BREVET BLANC de MATHEMATIQUES Janvier durée : 2 heures

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1 BREVET BLANC de MATHEMATIQUES Janvier durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. L orthographe, le soin et les notations mathématiques sont notés sur 4 points. Pour chaque question, si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de recherche : elle sera prise en compte dans la notation. Exercice 1 (4 points) 1) Résoudre l inéquation : 3x 6 < 9 et représenter graphiquement les solutions. 2) Montrer que les deux équations suivantes ont la même solution : Equation 1 Equation 2 3) Recopier et compléter l équation suivante (en remplaçant chaque pointillé par un nombre) de telle manière que 5 en soit une solution : Exercice 2 (5 points) Mélanie et Damien ont proposé les deux programmes de calcul suivants : Programme de Mélanie Je choisis un nombre. Je le multiplie par 6. J ajoute 9 au résultat. J écris le résultat final. Programme de Damien Je choisis un nombre. Je lui ajoute 3. Je calcule le carré du nombre obtenu. Je soustrais au résultat le carré du nombre de départ. J écris le résultat final 1) On choisit au départ le nombre 5. Lui appliquer les deux programmes de calcul puis comparer les résultats. 2) a) On choisit au départ le nombre x et on lui applique le programme de calcul de Mélanie. Comment peut s écrire le résultat final en fonction de x? b) Reprendre la question 2)a) pour le programme de calcul de Damien. 3) a) Développer et réduire l expression (x+3)² x². b) Que peut-on en déduire pour les deux programmes de calcul proposés? 1

2 Exercice 3 (4 points) Un plaquiste souhaite recouvrir un mur rectangulaire avec des plaques isolantes. Ce mur mesure 270 cm de haut et 330 cm de large. Les plaques isolantes sont de forme carrée et il ne souhaite pas faire de découpe. 1) Peut-il choisir des plaques de 27 cm de côté? Pourquoi? 2) Il souhaite utiliser des plaques ayant la plus grande dimension possible. a) Déterminer le PGCD de 270 et 330 en justifiant le résultat. b) En déduire la dimension des plaques choisies ainsi que le nombre de plaques nécessaires. Exercice 4 (5 points) Dans cet exercice, quatre affirmations sont complétées chacune par trois propositions dont une seule est juste. Il s agit de déterminer, pour chaque affirmation, la proposition correcte. (on ne demande pas de justifier les réponses) Sur la copie, on reproduira et on complètera le tableau suivant : Affirmation n Proposition juste Propositions n a b c Soit ABC un triangle tel que : AC = 5 et BC = 4. Le triangle ABC est rectangle en B si Si cos xoy = 0,25 alors, à 0,1 près, xoy vaut environ AB = 41 AB = 41 AB = 3 14,5 75, Pour calculer directement BC, on utilise : cos 31 sin 31 tan Le centre du cercle circonscrit d un triangle est le point de concours des médianes hauteurs médiatrices 5. La valeur exacte de BC est : 5 sin 50 5 x sin 50 sin

3 Exercice 5 (5 points) O h A O 1 B Un menuisier doit tailler des boules en bois de 10 cm de diamètre pour les disposer sur une rampe d escalier. Il confectionne d abord des cubes de 10 cm d arête dans lesquels il taille chaque boule. 1) Dans chaque cube, déterminer le volume (au cm 3 prés) de bois perdu, une fois la boule taillée. 2) Il découpe ensuite la boule de centre O suivant un plan pour la coller sur son emplacement. a) Quelle est la nature de la section obtenue? Pourquoi? b) Sachant que AB = 4 cm, calculer à quelle distance du centre de la boule (h sur la figure) il doit réaliser cette découpe. Arrondir h au millimètre près. (Rappels : le volume d un cube : V = c 3 ; le volume d une boule : V = 4 3 πr3 ) Exercice 6 (5 points) A la pointe de Grave, en Gironde, on peut observer les effets de la marée grâce à un marégramme. Voici la courbe obtenue le 16 octobre ) Indiquer les heures et les hauteurs des marées hautes et des marées basses. 2) Quelle était la hauteur d eau à 10h? à 16h? 3) On appelle m la fonction qui, à un horaire en heures, fait correspondre la hauteur d eau en mètres à cet horaire. a) Donner l image de 4 par la fonction m. Interpréter le résultat. b) Quels sont les antécédents de 3 par m? Interpréter le résultat. (On donnera des valeurs approchées si nécessaire) 3

