 1.2. ACTIONS DE GROUPES 9 symétrique) et le morphisme G S n est injectif. On en déduit le théorème ci-dessous, dû à Cayley. Théorème Si G est un groupe fini d ordre n, alors G s identifie à un sousgroupe de S n. Si σ S n est une permutation et si K est un corps, alors la matrice de permutation Mat(σ) (définie par Mat(σ) σ(i),i = 1 pour tout i et les autres coefficients sont nuls) appartient à GL n (K) et Mat(στ) = Mat(σ) Mat(τ) ce qui fait que S n est de manière naturelle un sous-groupe de GL n (K). Le théorème implique alors le résultat cidessous, valable quel que soit K, et que nous utiliserons plus loin avec K = F p. Théorème Si G est un groupe fini de cardinal n et si K est un corps, alors G s identifie à un sous-groupe de GL n (K). Le groupe G agit aussi sur lui-même par g h = ghg 1 : c est l action par conjugaison. Si x G, alors le sous-groupe Stab(x) est aussi noté Z(x), c est l ensemble des g G tels que gx = xg, le centralisateur de x. Cette notion se généralise à une partie quelconque P de G, on pose Z(P ) = {g G, gx = xg pour tout x P }. En particulier, si P = G, on trouve le centre Z(G) de G ; c est le noyau de l application G Bij(G) donnée par l action par conjugaison. Si x G, alors l orbite de x sous l action par conjugaison est appelée la classe de conjugaison de x. Si G est un groupe fini, alors la formule card(x) = i I (G : Stab(x i)) nous donne dans ce cas l équation aux classes : card(g) = x C(G : Z(x)), où C est un ensemble de représentants des classes de conjugaison de G. Si p est un nombre premier, on dit qu un groupe G est un p-groupe si son cardinal est une puissance de p. Proposition Si G est un p-groupe qui agit sur un ensemble fini E, alors : card(e) = card(e G ) mod p. Démonstration. On a x E G si et seulement si Stab(x) = G et la formule card(e) = i I (G : Stab(x i)) implique alors que : card(e) card(e G ) = (G : Stab(x i )) = 0 mod p, i I Stab(x i ) G chaque indice (G : Stab(x i )) étant divisible par p s il est non trivial. Corollaire Si G est un p-groupe, alors Z(G) {e}.

10 10 CHAPITRE 1. GROUPES Démonstration. Remarquons que x Z(G) si et seulement si Z(x) = G. Si G agit sur lui-même par conjugaison, alors l ensemble des x tels que Stab(x) = Z(x) = G est non vide (puisque x = e convient) et la proposition montre qu il est de cardinal divisible par p et contient donc un x e. Corollaire Si G est un p-groupe qui agit par des applications linéaires sur un F p -espace vectoriel E de dimension finie, alors E G {0}. Démonstration. Comme G agit par des applications linéaires, on a 0 E G et la proposition implique que p divise card(e G ) et le cardinal de E G est donc p. Corollaire Si G est un groupe fini et si p est un nombre premier qui divise card(g), alors il existe un élément dans G d ordre p. Démonstration. On fait agir le groupe Z/pZ sur l ensemble : E = {(g 0,..., g p 1 ) G p, g 0 g p 1 = e}, par a (g 0,..., g p 1 ) = (g a, g a+1,... ), les indices étant pris modulo p. Remarquons que E Z/pZ = {(g,..., g)} où g p = 1 et contient donc au moins (e,..., e). La proposition implique que p divise card(e Z/pZ ) et donc qu il existe g G d ordre p Groupes symétriques Si n 1, alors rappelons que l on note S n le groupe des permutations de l ensemble {1,..., n}. C est un groupe fini de cardinal n! qui agit de manière fidèle et transitive sur {1,..., n}. Un cycle de longueur r 2 est une permutation de la forme : i 1 i 2... i r i 1 avec {i 1..., i r } {1,..., n}. Un tel cycle est noté [i 1 i 2... i r ]. Un cycle de longueur 2 s appelle une transposition. On dit que deux cycles [i 1 i 2... i r ] et [j 1 i 2... j s ] sont disjoints si {i 1..., i r } {j 1..., j s } =. Tout élément de S n est alors un produit de cycles disjoints. Comme [i 1 i 2... i r ] = [i 1 i 2 ][i 2 i 3 ] [i r 1 i r ] (attention au fait que quand on applique στ, on fait d abord la permutation τ et ensuite la permutation σ), on voit que tout cycle est produit de transpositions et donc que les transpositions engendrent S n. La signature ε(σ) d une permutation σ S n est définie par : ε(σ) = i<j σ(j) σ(i) j i {±1}.

11 1.4. GROUPES LINÉAIRES SUR UN CORPS FINI 11 L application ε : S n {±1} ainsi définie est un morphisme de groupes. On en déduit que si σ est le produit de k transpositions, alors ε(σ) = ( 1) k ou encore que si Mat(σ) est la matrice de permutation associée à σ, alors ε(σ) = det(mat(σ)). Le noyau de ε est un sous-groupe distingué de S n appelé groupe alterné, et noté A n. Ce groupe est l ensemble des produits d un nombre pair de transpositions et on en déduit qu il est engendré par tous les 3-cycles, par exemple. Proposition Le groupe A n est un sous-groupe d indice 2 de S n et c est le seul sous-groupe ayant cette propriété. Démonstration. Si H est un sous-groupe d indice 2 d un groupe G, alors H est nécessairement distingué. En effet, si g G\H, alors G = H gh = H Hg et donc gh = Hg ce qui fait que H = ghg 1. On en déduit que si g G \ H, alors g 2 = 1 dans G/H et donc g 2 H ce qui fait que H contient tous les carrés d éléments de G. En particulier, un sous-groupe d indice 2 de S n contient forcément tous les 3-cycles et est donc égal à A n (on peut aussi utiliser le fait que [ijkl] 2 = [ik][jl]). Pour terminer, nous décrivons toutes les classes de conjugaison dans S n. Si n est un entier 1, alors une partition de n est une manière d écrire n = k 1 + k k s avec k i entier et k 1 k 2 k s 1. Théorème Il existe une bijection entre l ensemble des classes de conjugaison de S n et l ensemble des partitions de n. Démonstration. Si σ S n, alors on peut lui associer une partition de la manière suivante : si σ est le produit de s cycles disjoints de longueurs k i (on rajoute un cycle de longueur 1 donné par [j] pour chaque point fixe j de σ), alors on associe à σ la partition n = k 1 + k k s. Si σ S n et si [i 1 i 2... i r ] est un cycle, alors σ[i 1 i 2... i r ]σ 1 = [σ(i 1 )σ(i 2 )... σ(i r )]. En particulier, si deux transpositions sont conjuguées, alors leurs décompositions en cycles se font avec des cycles de même longueurs. Réciproquement, si les partitions associées à σ et τ sont les mêmes, alors σ et τ sont conjuguées. Par exemple, la classe de conjugaison de l identité correspond à la partition n = et la classe de conjugaison des n-cycles correspond à la partition n = n. La suite naturelle du théorème est la théorie de tableaux de Young Groupes linéaires sur un corps fini Si p est un nombre premier, alors GL n (F p ) est le groupe des matrices n n à coefficients dans F p de déterminant 0. Si V = F n p et (e 1,..., e n ) en dénote la base standard, alors

12 12 CHAPITRE 1. GROUPES G s identifie à Aut(V ) via la bijection Mat(f) f et donc G agit sur V. Cette action est fidèle sur V et transitive sur V \ {0}. Proposition Le groupe GL n (F p ) est de cardinal : (p n 1)(p n p) (p n p n 1 ) = p n(n 1) 2 (p n 1)(p n 1 1) (p 1). Démonstration. Une matrice M GL n (F p ) est constituée de n vecteurs colonnes C 1,..., C n qui engendrent F n p. Il y a p n 1 manières de choisir C 1 F n p \ {0}, et pour chaque i 1, il y a ensuite p n p i manières de choisir C i+1 F n p \ Vect(C 1,..., C i ). Le morphisme det : GL n (F p ) F p est surjectif et son noyau est le groupe SL n (F p ) = {M GL n (F p ), det(m) = 1}. La formule card(gl n (F p )) = card(ker(det)) card(im(det)) montre alors que : card(sl n (F p )) = p n(n 1)/2 (p n 1)(p n 1 1) (p 2 1). Nous allons tout d abord utiliser le fait que tout groupe fini de cardinal n se plonge dans GL n (F p ) pour montrer un théorème de Sylow. Si p est un nombre premier, alors on dit qu un sous-groupe P d un groupe fini H est un p-sylow si P est un p-groupe et si (H : P ) est premier à p. Le groupe GL n (F p ) admet un p-sylow évident, le sous-groupe U constitué des matrices triangulaires supérieures ayant des 1 sur la diagonale. Théorème Si H est un groupe fini et p divise card(h), alors H admet un p-sylow. Démonstration. Par le théorème 1.2.2, H s identifie à un sous-groupe de GL n (F p ). On a vu plus haut que GL n (F p ) admet un p-sylow, par exemple son sous-groupe U. Par suite, il suffit de montrer le résultat suivant : si G est un groupe fini, si H est un sous-groupe de G et si P est un p-sylow de G, alors il existe g G tel que H gp g 1 est un p-sylow de H. Comme H gp g 1 est un p-groupe, il suffit de trouver g tel que (H : H gp g 1 ) est premier à p. Pour cela, considérons l action de H par translations à gauche sur G/P. Si gp G/P, alors Stab(gP ) = {h H tels que hgp = gp } = H gp g 1. Il suffit donc de montrer qu il existe une orbite dont le cardinal n est pas divisible par p, puisque ce cardinal vaut (H : H gp g 1 ). Mais G/P est réunion disjointe de ces orbites et est de cardinal premier à p, et il existe donc une orbite de cardinal premier à p. Rappelons à présent que le centre Z(G) d un groupe G est le sous-groupe formé des éléments qui commutent avec tous les autres. Proposition Le centre de GL n (F p ) est constitué des matrices de la forme λ Id et le centre de SL n (F p ) est constitué des matrices de la forme λ Id avec λ n = 1.

13 1.4. GROUPES LINÉAIRES SUR UN CORPS FINI 13 Démonstration. Soit E i,j la matrice élémentaire, qui est nulle sauf le terme sur la i- ième ligne et la j-ième colonne qui vaut 1. Si M M n (F p ), alors la matrice ME i,j est nulle sauf sa j-ième colonne qui est la i-ième colonne de M et E i,j M est nulle sauf sa i-ième ligne qui est la j-ième ligne de M. Par suite, si ME i,j = E i,j M pour tout i j, alors M est diagonale et tous les termes diagonaux sont égaux entre eux. Si i j, alors Id +E i,j SL n (F p ) et donc si M commute avec tous les éléments de SL n (F p ), alors M est de la forme λ Id. Enfin, si M SL n (F p ), alors on doit avoir det(m) = λ n = 1. On définit alors le groupe projectif linéaire PGL n (F p ) = GL n (F p )/Z(GL n (F p )) et le groupe projectif spécial linéaire PSL n (F p ) = SL n (F p )/Z(SL n (F p )). Le groupe GL n (F p ) agit de manière naturelle sur V = F n p. Nous allons construire un espace sur lequel PGL n (F p ) et PSL n (F p ) agissent naturellement. Si n 1, on définit une relation d équivalence sur F n+1 p \ {0} par x y si et seulement si il existe λ F p tel que y = λx. L espace quotient P n (F p ) = (F n+1 p \ {0})/ s identifie alors à l ensemble des droites vectorielles de F n+1 p et on l appelle espace projectif de dimension n sur F p. C est un ensemble fini de cardinal (p n+1 1)/(p 1). Si v P n (F p ) avec v F n+1 p \ {0} et si g PGL n+1 (F p ) ou PSL n+1 (F p ) avec g GL n+1 (F p ), alors g(v) P n (F p ) ne dépend pas du choix de v ni de celui de g et les groupes PGL n+1 (F p ) et PSL n+1 (F p ) agissent donc naturellement sur P n (F p ). Proposition L action naturelle de PGL n+1 (F p ) et PSL n+1 (F p ) sur P n (F p ) est fidèle et transitive. Démonstration. Si g PGL n+1 (F p ) ou PSL n+1 (F p ) agit trivialement sur P n (F p ), cela veut dire que l action de g sur F n+1 p stabilise toutes les droites et donc que g est scalaire ce qui implique g = 1. Ceci montre que l action est fidèle. Pour montrer que l action est transitive, il suffit de voir que si l on se donne deux droites de F n+1 p, alors il existe g GL n+1 (F p ) ou SL n+1 (F p ) qui envoie l une sur l autre, mais cela résulte du fait que l action de GL n+1 (F p ) ou SL n+1 (F p ) sur F n+1 p \ {0} est transitive. Par exemple, si n = 1, on trouve que PGL 2 (F p ) et PSL 2 (F p ) s injectent tous les deux dans Bij(P 1 (F p )) S p+1. Ceci permet de déterminer PGL 2 (F p ) et PSL 2 (F p ) pour des petites valeurs de p. Nous donnons quelques exemples ci-dessous. Rappelons que A n est le groupe alterné, sous-groupe des permutations de S n dont la signature est égale à 1. Exemple On a les isomorphismes suivants : (1) PSL 2 (F 2 ) S 3 ; (2) PGL 2 (F 3 ) S 4 ;

14 14 CHAPITRE 1. GROUPES (3) PSL 2 (F 3 ) A 4. Démonstration. Pour les deux premiers cas, on sait que le groupe de gauche s injecte dans celui de droite et il suffit de comparer les cardinaux. Le centre de SL 2 (F 2 ) est réduit à ( ) et donc : card(psl 2 (F 2 )) = card(sl 2 (F 2 )) = 2 1 (2 2 1) = 6. Le centre de GL 2 (F 3 ) est égal à ± ( ) et donc : card(pgl 2 (F 3 )) = card(gl 2 (F 3 ))/2 = 3 1 (3 2 1) (3 1 1)/2 = 24. Pour le dernier cas, on sait que le groupe de gauche s injecte dans S 4 et en comparant les cardinaux, il suffit d utiliser la proposition qui dit que si k 3, alors le seul sous-groupe d indice 2 de S k est A k. Il y a bien sûr d autres exemples de ce type. Pour terminer, signalons que le groupe PSL n (F p ) est simple, c est-à-dire qu il n admet pas de sous-groupe distingué non trivial, sauf dans deux cas : PSL 2 (F 2 ) qui est isomorphe à S 3 et PSL 2 (F 3 ) qui est isomorphe à A 4. Nous ne montrons pas la simplicité de PSL n (F p ) dans ce cours (mais ce n est pas très compliqué : exercice).

