Sujet national, juin 2014, exercice 4

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1 Sujet 1 Sujet national, juin 2014, exercice 4 (5 points) On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 15 heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang. On obtient la courbe ci-dessous : Étude graphique Avec la précision permise par le graphique, indiquer : 1 La concentration à l instant initial. Il s agit de déterminer l image de 0 par la fonction représentée graphiquement. 2 L intervalle de temps pendant lequel la concentration est inférieure ou égale à 0,4 gramme par litre. On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires. Il s agit tout d abord de déterminer le temps pour lequel la concentration du médicament est égale à 0,4 gramme par litre.

2 Sujet 1 Énoncé Étude théorique On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction définie sur l intervalle [0 ; 15] par : f(x) = (x+2)e 0,5x, où x représente le nombre d heures écoulées depuis l instant initial et la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang. 1 On note f la fonction derivée de la fonction f. Justifier que f (x) = 0, 5xe 0,5x, et en déduire le tableau de variation de la fonction f sur [0 ; 15]. Souvenez-vous que pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I, (e u ) = u e u sur I. 2 Justifier que l équation f(x) = 0, 1 admet une unique solution α sur l intervalle [0 ; 15]. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires. 3 Déterminer un encadrement de α d amplitude un dixième. Commencez par déterminer un encadrement de α à l unité près avec un tableur, puis déterminez un encadrement au dixième près en modifiant le pas entre chaque valeur. 4 Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous : En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction f sur l intervalle [0 ; 15] et préciser l abscisse d un éventuel point d inflexion. Pour une fonction f deux fois dérivable sur un intervalle I : f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f est positive sur I ; f est concave sur I si et seulement si sa dérivée seconde f est négative sur I ; f admet un point d inflexion en x I si et seulement si f (x) = 0.

3 Sujet 1 Énoncé Interprétation des résultats En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous. 1 On estime que le médicament n est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à 0,1 gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif? Remarquez qu il s agit de déterminer le temps pendant lequel la concentration du médicament est supérieure ou égale à 0,1 gramme par litre. 2 Au bout de combien d heures la baisse de concentration ralentit-elle? En quel point de la courbe peut-on dire que la baisse de concentration ralentit-elle?

4 Sujet 1 Corrigé Étude graphique Avec la précision permise par le graphique, indiquer : 1 D après le graphique, la concentration du médicament à l instant initial est 2 g/l. 2 En observant le graphique, la concentration du médicament est égale à 0,4 gramme par litre au bout de 6 h. L intervalle de temps pendant lequel la concentration est inférieure ou égale à 0,4 gramme par litre est donc 15 6 = 9 h. Étude théorique 1 La fonction f est dérivable sur l intervalle [0 ; 15] en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. En posant u(x) = x + 2 et v(x) = e 0,5x pour x [0 ; 15], on a u0 (x) = 1 et v 0 (x) = 0, 5e 0,5x, et : f 0 (x) = (u v)0 (x) = u0 (x) v(x)+u(x) v 0 (x) = 1 e 0,5x 0, 5(x+2)e 0,5x = e 0,5x (1 0, 5(x + 2)) = e 0,5x (1 0, 5x 1) = 0, 5e 0,5x pour tout x [0 ; 15]. 17

5 Sujet 1 Corrigé Pour tout x ]0 ; 15], f (x) = 0, 5xe 0,5x < 0 donc la fonction f est strictement décroissante sur l intervalle [0 ; 15]. f(0) = (0 + 2)e 0,5 0 = 2e 0 = 2 et f(15) = (15 + 2)e 0,5 15 = 17e 7,5 0, 009 au millième près. 2 La fonction f est strictement décroissante sur l intervalle [0 ; 15] et, f(0) = 2 > 0, 1 et f(15) = 17e 7, 5 0, 009 au millième près donc f(15) < 0, 1. D après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = 0, 1 admet une unique solution α sur l intervalle [0 ; 15]. 3 À l aide d un premier tableau de valeurs : 9 < α < 10. x 0 2 f(x) 1 1, , , , , , ,

6 Sujet 1 Corrigé 8 0, , , , , , , , À l aide d un second tableau de valeurs : 9, 4 < α < 9, 5. x f(x) 9 0, , 1 0, , 2 0, , 3 0, , 4 0, , 5 0, , 6 0, , 7 0, , 8 0, , 9 0, , D après le logiciel de calcul formel : f (x) = (0, 25x 0, 5)e 0,5x qui est du signe de 0, 25x 0, 5. On a : f (x) > 0 0, 25x 0, 5 > 0 0, 25x > 0, 5 x > 0,5 = 0,25 2. f (x) < 0 0, 25x 0, 5 < 0 0, 25x < 0, 5 x < 0,5 = 0,25 2. f (x) = 0 x = 2. La fonction f est donc concave sur l intervalle [0 ; 2] et convexe sur l intervalle [2 ; 15]. Elle admet le point d abcisse x = 2 comme point d inflexion.

7 Sujet 1 Corrigé Interprétation des résultats 1 Il s agit de déterminer l intervalle des valeurs x telles que f(x) 0, 1 À l aide de la partie B : D après la question 2., la fonction f est strictement décroissante sur l intervalle [0 ; 15] et l équation f(x) = 0, 1 admet une unique solution α telle que 9, 4 < α < 9, 5. Le médicament est donc actif pendant : 9, 4 h = 9 h 0, 4 60 min = 9 h 24 min. On peut aussi observer le résultat graphiquement : f(x) 0, 1 approximativement sur l intervalle [0 ; 9, 4]. Voir le graphique ci-dessous. 2 L étude de la concentration du médicament correspond à l étude de la fonction f. L étude des variations de la concentration du médicament correspond à l étude de la fonction f. La baisse de la concentration ralentit donc lorsque f s annule, c est-à-dire en l abscisse x = 2 du point d inflexion de la courbe. On peut observer graphiquement le ralentissement de la baisse au point d abscisse x = 2 de la courbe.

8 Sujet 2 Inde, avril 2014, exercice 1 (4 points) Pour chacune des propositions, déterminez si la proposition est vraie ou fausse et justifiez votre réponse. 1 La courbe C h représentative d une fonction h définie et dérivable sur R est représentée ci-contre. On a tracé la tangente T à C h au point A( 1 ; 3). T passe par le point B(0 ; 2). Proposition 1 : le nombre dérivé h( 1) est égal à 2. Que représente graphiquement la valeur h ( 1)? 2 On désigne par f une fonction définie et deux fois dérivable sur [0 ; + [. La courbe représentative de la fonction f, dérivée seconde de la fonction f, est donnée ci-dessous. Le point de coordonnées (1 ; 0) est le seul point d intersection de cette courbe et de l axe des abscisses.

