L'aire du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations 4 et 16 est d'environ 0,95 unités d'aire.

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1 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 6 24 MAI 2013 Durée : 3h Calculatrice autorisée NOM : Prénom : «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.» Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Exercice 1-2,5 points - La variable aléatoire suit la loi normale d'espérance µ et d'écart type σ. La fonction de densité correspondante est donnée dans le repère ci-dessous. L'aire du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations 4 et 16 est d'environ 0,95 unités d'aire. 1) Déterminer µ par lecture graphique. 2) Donner alors la probabilité 10. 3) On rappelle que si la variable aléatoire X suit la loi binomiale d'espérance µ et d'écart type σ, on a 2 2 0,95. En déduire la valeur de σ. 4) Avec la calculatrice, déterminer alors, arrondi aux dixièmes, tel que 0,6.

2 Exercice 2-2,5 points - Un site de vente en ligne propose deux options de livraison à ses clients : la livraison "express" et la livraison "classique". 1) On a enregistré 600 commandes en une journée et on note la variable aléatoire donnant le nombre de commandes avec l'option "livraison express" parmi les 600 commandes enregistrées. Quelle est la loi de probabilité de? 2) On admet que la loi de probabilité de peut-être approchée par la loi normale d'espérance μ 240 et d'écart type σ. Déterminer σ, arrondi à l'unité, pour que la probabilité que le nombre de commandes soit compris entre 230 et 250 soit égale à 0,95. On pourra poser qui suit la normale centrée réduite. Exercice 3-4 points - 1) Compléter, dans l annexe 1, l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 95%. 2) Que va afficher cet algorithme si l'utilisateur saisi les valeurs 40 et 0,898? (justifier la réponse) 3) Une usine fabrique des ampoules et on teste la durée de vie de ces ampoules. Dans le commerce, on a habituellement une proportion d'ampoules dont la durée de vie est supérieure à 900 heures égale à 0,898. Pour vérifier ceci, on prélève un échantillon de ampoules dans la production de cette entreprise. a) Quel doit être la taille minimale de l'échantillon pour que l'on puisse utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 95%? b) Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 95% pour un échantillon de 1000 ampoules en arrondissant les bornes à 10. c) Dans la production de cette entreprise, on a relevé 870 ampoules en état de marche après 900 heures sur les 1000 ampoules testées. Le fabricant affirme que sa production est dans la norme habituelle constatée dans le commerce. A-t-il raison? 4) Cette entreprise modernise sa chaîne de production et sur un lot de ampoules, on a ampoules avec une durée de vie supérieure à 900 heures. Le fabricant peut-il, au seuil de confiance de 95%, faire une publicité affirmant que la proportion d'ampoules dont la durée de vie est supérieure à 900 heures est supérieure à la moyenne constatée dans le commerce?

3 Exercice 4-4,5 points - Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué. Une réponse exacte rapporte 0,75 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point et une absence de réponse n enlève aucun point. 1) Pour tout réel, est égal à : 2) Le nombre 2 est solution de l équation : 2 2 ln ln 2 ln 2 3) L ensemble des solutions de l inéquation ln 3 ln 6 est : ; 3 3; 3 0; 3 3; 4) ² ) La valeur moyenne sur l intervalle [1 ; 3] de la fonction qui à associe est : ln 3 ln 2 6) Soit la fonction définie sur l'intervalle 4; 6 dont la courbe est représentée sur la figure ci-contre dans un repère orthonormé. Les points 1; 0, 1; 4 et 3; 0 appartiennent à la représentation graphique de. Parmi les trois courbes suivantes, laquelle est la représentation graphique d'une primitive de la fonction? courbe courbe courbe