15 CHAPITRE 2 REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS On a vu au chapitre précédent que tout groupe fini peut être vu comme un groupe de matrices (théorème 1.2.2). Si G est un groupe, une représentation de G est un morphisme de groupes ρ : G GL(V ) où V est un espace vectoriel. L objet de ce chapitre est d étudier les représentations des groupes finis sur des C-espaces vectoriels de dimension finie Représentations, sous-représentations et morphismes Dans tout ce chapitre, on suppose que G est un groupe fini et que V est un C-espace vectoriel de dimension finie et la dimension de la représentation est celle de V. On écrit généralement g v au lieu de ρ(g)(v). On dit qu un produit scalaire hermitien, sur V est invariant sous l action de G si gv, gw = v, w pour tout g G et v, w V ce qui revient à dire que ρ(g) est unitaire pour,. Proposition Si V est une représentation de G, alors il existe sur V un produit scalaire hermitien, V invariant sous l action de G. Démonstration. Soit, un produit scalaire quelconque et : 1 v, w V = gv, gw. card(g) Il est clair que, V est linéaire à droite et semi-linéaire à gauche et invariant par G. Enfin si v 0, alors on a v, v V = (1/ card(g)) g G gv 2 > 0 et donc, V est bien défini positif. Si V est une représentation de G et si W est un sous-espace vectoriel de V stable par G, alors on dit que W est une sous-représentation de V. On note V G = {v V tels que gv = v pour tout g G} l ensemble des invariants sous l action de G ; c est une g G

16 16 CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS sous-représentation de V sur laquelle G agit trivialement. On dit que V est irréductible si les seules sous-représentations de V sont {0} et V. Théorème Toute représentation V de G est somme directe de représentations irréductibles. Démonstration. Si V est irréductible, alors on a terminé. Sinon, il en existe une sous-représentation W et l orthogonal W de W dans V pour, V est aussi une sousreprésentation de V et on a V = W W. On applique alors le théorème par récurrence (sur la dimension) à W et W. La décomposition n est pas unique, par exemple si ρ(g) = Id pour tout g G alors une décomposition de V en somme directe de représentations irréductibles est juste une décomposition quelconque de V en somme directe de droites. Si V et W sont deux représentations de G, on appelle Hom(V, W ) l ensemble des applications linéaires f : V W. C est une représentation de G : si f Hom(V, W ) et g G, alors on pose (g f)(v) = g (f(g 1 v)). Dans le cas particulier où W est C muni de l action triviale de G, on note V = Hom(V, C) : c est la duale de V. On note Hom G (V, W ) l ensemble des f : V W qui commutent à G (on dit aussi que f est G-équivariante) et on a alors Hom G (V, W ) = Hom(V, W ) G. Deux représentations V et W sont isomorphes s il existe un isomorphisme f : V W qui commute à l action de G. Le résultat ci-dessous s appelle le lemme de Schur. Théorème Si V et W sont deux représentations irréductibles de G, alors Hom G (V, W ) = {0} si W V et Hom G (V, V ) = C Id. Démonstration. Soit f : V W une application G-équivariante. Comme ker(f) et im(f) sont des sous-espaces stables de V et W, ils sont nuls ou égaux à V ou W ce qui fait que f est forcément nulle ou bien un isomorphisme. Si W V, alors f est donc forcément nulle. Si f : V V est un morphisme équivariant, alors comme C est algébriquement clos, f admet une valeur propre λ et l espace ker(f λ Id) est alors une sous-représentation non nulle de V ce qui fait que ker(f λ Id) = V et donc que f = λ Id. Remarquons que si G est un groupe abélien, alors toutes les représentations irréductibles de G sont de dimension 1. En effet, si V est une telle représentation, et si g G, alors ρ(g) Hom G (V, V ) puisque G est abélien et donc par le théorème 2.1.3, pour tout g G, il existe χ(g) C tel que gv = χ(g)v. On en déduit que tout sous-espace vectoriel de V est stable par G et donc que V est une droite si elle est irréductible.

17 2.2. CARACTÈRES ET FONCTIONS CENTRALES 17 Si G est un groupe, un morphisme χ : G C s appelle un caractère linéaire de G. Ceux-ci correspondent aux représentations irréductibles de dimension 1 de G. En particulier, les représentations irréductibles d un groupe abélien correspondent bijectivement à ses caractères linéaires. Si V est une représentation de G, on note V (χ) la tordue de V par χ ; c est le même espace vectoriel mais on pose : ρ V (χ) (g) = ρ V (g)χ(g). Pour terminer, remarquons qu il y a un lien étroit entre actions de groupes et représentations. Si X est un ensemble fini sur lequel G agit, soit V X l espace vectoriel x X C e x. On fait de V X une représentation de G en posant ge x = e gx. Dans le cas particulier où X = G est muni de l action de G par translation, on obtient la représentation régulière de G Caractères et fonctions centrales Si V est une représentation de G, alors le caractère de la représentation V est la fonction χ V : G C définie par χ V (g) = Tr(ρ(g)). On a par exemple χ V (1) = Tr(Id) = dim(v ). Si l on fixe g G et que l on pose n = card(g), alors ρ(g) n = ρ(g n ) = Id et donc ρ(g) est diagonalisable à valeurs propres de module 1 ce qui fait que χ V (g 1 ) = χ V (g). Proposition Si V est une représentation de G, alors χ V = χ V sont deux représentations, alors χ V W = χ V + χ W et χ Hom(V,W ) = χ V χ W. et si V et W Démonstration. La formule χ V W = χ V + χ W est claire et par ailleurs on a χ C = 1 et donc le fait que χ V = χ V suit de la formule χ Hom(V,W ) = χ V χ W que nous montrons maintenant. Soit g G ; comme ρ(g) est diagonalisable (sur V et sur W ) à valeurs propres de module 1, on peut choisir des bases {v i } et {w j } dans lesquelles l action de g est diagonale (de valeurs propres λ i et µ j ) et si l on appelle u i,j Hom(V, W ) l application qui envoie v i sur w j, alors on a (g u i,j )(v k ) = gu i,j (λ k v k ) = λ i µ j w j si k = i et 0 sinon ce qui fait que : χ Hom(V,W ) (g) = Tr(ρ Hom(V,W ) (g)) = i,j λ i µ j = χ V (g)χ W (g), et donc que χ Hom(V,W ) = χ V χ W. Proposition Si V est une représentation de G, alors : dim(v G 1 ) = χ V (g). card(g) Démonstration. Soit f : V V la fonction f = (1/ card(g)) g G ρ(g). On a ρ(g)f = f pour tout g G et donc f 2 = f ce qui fait que f est diagonalisable sur V à valeurs propres 0 et 1 et que l on peut écrire V = V 0 V 1. Si v V 1, alors gv = gf(v) = g G

18 18 CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS f(v) = v et donc v V G. Réciproquement, si v V G, alors f(v) = v et donc f V 1 ce qui fait que V 1 = V G. La dimension de V G = V 1 est égale à la trace de f et donc à (1/ card(g)) g G χ V (g). Une fonction f : G C telle que f(g) = f(hgh 1 ) pour tout g, h G s appelle une fonction centrale. On note R(G) l espace vectoriel des fonctions centrales sur G : c est un C-espace vectoriel dont la dimension est égale au nombre de classes de conjugaisons de G. On munit R(G) du produit scalaire hermitien : 1 f 1, f 2 = f 1 (g)f 2 (g). card(g) Si g, h G, alors ρ(hgh 1 ) = ρ(h)ρ(g)ρ(h) 1 et donc χ V (g) = χ V (hgh 1 ) et les caractères χ V g G sont donc des exemples de fonctions centrales. Proposition Si V et W sont deux représentations de G, alors χ V, χ W = dim Hom G (V, W ). En particulier, si V et W sont irréductibles, alors χ V, χ W = 0 si W V et χ V, χ W = 1 si W = V. Démonstration. La proposition montre que : 1 χ V, χ W = χ Hom(V,W ) (g), card(g) et la proposition implique alors que : g G χ V, χ W = dim Hom(V, W ) G = dim Hom G (V, W ), ce qui montre le premier point. Le deuxième suit alors du théorème (le lemme de Schur) qui dit que dim Hom G (V, W ) est égal à 1 ou 0 selon que W = V ou pas. On en déduit en particulier que l ensemble des caractères χ V où V parcourt l ensemble des représentations irréductibles de G, forme une famille orthonormale de l espace des fonctions centrales sur G. Le résultat ci-dessous est dû à Frobenius. Théorème L ensemble des caractères χ V où V parcourt l ensemble des représentations irréductibles de G, forme une base orthonormale de l espace des fonctions centrales sur G. Démonstration. Etant donné ce que l on a déjà vu, il suffit de montrer que ces caractères engendrent R(G). Pour cela, il suffit de montrer que si ϕ est une fonction centrale telle que ϕ, χ V = 0 pour toute V irréductible, alors ϕ = 0. Si V est irréductible, soit f : V V définie par f = g G ϕ(g)g. Si h G, alors : fh = g G ϕ(g)gh = h g G ϕ(h 1 gh)h 1 gh = hf,

19 2.3. DÉCOMPOSITION DES REPRÉSENTATIONS 19 et donc f = λ Id par le théorème Comme Tr(f) = card(g) ϕ, χ V = 0, on a f = 0. Si V est une représentation quelconque de G, alors le théorème montre que V est somme directe de représentations irréductibles de G et donc que l endomorphisme f = g G ϕ(g)g de V est nul. Si V est à présent la représentation régulière de G définie à la fin du 2.1, de base {e g } g G, alors f(e 1 ) = g G ϕ(g)e g = 0 ce qui fait que ϕ(g) = 0 pour tout g G Décomposition des représentations Le théorème nous dit que toute représentation de G est une somme directe de représentations irréductibles. Grâce aux résultats du paragraphe précedent, nous pouvons préciser ce théorème. Proposition Si V est une représentation de G et si V = W 1 W r est une décomposition de V en somme directe de représentations irréductibles, et si W est une représentation irréductible, alors le nombre de W i qui sont isomorphes à W ne dépend pas de la décomposition et vaut χ W, χ V. Démonstration. Par la proposition 2.2.1, on a χ V = χ W1 + + χ Wr ce qui fait que χ W, χ V = χ W, χ W1 + + χ W, χ Wr et par la proposition 2.2.3, on a χ W, χ Wi = 1 si W = W i et χ W, χ Wi = 0 si W W i. En particulier, on a V = W W χ W,χ V et si deux représentations V 1 et V 2 ont le même caractère χ, elles sont donc isomorphes (à W W χ W,χ ). Par le théorème 2.2.4, l espace R(G) des fonctions centrales admet l ensemble des caractères des représentations irréductibles comme base orthonormale, ce qui fait que le nombre de représentations irréductibles de G est égal au nombre de classes de conjugaison de G. La décomposition de la représentation régulière V G est particulièrement intéressante. On a χ VG (1) = dim(v G ) = card(g) et d autre part, si h 1, alors la matrice de l action de h dans la base {e g } g G est une matrice de permutation qui n a que des zéros sur la diagonale, et qui est donc de trace nulle, ce qui fait que χ VG (h) = 0 si h 1. Théorème Si W est une représentation irréductible de G, alors W est contenue dans la représentation régulière et y apparaît avec la multiplicité dim(w ). De plus : (1) on a W dim(w )2 = card(g) ; (2) si g 1, alors W dim(w )χ W (g) = 0.