9 Sujet 2 Énoncé Proposition 2 : la fonction f est convexe sur l intervalle [1 ; 4]. 3 Proposition 3 : on a l égalité e 5 ln 2 e 7 ln 4 = Utilisez les priorités des puissances et remarquez notamment que 4 7 = (2 2 ) 7. 4 La courbe représentative d une fonction g définie et continue sur l intervalle [0 ; 2] est donnée sur la première figure. La courbe représentative d une de ses primitives G est donnée sur la figure 2. La courbe représentative de G passe par les points A(0 ; 1), B(1 ; 1) et C(2 ; 5).

10 Sujet 2 Énoncé Proposition 4 : la valeur exacte de l aire de la partie bleue sous la courbe de g de la première figure est 4 unités d aires. Quel est le lien entre l aire hachurée et la primitive G?

11 Sujet 2 Corrigé 1 h ( 1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C h au point d abscisse - 1. Cette tangente est la droite (AB) donc h ( 1) est le coefficient directeur de la droite (AB). On a donc : h ( 1) = y B y A x B x A La proposition est fausse. = ( 1) = 5. 2 Une fonction f (deux fois dérivable) est convexe sur un intervalle I f est positive sur I. Une fonction f (deux fois dérivable) est concave sur un intervalle I f est négative sur I. Graphiquement, on observe que f est négative sur l intervalle [1 ; 4]. La fonction f est donc concave sur l intervalle [1 ; 4]. La proposition est fausse. 3 e 5 ln 2 e 7 ln 4 = e ln 25 e ln 47 = = 2 5 (2 2 ) 7 = = = = La proposition est vraie. 4 La partie bleue est la surface comprise entre la courbe C g, l axe des abscisses et les droites d équation x = 1 et x = 2. Son aire est donc égale, en unités d aire, à 2 1 g(x)dx. G est une des primitives de la fonction g sur l intervalle [1 ; 2] : 2 1 g(x)dx = G(2) G(1) = 5 1 = 4 d après la figure 2. La valeur exacte de l aire de la partie bleue sous la courbe de g en figure 1 est 4 unités d aires. La proposition est vraie.

12 Sujet 3 Inde, avril 2014, exercice 4 (6 points) Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. Un artisan glacier commercialise des «sorbets bio». Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité. Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction f définie pour tout nombre réel x de l intervalle I = [ 0 ; 3 ] par f(x) = 10x 2 20x ln x. Lorsque x représente le nombre de centaines de litres de sorbet, f(x) est le coût total de fabrication en centaines d euros. La recette, en centaines d euros, est donnée par une fonction r définie sur le même intervalle I. Partie A La courbe C représentative de la fonction f et la droite D représentative de la fonction linéaire r sont données en fin de sujet. 1 Répondez aux questions suivantes par lecture graphique et sans donner de justification. a) Donnez le prix de vente en euros de 100 litres de sorbet. Déterminez graphiquement r(1) et faites ensuite attention aux unités. b) Donnez l expression de r(x) en fonction de x. Pour déterminer l expression de r(x) en fonction de x, remarquez que r est une fonction linéaire et déterminez son coefficient directeur. c) Combien l artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l entreprise dégage un bénéfice? Déterminez la valeur x à partir de laquelle r(x) f(x) et faites ensuite attention aux unités. 2 On admet que x ln xdx = 90 ln a) Vous devez en déduire la valeur de 3 1 f(x)dx. Utilisez la linéarité de l intégrale.

13 Sujet 3 Énoncé b) Déduisez pour une production comprise entre 100 et 300 litres, la valeur moyenne (arrondie à l euro) du coût total de production. Utilisez le résultat de la question précédente en faisant attention aux unités. Partie B On note B(x) le bénéfice réalisé par l artisan pour la vente de x centaines de litres de sorbet produits. D après les données précédentes, pour tout x de intervalle [1 ; 3], on a : B(x) = 10x x + 20xlnx où B(x) est exprimé en centaines d euros. 1 On note B la fonction dérivée de la fonction B. Montrez que, pour tout nombre x de l intervalle [1 ; 3], on a : B (x) = 20x + 20 lnx Souvenez-vous que pour toutes fonctions u et v dérivables un intervalle I, (u v) = u v + u v sur l intervalle I. 2 On donne le tableau de variation de la fonction dérivée B sur l intervalle [1 ; 3]. a) Montrez que l équation B (x) = 0 admet une unique solution α dans l intervalle [1 : 3]. Donnez une valeur approchée de α à Appliquez le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction B sur l intervalle [1 ; 3]. b) Vous devez en déduire le signe de B (x) sur l intervalle [1 ; 3] puis dressez le tableau de variation de la fonction B sur ce même intervalle. Observez le tableau de variation de la fonction B et déduisez-en le signe de B, puis les variations de B.

14 Sujet 3 Énoncé 3 L artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s il peut atteindre un bénéfice d au moins 850 euros. Est-ce envisageable? N oubliez pas que B(x) est exprimé en centaines d euros.

15 Sujet 3 Corrigé Partie A 1 a) Il s agit de déterminer r(1) : graphiquement, r(1) = 10. Étant donné que la recette est exprimée en centaines d euros, le prix de vente de 100 litres de sorbet est = b) La fonction r est une fonction linéaire car sa courbe représentative D passe par l origine du repère. r(1) = 10 donc D passe par le point A(1 ; 10) et son coefficient directeur est 10. L expression de r(x) en fonction de x est r(x) = 10x pour x [1 ; 3]. c) Il s agit de déterminer la valeur x à partir de laquelle la recette est supérieure au coût total, donc que r(x) > f(x). Graphiquement, il s agit de x > 1. Étant donné que x est exprimée en centaines de litres, l artisan doit produire au minimum 100 litres de sorbet pour que l entreprise dégage un bénéfice. 2 a) On a : 3 1 f(x)dx = x2 20x ln xdx 3 1 f(x)dx = x2 dx x ln xdx

16 Sujet 3 Corrigé 3 1 f(x)dx = x2 dx x ln xdx par linéarité de l intégrale. Or x ln xdx = 90 ln 3 40, donc : 3 1 f(x)dx = x2 dx (90 ln 3 40) 3 10x3 1 f(x)dx = [ 3 ] ln f(x)dx = ln f(x)dx = ln f(x)dx = ln f(x)dx = 90 ln f(x)dx = 90 ln 3. 3 b) La valeur moyenne du coût total de production pour une production comprise entre 100 et 300 litres est : f(x)dx = f(x)dx = 50 ( 90 ln 3) = ln (arrondie à l euro) car le coût total est exprimé en centaines d euros. Partie B 1 La fonction B est dérivable sur l intervalle [1 ; 3] en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. En posant u(x) = 20x et v(x) = ln x, on a u (x) = 20 et v (x) = 1, donc pour tout x x [1 ; 3] : B (x) = 20x (u v) (x) B (x) = 20x u (x) v(x) + u(x) v (x) B (x) = 20x ln x + 20x 1 x B (x) = 20x ln x + 20 B (x) = 20x + 20ln x a) D après le tableau de variation, la fonction B est strictement décroissante sur l intervalle [1 ; 3]. De plus, B (1) = ln = 10 > 0 et B (3) = ln = 20 ln 3 30 < 0. Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation B (x) = 0 admet une unique solution α ; sur l intervalle [1 ; 3]. À l aide d un premier tableau de valeurs : 2,3 < α < 2,4.