4 Exercice 5-8 points - Un laboratoire pharmaceutique fabrique un médicament qu il commercialise sous forme liquide. Sa capacité journalière de production est comprise entre 25 et 500 litres, et on suppose que toute la production est commercialisée. Dans tout l exercice, les coûts et recettes sont exprimés en milliers d euros, les quantités en centaines de litres. Si désigne la quantité journalière produite, on appelle, pour variant de 0,25 à 5, le coût total de production correspondant. La courbe fournie en annexe 2 est la représentation graphique de la fonction sur l intervalle 0,25; 5. La tangente à au point 1; 1 est horizontale. Partie A 1) a) On admet que la recette (en milliers d euros) résultant de la vente de centaines de litres de médicament, est définie sur 0,25; 5 par 1,5. Quelle est la recette (en euros) pour 200 litres de médicament vendus? b) Tracer, sur le graphique fourni en annexe 2, le segment représentant graphiquement la fonction. 2) Lectures graphiques Les questions a, b, c suivantes seront résolues à l aide de lectures graphiques seulement. On fera apparaître les traits de construction sur le graphique en annexe 2. Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte. a) Déterminer des valeurs approximatives des bornes de la «plage de rentabilité», c est-àdire de l intervalle correspondant aux quantités commercialisées dégageant un bénéfice positif. b) Donner une valeur approximative du bénéfice en euros réalisé par le laboratoire lorsque 200 litres de médicament sont commercialisés. c) Pour quelle quantité de médicament commercialisée le bénéfice paraît-il maximal? À combien peut-on évaluer le bénéfice maximal obtenu? Partie B Dans la suite de l exercice, on admet que la fonction coût total est définie sur l intervalle 0,25; 5 par : ² 2 ln. 1) Justifier que le bénéfice, en milliers d euros, réalisé par le laboratoire pour centaines de litres commercialisés, est donné par : 1,5 ² 2 ln. Calculer B(2), et comparer au résultat obtenu à la question 2. b. de la partie A. 2) On suppose que la fonction est dérivable sur l intervalle 0,25; 5 et on note sa fonction dérivée. Montrer que 2 ln 2 3,5. 3) On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction, dérivée de la fonction B, sur l intervalle 0,25; 5 : x 0, On précise les encadrements : 1,5 0,22 0,23 y 1 y 2 3,29 3,28 a) Démontrer que l équation 0 admet une solution unique α dans l intervalle 0,25; 5. Pour la suite de l exercice, on prendra 2,77 pour valeur approchée de α. b) Dresser le tableau précisant le signe de pour appartenant à l intervalle [0,25 ; 5]. En déduire le tableau de variations de la fonction sur l intervalle 0,25; 5. 4) a) Pour quelle quantité de médicament commercialisée, le bénéfice est-il maximal? (On donnera une valeur approchée de cette quantité en litres). Donner alors une valeur approchée en euros de ce bénéfice maximal. b) Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus graphiquement à la question 2)c) de la partie A?

5 T ES/L ANNEXES DS 6 24 MAI 2013 NOM : Prénom : ANNEXE 1 ANNEXE 2 9 Γ A

6 T ES/L CORRECTION DEVOIR SURVEILLE 6 24 / 05 / 2013 Exercice 1-2,5 points - La variable aléatoire suit la loi normale d'espérance µ et d'écart type σ. La fonction de densité correspondante est donnée dans le repère ci-dessous. L'aire du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations 4 et 16 est d'environ 0,95 unités d'aire. 1) Déterminer µ par lecture graphique. D'après le graphique µ est l'abscisse du maximum de Donc µ=10 2) Donner alors la probabilité 10. On sait que 0,5 et que 10 Donc 10 0,5 3) On rappelle que si la variable aléatoire X suit la loi binomiale d'espérance µ et d'écart type σ, on a 2 2 0,95. En déduire la valeur de σ. D'après le graphique ,95 donc µ 2 σ 4 Alors 10 2σ σ 6 2σ Donc 3 σ 4) Avec la calculatrice, déterminer alors, arrondi aux dixièmes, tel que 0,6. On a 0,6 d où 0,4 En utilisant la fonction invnorm de la calculatrice, on trouve 9,2