20 20 CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS Démonstration. Le nombre de fois que W apparaît dans V G est (par la proposition 2.3.1) égal à : χ W, χ VG = On en déduit que χ VG 1 card(g) χ W (g)χ VG (g) = g G 1 card(g) χ W (1) card(g) = dim(w ). = W dim(w ) χ W ; en appliquant cette formule à g = 1, on trouve le (1) et en l appliquant à g 1, on trouve le (2). Pour terminer, remarquons que si V = r i=1w m i i est une décomposition d une représentation V en somme directe d irréductibles, alors χ V, χ V = m m 2 r et en particulier, χ V, χ V est un entier 1 qui vaut 1 si et seulement si V est irréductible Tables des caractères Si G est un groupe fini, alors on a vu que le nombre de représentations irréductibles de G est égal au nombre de classes de conjugaison de G, et qu une représentation V est déterminée par son caractère χ V qui est une fonction centrale. On peut donc regrouper toute l information concernant les représentations de G dans un tableau carré, appelé table des caractères de G. Les lignes correspondent aux caractères des représentations irréductibles de G et les colonnes aux classes de conjugaison de G (on choisit un représentant g i par classe C i, et χ(g i ) ne dépend pas du choix de g i ) Par convention g 1 = 1 et par ailleurs la première ligne correspond au caractère de la représentation triviale. Quelque fois, on écrit au-dessus de chaque g i le cardinal de la classe de conjugaison correspondante. La table des caractères d un groupe G a donc la forme suivante : g 1... g r χ 1 χ 1 (g 1 )... χ 1 (g r ).. χ r χ r (g 1 )... χ r (g r ) ou bien k 1... k r g 1... g r χ 1 χ 1 (g 1 )... χ 1 (g r ).. χ r χ r (g 1 )... χ r (g r ) Par exemple, si G = Z/nZ, alors G admet n classes de conjugaison et donc n représentations irréductibles, qui sont toutes de dimension 1 puisque G est abélien. Si l on pose ω n = exp(2iπ/n), alors ces représentations irréductibles sont données par les n caractères

21 2.4. TABLES DES CARACTÈRES 21 linéaires η h : a ω ah n avec h {0,..., n 1}. La table des caractères de G est alors : n 1 η η 1 1 ω n ωn 2... ωn n 1. η n 1 1 ωn n 1. ωn n 2... ω n Faisons la table des caractères de S 3. Le groupe S n agit naturellement sur V n = C n = Vect(e 1,..., e n ) en permutant les coordonnées : σ(e j ) = e σ(j) et on a V n = H n C où H n = { n i=1 α ie i tels que i α i = 0} et C est la représentation triviale de S n. Cela nous donne deux représentations de S n de dimensions n 1 et 1. La représentation H n est en fait irréductible : si W est une sous-représentation de H n et x = n i=1 x ie i W est non nul, alors il existe i et j tels que x i x j et en regardant [ij]x x, on trouve que e i e j W. Enfin, si k et l sont deux entiers, alors il existe σ S n telle que σ(i) = k et σ(j) = l et on en déduit que e k e l W. Comme ces vecteurs engendrent H n on a finalement W = H n. Enfin, la signature ε est un caractère linéaire de S n et définit donc une troisième représentation. Si n = 3, alors S 3 est de cardinal 6 et possède trois classes de conjugaison : celle de 1 qui est de cardinal 1, celle des transpositions qui est de cardinal 3 et celle des 3-cycles qui est de cardinal 2. Le groupe S 3 admet donc trois représentations irréductibles de dimensions m 1, m 2 et m 3 qui doivent satisfaire m m m 2 3 = 6 ce qui force ces dimensions à être 1, 1 et 2. La représentations triviale C, la signature et H 3 nous donnent donc toutes les représentations de S 3. La représentation H 3 admet e 1 e 2 et e 1 e 3 comme base ce qui permet de calculer χ H3. La table des caractères de S 3 est alors : [ij] [ijk] ε χ Les résultats que l on a vus aux paragraphes précédents se traduisent immédiatement en des propriétés de la table des caractères X(G) d un groupe G. Par exemple, le fait que χ W (1) = dim(w ) implique que la première colonne de X(G) est la liste des dimensions des représentations irréductibles de G. Proposition Soit r le nombre de classes de conjugaison de G et X = X(G) la matrice r r des χ i (g j ) et soit K la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont les k i. On a alors XK t X = card(g) Id.

22 22 CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS Démonstration. On a : r (XK t X) i,j = k l χ i (g l )χ j (g l ) = χ i (g)χ j (g) = card(g) χ i, χ j g G l=1 et le fait que XK t X = card(g) Id suit de la proposition qui nous dit que χ i, χ j = 1 ou 0 selon que i = j ou pas. On en déduit en particulier que deux lignes distinctes sont orthogonales, si l on pondère le j-ième terme du produit par k j (d où l utilité de noter les k j ) et le produit scalaire pondéré de la i-ème ligne avec elle-même vaut card(g). L équation XK t X = card(g) Id implique que t XX = card(g)k 1 et donc que deux colonnes distinctes sont orthogonales et que le produit scalaire de la i-ième colonne avec elle-même vaut card(g)/k i. Cela permet souvent de compléter la table des caractères si on n en connaît qu un morceau. Faisons à présent la table des caractères de S 4 qui a 5 classes de conjugaisons, celle de 1 (de cardinal 1), celle de [ij][kl] (de cardinal 3), celle de [ijk] (de cardinal 8), celle de [ij] (de cardinal 6), et celle de [ijkl] (de cardinal 6). Le groupe S 4 a deux représentations irréductibles de dimension 1, la triviale et ε, et une représentation irréductible de dimension 3, H 4. De plus, χ H4 χ H4 ε et donc H 4 (ε) est une deuxième représentation irréductible de dimension 3. Il manque une dernière représentation irréductible W, qui est nécessairement de dimension 2 puisque = 24. En utilisant les relations d orthogonalité, on peut compléter la table sans déterminer W. La table des caractères de S 4 est donc : [ij][kl] [ijk] [ij] [ijkl] ε H H 4 (ε) W D autres exemples sont faits en exercices. Voir aussi le 6.1.

23 CHAPITRE 3 ANNEAUX ET MODULES Un anneau est un ensemble A muni de deux lois + et telles que : (1) (A, +) est un groupe abélien ; (2) a(bc) = (ab)c et a 1 = 1 a ; (3) a(b + c) = ab + ac et (b + c)a = ba + ca. Si 0 1 et si a 0 et b 0 implique que ab 0, alors on dit que A est intègre. Si ab = ba pour tous a, b A, alors on dit que A est commutatif. Si A est commutatif, et si tout a 0 admet un inverse, alors on dit que A est un corps Modules Un module sur un anneau A est l analogue d un espace vectoriel sur un corps K, c està-dire que c est un ensemble M muni d une loi + telle que (M, +) est un groupe abélien et d une loi A M M qui à (a, m) associe am et vérifie : (1) (a + b)m = am + bm et a(m + n) = am + an ; (2) a(bm) = abm et 1 m = m. Contrairement au cas des espaces vectoriels, le fait que am = 0 n implique pas que a = 0 ou que m = 0, et les A-modules n admettent pas de bases en général. La théorie des A-modules est beaucoup plus riche que celle des espaces vectoriels sur un corps. Si M et N sont deux modules, alors on définit M N. Un morphisme f : M N est une application additive et A-linéaire. L ensemble des morphismes de M dans N est noté Hom A (M, N) ou plus simplement Hom(M, N) et c est un A-module. Le module dual de M est M ou M et est défini par M = Hom(M, A). C est donc l ensemble des formes linéaires sur M. Etant donnée une application f : M N, on note ker(f) = {m M f(m) = 0} et im(f) = {f(m), m M}. Ce sont des sous-modules de M et N respectivement. Si l on a

24 24 CHAPITRE 3. ANNEAUX ET MODULES trois modules L, M et N et f : L M et g : M N, alors on écrit plutôt la suite : L f M g N, et on dit que cette suite est exacte en M si im(f) = ker(g). Cette définition est absolument fondamentale. Si on a une suite : f 1 f 2 M 1 M2 M3, alors on dit que cette suite est exacte en M i si im(f i 1 ) = ker(f i ) et on dit que la suite est exacte si elle est exacte en M i pour tout i. Par exemple, la suite 0 L f M g N 0 est exacte si et seulement si : (1) f est injective ; (2) im(f) = ker(g) ; (3) g est surjective. Si M est un sous-module de N, alors on définit une relation d équivalence sur N par n 1 n 2 si et seulement si n 1 n 2 M et on note N/M l ensemble des classes d équivalence de. On munit cet ensemble des lois n 1 + n 2 = n 1 + n 2 et a n = an. C est un exercice de vérifier que les lois ne dépendent pas des choix faits, et qu elles font de N/M un A-module. On a alors une suite exacte : 0 M N n n N/M 0. Théorème Si l on a une suite exacte 0 M f N N/f(M). g Q 0, alors Q Démonstration. Cela revient à montrer que si l on a un morphisme surjectif g : N Q, alors Q N/ ker(g). Pour cela, nous allons construire h : Q N/ ker(g) et montrer que c est un isomorphisme. Si q Q, alors il existe n N tel que g(n) = q et si n est un autre élément ayant cette propriété, alors n n ker(g) ce qui fait que l application h : q n est bien définie. Elle est injective, car h(q) = 0 si et seulement si q = g(n) avec n ker(g) ce qui implique q = 0. Elle est surjective car si n N/ ker(g), alors n = h(g(n)). On a donc bien construit un isomorphisme h : Q N/ ker(g). Si l on a f : M N, on note coker(f) = N/ im(f) le conoyau de f et on a alors une suite exacte : 0 ker(f) M f N coker(f) 0. Enfin, f est injective si et seulement si ker(f) = 0 et f est surjective si et seulement si coker(f) = 0.

25 3.2. IDÉAUX 25 Notons que si l on se donne f : M N et X M et Y N deux sous-modules de M et N tels que f(x) Y, alors l application f : M/X N/Y est bien définie. Un diagramme est une collection de modules {M i } i et de morphismes f ij entre eux, par exemple : f 12 M 1 M2 f 13 f 24 f 34 M 3 M4. On dit qu un diagramme est commutatif si quels que soient i et j et le chemin que l on choisit de M i à M j en suivant les flèches, on obtient le même résultat. Par exemple, le diagramme ci-dessus est commutatif si et seulement si f 24 f 12 = f 34 f Idéaux A partir de maintenant, on ne travaille qu avec des anneaux commutatifs. Si K est un corps, la structure de K comme K-espace vectoriel n est pas intéressante ; en revanche, un anneau A peut avoir beaucoup de sous-a-modules. Un sous-a-module d un anneau A est un idéal de A (propre si I A). On dit qu un idéal I de A est : (1) de type fini s il existe f 1,..., f r I tels que I = { r i=1 a if i, a i A} (on écrit alors I = (f 1,..., f r )) ; (2) principal s il existe a I tel que I = (a) ; (3) maximal si I est un idéal propre et si I J A implique que I = J ou que I = A ; (4) premier si I est propre et si x / I et y / I implique xy / I. Si I est un idéal de A, alors A/I est un anneau (c est un A-module, et on pose a b = ab). Par exemple, I est maximal si et seulement si A/I est un corps et I est premier si et seulement si A/I est intègre. Si I et J sont deux idéaux de A, on dit qu ils sont premiers entre eux si I + J = A. Le résultat ci-dessous est connu sous le nom de lemme chinois. Théorème Si I 1,..., I n sont n idéaux de A qui sont premiers entre eux deux à deux, alors l application f : A/I 1 I n A/I 1 A/I n est un isomorphisme. Démonstration. On montre par récurrence sur 1 k n 1 que I n + I 1 I k = A et donc que les idéaux I n et I 1 I n 1 sont premiers entre eux. Il suffit alors de montrer le théorème pour n = 2, le cas général s en déduisant par récurrence puisqu alors : A/I 1 I n A/I 1 I n 1 A/I n A/I 1 A/I n.