17 Sujet 3 Corrigé x B (x) 2 3, , 1 2, , 2 1, , 3 0, , 4 0, , 5 1, , 6 2, , 7 4, , 8 5, , 9 6, , À l aide d un deuxième tableau de valeurs : 2,35 < α < 2,36. Une valeur approchée de α ; à 10 2 près est 2,35. x B (x) 2, 3 0, , 31 0, , 32 0, , 33 0, , 34 0, , 35 0, , 36 0, , 37 0, , 38 0, , 39 0, , 4 0, b) D après le tableau de variation de la fonction B sur l intervalle [1 ; 3], la fonction B est strictement décroissante sur cet intervalle. De plus, B (α) = 0 (avec α 2,35), donc : B (x) > 0 sur l intervalle [1 ; α] ; B (x) < 0 sur l intervalle [α ; ; 3]. La fonction B est donc strictement croissante sur l intervalle [1 ; α] et strictement décroissante sur l intervalle [α ; 3].

18 Sujet 3 Corrigé B(α) B(2,35) 8,4. B(1) = ln(1) = 0. B(3) = ln(3) = 60 (ln 3 1) 5,9. x 1 α 3 B (x) + 0 B(α) 8,4 α B 0 B(3) 5,9 3 D après la question précédente, le bénéfice maximal réalisé par l artisan est 100B(α ;) 100 8,4 = 840. L artisan n atteindra pas un bénéfice d au moins 850 euros, donc il ne maintiendra pas sa production dans les mêmes conditions.

19 Sujet 4 Centres étrangers, septembre 2013, exercice 1 (4 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. La courbe C ci-dessous est la representation graphique, dans un repère orthonormé, d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 5 ; 5]. On note f la fonction dérivée de f. 1 Sur l intervalle [ 5 ; 5] : a) f est une fonction de densité de probabilité. b) f est positive. c) f n est pas continue. d) L équation f (x) = 0 admet deux solutions. 2 Sur l intervalle [ 5 ; 5] : a) f (1) = 0. b) f (0) = 1. c) f (0) = 0. d) f (1) = 1. Souvenez-vous que f (a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative C de f au point d abscisse a.

20 Sujet 4 Énoncé 3 On admet qu une équation de la tangente à la courbe C au point d abscisse 4 est y = x e e 2. Le nombre dérivé de f en 4 est : a) f (4) = 5 e 2. b) f (4) = 1 e 2. c) f (4) = 1 e 2. d) f (4) = e 2. f (4) est le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe représentative C de f au point d abscisse 4. 4 On pose A = 2 2 f(x)dx. Un encadrement de A est : a) 0 < A < 1. b) 1 < A < 2. c) 3 < A < 4. d) 4 < A < 5. Encadrez l aire A à l aide de celle d un polygone et de celle d un rectangle.

21 Sujet 4 Corrigé 1 b) f est positive. En observant le graphique, on voit que f est positive sur l intervalle [ 5 ; 5]. f ne peut pas être une densité de probabilité car 5 5 f(x)dx > 1. f est continue et l équation f (x) = 0 admet une unique solution, qui est x = 0. 2 c) f (0) = 0. Au point d abscisse 0 de la courbe C, la tangente est horizontale donc f (0) = 0. Au point d abscisse 1 de la courbe C, le coefficient directeur de la tangente est strictement négatif donc f (1) ne peut pas être égal à 0 ou à 1. 3 c) f (4) = 1 e 2. Une équation de la tangente à la courbe C au point d abscisse 4 est y = x e e 2. f (4) est son coefficient directeur, donc f (4) = 1 e 2. 4 c) 3 < A < 4. Pour tout x [ 2 ; 2], f(x) < 1 donc A = 2 2 f(x)dx < 2 2 1dx = [x]2 2 = 2 ( 2) = = 4. De ( plus, l aire ) du polygone ABCDE, qui est la réunion de deux trapèzes d aire 2 (1+0,5) = 1, 5, est 2 1, 5 = 3. On a donc 3 < A. 2 Finalement, on a : 3 < A < 4.

22 Sujet 5 Centres étrangers, septembre 2013, exercice 3 (5 points) Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos sur Internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction d internautes connectés simultanément. On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes connectées simultanément. Deux fonctions sont proposées pour modéliser cette situation. Partie A : Modèle exponentiel Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d une fonction f qui modélise la situation précédente.

23 Sujet 5 Énoncé On note x le nombre, exprimé en millier, d internautes connectés simultanément et f(x) la durée de chargement exprimée en seconde. 1 Par lecture graphique, estimer la durée de chargement, en seconde, pour personnes connectées. Remarquez que vous devez déterminer graphiquement f(8). 2 a) Déterminer graphiquement un antécédent de 15 par f. Déterminez approximativement le nombre qui a pour image 15 par f. b) Donner une interprétation de ce résultat. Pour interpréter la réponse de la question 2. a), faites attention aux unités. Partie B : Modèle logarithmique On considère une autre fonction g pour modéliser la situation précédente. On note x le nombre, exprimé en millier, d internautes connectés simultanément. La durée de chargement exprimée en seconde est alors g(x) avec g(x) = 10x 8 ln(x) pour x appartenant à [0, 5 ; + [. 1 a) Calculer g (x). Souvenez-vous que pour tout x ]0 ; + [, ln (x) = 1 x. b) Dresser le tableau de variations de g sur l intervalle [0, 5 ; + [. Étudiez les variations de la fonction g et calculez g(0, 5) et g(0, 8). 2 a) Justifier que la fonction G définie sur [0, 5 ; + [ par G(x) = 5x 2 + 8x 8x ln(x) est une primitive de g sur [0, 5 ; + [. Montrez que pour tout x [0, 5 ; + [, G (x) = g(x). b) On pose I = g(x)dx. Montrer que la valeur exacte de I peut s écrire sous la forme a + b ln(2) où a et b sont deux réels que l on déterminera. Exprimez l intégrale à l aide de la fonction G. c) Déterminer une valeur approchée à 10 2 près de I puis donner une interprétation de ce résultat. Pour donner une interprétation de I, remarquez que I = g(x)dx.

24 Sujet 5 Énoncé Partie C Une vidéo particulièrement demandée a attiré simultanément personnes. On a constaté que le temps de chargement était de 92 secondes. Déterminer, en justifiant, celui des deux modèles qui décrit le mieux la situation pour cette vidéo. Demandez-vous qui est le plus proche de 92 entre f(8) et g(8).

25 Sujet 5 Corrigé Partie A : Modèle exponentiel 1 Il s agit de déterminer f(8) : graphiquement, f(8) 96. S il y a internautes connectées simultanément, la durée de téléchargement est d environ 96 s = 1 min 36 s. 2 a) Graphiquement, un antécédent de 15 est approximativement 2. b) Le fait qu un antécédent de 15 soit approximativement 2 signifie que la durée de téléchargement est de 15 secondes lorsqu il y a = internautes connectés simultanément.