7 Exercice 2-2,5 points - Un site de vente en ligne propose deux options de livraison à ses clients : la livraison "express" et la livraison "classique". 1) On a enregistré 600 commandes en une journée et on note la variable aléatoire donnant le nombre de commandes avec l'option "livraison express" parmi les 600 commandes enregistrées. Quelle est la loi de probabilité de? On considère l'épreuve de Bernoulli consistant à prendre un client au hasard parmi les clients de la journée ayant les issues possibles : "le client a choisi la livraison express" et : "le client a choisi la livraison classique". On répète successivement 600 fois et de manière indépendante (chaque client est indépendant des autres) cette épreuve de Bernoulli. La variable aléatoire donnant le nombre de clients ayant choisi la livraison "express" parmi les 600 suit donc une loi binomiale de paramètres 600 et Donc suit la loi binomiale B(600; ) 2) On admet que la loi de probabilité de peut-être approchée par la loi normale d'espérance μ 240 et d'écart type σ. Déterminer σ, arrondi à l'unité, pour que la probabilité que le nombre de commandes soit compris entre 230 et 250 soit égale à 0,95. On pourra poser qui suit la normale centrée réduite. Si on pose Alors suit la loi normale centrée réduite N(0; 1). On veut On cherche donc tel que 0,95 On sait que 2 2 0,95 D où 2 On obtient donc D où 5 Donc σ 5 en arrondissant à l'unité. A l aide de la calculatrice, on trouve 1,96 On obtient donc D où 5, Donc σ 5 en arrondissant à l'unité. Remarque : On peut aussi utiliser le résultat du cours donnant µ 2 σ µ 2 σ 0,95 Donc ici on veut µ 2 σ σ σ 10 σ 5

8 Exercice 3-4 points - 1) Compléter, dans l annexe 1, l'algorithme ci-contre afin qu'il affiche l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 95%. Rappel de cours : 1,96 ; 1,96 Donc il faut compléter avec la valeur 1,96. 2) Que va afficher cet algorithme si l'utilisateur saisi les valeurs 40 et 0,898? (justifier la réponse) Si on saisit 40 et 0,898 Alors 30 donc la première condition vérifiée. 40 0,898 35,92 donc 5 donc la seconde condition vérifiée , ,102 4,08 5 donc la troisième condition n'est pas vérifiée. On ne rentre donc pas dans l'instruction "alors". On a rentre alors dans "sinon" : "on ne peut donner l'intervalle de fluctuation" Il s'affiche : "on ne peut donner l'intervalle de fluctuation". 3) Une usine fabrique des ampoules et on teste la durée de vie de ces ampoules. Dans le commerce, on a habituellement une proportion d'ampoules dont la durée de vie est supérieure à 900 heures égale à 0,898. Pour vérifier ceci, on prélève un échantillon de ampoules dans la production de cette entreprise. a) Quel doit être la taille minimale de l'échantillon pour que l'on puisse utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 95%? On sait que 0,898 On cherche telque 30, 5 et 1 5 Alors 30 5,5679, , ,0196 Comme il faut les trois conditions et doit être entier Il faut donc 50 Il faut au minimum un échantillon de taille 50.,

9 b) Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 95% pour un échantillon de 1000 ampoules en arrondissant les bornes à 10. On a ici 1000 et 0,898 On a bien les conditions : 30, 5 et 1 5 Alors on calcule des bornes de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% 1 1,96 0,898 1,96 0,898 0,102 0, ,96 0,898 1,96 0,898 0,102 0, On a donc pour intervalle de fluctuation au seuil de 95% en arrondissant les bornes aux millièmes, ;, c) Dans la production de cette entreprise, on a relevé 870 ampoules en état de marche après 900 heures sur les 1000 ampoules testées. Le fabricant affirme que sa production est dans la norme habituelle constatée dans le commerce. A-t-il raison? On a 0,870 Comme 0,8792; 0,9168 Si on pose l'hypothèse : "La proportion de la production dont la durée de vie est supérieure à 900 heures est 0,898", on ne peut donc accepter cette hypothèse avec un risque d'erreur maximum de 5%. Le fabricant a donc tort au seuil de risque de 5%. 4) Cette entreprise modernise sa chaîne de production et sur un lot de ampoules, on a ampoules avec une durée de vie supérieure à 900 heures. Le fabricant peut-il, au seuil de confiance de 95%, faire une publicité affirmant que la proportion d'ampoules dont la durée de vie est supérieure à 900 heures est supérieure à la moyenne constatée dans le commerce? On a ici 1000 et 0,89 On a bien les trois conditions : 30, 5 et 1 5 On va chercher à faire une estimation de la proportion (estimation de ) d'ampoules dont la durée de vie est supérieure à 900 heures dans toute production. 1 0, ,88 1 0, ,90 La proportion d'ampoules dont la durée de vie est supérieure à 900h est donc comprise dans l'intervalle 0,88; 0,90 or 0,898 0,88; 0,90 Donc le fabricant pourra faire sa publicité au seuil de confiance de 95%