26 26 CHAPITRE 3. ANNEAUX ET MODULES Montrons donc que si I et J sont premiers entre eux, alors f : A/IJ A/I A/J est un isomorphisme. Comme I + J = A, on peut écrire 1 = i + j avec i I et j J. Si x I J, alors x = x(i + j) IJ et donc I J = IJ, ce qui fait que f est injective. Enfin, on voit que si x, y A, alors f(xj + yi) = (x, y) A/I A/J et donc f est surjective Corps des fractions Si K est un corps et si A est un sous-anneau de K, alors A est nécessairement intègre. Réciproquement, on a le résultat ci-dessous. Théorème Si A est un anneau intègre, alors il existe un corps K et un morphisme injectif A K. Démonstration. Soit B l ensemble {(x, y) A A \ {0}} sur lequel on définit une relation d équivalence par (a, b) (c, d) si et seulement si ad bc = 0. On note K l ensemble des classes d équivalence et on munit K des lois + et définies par : (1) (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) ; (2) (a, b) (c, d) = (ac, bd). On vérifie que K est bien un anneau et comme (a, b) (b, a) (1, 1), tout élément non nul est inversible et K est en fait un corps. Enfin, l application a (a, 1) de A dans K est injective puisque (a, 1) (0, 1) si et seulement si a = 0. Le corps construit ci-dessus s appelle le corps des fractions de A. C est le plus petit corps contenant A : si x K, alors il existe b A \ {0} tel que bx A Anneaux principaux et euclidiens On dit qu un anneau A est principal s il est intègre et si tout idéal I de A est principal. On dit que A est euclidien si A est intègre et s il existe une application N : A \ {0} N (appelée stathme euclidien) telle que si a A et b A \ {0}, alors il existe q, r A vérifiant a = qb + r avec soit r = 0, soit N(r) < N(b). Les exemples les plus importants sont A = Z avec N(a) = a et A = K[X] avec N(P ) = deg(p ). Théorème Si A est un anneau euclidien, alors A est principal. Démonstration. Par définition, A est intègre. Si I est un idéal de A qui est différent de (0), alors {N(a), a I \ {0}} est un sous-ensemble non vide de N et admet donc un plus petit élément, disons N(b) avec b I.

27 3.5. ANNEAUX FACTORIELS 27 Si a I, alors il existe q, r A vérifiant a = qb + r avec soit r = 0, soit N(r) < N(b). Comme a, b I, on a r I et donc N(r) < N(b) n est pas possible ce qui fait que r = 0 et donc que a = bq. On en déduit que I = (b). Si A est un anneau principal, et si a, b A, alors l idéal engendré par a et b est principal, engendré par un élément d A. On dit que d est «le» pgcd de a et b (bien sûr, d n est bien défini qu à une unité de A près). En particulier, comme d (a, b), il existe x et y A tels que ax + by = d (relation de Bezout). Dans un anneau euclidien, on peut utiliser l algorithme d Euclide pour calculer le pgcd de deux éléments a et b. On pose a 0 = a et a 1 = b et pour i 1, on définit a i+1 comme étant un reste de la division euclidienne de a i 1 par a i. Comme la suite des N(a i ) est strictement décroissante, il existe i 0 tel que a i0 0 et a i0 +1 = 0 et on a alors a i0 = pgcd(a, b) Anneaux factoriels Dans Z ou dans K[X], on a une décomposition en produit de nombres premiers ou en produit de polynômes irréductibles. Nous allons généraliser cette notion. Soit A un anneau intègre. On dit que a A est irréductible si a = bc implique que soit b soit c est une unité de A. On dit que p A est premier si p bc implique que soit p b, soit p c (ce qui revient à dire que l idéal (p) est premier). Lemme Si A est intègre et si p A est premier, alors p est irréductible. Démonstration. Si p = bc, alors p b ou p c. Si l on a b = px, alors p = pxc et donc xc = 1 ce qui fait que c est une unité. Dans Z ou dans K[X] les éléments irréductibles coïncident avec les éléments premiers, mais en général, ce n est pas le cas. Par exemple, dans A = Z[ 5], on a 2 3 = (1 + 5) (1 5) et les éléments 2, 3, et 1 5 sont irréductibles mais pas premiers. En revanche, dans un anneau principal, les deux notions coïncident. Lemme Si A est principal et si x A est irréductible, alors x est premier. Démonstration. Supposons que x ab, c est-à-dire que ab = xy. On va montrer que x a ou que x b. Considérons l idéal (b, x) ; il est principal, engendré par un élément c. On a x (c) et donc on peut écrire x = cz. Comme x est irréductible, soit c est une unité, soit z est une unité. Si z est une unité, alors (b, x) = (x) et donc il existe d A tel que b = xd et donc x b.

28 28 CHAPITRE 3. ANNEAUX ET MODULES Si c est une unité, alors (b, x) = A et en particulier, il existe d, e A tels que bd+xe = 1. On a alors abd + axe = a et donc xyd + xae = a ce qui fait que x(yd + ae) = a et que x a. On dit qu un anneau A est factoriel si A est intègre et si tout élément a une factorisation unique en produit d irréductibles, ce qui veut dire que si a A \ {0} n est pas une unité, alors il existe p 1,..., p r irréductibles tels que a = p 1 p r et que si l on a aussi a = q 1 q s alors r = s et quitte à permuter les q i on a p i = q i u i avec u i unité de A. Théorème Si A est un anneau principal, alors A est factoriel. Démonstration. Commençons par montrer que tout élément admet une décomposition. Si ce n est pas le cas, soit a A un élément qui n en admet pas. On peut alors écrire a = a 1 b 1 où ni a 1 ni b 1 ne sont des unités et où soit a 1 soit b 1 n admet pas de décomposition, disons a 1.On peut alors itérer ce procédé : a = a 1 b 1, a 1 = a 2 b 2...où chaque a i divise a i 1 strictement et n admet pas de décomposition. On a alors (a 1 ) (a 2 ). L idéal I = i 1 (a i ) est principal, disons I = (f) et il existe alors un indice i tel que f (a i ) ce qui fait que (a i ) = (a i+1 ) =, ce qui est une contradiction. Montrons maintenant l unicité de la décomposition. Si a = p 1 p r = q 1 q s, alors p 1 est irréductible et donc premier par le lemme ce qui fait que (quitte à permuter les q i ) on a p 1 q 1. Comme q 1 est irréductible, cela implique que p 1 = u 1 q 1 avec u 1 A et donc quitte à remplacer q 2 par u 1 q 2 que p 1 = q 1. Supposons que s r ; en itérant, on trouve que 1 = q r+1 q s ce qui fait que r = s et que p i = u i q i avec u i A pour tout i. Notons bien que dans un anneau factoriel, les éléments premiers coïncident avec les irréductibles. Dans Z[ 5] qui n est plus principal, il existe toujours des décompositions en irréductibles mais elles ne sont plus uniques. Ce qui est vrai, c est que tout idéal s écrit de manière unique comme produit d idéaux premiers. C est de là que vient la terminologie «idéal», ce sont des objets idéaux qui remplacent les nombres. On a par exemple : 6 = (2, 1 + 5) (2, 1 5) (3, 1 + 5) (3, 1 5). Nous verrons au chapitre suivant des exemples d anneaux factoriels qui ne sont pas principaux.

29 3.6. ANNEAUX NOETHÉRIENS Anneaux noethériens Rappelons qu un module M est de type fini s il existe m 1,..., m r M tels que M = { r i=1 a im i, a i A} (on écrit alors M = (m 1,..., m r )), ce qui revient à dire qu il existe un morphisme surjectif A r M. On dit qu un A-module M est noethérien (d après Emmy Noether) si tout sous-amodule de M est de type fini (en particulier M lui-même). On dit que A est un anneau noethérien si tout idéal I de A est de type fini, c est-à-dire si A est un A-module noethérien. En particulier, un anneau principal est noethérien (tout idéal étant engendré par un seul élément). Proposition Un A-module M est noethérien si et seulement si toute suite croissante M 1 M 2 de sous-modules de M est stationnaire (constante après un certain rang). Démonstration. Si M est noethérien et si M 1 M 2 est une telle suite, alors N = i 1 M i est un sous-module de M et est donc de type fini, engendré par m 1,..., m r. Il existe alors n 0 tel que m i M n ce qui fait que M n = M n+1 = = N. Réciproquement, soit M vérifiant la condition sur les suites de sous-modules et N un sous-module de M. Soit m 1 N et M 1 = (m 1 ). Pour i 1, on choisit m i+1 N \ M i si N M i (sinon on prend m i+1 = 0) et on pose M i+1 = (m i+1, M i ). Par hypothèse, la suite des M i doit être constante à partir d un certain rang r ce qui fait que N = (m 1,, m r ). Lemme Si L, M et N sont trois A-modules et si on a une suite exacte : 0 L f M g N 0, alors M est noethérien si et seulement si L et N le sont. Démonstration. Si M est noethérien, alors un sous-module de L est via f un sousmodule de M et est donc de type fini ce qui fait que L est noethérien. Si P est un sous-module de N, alors g 1 (P ) est un sous-module de M qui est donc de type fini et si l on note m 1,..., m r des éléments qui l engendrent, alors g(m 1 ),..., g(m r ) engendrent P et donc N est noethérien. Si L et N sont noethériens, soit P un sous-module de M, soient l 1,..., l r des éléments de L tels que f(l 1 ),..., f(l r ) engendrent f(l) P et soient p 1,..., p s des éléments de P dont les images dans N engendrent g(p ). Si p P, alors il existe des a i A tels que g(p) = s i=1 a ig(p i ) ce qui fait que p s i=1 a ip i ker(g) = im(f) et donc qu il existe des b i tels que p = s i=1 a ip i + r j=1 b jf(l j ) ce qui fait que P est de type fini engendré par les f(l j ) et les p i.

30 30 CHAPITRE 3. ANNEAUX ET MODULES Théorème Si A est un anneau noethérien, alors tout A-module M de type fini est noethérien. Démonstration. Si r 1, alors on a une suite exacte 0 A A r A r 1 0 d où l on déduit par récurrence (par le lemme 3.6.2) que A r est noethérien pour tout r 1. Si M est un A-module de type fini, alors il existe un morphisme surjectif g : A r M et cela nous donne une suite exacte 0 ker(g) A r g M 0 d où l on déduit (par le lemme 3.6.2) que M est noethérien. Nous verrons dans le chapitre suivant que les anneaux de polynômes K[X 1,..., X n ] sont noethériens. En fait, beaucoup des anneaux que l on rencontre le sont. En voici un qui ne l est pas : soit K un corps et A l ensemble des suites (x n ) n 1 d éléments de K (l addition et la mutliplication étant terme à terme). L idéal I des suites nulles à partir d un certain rang n est alors pas de type fini.

31 CHAPITRE 4 POLYNÔMES ET CORPS FINIS Si A est un anneau, alors on note A[X] l anneau des polynômes en X à coefficients dans A Polynômes et racines Si a A, alors on a un morphisme d évaluation P (X) P (a) de A[X] dans A. On dit que a est une racine de P (X) si P (a) = 0. Dans ce cas, il existe Q(X) A[X] tel que P (X) = (X a)q(x). En effet, si l on écrit P (X) = a 0 + a 1 (X a) + + a d (X a) d, alors P (a) = 0 si et seulement si a 0 = 0 et la formule pour Q(X) est alors évidente. Proposition Si A est un anneau intègre, alors le nombre de racines de P est inférieur ou égal à deg(p ). Démonstration. Si P (a) = 0, alors P (X) = (X a)q(x) avec deg(q) = deg(p ) 1 et si P (b) = 0, alors (b a)q(b) = 0 ce qui fait que, comme A est intègre, soit a = b soit Q(b) = 0. Ceci permet de démontrer la proposition par récurrence sur le degré de P. Si A n est pas intègre, alors la proposition n est pas nécessairement vraie. Par exemple, dans A = Z/8Z, le polynôme P (X) = X 2 1 a pour racines X = 1, 3, 5 et 7. Proposition Si A est un anneau intègre, alors A[X] est intègre. Démonstration. Si P (X) = p 0 + p 1 X + + p m X m et Q(X) = q 0 + q 1 X + + q n X n sont deux polynômes avec p m 0 et q n 0, alors le coefficient dominant de P Q est p m q n 0 ce qui fait que P Q 0. Enfin, si K est un corps, alors on dit que K est algébriquement clos si tout polynôme non constant P K[X] a une racine dans K. Par exemple, on a le résultat (bien connu) ci-dessous. Théorème Le corps C des nombres complexes est algébriquement clos.