26 Sujet 5 Corrigé Partie B : Modèle logarithmique 1 a) La fonction g est dérivable sur l intervalle [0, 5 ; + [ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. Pour tout x [0, 5 ; + [, g (x) = 10 8 = 2 (5x 4). x x b) Pour tout x [0, 5 ; + [, 2 x > 0 donc g (x) est du signe de 5x 4. On a : g (x) > 0 5x 4 > 0 g (x) > 0 5x > 4 g (x) > 0 x > 4 5 = 0, 8 De même : g (x) < 0 x < 0, 8 g (x) = 0 x = 0, 8 La fonction g est donc strictement décroissante sur l intervalle [0, 5 ; 0, 8] et strictement croissante sur l intervalle [0, 8 ; + [. g(0, 5) = 10 0, 5 8 ln(0, 5) = ln(2) 10, 55 au centième près. g(0, 8) = 10 0, 8 8 ln(0, 8) = 8 8 ln(0, 8) 9, 79 au centième près. 2 a) La fonction G est dérivable sur [0, 5 ; + [ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. En posant u(x) = 8x et v(x) = ln(x), on a u (x) = 8 et v (x) = 1 x, donc pour tout x [0, 5 ; + [ : G (x) = 10x (u v) (x)

27 Sujet 5 Corrigé G (x) = 10x u (x) v(x) + u(x) v (x) G (x) = 10x ln(x) 8x x G (x) = 10x 8 ln(x) G (x) = g(x) La fonction G définie sur [0, 5 ; + [ par G(x) = 5x 2 + 8x 8x ln(x) est une primitive de g sur [0, 5 ; + [. b) D après la question 2. a), on a : I = g(x)dx I = 1 2 [G(x)]4 2 I = 1 2 [5x2 + 8x 8x ln(x)] 4 2 I = 1[ ln(4) ( ln(2))] I = 1[ ln(22 ) ( ln(2))] I = 1 [ ln(2) ln(2)] 2 I = 1 [76 48 ln(2)] 2 I = ln(2) c) I = g(x)dx = ln(2) 21, 36 à 10 2 près. La durée moyenne de téléchargement lorsqu il y a entre et téléchargements est d environ 21,36 secondes. Partie C D après la question 1. de la partie A, f(8) 96. Aussi, g(8) = ln(8) = 80 8 ln(8) = 63, 4 au dixième près. f(8) est plus proche de 92 que g(8). Le modèle qui décrit donc le mieux la situation pour cette vidéo est le modèle exponentiel de la fonction f.

28 Sujet 6 Liban, mai 2014, exercice 4 (6 points) Partie A On considère la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 5] par f(x) = x+1+e x+0,5. On a représenté ci-dessous, dans un plan muni d un repère orthonormé : la courbe C représentative de la fonction f ; la droite d équation y = 1, 5x.

29 Sujet 6 Énoncé 1 a) Vérifier que pour tout x appartenant à l intervalle [0 ; 5], on a : f (x) = 1 e x+0,5 où f désigne la fonction dérivée de f. Souvenez-vous que pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I, (e u ) = u e u sur I. b) Résoudre dans l intervalle [0 ; 5] l équation f (x) = 0. Souvenez-vous que pour tout a R et b R +, ea = b a = ln(b). c) Étudier le signe de f (x) sur l intervalle [0 ; 5]. Souvenez-vous que pour tout a R et b R + : e a < b a < ln(b) ; e a > b a > ln(b). d) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l intervalle [0 ; 5]. Déduisez les variations de la fonction f des résultats de la question 1. c). 2 On note α l abscisse du point d intersection de C et. a) Donner, par lecture graphique, un encadrement de α à 0, 5 près. N oubliez pas que α est à rechercher sur l axe des abscisses. b) Résoudre graphiquement sur l intervalle [0 ; 5] l inéquation f(x) < 1, 5x. Il s agit de déterminer sur l axe des abscisses l intervalle sur lequel la courbe C est au-dessous de la droite. Partie B : Application Une entreprise fabrique des cartes à puces électroniques à l aide d une machine. La fonction f, définie dans la partie A, représente le coût d utilisation de la machine en fonction de la quantité x de cartes produites, lorsque x est exprimé en centaines de cartes et f(x) en centaines d euros. 1 a) Déduire de la partie A le nombre de cartes à produire pour avoir un coût minimal d utilisation de la machine. Observez le tableau de variation de la question 1. d) de la partie A et faites attention aux unités. b) Chaque carte fabriquée par la machine est vendue 1,50. La recette perçue pour la vente de x centaines de cartes vaut donc 1, 5x centaines d euros. Vérifier que le bénéfice obtenu, en centaines d euros, par la vente de x centaines de cartes est donné par B(x) = 0, 5x 1 e x+0,5.

30 Sujet 6 Énoncé 2 a) Montrer que la fonction B est strictement croissante sur l intervalle [0 ; 5]. Souvenez-vous que pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I, (e u ) = u e u sur I. b) Montrer que, sur l intervalle [0 ; 5], l équation B(x) = 0 admet une unique solution comprise entre 2, 32 et 2, 33. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires, puis calculez B(2, 32) et B(2, 33). 3 On dira que l entreprise réalise un bénéfice lorsque B(x) > 0. Indiquer la quantité minimale qui doit figurer sur le carnet de commandes de l entreprise pour que celle-ci puisse réaliser un bénéfice. Déduisez la réponse de la question 2. a) et de la question 2. b).

31 Sujet 6 Corrigé Partie A 1 a) La fonction f est dérivable sur l intervalle [0 ; 5] en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. Pour tout x [0 ; 5], f (x) = 1 + ( 1) e x+0,5 = 1 e x+0,5. b) On a : f (x) = 0 1 e x+0,5 = 0 f (x) = 0 e x+0,5 = 1 f (x) = 0 x + 0, 5 = ln(1) = 0 f (x) = 0 x = 0, 5 L unique solution de l équation f (x) = 0 dans l intervalle [0 ; 5] est x = 0, 5. c) Soit x [0 ; 5]. On a : f (x) > 0 1 e x+0,5 > 0 f (x) > 0 e x+0,5 < 1 f (x) > 0 x + 0, 5 < ln(1) = 0 f (x) > 0 x > 0, 5 f (x) > 0 sur l intervalle [0, 5 ; 5]. Soit x [0 ; 5]. De même, on a : f (x) < 0 1 e x+0,5 < 0 f (x) < 0 e x+0,5 > 1 f (x) > 0 x + 0, 5 > ln(1) = 0 f (x) < 0 x < 0, 5 f (x) < 0 sur l intervalle [0 ; 0, 5]. d) D après la question 1. c), la fonction f est strictement décroissante sur l intervalle [0 ; 0, 5] et strictement croissante sur l intervalle [0, 5 ; 5]. f(0) = 1 + e 0,5 = 1 + e 2, 65 au centième près. f(0, 5) = 0, e 0,5+0,5 = 1, 5 + e 0 = 1, = 2, 5. f(5) = e 5+0,5 = 6 + e 4,5 6, 01 au centième près.