4 Exercice 7 (4 points) La partie supérieure d un verre est un cône de révolution de sommet S, de hauteur [OS] avec OS = 9 cm et de rayon [OA] avec OA = 4 cm. Combien de fois peut-on remplir entièrement le verre avec un litre d eau? Justifier. (Rappel : le volume d un cône : V = Aire de la base x Hauteur 3 ) Exercice 8 (4 points) En se retournant lors d une marche arrière, le conducteur d une camionnette voit le sol à 6 mètres derrière son camion. Sur le schéma, la zone grisée correspond à ce que le conducteur ne voit pas lorsqu il regarde derrière. 1) Calculer DC. 2) En déduire que ED = 1,60 m. 3) Une fillette mesure 1,10 m. Elle passe à 1,40 m derrière la camionnette. Le conducteur peut-il la voir? Expliquer. 4

5 CORRECTION DU BREVET BLANC n 1 Exercice 1 1) Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à ) Equation 1 : Equation 2 : Les deux équations ont bien la même solution. 3) Exemple de solution : Exercice 2 Mélanie et Damien ont proposé les deux programmes de calcul suivants : Programme de Mélanie Je choisis un nombre. Je le multiplie par 6. J ajoute 9 au résultat. J écris le résultat final. Programme de Damien Je choisis un nombre. Je lui ajoute 3. Je calcule le carré du nombre obtenu. Je soustrais au résultat le carré du nombre de départ. J écris le résultat final 1) Mélanie : Damien : Avec 5 comme nombre de départ, les deux programmes donnent 39 comme résultat. 2) a) Mélanie : b) Damien : 3) a) b) On peut en déduire que, pour un même nombre de départ, les deux programmes donne le même résultat. 5

6 Exercice 3 Un plaquiste souhaite recouvrir un mur rectangulaire avec des plaques isolantes. Ce mur mesure 270 cm de haut et 330 cm de large. Les plaques isolantes sont de forme carrée et il ne souhaite pas faire de découpe. 1) Il ne peut pas choisir des plaques de 27 cm de côté car 330 n est pas divisible par 27 ( ,22) donc il serait obligé de faire une découpe. 2) a) PGCD (330 ; 270) = PGCD (270 ; 60) = PGCD (60 ; 30) = 30 b) Il devra choisir des plaques carrées de 30 cm de côté. Il lui en faudra 9 en hauteur (270 30) et 11 en largeur (330 30) soit 99 plaques en tout (9 11). Exercice 4 Affirmation n Proposition juste c b c c a Exercice 5 1) Le rayon de la boule est égal à. O Le volume de bois perdu est : V = V = V = V A h O 1 B 2) a) La section obtenue est un disque, car la section d une boule par un plan est un disque (leçon). b) Dans le triangle OO 1 B rectangle en O 1 on connait : OB = 5 cm (rayon de la boule) et O 1 B = D après le théorème de Pythagore : Donc h = h 6

7 Exercice 6 1) Marées hautes : à 8h (hauteur : 5m) et 20h (hauteur : 4,9 m) Marées basses : à 2h (hauteur : 1,5 m) et 14h (hauteur : 1,5 m) 2) La hauteur d eau à 10h était 4 m et à 16h elle était de 2,4 m environ. 3) a) L image de 4 par la fonction m est 3. m(4) = 3 cela signifie qu à 4h la hauteur de l eau était 3 m b) Les antécédents de 3 par m sont 4, 11,2, 16,8 et 24 (environ) Cela signifie que la hauteur de l eau était 3 mètres à 4h, un peu après 11h, un peu avant 17h et à 24h. Exercice 7 Volume du verre : V = V = 4 cm 9 cm V = cm 3 De plus 1 L = 1 dm 3 = cm 3 Pour savoir combien de fois on peut remplir le verre on calcule : On peut donc remplir ce verre entièrement 6 fois 7

8 Exercice 8 1) Calcul de CD Les droites (AB) et (ED) sont sécantes en C. Les droites (AE) et (BD) sont parallèles. donc d après le théorème de Thalès : CD CB BD CE CA AE CD 1,1 6 1,5 6 1,1 CD 4,4m 1,5 2) Calcul de ED ED = EC CD ED = 6 4,4 ED = 1,6 m 3) La petite fille passe à 1,40 m du camion, elle se trouve donc entre les points E et D (puisque ED = 1,60 m). Or à cet endroit, elle se trouve dans la zone grisée puisque sa taille est 1,10 m et que BD = 1,10 m. Donc le conducteur ne la voit pas. 8