32 32 CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET CORPS FINIS Démonstration. Soit P (X) = a 0 + a 1 X + + a d X d C[X] un polynôme de degré d 1. Comme P (z) = z d a d + a d 1 /z + + a 0 /z d, avec a d 0, on a P (z) + quand z + et il existe donc un point z 0 C où P (z) admet un minimum global. Si P (z 0 ) = 0, alors on a terminé ; sinon, on écrit : P (z) = P (z 0 ) (1 + b m (z z 0 ) m + O((z z 0 ) m+1 )), avec b m 0 et si l on écrit b m = b m e iθm, et que l on prend z = z 0 + ε e i( θm+π)/m, alors on a : P (z) = P (z 0 ) (1 b m ε m + O(ε m+1 )), ce qui permet de trouver z tel que P (z) < P (z 0 ), absurde. Si L est une extension du corps K et x L, alors on dit que x est algébrique sur K si x est racine d un polynôme à coefficients dans K. Tout corps K admet une extension (en général infinie) algébriquement close, et si tous les éléments de cette extension sont algébriques sur K, alors on dit que c est une clôture algébrique de K. Deux clôtures algébriques de K sont isomorphes, et on parle généralement de «la» clôture algébrique de K, que l on note K. Par exemple, C n est pas une clôture algébrique de Q car il contient des nombres tels que e ou π qui ne sont pas algébriques sur Q (on dit alors qu ils sont transcendants), mais C contient Q, la clôture algébrique de Q, qui est l ensemble des nombres complexes qui sont algébriques sur Q Le théorème de Hilbert Le résultat ci-dessous est connu sous le nom de théorème de la base de Hilbert. Théorème Si A est un anneau noethérien, alors A[X] est noethérien. Démonstration. Soit I un idéal de A[X] et I k l ensemble des a k A tels qu il existe P (X) I de degré k dont le coefficient dominant est a k. L ensemble I k est un idéal de A et de plus I 0 I 1. Comme A est noethérien, il existe n tel que I n = I n+1 =. Chacun des idéaux I j est de type fini, disons que I j est engendré par des a i,j A avec 1 i n j. Soit P i,j I un polynôme dont le coefficient dominant est a i,j. Nous allons montrer que I est engendré par les P i,j. Si P I est un polynôme de degré d et si d n + 1, alors les a i,n engendrent I n = I d et donc il existe des λ in A tels que P λ i,n X d n P i,n est de degré d 1 et appartient à I. En itérant, on se ramène à montrer que si P I est un polynôme de degré d n, alors P est combinaison linéaire des P i,j. Le coefficient dominant de P est combinaison A-linéaire des a i,n et donc il existe des λ i,n A tels que P λ i,n P i,n est de degré d 1 et appartient à I, ce qui permet de finir la démonstration en itérant cela d fois.

33 4.3. POLYNÔMES À COEFFICIENTS DANS UN ANNEAU FACTORIEL Polynômes à coefficients dans un anneau factoriel Au 3.4, on a défini le pgcd de deux éléments d un anneau principal. On peut en fait étendre cette définition aux anneaux factoriels. Si a et b A, écrivons a = p e 1 1 p er r et b = p f 1 1 p fr r où les p i sont premiers (rappelons que dans un anneau factoriel, les éléments premiers coïncident avec les éléments irréductibles). On pose alors pgcd(a, b) = p min(e 1,f 1 ) 1 pr min(er,fr) ce qui fait que (a, b) (pgcd(a, b)). Si A est principal, on a égalité (pourquoi?) et la définition correspond à celle du 3.4 mais si A = K[X, Y ] (dont on va voir qu il est factoriel si K est un corps), alors pgcd(x, Y ) = 1 bien que (X, Y ) A. On suppose désormais que A est factoriel. Si P (X) = a 0 + a 1 X + + a d X d A[X], alors on définit son contenu cont(p ) = pgcd(a 0,..., a d ). On dit que P est primitif si cont(p ) = 1. Le résultat ci-dessous est connu sous le nom de lemme de Gauss. Théorème Si P et Q A[X], alors cont(p Q) = cont(p ) cont(q). Démonstration. En divisant P par cont(p ) et Q par cont(q), on se ramène à montrer que si P et Q sont primitifs, alors P Q l est aussi. Si p est un élément premier de A, alors l anneau A/pA est intègre et P, Q A/pA[X] sont 0. Comme A/pA[X] est lui-même intègre, on a P Q 0 et donc p ne divise pas cont(p Q). Ceci étant vrai pour tout p premier, on a bien cont(p Q) = 1. Théorème Si A est un anneau factoriel, et K son corps des fractions, alors A[X] est factoriel et les irréductibles de A[X] sont ceux de A ainsi que les polynômes primitifs de A[X] qui sont irréductibles dans K[X]. Démonstration. Tout d abord, les irréductibles de A le restent dans A[X] et si P A[X] est un polynôme primitif irréductible dans K[X], et si on a P = P 1 P 2 dans A[X], alors l un des P i appartient nécessairement à A et en regardant les contenus, on voit que celui-ci est forcément une unité ce qui fait que P est un irréductible de A[X]. L anneau K[X] est principal, et donc factoriel ; par ailleurs, tout polynôme de K[X] peut être multiplié par une constante non nulle pour le rendre à coefficients dans A et primitif. Si P (X) A[X], on peut donc le factoriser en P (X) = (a/b) P 1 (X) P r (X) où a, b A et P r (X) A[X] est irréductible dans K[X] et primitif. En regardant les contenus, on voit que b cont(p ) = a et donc finalement que P (X) = cont(p ) P 1 (X) P r (X). Ceci montre d une part que A[X] est factoriel, et d autre part qu il n y a pas d autres irréductibles que ceux de A et les polynômes primitifs irréductibles dans K[X]. Enfin, il reste à vérifier l unicité de la décomposition. Si P (X) A[X] s écrit P (X) = a 1 a r P 1 (X) P s (X), alors a 1 a r est une décomposition de cont(p ) et est donc

34 34 CHAPITRE 4. POLYNÔMES ET CORPS FINIS unique aux unités près. Enfin, P 1 (X) P s (X) est une décomposition de P/ cont(p ) dans K[X] et est donc unique à multiplication par des éléments de K près, et l hypothèse que P i (X) est primitif implique que P i (X) est bien déterminé à une unité de A près. En appliquant n fois le théorème 4.3.2, on trouve que si A est factoriel, alors l anneau A[X 1,..., X n ] est factoriel : tout polynôme à n variables s écrit de manière unique comme produit de polynômes irréductibles Corps finis Si p est un nombre premier, alors Z/pZ est un corps de cardinal p que l on note F p, mais il existe d autres corps finis que les F p. Si K est un corps fini, alors le morphisme naturel Z K n est pas injectif et il existe donc n 2 tel que Z/nZ est un sous-anneau de K. Comme Z/nZ n est intègre que si n est premier, il existe un nombre premier p tel que F p K. On a alors p = 0 dans K et on dit que K est de caractéristique p. Proposition Si K est un corps fini de caractéristique p, alors son cardinal est p n pour un entier n 1. Démonstration. Comme K est fini et contient F p, c est un espace vectoriel de dimension finie sur F p et si on note n sa dimension, alors on a K F n p (en tant qu espaces vectoriels, mais pas en tant qu anneaux!) et donc card(k) = p n. Si K est un corps fini de cardinal q = p n, alors K est un groupe abélien (pour la multiplication) de cardinal q 1 et on a donc x q 1 = 1 pour tout x K, ce qui fait que tout élément de K est racine du polynôme X q X. En particulier, le polynôme X q X 1 n a pas de racines dans K et donc un corps fini n est jamais algébriquement clos. On note F p «la» clôture algébrique de F p. Si K est de caractéristique p, alors l application Fr p : K K donnée par x x p est un morphisme d anneaux qui est F p -linéaire, puisque a p = a si a F p et que (a+b) p = a p +b p dans un anneau où p = 0. Cette application s appelle le morphisme de Frobenius. Théorème Si q = p n, alors l ensemble F q = {x F p x q = x} est un souscorps de F p qui est une extension de F p de degré n, et c est le seul sous-corps de F p qui ait cette propriété. Démonstration. Comme l application x x q est un morphisme d anneaux (c est Fr n p), F q est bien un sous-anneau de F p. Si x F q \ {0}, alors (x 1 ) q = (x q ) 1 = x 1 et donc x 1 F q ce qui fait que F q est bien un corps. Comme F p est algébriquement clos, le polynôme P (X) = X q X a deg(p ) = q solutions (distinctes) dans F p et donc F q est de

35 4.4. CORPS FINIS 35 cardinal q = p n ce qui fait que c est une extension de F p de degré n. Enfin, si K est un sous-corps de F p de cardinal q, alors on a vu que le polynôme X q X est nul sur K et donc on a forcément K = F q. La situation est donc radicalement différente de ce qui se passe sur Q, qui a une infinité d extensions de degré n pour tout n 2. Pour terminer, signalons le résultat ci-dessous. Proposition Le groupe multiplicatif F q est cyclique. Démonstration. Soit ϕ l indicatrice d Euler, définie par ϕ(n) = le nombre d éléments d ordre n dans Z/nZ et soit ψ définie par ψ(n) = le nombre d éléments d ordre n dans F q. Il suffit de montrer que ψ(q 1) 0. Si ψ(n) 0, c est qu il existe x F q d ordre n et alors l application a x a de Z/nZ F q est injective, et son image est composée d éléments dont l ordre divise n. Comme l ordre d un élément x divise n si et seulement si x n = 1, il y a au plus n tels éléments et donc si ψ(n) 0, alors ces éléments sont tous dans l image de l application cidessus et ψ(d) = ϕ(d) pour tout d n ce qui fait que ψ(n) = ϕ(n). Par suite, on a que pour tout n, on a soit ψ(n) = 0, soit ψ(n) = ϕ(n). Enfin, d q 1 ψ(d) = q 1 = d q 1 ϕ(d) et on a donc forcément ψ(d) = ϕ(d) pour tout d et en particulier ψ(q 1) = ϕ(q 1) 0.

36

37 CHAPITRE 5 MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Soit A un anneau et J un ensemble. On note j J A l ensemble des suites x = (x j ) j J telles que x j = 0 pour tout j sauf un nombre fini. Si M est un A-module, on dit qu une famille {m j } j J d éléments de M est une base de M si l application j J A M donnée par (x j ) j J j J x jm j est un isomorphisme (l application est bien définie puisque pour chaque x, x j = 0 pour tout j sauf un nombre fini). On dit qu un A-module M est libre s il admet une base Modules libres de type fini et matrices On dit qu un A-module M est libre de type fini s il admet une base finie, ce qui revient à dire qu il existe r 1 et un isomorphisme f : A r M. Proposition Si M est un A-module libre, alors deux bases de M ont même cardinal. Démonstration. Soit {m j } j J une base de M et I un idéal maximal de A. Le module quotient M/IM est un A/I-espace vectoriel et les {m j } j J en forment une base, ce qui fait que card(j) = dim A/I M/IM. Si M est un A-module libre de type fini, alors par la proposition 5.1.1, l entier r tel que M A r est bien défini et on l appelle le rang de M. Si M et N sont deux A-modules libres de rang r et s, dont on choisit des bases {m i } et {n j }, et si f : M N est un morphisme, alors la matrice de f dans les bases {m i } et {n j } est Mat(f) = (f i,j ) où f(m j ) = s i=1 f i,jn i. Les règles habituelles de l algèbre linéaire s appliquent toujours ; en particulier, on a Mat(fg) = Mat(f) Mat(g). On note M m n (A) et M n (A) les matrices à m lignes et n colonnes et les matrices carrées n n. Si P = (p i,j ) M n (A), on définit det(p ) = σ S n ε(σ)p 1,σ(1) p n,σ(n) et on a alors det(p Q) = det(p ) det(q) et si t co(p ) désigne la transposée de la comatrice de P, alors t co(p ) P = det(p ) Id. En particulier, la matrice P est inversible dans M n (A) si et

38 38 CHAPITRE 5. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL seulement si det(p ) A ; on note GL n (A) l ensemble de ces matrices. Enfin, si P M n (A), alors on définit le polynôme caractéristique Π P (X) = det(x Id P ) A[X] et le théorème de Cayley-Hamilton est toujours vrai. Théorème Si M est un A-module libre de rang r, si f : M M est un endormorphisme de M, et si P est la matrice de f dans une base {m i } de M, alors Π P (f) est nul sur M. Démonstration. Considérons M comme un module sur A[X] en posant X m = f(m). On a alors : et donc : m 1 m 1 (X Id t P ). = 0., m r 0 (X Id t P ). = t co(x Id t P ) (X Id t P ). = det(x Id P ) Id. m r m r m r est nul, ce qui fait que det(x Id P )m i = 0 pour tout i et donc que Π P (f) = 0 sur M. m 1 m Diviseurs élémentaires pour un anneau principal Il n est pas vrai, en général, qu un sous-module d un module libre est lui-même libre (par exemple (X, Y ) K[X, Y ]) mais sur un anneau principal, c est vrai. Théorème Si A est un anneau principal, si M est un A-module libre de rang r et si N est un sous-a-module de M, alors N est libre de rang r. Démonstration. Soit {m i } une base de M et N i = N (m 1,..., m i ). Nous allons montrer par récurrence sur i que N i est libre de rang i. Comme N 1 (m 1 ) A et que A est principal, N 1 est de la forme (a 1 m 1 ) avec a 1 A et il est donc libre de rang 1. Soit i 1 et I l ensemble des a A tels qu il existe x N i+1 qui peut s écrire x = b 1 m b i m i + am i+1. C est un idéal de A et il est donc engendré par un élément a i+1 A. Si a i+1 = 0, alors N i+1 = N i et N i+1 est bien libre de rang i + 1. Sinon, soit x N i+1 tel que x = b 1 m b i m i + a i+1 m i+1. Si y N i+1, alors il existe b A tel que y bx N i et comme N i (x) = {0}, on a N i+1 = N i (x) qui est donc libre de rang i + 1. Contrairement à ce qui se passe pour les espaces vectoriels sur un corps, il n existe pas nécessairement P M tel que M = N P, par exemple N = 2Z n a pas de «supplémentaire» dans M = Z.

