DEVELOPPER FACTORISER RESOUDRE UNE EQUATION PRODUIT

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1 DEVELOPPER FACTORISER RESOUDRE UNE EQUATION PRODUIT * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * DEVELOPPER EN UTILISANT LA DISTRIBUTIVITE Développer une expression, c est l écrire sous la forme d une somme de termes On utiliser la simple ou la double distributivité Pour trois nombres relatifs x, y et k : k ( x + y ) = k x + k y k ( x - y ) = k x - k y Pour quatre nombres relatifs a, b, c et d : ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd Exemples : C = ( x 6) ( x + 7) C = 1x² + x 18x 4 C = 1 x² + 17x 4 D = x (x + ) (x 8). D = x² ( x² 8x + x 16) D = x ² ( x² x 16) D = x ² x² + 6x + 16 D = x ² + 6x + 16 IDENTITES REMARQUABLES Carré d une somme : ( a + b ) = a + ab + b Carré d une différence : ( a - b ) = a - ab + b Produit de la somme et de la différence: ( a + b ) ( a b ) = a - b DEVELOPPER EN UTILISANT LES IDENTITES REMARQUABLES Exemple 1 : Développer l expression A = ( x A = ( x On identifie les nombres a et b : a = x et b =. A = ( x) + x + On développe l expression à l aide de l identité remarquable. A = 4 x² + 1x + 9 On calcule chacun des termes Exemple : Développer l expression B = ( x ) B = ( x ) On identifie les nombres a et b : a = x et b =. B = ( x) x + On développe l expression à l aide de l identité remarquable. B = 9 x² 0x + On calcule chacun des termes Exemple : Développer l expression C = ( x + 6)(x )

2 C = ( x + 6)(x ) On identifie les nombres a et b : a = x et b = 6. C = ( x) On développe l expression à l aide de l identité remarquable. C = x² On calcule chacun des termes FACTORISER UNE EXPRESSION EN UTILISANT LA DISTRIBUTIVITE Pour trois nombres relatifs x, y et k : k x + k y = k ( x + y ) ; k x k y = k ( x y ) k est appelé le facteur commun Exemple 1: Factoriser l'expression A = ( 4x )( x ( x ( x ) A = (4x ) (x (x (x ) On repère le facteur commun ( x + ) A = (x [(4x ) (x )] On factorise par ( x + ). On met des crochets A = (x [ 4x x + 4 ] On supprime les parenthèses du second facteur. A = (x (x + 1) On réduit l expression. Exemple : Factoriser l expression B = ( x 1) (x 8) ( x + 4) (x 8). B = (x 1) (x 8) (x + 4) (x 8) B = (x 8) [ (x 1) (x + 4) ] B = (x 8) [ x 1 x 4] B = (x 8) ( x ) FACTORISER UNE EXPRESSION EN UTILISANT LES IDENTITES REMARQUABLES Exemple 1 : Factoriser l expression A = x + 14x + 49 A = x + 14x + 49 On repère l identité remarquable a² + ab + b² = (a + b) ² A = x + x On identifie les nombres a et b : a = x et b = 7. A = ( x + 7) On écrit la forme factorisée de l expression. Exemple : Factoriser l expression B = x 10x + B = x 10x + On respère l identité remarquable a² - ab + b² = (a b) ² B = x x + On identifie les nombres a et b : a = x et b = B = ( x ) On écrit la forme factorisée de l expression. Exemple : Factoriser l expression C = x C = x On repère l identité remarquable a² - b² = (a b) (a + b) C = ( x) On identifie les nombres a et b : a = x et b = 6 C = ( x )(x + 6) On écrit la forme factorisée de l expression. Autre exemples : Factoriser : D = 6x + 4x + 4 et E = 9 ( x

3 D = 6x + 4x + 4 D = ( 6x) + 6x + D = ( 6x + ) E = 9 ( x E = ( x E = [ ( x ][ + ( x ] E = [ x ][ + x + ] E = x( x + 6) EQUATION PRODUIT Pour résoudre une équation-produit, on utilise la propriété suivante: Si l'un des facteurs est nul, alors le produit est nul: Si A B = 0, alors A = 0 ou B = 0. Exemple: Résoudre l'équation ( x (4x + 8) = 0. ( x (4x + 8) = 0 On identifie une équation produit. Si ( x (4x + 8) = 0 On utilise la propriété du cours alors x 1 = 0 ou 4x + 8 = 0 ( Attention à respecter la même rédaction: " le ou et le et ") x = 1 4x = - 8 On résout les deux équations du premier degré à une inconnue x = - Conclusion : Les solutions de l équation sont - et 1 On conclut en donnant les solutions. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Exercices d entraînement Exercice n 1 : Brevet Septembre 00 : Groupe Nord Exercice n On considère l expression F = ( x ( x) (x 1. Développer et réduire F.. Factoriser F.. Résoudre l équation ( x ( x) = Calculer la valeur numérique de F pour x =. Exercice n : Brevet Septembre 00 : Groupe Ouest Exercice n On donne l expression E = ( x 4) 4x. 1. Développer et réduire E.. Factoriser E.. a. Calculer E pour x = 0. b. Calculer E pour x = Résoudre l équation ( x 4)( x 4) = 0. Exercice n : Brevet Juin 00 : Groupe Est Exercice n On considère l expression E = 4x 9 + (x ( x ) 1. Développer et réduire E.. Factoriser 4x 9. En déduire la factorisation de l expression E.. a. Résoudre l équation ( x (x ) = 0 b. Cette équation a-t-elle une solution entière? c. Cette équation a-t-elle une solution décimale? Exercice n 4 : Brevet Juin 00 : Centres étrangers (Nice) Exercice n On considère l expression D, Dont une écriture est la suivante : D = ( x )

