BONJOUR et BIENVENUE

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1 BONJOUR et BIENENUE Intervenants : Eric DAALLE, Dr Ingénieur civil EPFL Chef du Service de l électricité de la ille de Lausanne avec les assistants du LSMS 1

2 Semaines N Jour Mardi Chapitres 7.10 et suivants Titres Propriétés mécaniques des matériaux Traction plastique Jeudi 15,4 Flexion plastique plane Flexion plastique plane Programme des semaines 1 à 4 Mardi Torsion uniforme Jeudi Torsion uniforme Contraintes dues à l'effort tranchant 3 4 Mardi Contraintes dues à l'effort tranchant Jeudi Contraintes dues à l'effort tranchant MS (3) Formes intégrales d'équilibre et cinématique - Travaux virtuels Mardi Énergie (forces et déformations associées) Déformation des poutres soumises à la flexion simple Jeudi 10.3 Déformation des poutres soumises à la flexion simple

3 9. Contraintes dues à l effort tranchant 3

4 Présentation du cours T A B L E D E S M A T I E R E S N semaines Chapitres (vol. ) Titres Traction plastique 15.4 Flexion plastique plane Flexion plastique plane 7.10 et compléments Propriétés mécaniques des matériaux Torsion uniforme Torsion uniforme Contraintes dues à l'effort tranchant Contraintes dues à l'effort tranchant Contraintes dues à l'effort tranchant Déformée des poutres soumises à flexion simple 7 MS (vol. 3) Formes intégrales d'équilibre et cinématique - Travaux virtuels Energie Déformée des poutres soumises à flexion simple 11.1 Sollicitations composées et 1.7 Principes des travaux virtuels et calcul des déplacements (1) 4

5 CALCUL des CONTRAINTES dans les POUTRES N M T CONTRAINTES σ = N A? σ = M I τ = T r Ip T J t T Ω t CINEMA - TIQUE BERNOULLI Sections planes? BERNOULLI -NAIER Sections planes Les sections GAUCHISSENT théorie exacte de Saint - enant LIAISON! ( toujours!) 5

6 Théorie élémentaire Issu des équations d équilibre on sait en flexion simple que : x B A dx γ D C dv τ dv γ = = dx = cste dm dx γ seuls ( losange ) τ uniformes τ τ = γ = = A G GA ( Hooke ) Section CD glisse en restant plane! théorie pas admissible!!! Problème de réciprocité des τ Libre de toute force! (comme en TORSION! ) 6

7 On constate donc : Théorie relative à l effort rasant ( Equilibre ) pas de loi simple pour représenter la déformation : les sections gauchissent (comme en torsion). Sachant que = - dm /d x on peut procéder par équilibre si on admet a priori connue la répartition des σ de flexion (pure) on prend σ = - M / I (Bernoulli & Hooke) on ne fait aucune hpothèse sur la répartition des ε ij on vérifie après coup que ces hpothèses sont acceptables Hpothèses : application de la loi de Hooke poutre admise prismatique (h pas lentement variable) considère que les axes principaux 7

8 Théorie relative à l effort rasant ( Equilibre ) Par l équilibre longitudinal, on fait apparaître l effort rasant M H = σ da = da I A1 A1 M H = S où S est le moment statique de A I M + dm H + dh = σ da = S > H I A 1 dm ( ) S dr = dh = S = dx I I dr est appelé l effort rasant il agit dans la coupe S dr opposé à dh et dσ Par rapport à l axe n-n 1 8

9 dr Poutres à parois minces Contrainte τ due à l effort rasant ~ uniformes sur l épaisseur Contrainte τ due à l effort tranchant Hp.: épaisseur t mince τ = (- ) S It dr ( ) S τ = et dr = dx t dx I le flux de cisaillement f dr ( ) S N f = τ t = = dx I m 9

10 Poutres à parois minces et à section ouverte dr = ( ) S I dx τ = (- ) S It (-) / I est constant S / t est variable S s ()() s t s ds 0 10

11 Poutres à section en U S s t h En B: τ = et S = s t (h/) τ = = I t I t s h I linéaire En D : τ = τ max I t = S w w h 8I et + S w bth It = w b t (h/) + t w h ( parabolique ) h' où h' = 1 ( h / ) + 11