39 5.2. DIVISEURS ÉLÉMENTAIRES POUR UN ANNEAU PRINCIPAL 39 Le résultat ci-dessous précise le théorème et est fondamental. Théorème Si A est un anneau principal, si M est un A-module libre de rang r et si N est un sous-a-module de M de rang s, alors il existe une base m 1,..., m r de M et des éléments d 1,..., d s de A \ {0} tels que : (1) les d 1 m 1,..., d s m s forment une base de N ; (2) on a d 1 d 2 d s. Démonstration. Pour que la démonstration soit aussi claire que possible, nous montrons le théorème dans le cas où A est un anneau euclidien (c est le cas dans les deux applications les plus importantes, A = Z et A = K[X]). La démonstration dans le cas général est assez semblable mais l une des étapes est plus technique. Montrons donc le théorème sous l hypothèse supplémentaire que A est un anneau euclidien. Si l on choisit des bases de M et N, alors la matrice de la base de N selon celle de M est une matrice P M r s (A) et si l on change les bases de M ou de N, cela revient à remplacer P par XP Y avec X GL r (A) et Y GL s (A). Pour montrer le théorème, il faut donc montrer qu il existe X GL r (A) et Y GL s (A) telles que XP Y a tous ses termes nuls sauf ses s premiers termes diagonaux, et que ceux-ci satisfont la condition (2). Nous allons montrer que l on peut faire cela en ne modifiant P que par des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes (si A n est que principal, alors ce n est justement pas toujours possible). Si P = 0, alors il n y a rien à faire. Sinon, posons N(P ) = min{n(p i,j ), p i,j 0}. Quitte à permuter les lignes et les colonnes, on peut supposer que N(P ) = N(p 1,1 ). Supposons alors qu il existe i ou j tels que p 1,1 ne divise pas p i,1 ou p 1,j. Dans ce cas, considérons les opérations suivantes : (L) si c est p i,1, alors on fait la division euclidienne de p i,1 par p 1,1 : p i,1 = qp 1,1 + r et on remplace la ligne L i par L i ql 1 puis on réordonne les lignes et les colonnes pour que N(P ) = N(p 1,1 ) ; (C) si c est p 1,j, alors on fait la division euclidienne de p 1,j par p 1,1 : p 1,j = qp 1,1 + r et on remplace la colonne C j par C j qc 1 puis on réordonne les lignes et les colonnes pour que N(P ) = N(p 1,1 ). A chaque fois que l on fait l une des opérations ci-dessus, on remplace la matrice P par une matrice P telle que N(P ) N(P ) 1 ce qui fait qu après au plus N(P ) opérations, on se retrouve forcément avec une matrice qui a la propriété que p 1,1 divise tous les éléments de la ligne L 1 et de la colonne C 1. Quitte à remplacer L i par L i (p i,1 /p 1,1 )L 1

40 40 CHAPITRE 5. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL et C j par C j (p 1,j /p 1,1 )C 1, on est alors dans la situation où P est de la forme : ( ) p1, Q S il existe i et j tels que p 1,1 ne divise pas q i,j, alors on remplace L 1 par L 1 + L i et on recommence les opérations (L) et (C) ci-dessus, chacune étant forcée de faire baisser N(P ) d au moins 1. On finit donc par arriver dans la situation où P est de la forme : ( ) p1, Q avec p 1,1 Q ce qui permet de démontrer le théorème par récurrence en l appliquant à la matrice Q/p 1,1. Nous verrons plus loin que les idéaux (d 1 ), (d 2 ),..., (d s ) sont déterminés par le module quotient M/N. Ces idéaux s appellent les diviseurs élémentaires de M/N. Si l anneau A a la propriété que pour tous les modules N M avec M et N libres de rang fini, les conclusions du théorème sont satisfaites, alors on dit que A est un anneau à diviseurs élémentaires. Dans un tel anneau, tout idéal de type fini est nécessairement principal. Réciproquement, on conjecture que si A est un anneau intègre dans lequel tout idéal de type fini est principal, alors A est un anneau à diviseurs élémentaires. Un exemple d un tel anneau qui n est pas principal est l anneau des fonctions holomorphes sur le disque unité ouvert. Remarquons pour terminer que la démonstration du théorème fournit une classification des matrices à coefficients dans un anneau principal A à équivalence près. Une matrice dont tous les termes sont nuls sauf les s premiers termes diagonaux d 1,..., d s et telle que d 1 d s est dite être en forme normale et on dit alors aussi que les d i sont les diviseurs élémentaires de la matrice Modules de type fini sur un anneau principal Commençons par appliquer directement le théorème Proposition Si A est un anneau principal, et si M est un A-module de type fini, alors il existe n 0 et des éléments non nuls d 1,..., d m de A\A tels que d 1 d m et M A n ( m i=1a/d i A). Démonstration. Si M est de type fini, alors il existe un morphisme surjectif f : A r M et on note N = ker(f). Par le théorème 5.2.1, N est libre de rang s r et la proposition suit alors du théorème appliqué à N A r, étant donné que si d i A, alors d i A = A et si d i = 0, alors A/d i A = A.

41 5.3. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL 41 Si M est un A-module et si m M, alors on dit que m est de torsion s il existe a A \ {0} tel que am = 0. L ensemble M tor des éléments m M qui sont de torsion est un sous-module de M et M/M tor est alors sans torsion. On voit alors, en gardant les notations de la proposition 5.3.1, que l on a M tor m i=1a/d i A et M/M tor A n ; en particulier n est bien défini et ne dépend que de M. On dit parfois abusivement que n est le rang de M. Si M est sans torsion, alors M A n et donc sur un anneau principal, les modules sans torsion et de type fini sont nécessairement libres. Proposition Si A est un anneau principal, et si d 1,..., d m et e 1,..., e n sont des éléments non nuls de A \ A tels que d 1 d m et e 1 e n et m i=1a/d i A n j=1a/e j A, alors m = n et (d i ) = (e i ) pour tout i. Démonstration. Comme A est un anneau principal, les éléments premiers coïncident avec les éléments irréductibles, et de plus si p est premier, alors l idéal (p) est maximal et donc A/pA est un corps. Si d A \ A, alors A/dA est engendré par un seul élément (la classe de 1) et donc son quotient (A/dA)/p(A/dA) est un A/pA-espace vectoriel de dimension 0 ou 1. Si p d, alors la multiplication par p, m p : A/dA A/dA est un isomorphisme et donc (A/dA)/p(A/dA) = 0. En revanche, si p d, alors m p n est pas un isomorphisme et donc (A/dA)/p(A/dA) est un A/pA-espace vectoriel de dimension 1. On en déduit que si p est un élément premier, alors ( m i=1a/d i A)/p( m i=1a/d i A) est un A/pA-espace vectoriel dont la dimension est le nombre de d i qui sont divisibles par p. En particulier, si p divise d 1, alors ce nombre est égal à m et donc m des e j sont divisbles par p, et n m. Par symétrie, on trouve que m = n et donc que p divise aussi tous les e j. Enfin, si p divise d, alors on a p(a/da) A/(d/p)A et en multipliant m i=1a/d i A n j=1a/e j A par p, on trouve que : m i=1a/(d i /p)a n j=1a/(e j /p)a, ce qui permet de démontrer la proposition par récurrence sur le nombre de facteurs premiers (avec multiplicité) de ppcm(d m, e m ). En rassemblant les résultats du paragraphe, on trouve donc le théorème ci-dessous. Théorème Si A est un anneau principal et si M est un A-module de type fini, alors : (1) il existe m 0 et n 0 et des éléments non nuls d 1,..., d m de A \ A tels que d 1 d m et : M A n ( m i=1a/d i A); (2) les entiers m et n ainsi que les idéaux (d i ) sont déterminés par M.

42 42 CHAPITRE 5. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Le module A/dA peut lui-même encore être décomposé. Si d = p α 1 1 p αr r est une décomposition de d en facteurs premiers, alors par le lemme chinois, l application A/dA r j=1a/p α j j A est un isomorphisme. En revanche, A/pα A ne peut plus être décomposé en somme directe de deux sous-a-modules. Si M est un A-module et si p est un élément premier, on note M(p) l ensemble des m M tels qu il existe α 1 vérifiant p α m = 0 ce qui fait que M(p) est un sous-module de M. Si M = A/dA, alors M(p j ) = A/p α j j A et donc M = r j=1m(p j ). Le théorème peut alors être reformulé de la manière suivante. Théorème Si A est un anneau principal et si M est un A-module de type fini, alors M(p) = 0 pour presque tout élément premier p et : (1) il existe n 0 tel que M = A n ( p premier M(p)) et pour tout p premier, il existe des entiers α 1 (p) α m(p) (p) tels que M(p) = m(p) i=1 A/pα i(p) A ; (2) les entiers n et m(p) et α i (p) sont déterminés par M Groupes abéliens de type fini et réduction des endomorphismes Dans ce paragraphe, nous allons appliquer le théorème au cas de A = Z (groupes abéliens de type fini) puis au cas de A = K[X] (réduction des endomorphismes). Commençons par le cas des groupes abéliens de type fini. L anneau A = Z est principal, et on a vu qu un groupe abélien n est autre qu un Z-module. Par suite, le théorème nous donne le résultat ci-dessous. Théorème Si G est un groupe abélien de type fini, alors il existe m 0 et n 0 et des entiers d 1,..., d m 2 tels que d 1 d m et G Z n ( m i=1z/d i Z), et les entiers m et n et les d i sont déterminés par G. Passons à présent à la réduction des endomorphismes. Soit K un corps algébriquement clos (par exemple K = C, mais aussi K = F p ), soit V un K-espace vectoriel de dimension finie et f : V V un endomorphisme. On considère V comme un K[X]-module en posant X v = f(v) et V est alors un K[X]-module de type fini, qui est de torsion. Les éléments premiers de K[X] sont les polynômes irréductibles, qui sont de degré 1 puisque K est algébriquement clos, et tout polynôme premier est donc de la forme X λ avec λ K. Si α 1, alors le K[X]-module K[X]/(X λ) α est un K-espace vectoriel de dimension α dont une base est donnée par (X λ) α 1, (X λ) α 2,..., 1 et dans cette

43 5.4. GROUPES ABÉLIENS DE TYPE FINI ET RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES 43 base, la matrice de la multiplication par X est donnée par : λ λ Le théorème nous dit alors que V est une somme directe de V λ où chaque V λ est de la forme m i=1k[x]/(x λ) α i, c est-à-dire qu il existe une base de V dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs, chaque bloc étant un bloc de Jordan. On dit que Mat(f) est sous forme de Jordan. On a donc montré le théorème ci-dessous. Théorème Si K est algébriquement clos, alors tout endomorphisme d un K- espace vectoriel de dimension finie admet une décomposition de Jordan. Pour terminer, il nous reste à voir comment on peut déterminer effectivement la forme de Jordan d un endomorphisme f End(V ). Soit {v 1,..., v d } une base de V, M = (m i,j ) la matrice de f dans la base des v i, et soit N le sous-module de d i=1k[x]v i engendré par les n i = Xv i d j=1 m j,iv j pour 1 i d. Enfin, soit π : d i=1k[x]v i V l application π : d i=1 P i(x) v i d i=1 P i(f)(v i ). Proposition L application π induit une suite exacte de K[X]-modules : 0 N d i=1k[x]v i π V 0. Démonstration. Il faut vérifier que π est surjective et que ker(π) = N. Le fait que π est surjective est évident puisque π(v i ) = v i et que les v i engendrent V. Montrons donc que ker(π) = N. Le fait que M est la matrice de f dans la base des v i revient à dire que f(v i ) = d j=1 m j,iv j et donc que π(n i ) = 0 pour tout i ce qui fait que N ker(π). Enfin, si d i=1 P i(x) v i ker(π), alors il existe n N tel que d i=1 P i(x) v i n = d i=1 a i v i avec a i K et si π( d i=1 P i(x) v i ) = 0, alors π( d i=1 a i v i ) = 0 et donc a i = 0 pour tout i ce qui fait que d i=1 P i(x) v i N et donc ker(π) = N. Corollaire Si M est la matrice de f dans une base de V, alors on a V d i=1k[x]/(d i ) en tant que K[X]-module où les d i sont les diviseurs élémentaires de la matrice X Id M M d (K[X]).