4 1. Développer et réduire l expression D.. Factoriser l expression D.. Calculer D pour x =. Donner le résultat sous la forme a + b. 4. Résoudre l équation D = 0. Exercice n : Brevet Septembre 006 : Groupe Est Exercices n et n Exercice n : Soit l expression D = ( x (x + ) (x 1. Développer et réduire l expression D.. Factoriser l expression D. Exercice n : Résoudre les deux équations suivantes: 1. ( x + )(x ) = 0. x + (x ) = 0 Exercice n 6 : Brevet Septembre 006 : Groupe Nord Exercice n On considère l expression E = (x ) (x ) 1. Développer et réduire E.. Factoriser E.. Résoudre l équation ( x )(x ) = Calculer E pour x =. ( On écrira le résultat sous la forme a b où a et b sont deux nombres entiers) CORRIGE Exercice n 1 : 1.. F = (x ( x) (x F = (x ( x) (x F = (10x x + 1 x) (4x F = x + 7x + 1 4x F = 6x x + 6 1x 9 + 1x + 9). Si ( x ( x) = 0 Alors x + = 0 ou x = 0 x = - ou - x = - x = - ou x = L équation ( x ( x) = 0 admet deux solutions : F = (x ( x) (x (x F = (x [( x) (x ] F = (x ( x x ) F = ( x ( x + ) et. 4. D après la question 1., pour x =, on a : F = = = = 6. Pour x =, F = - 6 Exercice n : 1.. E = (x 4) 4x E = (x 4) 4x E = (9x 4x + 16) 4x E = (x 4) (x) E = 9x 4x x E = x 4x + 16 E = [(x 4) x] [(x 4) + x E = (x 4 x)(x 4 + x). a. D après la question 1., pour x = 0, on a : E = ( x 4)(x 4) E = = = 16 Pour x = 0, E = 16. ]

5 b. D après la question 1., pour x = -1, on a : E = ( 4 ( + 16 = Pour x = -1, E = Si ( x 4)( x 4) = 0 Alors x 4 = 0 ou x - 4 = 0 x = 4 ou x = 4 x = 4 L équation ( x 4)( x 4) = 0 admet deux solutions : Exercice n : 1. E = 4x 9 + (x ( x ) E = 4x 9 + (x E = 4x 9 + x E = 6x x 1 4x + x ) 4x + x. a. Si ( x (x ) = 0 Alors x + = 0 ou x - = 0 x = - ou x = x = ou x = L équation ( x (x ) = 0 admet deux solutions : 4 et 4. 4x 9 = (x) = ( x )(x E = 4x E = (x )(x + (x ( x ) E = (x 9 + (x ( x ) [(x ) + ( x ) ] E = (x (x + x ) E = ( x (x ) et b. Cette équation n admet pas de solution entière. c. On a = 1, et 1, Cette équation a une solution décimale 1,. est un nombre rationnel non décimal. Exercice n 4 : 1. D = ( x ) D = x x + 9 D = x x 16. D = ( x ) D = ( x ) D = [( x ) ][( x ) + ] D = ( x )( x + ) D = ( x 8)( x + ). D après la question 1.,pour x = on a : D = ( ) 16 = 16 = Pour x =, on a D = Si D = ( x 8)( x + ) Alors x 8 = 0 ou x + = 0 x = 8 ou x = - L équation D = ( x 8)( x + ) admet deux solutions : - et 8 Exercice n : Exercice n : D = ( x (x + ) (x

6 1. D = [(x (x + )] [(x ] D = [6x² + 1x x ] [9x² x + 1] D = [6x² + 1x ] [9x² x + 1] D = 6x² + 1x 9x² + 6x 1 D = x² + 19x. D = (x (x + ) (x D = (x [(x + ) (x ] D = (x [x + x + 1] D = ( x ( x + 6) Exercice n : 1. Si ( x + )(x ) = 0. Alors x + = 0 ou x = 0 x + (x ) = 0 x = - x = x + 6x 10 = 0 x = 7x = x = L équation ( x + )(x ) = 0 admet deux solutions - et 7 Exercice n 6 : 1. E = [(x ) ] [(x )] E = [4x² 1x + 9] [6x 9] E = 4x² 1x + 9 x + 9 E = 4 x² 18x E = (x ) (x ) E = (x )[(x ) ] E = (x )(x ) E = ( x )(x ). Si ( x )(x ) = 0 Alors x = 0 ou x 6 = 0 x = x = 6 x = x = L équation ( x )(x ) = 0 admet deux solutions et 4. En prenant l expression développée de E, on a pour x = : E = 4 ² = =