PGCD ET PPCM. Par convention, dans ce paragraphe, lorsque l on parlera de diviseurs d un entier naturel, il s agira toujours des diviseurs positifs.

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1 PGCD ET PPCM I. Plus grand commun diviseur Par convention, dans ce paragraphe, lorsque l on parlera de diviseurs d un entier naturel, il s agira toujours des diviseurs positifs. 1. Diviseurs communs à deux entiers positifs Notation : pour tout entier naturel a, on note d(a) l ensemble des diviseurs de a. Exemple : d(14) = { 1 ; 2 ; 7 ; 14 } d(5) = { 1 ; 5 } Remarques : Si a 0 alors d(a) ne contient que des entiers naturels inférieurs ou égaux à a Si a > 1, alors d(a) contient 1 et a Le plus grand élément de d(a) est a et le plus petit est 1 d(1) ne contient que l élément 1. Notation : d(a ; b) est l ensemble des diviseurs communs à a et b. Ainsi d(a ; b) = d(a) d(b) Exemple : d(7 ; 14) = { 1 ; 7 } et d(3 ; 5) = { 1 } Remarques : d(a ; b) est un ensemble non vide, il contient toujours 1 d(a ; b) contient un plus grand élément car il contient tous les nombres inférieurs ou égaux à a et à b si a 0 et si b 0 et inférieur à a si b = 0. Notation : Le plus grand diviseur commun à a et b est noté PGCD Exemple : a = 24 et b = 18. Trouvez les diviseurs communs de a et b et déduisez en leur PGCD Solution 1) d(a) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 } d(b) = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 } d(a) d(b) = { } 2. Conséquences immédiates 1 ; 2 ; 3 ; 6 donc le PGCD de a et b vaut 6. Prop : d(a ; 0) = d(a) pour tout a entier naturel Si b / a alors PGCD(a ; b) = b Si b / a alors tous diviseurs de b est un diviseur de a donc d(a ; b) = d(b). De plus b est le grand élément de d(b) donc b = PGCD (a ; b). Exemple : PGCD(3 ; 12) = 3 Page 1 sur 5

2 3. Calcul du PGCD Prop : Effectuons la division euclidienne de a par b, on obtient a = bq + r et 0 r < b. Alors d(a ; b) = d(b ; r). Dém : Montrons que tout diviseur k de a et b divise aussi b et r. r = a bq comme k divise a et b, il divise toute combinaison linéaire de a et b donc k divise c et aussi b. Réciproquement k est un diviseur de b et r donc il divise toute combinaison linéaire de b et r donc k divise a et aussi b. Donc les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs communs à b et r Algorithme d Euclide TD1 p45 transmaths salle info,+ calculatrice Exemple : Calcul PGCD(202 ; 138) par l Algorithme d Euclide Solution : 202 = = = = = Donc PGCD(202 ; 138) = 2 Th : L ensemble des diviseurs communs a a et b deux entiers positifs est l ensemble des diviseurs de leur PGCD. Application Les diviseurs communs à 5238 et 2037 sont ceux de leur PGCD c est- à dire 291 Les diviseurs de 291 sont 1 ; 3 ; 97 ; 291. Remarque : Tout diviseur de a et de b est un diviseur de leur PGCD. Exo 46 à à à 59 p 32 II. Propriétés du PGCD Définition : Deux entiers naturels sont dits premier entre eux lorsque leur PGCD vaut 1 Exemple : 2 et 3 sont premier entre eux. Théorème : a, b et d des entiers naturels non nuls. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes 1. d = PGCD(a ; b) 2. d est un diviseur de a et b et les quotients n et n tels que a = nd et b = n d sont premiers entre eux. 3. d est un diviseur de a et b et il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = d. Exemple : 20 est-il le PGCD de 240 et 700? Page 2 sur 5