44

45 CHAPITRE 6 PRODUITS TENSORIELS 6.1. Produits tensoriels d espaces vectoriels Nous commençons par construire le produit tensoriel de deux espaces vectoriels V et W de dimension finie sur un corps K. Si {v 1,..., v r } est une base de V et {w 1,..., w s } est une base de W, alors le produit tensoriel de V et W est le K-espace vectoriel de dimension rs noté V W défini par V W = r i=1 s j=1 K v i w j. Si v = r i=1 x iv i V et w = s j=1 y jw j W alors on note v w l élément de V W défini par v w = r s i=1 j=1 x iy j v i w j. L espace V W ne dépend donc pas du choix des bases de V et W. Si on se donne f : V 1 V 2 et g : W 1 W 2 linéaires, alors on définit f g : V 1 W 1 V 2 W 2 par la formule (f g)(v w) = f(v) g(w) ce qui fait que f g est une application linéaire. Ceci s applique en particulier dans le cas où V = V 1 = V 2 et W = W 1 = W 2. Dans ce cas, on trouve une application End(V ) End(W ) End(V W ). Remarquons que si l on pose A = Mat(f) et B = Mat(g), alors la matrice de f g dans la base {v i w j } 1 i r 1 j s est : On a donc Tr(f g) = Tr(f) Tr(g). a 1,1 B a 1,2 B Mat(f g) = a 2,1 B.... Supposons que 2 0 dans K ; le groupe Z/2Z = {1, σ} agit sur V V par la formule σ(v i v j ) = v j v i et on note Sym 2 (V ) = V σ=1 et Λ 2 (V ) = V σ= 1. On note v i v j l élément de Sym 2 (V ) défini par 1/2(v i v j + v j v i ) et on note v i v j l élément de Λ 2 (V ) défini par 1/2(v i v j v j v i ).. Proposition On a V V = Sym 2 (V ) Λ 2 (V ) et Sym 2 (V ) est de dimension d(d+1)/2 engendré par les v i v j avec i j et Λ 2 (V ) est de dimension d(d 1)/2 engendré par les v i v j avec i < j.

46 46 CHAPITRE 6. PRODUITS TENSORIELS Démonstration. Comme σ((id +σ)x) = (Id +σ)x et σ((id σ)x) = (Id σ)x, on peut écrire x V V de la manière : x = Id +σ x + 2 Id σ x Sym 2 (V ) Λ 2 (V ). 2 Ceci montre aussi que les v i v j forment une famille génératrice de Sym 2 (V ) et que les v i v j forment une famille génératrice de Λ 2 (V ). En comptant les dimensions, on voit que ces familles génératrices sont forcément libres. Si V et W sont deux représentations d un groupe fini G, alors V W est naturellement une représentation de G via la formule ρ V W (g) = ρ V (g) ρ W (g). Le fait que Tr(ρ V (g) ρ W (g)) = Tr(ρ V (g)) Tr(ρ W (g)) implique que χ V W = χ V χ W. Si V = W alors Sym 2 (V ) et Λ 2 (V ) sont stables sous l action des ρ V V (g). Proposition Si V est une représentation de G, alors : χ Sym 2 (V )(g) = 1 2 (χ2 V (g) + χ V (g 2 )) et χ Λ 2 (V )(g) = 1 2 (χ2 V (g) χ V (g 2 )). Démonstration. Rappelons que ρ V (g) est diagonalisable ; on choisit une base {v i } de V dans laquelle ρ V (g)(v i ) = λ i v i. On a alors ρ V V (g)(v i v j ) = λ i λ j v i v j ce qui fait que ρ Sym 2 (V )(v i v j ) = λ i λ j v i v j et ρ Λ 2 (V )(v i v j ) = λ i λ j v i v j. Comme χ V (g) = λ λ d et χ V (g 2 ) = λ λ 2 d, on en déduit le résultat par la proposition Produits alternés La construction de Sym 2 (V ) et de Λ 2 (V ) se généralise au produit tensoriel de V par lui-même k-fois : si k 1, on note T k (V ) le produit tensoriel de V avec lui-même pris k fois : T k (V ) = V K K V = V k. Lemme Si f : V k K est une application multilinéaire, et si on définit f : T k (V ) K par f(v i1 v ik ) = f(v i1,..., v ik ), alors f(m 1 m k ) = f(m 1,..., m k ) quels que soient {m 1,..., m k } V k. Pour des raisons pratiques on définit plutôt Λ k (V ) comme un quotient de T k (V ). Soit L le sous-module de T k (V ) engendré par les m 1 m k tels qu il existe i j avec m i = m j. On définit Λ k (V ) = T k (V )/L et on note m 1... m k l élément de Λ k (V ) qui est l image de m 1 m k. Théorème Si V est de dimension r, alors Λ k (V ) est de dimension ( r k).

47 6.2. PRODUITS ALTERNÉS 47 Démonstration. Soit v 1,..., v r une base de V. Tout élément de T k (V ) peut s écrire comme combinaison linéaire λ i1,...,i k v i1 v ik et si k r + 1, alors deux des indices i j {1,..., r} sont nécessairement égaux et donc L = T k (V ) ce qui fait que Λ k (V ) = 0. On suppose donc dans la suite que k r. Les éléments de la forme v i1 v ik forment une base de T k (V ). Si deux des i j sont égaux, alors l image de cet élément est nul dans Λ k (V ) et sinon on a v σ(i1 ) v σ(ik ) = ε(σ)v i1 v ik ce qui fait que les éléments de la forme v i1 v ik avec i 1 < i 2 < < i k engendrent Λ k (V ). Comme il y en a exactement ( r k), il suffit de montrer que ces éléments sont libres puisqu ils forment alors une base de Λ k (V ). Commençons par le cas où k = r. Dans ce cas, il s agit de montrer que Λ r (M) est de dimension 1, sachant qu il est engendré par m 1 m r. L application multilinéaire det : V r K se prolonge par le lemme en une application linéaire det : T r (V ) K qui est manifestement nulle sur L et égale à 1 sur v 1 v r. Ceci montre le théorème pour k = r. Supposons maintenant que k < r. Si j 1 < < j k sont des entiers compris entre 1 et r et si l on appelle j k+1,..., j r les autres entiers compris entre 1 et r et y = m jk+1 m jr, alors on a une application linéaire Λ k (M) Λ r (M) donnée par x x y. Cette application envoie i 1 < <i k λ i1,...,i k m i1 m ik que si l on a dans Λ k (M) une relation du type : i 1 < <i k λ i1,...,i k m i1 m ik = 0, sur ±λ j1,...,j k m 1 m r ce qui fait alors λ j1,...,j k = 0 et comme ceci est vrai pour toute suite j 1 < < j k, les éléments de la forme m i1 m ik avec i 1 < i 2 < < i k sont donc libres dans Λ k (M). Si f End(V ), alors on en déduit pour tout k 1 une application T k (f) : T k (V ) T k (V ). Si L dénote comme ci-dessus le sous-espace de T k (V ) engendré par les m 1 m k tels qu il existe i j avec m i = m j, alors on voit que T k (f)(l) L et l on en déduit par passage au quotient une application Λ k (f) : Λ k (V ) Λ k (V ). Proposition Si f End(V ) et si P est la matrice de f dans une base {v i } 1 i r de V, alors la matrice de Λ k (f) dans la base des {v i1 v ik } 1 i1 < <i k r est la matrice des mineurs k k de P. Démonstration. Comme f(v i ) = r j=1 p j,iv j, on a : ( r ) ( r ) T k (f)(v i1 v ik ) = p j1,i 1 v j1 p jk,i k v jk. j 1 =1 Si on choisit l 1 < < l k, alors pour σ S k le coefficient de v lσ(1) v lσ(k) dans le développement de la formule ci-dessus est p lσ(1),i 1 p lσ(k),i k. Dans Λ k (V ), on a j k =1

48 48 CHAPITRE 6. PRODUITS TENSORIELS v lσ(1) v lσ(k) = ε(σ)v l1 v lk quand on a regroupé les termes est : et on trouve donc que le coefficient de v l1 v lk σ S k ε(σ)p lσ(1),i 1 p lσ(k),i k. C est le mineur de P correspondant aux lignes l 1,..., l k et aux colonnes i 1,..., i k. Dans le cas où k = r, l espace Λ r (V ) est de dimension 1 et l application Λ r (f) : Λ r (V ) Λ r (V ) est alors la multiplication par det(f). Plus généralement, on pourra montrer la formule : det(x Id f) = r ( 1) k X r k Tr(Λ k (f)). k= Produits tensoriels de modules Soit A un anneau et k 1 et M 1,..., M k et N des A-modules. Une application : f : M 1 M k N est dite multilinéaire si elle est linéaire par rapport à chacune des variables. On note Hom k (M 1,..., M k ; N) le module des applications multilinéaires de M 1 M k dans N. On se donne à présent k modules M 1,..., M k. Soit X le A-module libre dont une base est donnée les k-uplets [m 1,..., m k ] M 1 M k (sans relations) et Y le sous-module de X engendré par les éléments de X de la forme : [m 1,..., λ 1 m i,1 + λ 2 m i,2,..., m k ] λ 1 [m 1,..., m i,1,..., m k ] λ 2 [m 1,..., m i,2,..., m k ], pour 1 i k. Le produit tensoriel M 1 A A M k est par définition le quotient X/Y. On note m 1 m k l image de [m 1,..., m k ] dans M 1 A A M k. On dispose d une application (m 1,..., m k ) m 1 m k de M 1 M k dans M 1 A A M k qui est multilinéaire, puisque : m 1 (λ 1 m i,1 + λ 2 m i,2 ) m k = λ 1 m 1 m i,1 m k + λ 2 m 1 m i,2 m k par construction. Si u : M 1 M k N est une application multilinéaire, alors on définit ũ : M 1 A A M k N par la formule ũ(m 1 m k ) = u(m 1,..., m k ). Théorème L application ũ est bien définie et u ũ réalise un isomorphisme de Hom k (M 1,..., M k ; N) vers Hom(M 1 A A M k, N).

49 6.3. PRODUITS TENSORIELS DE MODULES 49 Démonstration. L application [m 1,..., m k ] u(m 1,..., m k ) de X vers N est bien définie et elle passe au quotient, puisque la multilinéarité de u est équivalente au fait que u Y = 0 ce qui fait que ũ est bien définie. Comme ũ(m 1 m k ) = u(m 1,..., m k ), on voit que ũ = 0 si et seulement si u = 0 et donc que u ũ est injective. Enfin si v : M 1 A A M k N est linéaire, alors u : (m 1,..., m k ) v(m 1 m k ) est multilinéaire et on a manifestement v = ũ ce qui fait que u ũ est surjective et que c est donc une bijection. Corollaire Si M et N sont deux modules, alors il existe un et un seul isomorphisme i : M A N N A M tel que i(m n) = n m. Démonstration. L application M N N A M donnée par u : (m, n) n m est bilinéaire et donne donc lieu à ũ : M A N N A M vérifiant ũ(m n) = n m. On pose i = ũ et l application i est unique et surjective (puisque les éléments de la forme m n engendrent M A N) et c est un isomorphisme car elle admet un inverse évident. Corollaire Si M 1, M 2 et M 3 sont trois A-modules, alors : M 1 A M 2 A M 3 = (M 1 A M 2 ) A M 3 = M 1 A (M 2 A M 3 ). Démonstration. Faisons le premier isomorphisme, le deuxième étant tout à fait similaire. L application u : M 1 M 2 M 3 (M 1 A M 2 ) M 3 donnée par : u : (m 1, m 2, m 3 ) (m 1 m 2 ) m 3 est trilinéaire et on en déduit ũ : M 1 A M 2 A M 3 (M 1 A M 2 ) A M 3 qui envoie m 1 m 2 m 3 sur (m 1 m 2 ) m 3. L application v : (M 1 A M 2 ) M 3 M 1 M 2 M 3 donnée par : v : (m 1 m 2, m 3 ) m 1 m 2 m 3 est bilinéaire et on en déduit ṽ : (M 1 A M 2 ) A M 3 M 1 A M 2 A M 3 qui envoie (m 1 m 2 ) m 3 sur m 1 m 2 m 3. Il est clair que ũ et ṽ sont inverses l une de l autre. Proposition On a : (1) A A N = N ; (2) (M 1 M 2 ) A N (M 1 A N) (M 2 A N). Démonstration. On a i [λ i, n i ] [1, i λ in i ] Y ce qui fait que l application : λ i n i λ i n i i i de A A N dans N est injective et donc un isomorphisme.

50 50 CHAPITRE 6. PRODUITS TENSORIELS Ensuite, l application (m 1 m 2 ) n (m 1 n) (m 2 n) est bien définie et son inverse est donné par (m 1 n 1 ) (m 2 n 2 ) (m 1 0) n 1 + (0 m 2 ) n 2 et c est donc un isomorphisme. Corollaire Si M et N sont tous les deux libres de type fini, de bases {m i } et {n j }, alors M A N est lui aussi libre de type fini, de base {m i n j }. Démonstration. On a M = r i=1am i et N = s j=1an j et en appliquant à répétition la proposition précédente, on trouve que : ce qui montre le corollaire. M A N = r i=1 s j=1 Am i A An j = r i=1 s j=1 A m i n j, Remarquons que dans le cas où les modules ne sont pas libres, le produit tensoriel peut être un peu surprenant. Par exemple, si m et n sont deux entiers premiers entre eux, alors Z/mZ Z Z/nZ = 0. En effet, comme m et n sont premiers entre eux, alors m est inversible modulo n et on a donc x y = x mm 1 y = mx m 1 y = 0. Plus généralement, soit I un idéal de A et M un A-module. Rappelons que IM est le sous-module de M constitué des éléments de la forme α j m j avec α j I et m j M. Proposition L application f : A/I A M M/IM donnée par la formule f( k λ k m k ) = k λ km k est bien définie et c est un isomorphisme. Démonstration. Il faut vérifier que si l on choisit des relèvements différents des λ k dans A, alors on obtient le même élément de M/IM mais cela suit du fait que deux choix différents diffèrent par un élément de I. Ensuite, l application f est surjective, puisque f(1 m) = m. Enfin dans A/I A M, on a k λ k m k = 1 k λ km k et donc si f( k λ k m k ) = 0, alors c est que k λ km k IM et qu on peut donc l écrire sous la forme j α jm j avec α j I et alors k λ k m k = j α j m j = 0 ce qui fait que f est injective. C est donc un isomorphisme.