32 Sujet 6 Corrigé 2 a) Par lecture graphique, on obtient l encadrement à 0,5 près : 2 < α < 2, 5. (Voir graphique.) b) Pour x [0 ; 5], f(x) < 1, 5x lorsque le point d abscisse x de la courbe C est au-dessous de celui de la droite. En observant le graphique, les solutions de l inéquation f(x) < 1, 5x sont l intervalle [α ; 5].

33 Sujet 6 Corrigé Partie B : Application 1 a) D après la question 1. d) de la partie A, le minimum de la fonction f sur l intervalle [0 ; 5] est en x = 2, 5. Le nombre de cartes à produire pour avoir un coût minimal d utilisation de la machine est donc 2, = 250. b) Soit x [0 ; 5]. La bénéfice, en centaines d euros, de la vente de x centaines de cartes est : B(x) = 1, 5x f(x) = 1, 5x (x e x+0,5 ) = 1, 5x x 1 e x+0,5 = 0, 5x 1 e x+0,5. 2 a) La fonction B est dérivable sur l intervalle [0 ; 5] en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. Pour tout x [0 ; 5], B (x) = 0, 5 ( 1) e x+0,5 = 0, 5 + e x+0,5 > 0, la fonction exponentielle étant strictement positive sur R. La fonction B est donc strictement croissante sur l intervalle [0 ; 5]. b) La fonction B est continue et strictement décroissante sur l intervalle [0 ; 5]. De plus, B(0) = 1 e 0,5 = 1 e < 0 et B(5) = 0, e 5+0,5 = 1, 5 e 4,5 1, 49 donc B(5) > 0. D après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation B(x) = 0 admet une unique solution dans l intervalle [0 ; 5]. B(2, 32) = 0, 5 2, 32 1 e 2,32+0,5 = 1, 16 1 e 2,32+0,5 = 0, 16 e 1,82 0, 002 au millième près donc B(2, 32) < 0. B(2, 33) = 0, 5 2, 33 1 e 2,33+0,5 = 1, e 2,33+0,5 = 0, 165 e 1,83 0, 005 au millième près donc B(2, 33) > 0. L équation B(x) = 0 admet une unique solution dans l intervalle [0 ; 5] et elle est comprise entre 2, 32 et 2, D après la question 2. a), la fonction B est strictement croissante sur l intervalle [0 ; 5]. D après la question 2. b), l équation B(x) = 0 admet une unique solution dans l intervalle [0 ; 5] qui est comprise entre 2, 32 et 2, 33. La quantité minimale qui doit figurer sur le carnet de commandes de l entreprise pour qu elle réalise un bénéfice est de 2, = 233 cartes à puces électroniques.

34 Sujet 7 Nouvelle-Calédonie, mars 2014, exercice 3 (5 points) Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquez si elle est vraie ou fausse et justifiez la réponse. 1 La fonction G définie sur l intervalle ]0 ; + [ par G(x) = x ln x x + 10 est une primitive de la fonction g définie sur l intervalle ]0 ; [ par g(x) = ln x. Vérifiez que la fonction G est telle que G (x) = g(x) pour tout x ]0 ; + [. 2 On a l égalité : 1 0 (x2 + 1)dx = 1 3. Commencez par déterminer une primitive de la fonction x x sur l intervalle [0 ; 1]. 3 Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l intervalle [0 ; 1]. On a alors : E(X) = 1. Souvenez-vous de la formule donnant l espérance d une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l intervalle [a ; b]. 4 Dans une population, la proportion de garçons à la naissance est p = 0, 51. L intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de garçons dans un échantillon de taille 100 est (en arrondissant les bornes à 0,001 près) : [0, 412 ; 0, 608]. Souvenez-vous de l expression de l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour n = 100 et p = 0, 51. Pensez aussi à vérifier que les conditions sont remplies.

35 Sujet 7 Corrigé 1 Vérifions que la dérivée de la fonction G sur ]0 ; + [ est la fonction g. La fonction G est dérivable sur l intervalle ]0 ; + [ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. En posant u(x) = x et v(x) = ln x, on a u (x) = 1 et v (x) = 1 donc, pour tout x x ]0 ; + [ : G (x) = (u v) (x) 1 = u (x) v(x)+u(x) v (x) 1 = 1 ln x+x 1 1 = x ln x = ln x = g(x). La fonction G est une primitive de la fonction g sur l intervalle ]0 ; + [. L affirmation est donc vraie. 2 Une primitive de la fonction : x x sur l intervalle [0 ; 1] est la fonction x x3 + 3 x. On a donc : 1 0 (x2 + 1)dx = [ x3 + 3 x]1 0 = ( 0 + 0) = = L affirmation est donc fausse. 3 L espérance d une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l intervalle [a ; b] (a < b) est E(x) = b x a+b a dx = b a 2. L espérance de la variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l intervalle [0 ; 1] est donc E(x) = 0+1 = L affirmation est donc fausse. 4 Si n = 100 et p = 0, 51, on a bien que 0 < p = 0, 51 < 1, n = , np = 0, = 51 5 et n(1 p) = 100 0, 49 = L intervalle [ de fluctuation au seuil de 95 proportion ] de garçons est : p(1 p) p(1 p) I = p 1, 96 n ; p + 1, 96 n avec n = 100 et p = 0, 51 donc [ ] 0,51(1 0,51) 0,51(1 0,51) I = 0, 51 1, ; 0, , I = [0, 412 ; 0, 608] en arrondissant les bornes à 0, 001 près. L affirmation est donc vraie.

36 Sujet 8 Nouvelle-Calédonie, mars 2014, exercice 4 (5 points) Soit f la fonction définie sur l intervalle [2 ; 5] par f(x) = (3 x)e x + 1. Soit f sa fonction dérivée et soit f sa fonction dérivée seconde. 1 Montrez que, pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle [2 ; 5], f (x) = (2 x)e x et f (x) = (1 x)e x. Souvenez-vous que pour toutes fonctions u et v dérivables un intervalle I, (u v) = u v + u v sur l intervalle I. 2 Étudiez les variations de la fonction f sur l intervalle [2 ; 5]. Commencez par expliquer pourquoi f (x) est du signe de 2 x sur l intervalle [2 ; 5]. 3 Justifiez que l équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l intervalle [2 ; 5]. Montrez que : 3 < α < 4. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires. 4 a) Soit T la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d abscisse 3. Montrez que T a pour équation y = e 3 x + 3e Souvenez-vous de la formule de l équation de la tangente à la courbe représentative d une fonction f au point d abscisse a. b) Déterminez les coordonnées du point d intersection de la droite T et de l axe des abscisses. Remarquez que l équation de l axe des abscisses est y = 0. c) Étudiez le signe de f (x) sur l intervalle [2 ; 5] et déduisez-en la convexité ou la concavité de f sur cet intervalle. Commencez par expliquer pourquoi f (x) est du signe de 1 x sur l intervalle [2 ; 5]. Rappels de cours : f (deux fois dérivable) est convexe sur un intervalle I f est positive sur I. f (deux fois dérivable) est concave sur un intervalle I f est négative sur I. d) Vous devez en déduire que : α < e 3. On a donc : α < e 3 < 3, 05. Souvenez-vous que si une fonction est concave sur un intervalle I alors sa courbe représentative est au-dessous de toutes ses tangentes en les points d abscisse x de I. Comparez les ordonnées du point d abscisseαde la courbe et du point d abscisse α de la tangente au point d abscisse 3.