3 Solution : = 12 et 700 = 35 donc 20 est un diviseur commun à 240 et De plus PGCD(35 ; 12) = 1 donc 12 = PGCD(240 ; 700) Corollaire : Si d = PGCD(a ; b) où a et b deux entiers naturel, alors quel que soit l entier naturel non nul n, dn = PGCD(na ; nb) d divise a et b donc gn divise an et bn. d = PGCD(a ; b) donc il existe deux entier relatifs u et v tels que d = au + bv donc nd = (an)u + (bn)v cqfd. Exo : 60 à à à 81 p Exo : p 36 III. Théorème de Bezout. Théorème de Bezout : a et b deux entiers naturels non nuls. a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tel que au + bv = 1. Supposons qu il existe u et v deux entiers relatifs tels que au + bv = 1 Soit d = PGCD(a ; b). d divise a et b donc il divise toute combinaison linéaire de a et b donc il divise en particulier au + bv donc il divise 1 donc d = 1 donc a et b sont premiers entre eux. Supposons a et b premier entre eux. Exemple : montrer que a = 47 et v = 35 sont premier entre eux Méthode : On utilise l algorithme d Euclide et à chaque étape on écrit le reste sous forme au + bv Solution : 47 = a = b = a b 35 = b = (a b) = 2a + 3b 12 = a b = ( 2a + 3b ) = 3a 4b TD2 Transmath p46 : algo de Bezout + info Exo : 1 à p IV. Applications 1. Théorème de Gauss Théorème de Gauss : a, b et c sont trois entiers naturels non nuls tels que a / bc et a et b premier entre eux alors a / c. Dém : PGCD(a ; b ) = 1 donc il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1 (th de Bezout). Donc acu + bcv = c. Or a divise acu et a divise bc par hypothèse donc a divise toute combinaison linéaire de acu et bc donc a divise acu + bcv donc a divise c. Exemple : un nombre est divisible par 2 et 5. Comme 2 et 5 sont premier entre eux alors il est divisible par 10. Par contre 60 est divisible par 4 et 6 mais pas par 24. En effet 4 et 6 ne sont pas premier entre eux. Page 3 sur 5

4 Exo : 13 à p Fractions irréductibles Définition : Soient a et b deux entiers avec b non nul. Lorsque a et b sont premier entre eux, on dit alors que la fraction a est irréductible. b Th : Toute fraction est égale à une fraction irréductible. Dém : Soit d = PGCD(a ; b) alors il existe k et k premiers entre eux tels que a = kd Donc a b = kd k b = k fraction irréductible puisque k et k sont premiers entre eux. k et b = k d. Exo : à p 89 V. Equation ax + by = c Définition : soient a, b, c trois entiers, l équation ax + by = c, où x et y sont les inconnues de, est appelée équation diophantienne. Th : l équation ax + by = c admet une solution si et seulement si le PGCD(a ; b) divise c. Dém : Posons d = PGCD(a ; b) Supposons que (x 0 ; y 0 ) soit uen solution de l équation alors ax 0 + by 0 = c. Comme d divise a et b il divise toute combinaison linéaire de a et b donc il divise ax 0 + by 0 donc d divise c. Supposons que d divise c. Donc on sait que d divise a, b et c donc il existe k, k, k des entiers premiers entre eux tels que a = kd, b = k d et c = k d. On obtient alors kdx + k dy = k d ce qui équivaut à kx + k y = k car d 0 Or k et k sont premiers entre eux donc il existe u et v tels que ku + k v = 1 (th de Bezout) d où kuk + k vk = k donc on obtient une solution en prenant x 0 = uk et y 0 = vk. Exemples : Méthode de résolution d une équation diophantienne : a) Résoudre dans, l équation E : 12 x + 45 y = 3. b) Résoudre dans Z, l équation E : 12 x + 45 y = 7. Solutions 1. Déterminons le PGCD (12 ; 45) en utilisant l algorithme d Euclide, 45 = = = donc PGCD (45 ; 12) = 3 Déterminons une solution particulière de E. On a : 3 = 12 9 et 9 = donc 3 = 12 ( ) = donc ( 4 ; - 1 ) On a = 3 donc en soustrayant membre à membre on obtient 12 x + 45 y = 3 12 ( x 4 ) + 45 ( y + 1 ) = 0 4 (x 4 ) = 15 ( y 1 ) Page 4 sur 5

5 Si 4 divise 15( y 1), d après le théorème de Gauss puisque 4 et 15 sont premiers entre eux alors 4 divise y 1 donc il existe un entier relatif k tel que y 1 = 4k d où y = 1 4k alors 4 (x 4 ) = 15 4 k donc x = 15 k + 4. Réciproquement les couples (15k + 4 ; - 1 4k) vérifient E Donc S = { ( 15 k + 4 ; 1 4 k ) avec k un entier relatifs 2. Le PGCD (12 ; 45) est 3 or 3 ne divise pas 7, ce qui est faux, donc l équation n a pas de solutions. Exo 40 à 42 p91 Exo p 93 VI. Plus petit commun multiples. Th-Déf : Soient a et b deux entiers naturels non nuls. A et b admettent un plus petit commun multiple positif. On le note PPCM(a ; b). Th : a et b deux entiers naturels non nul, d = PGCD(a ; b) et m = PPCM(a ; b) alors : 1. dm = ab 2. tout multiple commun à a et b est un multiple de m. Dém : Th : a, b, m trios entiers naturels non nul. Dire que m = PPCM(a ; b) équivaut à dire que m est un multiple de a et de b tel que les quotients de m par a et b soient premiers entre eux. Exo : à à à à p 62 à 65 TD1 p80 Hyperbole : cryptage affine Page 5 sur 5