51 ANNEXE A RELATIONS D ÉQUIVALENCE Si E est un ensemble, une relation sur E est donnée par un sous-ensemble R de E E (qui est alors le graphe de la relation). Si (x, y) R, alors on dit que x et y sont en relation et on note x y. Une relation d équivalence est une relation qui est : (1) réflexive : x x pour tout x E ; (2) symétrique : x y implique y x quels que soient x, y E ; (3) transitive : x y et y z implique x z quels que soient x, y et z E. Par exemple, la relation «avoir la même parité que» est une relation d équivalence sur Z. En revanche, la relation «être supérieur ou égal à» est réflexive et transitive mais pas symétrique ; ce n est donc pas une relation d équivalence. Si x E, alors la classe d équivalence de x est le sous-ensemble de E constitué des y tels que y x. Cet ensemble est non-vide (puisqu il contient x). L ensemble quotient E/ est l ensemble dont les éléments sont les classes d équivalence des éléments de E. Si x E, alors on note x l image de x dans E/, c est-à-dire la classe d équivalence de x vue comme élément de E/. Si C E/ est une classe d équivalence, alors il existe x E tel que C = x et on dit que x est un représentant de C dans E. Par exemple, le quotient de Z par la relation «avoir la même parité que» contient deux éléments : la classe des nombres pairs et la classe des nombres impairs. On a alors Z/ = {0, 1}. On peut choisir d autres représentants des deux classes constituées des nombres pairs et des nombres impairs, par exemple Z/ = {36, 7}. Une partition de E est une collection {E α } α A de sous-ensembles de E telle que l on ait E = α A E α. Etant donnée une partition de E, on définit une relation d équivalence sur E par x y si et seulement si x et y appartiennent au même E α. Dans ce cas, les classes d équivalence de sont les E α. Réciproquement, si est une relation d équivalence sur un ensemble E, alors E est la réunion disjointe des classes d équivalence de. La donnée d une relation d équivalence est donc équivalente à la donnée d une partition de E.

52

53 ANNEXE B L AXIOME DU CHOIX L axiome du choix dit que si I est un ensemble et si {E i } i I est une collection d ensembles non vides, alors le produit i I E i est non-vide, c est-à-dire que l on peut choisir une suite {x i } i I telle que x i E i. Cela a l air évident, mais c est un axiome, c est-à-dire que c est une proposition logiquement indépendante des autres axiomes de la théorie des ensembles, comme le postulat d Euclide est un axiome de la géométrie. On ne peut donc qu accepter ou refuser l axiome du choix. De nos jours, la plupart des mathématiciens choisissent de l accepter, ne serait-ce que parce que c est un outil puissant qui permet de montrer facilement l existence de certains objets. En pratique, on peut souvent s en passer. L axiome du choix dénombrable est la même affirmation avec I dénombrable. L axiome du choix dénombrable est encore plus évident et on ne peut pas s en passer, on est obligé de l accepter pour pouvoir faire des mathématiques. Plutôt que l axiome du choix, on utilise généralement un énoncé qui en résulte, le lemme de Zorn. Soit E un ensemble ordonné, c est-à-dire un ensemble muni d une relation telle que : (1) x x pour tout x ; (2) si x y et y z, alors x z ; (3) si x y et y x, alors x = y. On ne demande pas de pouvoir comparer tous les éléments de E. On dit qu une partie P de E est totalement ordonnée si pour tous x, y P on a x y ou y x. Si P est une partie de E, alors un majorant de P est un élément y E tel que p y pour tout p P. On dit que l ensemble ordonné E est inductif si toute partie non vide totalement ordonnée admet un majorant. Enfin, un élément maximal m de E est un élément de E tel que si x E vérifie x m, alors x = m. Le lemme de Zorn est l énoncé suivant : tout ensemble ordonné inductif non vide admet un élément maximal. L axiome du choix implique le lemme de Zorn mais la démonstration n est pas très éclairante (elle se trouve par exemple dans Lang). Grâce au lemme de

54 54 ANNEXE B. L AXIOME DU CHOIX Zorn, on peut montrer de nombreux résultats d existence d objets très généraux. En voici quelques exemples. Proposition. Tout espace vectoriel V admet une base. Démonstration. Soit E l ensemble des familles libres d éléments de V, ordonné par l inclusion. C est un ensemble ordonné inductif : si {F i } i I est un ensemble totalement ordonné de familles libres de E, alors i I F i est libre et est donc un majorant des F i. Il existe donc une famille F maximale pour l inclusion. Soit W le sous-espace de V engendré par F. Si W V, alors on pourrait rajouter à F un élément de V \ W ce qui contredirait la maximalité de F. Proposition. Tout anneau A admet un idéal maximal. Démonstration. Soit E l ensemble des idéaux de A distincts de A. C est un ensemble ordonné par la relation I J si et seulement si I J. Si P est une partie totalement ordonnée de E, alors I P I est un idéal de A qui contient tous les idéaux de P, qui est distinct de A (1 n appartient à aucun des idéaux I P et donc à leur union non plus) et qui est donc un majorant de A. L ensemble des idéaux de A distincts de A est donc un ensemble ordonné inductif, et par le lemme de Zorn, il admet un élément maximal qui est alors un idéal maximal de A. Proposition. Tout corps K admet une clôture algébrique. Démonstration. Commençons par remarquer que si P (X) K[X] est non constant, alors il existe une extension finie L de K dans laquelle K admet une racine : si Q(X) est un facteur irréductible de P (X), alors K[X]/Q(X) est un corps dans lequel P (X) = 0. On pourrait alors appliquer le lemme de Zorn à l ensemble des extensions algébriques de K, mais ce n est pas évident que cette collection forme un ensemble. On va donc s y prendre autrement. Soit E l ensemble des polynômes à coefficients dans K et A = K[X P ] P E et I l idéal de A engendré par les P (X P ) où P parcourt E. Si on avait I = A, alors on pourrait écrire 1 = P F g P P (X P ) où F est un ensemble fini. Il existe une extension finie L de K dans laquelle chaque P F a une racine α P et en évaluant 1 = P F g P P (X P ) en X P = α P on aurait 0 = 1. On en déduit que I est un idéal strict de A et par la proposition précédente, I est contenu dans un idéal maximal M de A. Le corps K 1 = A/M est alors une extension algébrique de K dans laquelle tout polynôme P (X) K[X] admet une racine. En itérant cette construction, on trouve une suite de corps K 0 = K K 1 K 2 telle que tout polynôme à coeffcients dans K n a une racine dans K n+1. Le corps n 1 K n est alors une clôture algébrique de K.

55 ANNEXE C LE LEMME DU SERPENT Nous allons montrer le lemme du serpent. Considérons un diagramme commutatif : 0 A a u B b v C 0 c 0 A u B v C 0 Lemme. On a u(ker(a)) ker(b) et v(ker(b)) ker(c) et la suite : est exacte. 0 ker(a) u ker(b) v ker(c) Démonstration. L affirmation «u(ker(a)) ker(b)» veut dire que si a(x) = 0, alors b(u(x)) = 0. Or b(u(x)) = u (a(x)) = 0. La deuxième inclusion se démontre de la même manière. Passons à l exactitude de la suite. Tout d abord, la restriction de u à ker(a) est injective car u l est sur A et vu = 0 sur ker(a) car vu = 0 sur A. Ensuite, si y ker(b) vérifie v(y) = 0, alors y u(a) et si l on écrit y = u(x), alors bu(x) = 0. Comme 0 = bu(x) = u a(x), on en déduit que a(x) = 0 (puisque u est injective) et donc que y = u(x) u(ker(a)). Comme on a deux applications u : A B et v : B C et que u (a(a)) = b(u(a)) b(b) et que v (b(b)) = c(v(b)) c(c), on a deux applications induites u : coker(a) coker(b) et v : coker(b) coker(c). Lemme. La suite coker(a) u coker(b) v coker(c) 0 est exacte. Démonstration. Montrons l exactitude en coker(b). On a v u = v u = 0 et si v (y) = 0, c est que y B vérifie v (y) c(c) et on peut alors l écrire c(z) puis cv(w) avec w B (comme v est surjective) et cv(w) = v b(w) ce qui fait que y b(w)+ker(v ) b(b) + im(u ) et donc que y im(u ). Enfin v est surjective car v l est.

56 56 ANNEXE C. LE LEMME DU SERPENT Construisons maintenant une application δ : ker(c) coker(a). Si z ker(c), alors on peut écrire z = v(y) avec y B et on a 0 = cv(y) = v b(y) ce qui fait que b(y) ker(v ) = im(u ) et il existe donc un (et un seul) x A tel que b(y) = u (x ). Si on avait choisi un y différent, disons ỹ tel que z = v(ỹ), alors y ỹ ker(v) = im(u) et donc b(y ỹ) b(im(u)) = u (im(a)) ce qui fait que x x im(a). L application δ : y x de ker(c) dans coker(a) est donc bien définie. Lemme. La suite ker(b) v ker(c) δ coker(a) u coker(b) est exacte. Démonstration. Ce lemme se démontre comme les deux précédents, en faisant de la chasse au diagramme. En combinant les trois lemmes ci-dessus, on trouve le théorème ci-dessous, connu sous le nom de lemme du serpent puisqu il concerne le «serpent» du diagramme : ker(a) ker(b) ker(c) 0 A B C 0 0 A B C 0 coker(a) coker(b) coker(c) 0 Théorème. La suite : est exacte ker(a) u ker(b) v ker(c) δ coker(a) u coker(b) v coker(c) 0

57 INDEX action de groupe, 8 fidèle, 8 transitive, 8 algorithme d Euclide, 27 anneau, 23 à diviseurs élémentaires, 40 commutatif, 23 euclidien, 26 factoriel, 28 intègre, 23 noethérien, 29 principal, 26 axiome du choix, 53 caractère linéaire, 17 centralisateur, 9 centre, 9 chasse au diagramme, 56 clôture algébrique, 32 classe d équivalence, 51 classe de conjugaison, 9 conjugaison, 9 conoyau, 24 corps, 23 algébriquement clos, 31 caractéristique, 34 corps des fractions, 26 cycle, 10 disjoints, 10 longueur, 10 décomposition de Jordan, 43 en cycles disjoints, 10 en produit de premiers, 27 diagramme, 25 commutatif, 25 diviseurs élémentaires, 40 élément algébrique, 32 conjugué, 8 de torsion, 41 irréductible, 27 ordre, 7 premier, 27 transcendant, 32 ensemble quotient, 51 équation aux classes, 9 espace projectif, 13 fonction centrale, 18 forme de Jordan, 43 linéaire, 23 normale, 40 Frobenius morphisme, 34 groupe, 7 abélien, 7 alterné, 11 commutatif, 7 cyclique, 7 ordre, 7 projectif linéaire, 13 projectif spécial linéaire, 13 simple, 14 symétrique, 9 idéal, 25 de type fini, 25 maximal, 25 premier, 25 principal, 25 propre, 25 idéaux premiers entre eux, 25 lemme chinois, 25 de Gauss, 33 de Schur, 16

58 58 INDEX de Zorn, 53 du serpent, 55 matrice de permutation, 9 module, 23 base, 37 de type fini, 29 libre, 37 libre de type fini, 37 noethérien, 29 rang, 37 morphisme équivariant, 16 multilinéaire, 48 orbite, 8 ordre d un élément, 7 d un groupe, 7 p-groupe, 9 p-sylow, 12 partition, 11 d un ensemble, 51 polynôme, 31 caractéristique, 38 contenu, 33 primitif, 33 produit scalaire invariant, 15 produit tensoriel, 45 relation, 51 d équivalence, 51 graphe, 51 représentant, 51 représentation, 15 dimension, 15 duale, 16 invariants, 15 irréductible, 16 isomorphe, 16 régulière, 17 sous-représentation, 15 tordue, 17 signature, 10 sous-groupe, 7 distingué, 7 engendré, 7 indice fini, 7 stabilisateur, 8 stathme euclidien, 26 suite, 24 exacte, 24 table des caractères, 20 théorème de Cayley, 9 de Cayley-Hamilton, 38 de Hilbert, 32 de Lagrange, 7 transposition, 10