37 Sujet 8 Énoncé 5 On considère l algorithme suivant : Variables : a, b, m et r sont des nombres réel Initialisation : Affecter à a la valeur 3 Affecter à b la valeur 3,05 Entrée : Saisir r Traitement : Tant que (b a) > r Affecter à m la valeur = a+b 2 Si f(m) > 0 Alors Affecter à a la valeur m Sinon Affecter à b la valeur m Fin SI Fin Tant que Sortie : Afficher a Afficher b a) Faites fonctionner l algorithme précédent avec r = 0, 01 en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. Vous arrondirez au millième les valeurs de f(m). b a (b a) > r m f(m) f(m) > 0 a b Initialisation 3 3, 05 étape 1 0, 05 oui 3, 025 0, 485 oui 3, 025 3, 05 étape 2 étape 3 Il y a quatre étapes dans le tableau. b) Interprétez les résultats trouvés pour a et b à la fin de l étape 3. Que pouvez-vous dire à propos de a et de b dans cet algorithme?

38 Sujet 8 Corrigé 1 La fonction f est dérivable sur [2 ; 5] en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. En posant u(x) = 3 x et v(x) = e x, on a u (x) = 1 et v (x) = e x donc, pour tout x [2 ; 5] : f (x) = (u v) (x) car la dérivée d une fonction constante est la fonction nulle. f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) f (x) = e x + (3 x)e x f (x) = (3 x 1)e x f (x) = (2 x)e x. De même, la fonction f est dérivable sur [2 ; 5] en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. En posant u(x) = 2 x et v(x) = e x, on a u (x) = 1 et v (x) = e x donc, pour tout x [2 ; 5] : f (x) = (u v) (x) f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) f (x) = e x + (2 x)e x f (x) = (2 x 1)e x f (x) = (1 x)e x. 2 Pour tout x [2 ; 5], f (x) = (2 x)e x, donc f (x) est du signe de 2 x sur cet intervalle car l exponentielle est toujours positive. Or pour tout x [2 ; 5], x > 2 donc 2 x < 0 et f (x) < 0. La fonction f est donc strictement décroissante sur l intervalle [2 ; 5]. 3 La fonction f est continue et strictement décroissante sur l intervalle [2 ; 5]. De plus, f(2) = (3 2)e = e > 0 et f(5) = (3 5)e = 1 2e 5 < 0. D après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l intervalle [2 ; 5]. On a aussi f(3) = (3 3)e = 1 > 0 et f(4) = (3 4)e = 1 e 4 < 0 donc, 3 < α < 4. 4 a) L équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a est y = f (a)(x a) + f(a).

39 Sujet 8 Corrigé Ici, a = 3, donc l équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse 3 est : y = f (3)(x 3) + f(3) y = e 3 (x 3) + 1 car f(3) = 1 et f (3) = (2 3)e 3 = e 3 y = e 3 x + 3e b) Soit M(x ; y) le point d intersection de la droite T et de l axe des abscisses. L équation de l axe des abscisses est y = 0 et l équation de la droite T est : y = e 3 x + 3e donc les coordonnées de M vérifient : y = 0, soit e 3 x + 3e = 0, donc e 3 x = 3e 3 + 1, puis x = 3e3 +1 = e 3 e 3 = 3 + e 3. Le point d intersection de la droite T et de l axe des abscisses est le point de coordonnées (3 + e 3 ; 0). c) Pour tout x [2 ; 5], f (x) = (1 x)e x, donc f (x) est du signe de 1 x sur cet intervalle car l exponentielle est toujours positive. Or pour tout x [2 ; 5], x > 1 donc 1 x < 0 et f (x) < 0. Or une fonction f (deux fois dérivable) est concave sur un intervalle I si et seulement si f est négative sur I. La fonction f est donc concave sur l intervalle [2 ; 5]. d) La fonction f est concave sur l intervalle [2 ; 5] donc sa courbe représentative est au-dessous de toutes ses tangentes en les points d abscisse x de [2 ; 5]. En particulier, le point de cette courbe de coordonnées (α ; f(α) = 0) est en dessous du point d abscisse α de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse 3. L équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse 3 est y = e 3 x+3e 3 +1 donc : f(α) = 0 < e 3 α + 3e 3 + 1, c est-à-dire e 3 α < 3e puis α < 3e3 +1 et e 3 α < e 3 D après la question 3., 3 < α < 3+ 1 e 3 < 3, 05 (valeur approchée par excès à 10 2 près).

40 Sujet 8 Corrigé 5 a) En faisant fonctionner l algorithme avec r = 0, 01, on obtient le tableau suivant : Initialisation b a (b a) > r m f(m) f(m) > 0 a b 3 3, 05 étape 1 0, 05 oui 3, 025 0, 485 oui 3, 025 3, 05 étape 2 0, 025 oui 3, , 218 oui 3, , 05 étape 3 0, 0125 oui 3, , 082 oui 3, , 05 étape 4 0, non b) Les valeurs a et b de l étape 3 sont deux valeurs telles que a < α < b et b a 0, 01 : elles permettent d obtenir un encadrement d amplitude inférieure à 0, 01 de α qui est la solution de l équation f(x) = 0. D après le tableau, on a 3, < α < 3, 05 donc 3, 04 < α < 3, 05. Remarque : cette méthode est appelée «méthode par dichotomie» car l intervalle de recherche de la solution est deux fois plus petit à chaque étape.

41 Sujet 9 Sujet national, juin 2013, exercice 3 (5 points) Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue. L entreprise peut fabriquer entre 0 et poulies par semaine. On note x le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine, x varie donc dans l intervalle [0 ; 3, 6]. Le bénéfice hebdomadaire est noté B(x), il est exprimé en milliers d euros. L objet de cet exercice est d étudier cette fonction B. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l une de l autre. Partie A : Étude graphique On a représenté la fonction B dans un repère du plan. Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant le cas. Vous laisserez les traits utiles à la compréhension du raisonnement sur le graphique et vous rendrez une réponse écrite sur la copie pour chaque question posée. 1 Déterminez dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à euros. Remarquez qu il s agit de résoudre graphiquement l inéquation B(x) Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l entreprise? Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé? Vous devez chercher la valeur maximale de la fonction B, ainsi que son antécédent par B.