10 Exercice 4-4,5 points - La Reunion (2005) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué. Une réponse exacte rapporte 0,75 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point et une absence de réponse n enlève aucun point. 1) Pour tout réel, est égal à : 2) Le nombre 2 est solution de l équation : 2 2 ln ln 2 ln 2 3) L ensemble des solutions de l inéquation ln 3 ln 6 est : ; 3 3; 3 0; 3 3; 4) ² ) La valeur moyenne sur l intervalle [1 ; 3] de la fonction qui à associe est : ln 3 ln 2 6) Soit la fonction définie sur l'intervalle 4; 6 dont la courbe est représentée sur la figure ci-contre dans un repère orthonormé. Les points 1; 0, 1; 4 et 3; 0 appartiennent à la représentation graphique de. Parmi les trois courbes suivantes, laquelle est la représentation graphique d'une primitive de la fonction? courbe courbe courbe

11 Exercice 5-8 points - Un laboratoire pharmaceutique fabrique un médicament qu il commercialise sous forme liquide. Sa capacité journalière de production est comprise entre 25 et 500 litres, et on suppose que toute la production est commercialisée. Dans tout l exercice, les coûts et recettes sont exprimés en milliers d euros, les quantités en centaines de litres. Si désigne la quantité journalière produite, on appelle, pour variant de 0,25 à 5, le coût total de production correspondant. La courbe fournie en annexe 2 est la représentation graphique de la fonction sur l intervalle 0,25; 5. La tangente à au point 1; 1 est horizontale. Partie A 1) a) On admet que la recette (en milliers d euros) résultant de la vente de centaines de litres de médicament, est définie sur 0,25; 5 par 1,5. Quelle est la recette (en euros) pour 200 litres de médicament vendus? 2 1,5 2 3 La recette pour 200 litres de médicament vendus est de b) Tracer, sur le graphique fourni en annexe 2, le segment représentant graphiquement la fonction.

12 2) Lectures graphiques Les questions a, b, c suivantes seront résolues à l aide de lectures graphiques seulement. On fera apparaître les traits de construction sur le graphique en annexe 2. Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte. a) Déterminer des valeurs approximatives des bornes de la «plage de rentabilité», c est-àdire de l intervalle correspondant aux quantités commercialisées dégageant un bénéfice positif. Le bénéfice est positif quand la recette est supérieure aux coûts. Graphiquement, il s'agit de déterminer l'intervalle sur lequel la courbe représentative de la fonction recette est située au dessus de la courbe représentative de la fonction coût total. Avec la précision permise par le dessin, la «plage de rentabilité» est obtenue pour une production comprise entre 65 et 450 litres b) Donner une valeur approximative du bénéfice en euros réalisé par le laboratoire lorsque 200 litres de médicament sont commercialisés. Graphiquement, le montant en milliers d'euros du bénéfice réalisé par le laboratoire lorsque 200 litres de médicament sont commercialisés est la distance entre les points de la courbe représentative de la fonction recette et de la courbe représentative de la fonction coût de même abscisse 2. Avec la précision permise par le dessin, le bénéfice réalisé par le laboratoire lorsque 200 litres de médicament sont commercialisés est de 1750 euros. c) Pour quelle quantité de médicament commercialisée le bénéfice paraît-il maximal? À combien peut-on évaluer le bénéfice maximal obtenu? Quand la recette est supérieure au coût total, l'entreprise réalise un bénéfice. Le profit se mesure par la distance verticale entre les deux courbes. Le profit est maximal lorsque cette distance est maximale. La recette (en milliers d'euros) résultant de la vente de centaines de litres de médicament, est définie par 1,5. La recette marginale 1,5 correspond à un prix de vente de 15 euros le litre. Pour maximiser son profit, le laboratoire compare le prix de vente au coût marginal. Sur la «plage de rentabilité», tant que le prix de vente est supérieur au coût marginal, le laboratoire augmentera son profit en produisant davantage. Si, au contraire, le coût marginal est supérieur au prix de vente, la production d'une unité supplémentaire diminuera le bénéfice. Le niveau de production qui maximise le bénéfice est celui pour lequel le coût marginal est égal au prix de vente. Or, en un point de la courbe représentative de la fonction coût total, le coût marginal est égal au coefficient directeur de la tangente à cette courbe. Sur la «plage de rentabilité», le bénéfice est donc maximal en un point de la courbe C T où la tangente à la courbe est parallèle à la droite représentative de la fonction recette. Avec la précision permise par le dessin, le bénéfice est maximal lorsque 275 litres de médicament sont commercialisés ce qui correspond à un bénéfice d'environ 2000 euros.

