DISTANCE D UN POINT A UNE DROITE TANGENTE A UN CERCLE BISSECTRICE

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1 DISTNE D UN PINT UNE DRITE TNGENTE UN ERLE ISSETRIE I) édiatrice d un segment : Soit et deux points distincts du plan. La médiatrice du segment [] est la droite perpendiculaire au segment [] passant par son milieu. médiatrice de [] 2) Propriété 1 : Si un point appartient à la médiatrice d un segment alors ce point est équidistant des extrémités du segment. médiatrice de [] Si appartient à la médiatrice du segment [] alors =. 1

2 3) Réciproque : Si un point est équidistant des extrémités d un segment alors il appartient à la médiatrice du segment. médiatrice de [] Si = alors appartient à la médiatrice du segment []. 4) Propriété 2 : Les médiatrices des côtés d un triangle sont concourantes. e point de concours est le centre du cercle circonscrit à ce triangle : le cercle qui passe par les trois sommets du triangle. 5) Exemple : Soit et deux points distincts du plan. Le point appartient à la médiatrice du segment [] et au cercle de diamètre []. 1) Faire une figure. 2) Quelle est la nature du triangle? Justifier. 2

3 II) Distance d un point à une droite : n considère un point et une droite ( ). La distance du point à la droite ( ) est la plus petite des longueurs entre le point et un point quelconque de ( ). n la note d (, ( )). N P ( ) 2) ctivité : 3) Propriété : La perpendiculaire à la droite ( ) qui passe par le point coupe la droite ( ) en un point. La longueur est la distance du point à la droite ( ). d (, ( )) = N P ( ) 4) Remarques: Pour tout point de ( ), différent du point : >. Pour déterminer la distance d un point à une droite, on construit la perpendiculaire à cette droite passant par le point. 3

4 5) as particulier: Lorsque le point appartient à la droite ( ), la distance du point à la droite est égale à 0. ( ) d(, ( )) = = 0 car les points et sont confondus. III) Tangente à un cercle : Soit un cercle et un point appartenant à ce cercle. La tangente au cercle en est la droite dont le seul point commun avec ce cercle est le point. (d) (d) est la tangente à au point 2) ctivité : 4

5 3) Propriété : Soit un cercle de centre et un point appartenant à ce cercle. Si la droite (d) est tangente au cercle en, alors la droite (d) est perpendiculaire à la droite (). (d) (d) est la tangente à au point donc (d) est perpendiculaire à (). 4) Réciproque : Soit un cercle de centre et un point appartenant à ce cercle. Si une droite passe par le point et est perpendiculaire à la droite () alors cette droite est la tangente au cercle en. (d) (d) est perpendiculaire à () en donc (d) est la tangente à au point. 5) Remarque : Pour construire une tangente à un cercle en un point, on construit la droite passant par ce point et perpendiculaire au rayon, constitué de ce point et du centre du cercle. Pour montrer qu une droite est tangente à un cercle en un point, on montre qu elle passe par ce point et qu elle est perpendiculaire au rayon, constitué de ce point et du centre du cercle. 6) Position relative d un cercle et d une droite : ctivité : 5

6 III) issectrice d un angle : La bissectrice d un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de la même mesure. bissectrice de l'angle bissectrice de l'angle onstruction de la bissectrice au rapporteur onstruction de la bissectrice au compas 2) ctivité : 3) Propriété : Si un point appartient à la bissectrice d un angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle. K bissectrice appartient à la bissectrice de l'angle de l'angle donc K =. 6

7 4) Réciproque : Si un point est équidistant des côtés d un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle. K bissectrice K = donc le point de l'angle appartient à la bissectrice de l'angle. 4) Exemple : Soit un triangle. La droite (d) est la bissectrice de l angle. Le point appartient à la droite (d). Le point I est tel que d(, ()) = I et le point J est tel que d(, ()) = J. a) Faire une figure. b) ontrer que le triangle IJ est isocèle. 5) Point d intersection des bissectrices des angles d un triangle : a) ctivité : b) Propriété : Les bissectrices des angles d un triangle sont concourantes. e point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle : ercle tangent à chacun des trois côtés du triangle. L K 7