42 Sujet 9 Énoncé

43 Sujet 9 Énoncé Partie B : Étude théorique Le bénéfice hebdomadaire noté B(x), exprimé en milliers d euros vaut : B(x) = 5 + (4 x)e x. 1 a) On note B la fonction dérivée de la fonction B. Montrez que pour tout réel x de l intervalle I = [0 ; 3, 6], on a : B (x) = (3 x)e x. Souvenez-vous que pour toutes fonctions u et v dérivables un intervalle I, (uv) = uv + u v sur l intervalle I. b) Déterminez le signe de la fonction dérivée B sur l intervalle I. Commencez par expliquer pourquoi B (x) est du signe de 3 x sur l intervalle I. c) Dressez le tableau de variation de la fonction B sur l intervalle I. Vous indiquerez les valeurs de la fonction aux bornes de l intervalle. Pensez à calculer B(0), B(3) et B(3, 6). 2 a) Justifiez que l équation B(x) = 13 admet deux solutions x 1 et x 2, l une dans l intervalle [0 ; 3] l autre dans l intervalle [3 ; 3, 6]. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires dans l intervalle [0 ; 3], puis dans l intervalle [3 ; 3, 6]. b) À l aide de la calculatrice, déterminez une valeur approchée à 0, 01 près de chacune des deux solutions. Vous devez trouver pour x 1 une valeur qui est proche de 2, 5 et pour x 2 une valeur qui est proche de 3, 5.

44 Sujet 9 Corrigé Partie A : Étude graphique 1 Il s agit de résoudre graphiquement l inéquation B(x) 13. Graphiquement, les antécédents de 13 par B sont 2, 5 (à 0, 1 près) et 3, 4 (à 0, 1 près) et l intervalle recherché est [2, 5 ; 3, 4] (à 0, 1 près). Pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à euros, le nombre de poulies doit être compris entre et (à cent poulies près). Voir la figure de la question 2.

45 Sujet 9 Corrigé 2 Graphiquement, le maximum de B est environ 15, 1 (à 0, 1 près). Donc le bénéfice maximum envisageable pour l entreprise est de (à cent euros près). Ce maximum est atteint en x 3 (à 0, 1 près) donc le bénéfice maximum envisageable l est pour N = poulies fabriquées et vendues, à cent poulies près. Partie B : Étude théorique 1 a) La fonction B est dérivable sur l intervalle I en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. En posant u(x) = 4 x et v(x) = e x pour x I, on a u (x) = 1 et v (x) = e x, et pour tout x I, on a B (x) = (u v) (x), car la dérivée d une fonction constante est la fonction nulle. Ainsi, pour tout x I, B (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) B (x) = ( 1) e x + (4 x)e x B (x) = ( x)e x B (x) = (3 x)e x. Pour tout x [0 ; 3, 6], B (x) = (3 x)e x. b) Pour tout x [0 ; 3, 6], B (x) = (3 x)e x, donc B (x)) est du signe de 3 x sur cet intervalle car l exponentielle est toujours positive. On a donc : B (x) > 0 et x I 3 x > 0 et x I x < 3 et x I 0 x < 3 ; B (x) < 0 et x I 3 x < 0 et x I x > 3 et x I 3 < x 3, 6 ; B (x) = 0 et x I x = 3. La fonction B est strictement croissante sur l intervalle [0 ; 3] et strictement décroissante sur l intervalle [3 ; 3, 6] Remarque : le maximum de la fonction B est bien atteint en x = 3 (question 2., partie A). c) Pour compléter le tableau de variation, on calcule : B(0) = 5 + (4 0)e 0 = = 1 ; B(3) = 5 + (4 3)e 3 = 5 + e 3 15, 1 (à 0, 1 près) ; B(3, 6) = 5 + (4 3, 6)e 3,6 = 5 + 0, 4e 3,6 9, 6 (à 0, 1 près). On obtient le tableau de variation suivant pour la fonction B :

46 Sujet 9 Corrigé 2 a) B est continue et strictement croissante sur l intervalle [0 ; 3]. De plus, B(0) = 1 < 13 et B(3) 15, 1 (à 0, 1 près), donc B(3) > 13. D après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation B(x) = 13 admet une unique solution x 1 sur l intervalle [0 ; 3] (et x 1 3 car B(3) 13). De même, B est continue et strictement décroissante sur l intervalle [3 ; 3, 6], B(3) > 13 et B(3, 6) 9, 6 (à 0, 1 près), donc B(3, 6) < 13. D après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation B(x) = 13 admet une unique solution x 2 sur l intervalle [3 ; 3, 6] (et x 2 3 car B(3) 13). Finalement, l équation B(x) = 13 admet deux solutions (distinctes) x 1 et x 2, l une dans l intervalle [0 ; 3] et l autre dans l intervalle [3 ; 3, 6]. b) À l aide d un tableau de valeurs : B(2) 9, 8 et B(3) 15, 1 à 0, 1 près donc 2 < x 1 < 3 ; B(2, 4) 12, 6 et B(2, 5) 13, 3 à 0, 1 près donc 2, 4 < x 1 < 2, 5 ; B(2, 45) 12, 96 et B(2, 46) 13, 03 à 0, 01 près donc 2, 45 < x 1 < 2, 46. Une valeur approchée de x 1 à 0, 01 près est donc x 1 2, 45. De même : B(3, 3) 13, 98 et B(3, 4) 12, 98 à 0, 01 près donc 3, 3 < x 2 < 3, 4 ; B(3, 39) 13, 10 et B(3, 40) 12, 98 à 0, 01 près donc 3, 39 < x 2 < 3, 40. Une valeur approchée de x 2 à 0, 01 près est donc x 2 3, 40.

47 Sujet 10 Sujet national, juin 2013, exercice 4 (5 points) Dans cet exercice on étudie l évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinémas, vidéos...). On note D n la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliards d euros, au cours de l année n. année n D n 4, 95 5, 15 5, 25 5, 4 5, 7 6, 3 6, 55 6, 9 année n D n 7, 3 7, 75 7, 65 7, 79 7, 64 7, 82 7, 89 8, 08 Soit f la fonction définie, pour tout nombre réel x, par f(x) = 0, 0032x 3 + 0, 06x Pour tout entier n vérifiant 0 n 20, on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d euros, au cours de l année n par le nombre f(n). 1 Calculez f(5). Vous devez trouver pour f(5) une valeur qui est comprise entre 5 et 8. 2 Déterminez le pourcentage p, de l erreur commise en remplaçant D 5 par f(5). Le pourcentage d erreur est obtenu par le calcul p = et le résultat sera donné à 0,1 % près.) Vous devez trouver pour p un pourcentage proche de 3 %. valeur réelle-valeur estimée valeur réelle 3 En utilisant la fonction f, quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l année 2013? Vous arrondirez le résultat au centième de milliard d euros. À quelle valeur de n correspond l année 2013?