13 Partie B Dans la suite de l exercice, on admet que la fonction coût total est définie sur l intervalle 0,25; 5 par : ² 2 ln. 1) Justifier que le bénéfice, en milliers d euros, réalisé par le laboratoire pour centaines de litres commercialisés, est donné par : 1,5 ² 2 ln. Calculer B(2), et comparer au résultat obtenu à la question 2. b. de la partie A. Sur l'intervalle 0,25; 5, le bénéfice, en milliers d'euros, est défini par 1,5 2 ln 1,5 2 ln 2 1, ln ln2 4 ln2 1 1,773 Le bénéfice réalisé par le laboratoire lorsque 200 litres de médicament sont commercialisés est de 1773 euros. (Le résultat obtenu est du même ordre de grandeur que celui obtenu graphiquement) 2) On suppose que la fonction est dérivable sur l intervalle 0,25; 5 et on note sa fonction dérivée. Montrer que 2 ln 2 3,5. Soit la fonction définie pour tout réel strictement positif par 2 ln. La fonction est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. Alors d où avec pour tout réel strictement positif, 2 2 ln D où 2 ln 2 2 ln 2 Comme 1,5 ² 2 ln 1,5 ² Alors 1,5 2 2 ln 2 3,5 2 2 ln Donc, 3) On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction, dérivée de la fonction B, sur l intervalle 0,25; 5 : x 0, ,5 y 1 y 2 On précise les encadrements : 0,22 0,23 et 3,29 3,28. a) Démontrer que l équation 0 admet une solution unique α dans l intervalle 0,25; 5. Pour la suite de l exercice, on prendra 2,77 pour valeur approchée de α. Sur l'intervalle 0,25; 1 la fonction est croissante, donc pour tout réel appartenant à l'intervalle 0,25; 1,. Comme 0,22 0,23 Alors 0 sur 0,25; 1, Sur l'intervalle 1; 5, la fonction est continue, strictement décroissante, et 3,28 0 1,5. D'après le théorème de la valeur intermédiaire : On obtient que l'équation 0 admet une solution unique α dans l'intervalle 1; 5, Ainsi, l'équation 0 admet une solution unique α dans l'intervalle 0,25; 5.

14 b) Dresser le tableau précisant le signe de pour appartenant à l intervalle [0,25 ; 5]. En déduire le tableau de variations de la fonction sur l intervalle 0,25; 5. D'après l'étude de la question précédente, 0 5 Les variations de se déduisent du signe de sa dérivée : 4) a) Pour quelle quantité de médicament commercialisée, le bénéfice est-il maximal? (On donnera une valeur approchée de cette quantité en litres). Donner alors une valeur approchée en euros de ce bénéfice maximal. D'après le tableau des variations, le maximum de la fonction est atteint pour. 2,77 1,5 2,77 2,77 2 2,77 ln2,77 2,127 Le bénéfice est maximal lorsque 277 litres de médicament sont commercialisés ce qui correspond à un bénéfice d'environ 2127 euros. b) Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus graphiquement à la question 2. c. de la partie A? Ces résultats sont cohérents avec ceux obtenus graphiquement à la question 2. c. de la partie A