12 Poutres âme-semelles Laminés en acier t w τ = max I S t w ( web âme ) table! τ sans signe ( petites flèches indiquant le sens ) et puis superposition τ paroi négligé et négligeable si t pet t τ constant à travers t flux f = τ t non constant dans sectio équilibre des flux! 1

13 Poutres âme-semelles Faire l exemple suivant : 13

14 Poutres composée de deux matériaux (admis parois minces) Sachant que : H = M I S σ a H = H + H = σ da = σ d A + da n a b a A1 A1a A1b M 1 M H = ( S + S ) = S Ia n Ia a b a Moment statique équivalent τ a 1 Attention! n E = b Ea 1 et non m f (- ) Sa f (- ) S = = τb = = ta It a a tb It a b a 14

15 Poutres tubulaires à parois minces Par smétrie ( géométrie et charges ) : Application : τ = (- ) S It La répartition des contraintes tangentielles est un problème hperstatique 15

16 Section rectangulaire τ (- ) S 3 = max où f( h/ b) It τ = α A α = h/b α Erreur 1,08 3% 1 1,105 11% 0,5 1,33 33% 3% 11% 33% 16

17 Hpothèse : Poutre section en U en flexion simple F (voir 9.5.) F w tb h = 4 I = Centre de cisaillement ou centre de torsion C T Moment réduit en G On cherche où appliquer pour éviter la torsion : où T = 0 Le principe d équivalence permet d écrire : en translation : en rotation autour de G : = τ da = F = x w A = τ da = F - F = x A 0 T = τ da + τ da T = F d F h donc x x w A T T = Fh Fw d tb h c C T est le centre de cisaillement ou de torsion (les centres coïncident selon Th. de réciprocité de Betti) = = = + d 4 I 0 17

18 Centre de cisaillement ou centre de torsion Résultantes des flux Situation Sens des flux et τ max des semelles F 1 F t t τ = S 1 1 It τ 1 τ = S It H G h H G h τ G F t τ F 1 t b b τ 1 H h Avec S1 = bt et S = bt, H 1 τ = = = F1 = 1bt S1bt bt b b th I t I I h 1 F = τ bt = Sbt = bt b = b th It I I 4 18

19 Centre de cisaillement ou centre de torsion Résultantes des flux Sstème équivalent Equivalence en rotation F 1 F H G h T G T 1 T G c C T F F 1 H h Avec S1 = bt et S = bt, H 1 F 1 = τ1bt = S1bt = bt bt = b th It It I h 1 F = τ bt = Sbt = bt bt = b th It It I 4 1 T= T1 T = F1H Fh = bt h I 4 ( H ) Equivalence en rotation : c = T = T T c T T1 T 1 = = = bt( H h ) 4I 1 et Si h< H, c > 0 et C T à droite de G Si h= H, c = 0 et C T confondu avec G Si h> H, c < 0 et C T à gauche de G 19

20 Centre de cisaillement ou centre de torsion 1. SECTION DOUBLEMENT SYMETRIQUE G C T 3. PAROIS PLANES MINCES CONCOURANTES C T C C T T au point de concours des lignes moennes. SECTION AEC UN AXE DE SYMETRIE c C T G F i d i G 4. SECTION QUELCONQUE ( parois minces ) c C T G c 1. Axes principaux (,). Plan x ( ) c 3. Plan x ( ) c 0 a) C sur axe de smétrie T b) c = F ( ) d c i i F i ( ) d = i Equivalence en rotation autour de G N'importe quel autre point peut convenir (BIEN CHOISIR!) c > 0 C du coté choisi, c < 0 C du coté opposé T T

21 Centre de cisaillement ou centre de torsion 1

22 Centre de cisaillement ou centre de torsion iaduc de Millau

23 Résistance σx τ σ = τ 0 x Tresca, von Mises ( σ + 3τ ) Etat plan de contrainte bidimensionnel, Mohr-Coulomb... peut fréquemment être déterminant pour le dimensionnement Si nécessaire : âme (s) // Accroître : - ép. âme(s) - hauteur âme(s) - nombre des âmes soit : matière // 3