48 Sujet 10 Énoncé 4 On veut utiliser la fonction f pour estimer la dépense moyenne des ménages entre le 1 er janvier 1995 et le 1 er janvier On calcule pour cela M = f(x)dx. a) Déterminez une primitive F de la fonction f sur l intervalle [0 ; 20]. Pour déterminer une primitive de la fonction f, déterminez une primitive de chacun de ses monômes. b) Calculez M. Souvenez-vous que si F est une primitive de f sur l intervalle [0 ; 20], 20 0 f(x)dx = f(20) f(0).

49 Sujet 10 Corrigé 1 Pour x [0 ; 20], f(x) = 0, 0032x 3 + 0, 06x Donc pour x = 5 : f(5) = 0, , = 6, 1. En utilisant la fonction f, la dépense totale des ménages français en programmes audiovisuels en 2000 est estimée à 6,1 milliards d euros. 2 On a p = D 5 f(5) D 5 = 6,3 6,1 0, 032 à 0, 001 près, soit 3,2 % à 0,1 % près. 6,3 Le pourcentage d erreur en remplaçant D 5 par f(5) est de 3,2 % à 0,1 % près. 3 Pour l année 2013, on a n = 18, donc on doit calculer f(18) : f(18) = 0, , , 78 au centième près. En 2013, une estimation de la dépense totale des ménages français en programmes audiovisuels est de 5,78 milliards d euros, au centième de milliards d euros près. 4 a) La fonction f est continue sur l intervalle [0 ; 20], donc elle admet des primitives sur cet intervalle. Une primitive de la fonction f définie par f(x) = 0, 0032x 3 + 0, 06x sur l intervalle [0 ; 20] est la fonction F définie, pour tout x [0 ; 20], par : F (x) = 0, 0032 x4 x3 + 0, x = 0, x4 + 0, 02x 3 + 5x. b) La fonction F définie sur l intervalle [0 ; 20] par F (x) = 0, 0008x 4 +0, 02x 3 + 5x étant une primitive de f sur cet intervalle, on a : 20 [F (x)]20 0 M = f(x)dx = 1 20 F (20) F (0) M = 20 M = 0, , , , M = M = M = 6, 6. La dépense moyenne des ménages français en programmes audiovisuels entre le 1 er janvier 1995 et le 1 er janvier 2015 est de 6,6 milliards d euros.

50 Sujet 11 Sujet national, septembre 2013, exercice 2 (5 points) On considère une fonction f définie sur l intervalle [ 1 ; 3], deux fois dérivable sur cet intervalle et dont la représentation C f dans un repère orthonormé est proposée ci-contre. On désigne par f la fonction dérivée de f, par f la fonction dérivée seconde de f, par F une primitive de f. (On admet l existence de F.) La droite D est tangente à C f au point A d abscisse 1, seul point en lequel la courbe traverse la tangente. L axe des abscisses est tangent à C f au point d abscisse 2. La tangente à C f au point d abscisse 0 est la droite d équation y = 4.

51 Sujet 11 Énoncé Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie. Une réponse juste apporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l absence de réponse ne rapportent ni n enlèvent aucun point. 1 a) f est convexe sur l intervalle [ 1 ; 0]. b) f est concave sur l intervalle ]1 ; 2[. c) f est convexe sur l intervalle ]1 ; 3[. d) C f est au dessus de sa tangente au point d abscisse 1. Souvenez-vous de la définition d une fonction convexe et d une fonction concave sur un intervalle. 2 a) f(1) = 5 b) f (1) = 2 c) f (1) = 3 d) La tangente à C f au point d abscisse 1 a pour équation y = 3x + 5. Interprétez graphiquement les valeurs f(1), f (1), f (1) et déterminez l équation de la tangente à C f au point d abscisse 1. 3 a) f (x) > 0 pour tout x de l intervalle ] 1 ; 2[. b) f est croissante sur l intervalle ]1 ; 2[. c) f(x) = 0 si et seulement si x = 0 ou x = 2 d) f (x) 0 pour tout x de l intervalle ] 2 ; 1[. Interprétez graphiquement chaque proposition. 4 0 a) 1 f(x)dx < 0 b) 3 < 2 0 f(x)dx < 6 0 c) 1 f(x)dx = 2 0 f(x)dx d) La valeur moyenne de f sur l intervalle [0 ; 2] est égale à 1. Interprétez graphiquement chaque intégrale et calculez la valeur moyenne. 5 a) f est croissante sur l intervalle ] 1 ; 2[. b) F est croissante sur l intervalle ] 1 ; 2[. c) f est croissante sur l intervalle ] 1 ; 2[. d) F ( 1) > F (2) Interprétez graphiquement les trois premières propositions et remarquez que F (2) F ( 1) peut s exprimer sous la forme d une intégrale.

52 Sujet 11 Corrigé 1 c) f est convexe sur l intervalle ]1 ; 3[. f n est pas convexe sur l intervalle [ 1 ; 0] car C f n est pas au-dessus de toutes ses tangentes en les points d abscisse appartenant à cet intervalle. f n est pas concave sur l intervalle ]1 ; 2[ car C f n est pas au-dessous de toutes ses tangentes en les points d abscisse appartenant à cet intervalle. On observe que C f est au-dessous de sa tangente au point d abscisse 1. f est bien convexe sur l intervalle ]1 ; 3[ car C f est au-dessus de toutes ses tangentes en les points d abscisse appartenant à cet intervalle. 2 d) La tangente à C f au point d abscisse 1 a pour équation y = 3x + 5. f(1) = 2. f (1) est le coefficient directeur de la tangente à C f au point d abscisse 1 donc, graphiquement, f (1) = 3. C f traverse sa tangente en A(1 ; f(1)) donc A est un point d inflexion pour cette courbe et f (1) = 0. La tangente à C f au point d abscisse 1 a bien pour équation y = 3x + 5 : son coefficient directeur est f (1) = 3 et son ordonnée à l origine est 5. 3 b) f est croissante sur l intervalle ]1 ; 2[. f n est pas strictement croissante sur ] 1 ; 2[ donc la proposition a) est fausse. f(x) = 0 si et seulement si x = 1 ou x = 2 donc la proposition c) est fausse. f n est pas décroissante sur ] 2 ; 1[ donc la proposition d) est fausse. C f est au-dessus de toutes ses tangentes sur l intervalle ]1 ; 2[ donc elle est convexe sur cet intervalle. Finalement, f est croissante sur l intervalle ]1 ; 2[. 4 b) 3 < 2 0 f(x) dx < 6. f(x) 0 pour tout x [ 1 ; 0], donc 0 1 f(x) dx 0. En notant A l aire de la surface comprise entre C f, l axe des abscisses et les droites d équation x = 1 et x = 0, et A l aire de la surface comprise entre C f, l axe des abscisses et les droites d équation x = 0 et x = 2, on observe graphiquement que A A. 2 0 f(x) dx est égale à l aire (en unités d aire) de la surface comprise entre C f, l axe des abscisses et les droites d équation x = 0 et x = 2. Cette aire est comprise entre celle du trapèze OBAC qui est 3 u.a. et celle de la figure OCEAFG qui est 6 u.a.