Chapitre 2 Les Suites

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1 Chapitre 2 Les Suites A) Généralités 1) Définitions Une suite (ou suite de nombres) est un ensemble ordonné de nombres réels construit sur une règle précise et non aléatoire. On note généralement (u n ) la suite et u n son terme général, n représentant un entier naturel. On commence d'habitude par u 0, mais parfois aussi par u 1 : attention, certaines formules ne seront pas les mêmes dans les deux cas. En effet, u n est le n ième terme si on commence par u 1, mais le n+1 ième si on commence par u 0, 2) Exemples Trouver le terme suivant et la règle de formation des suites suivantes : a) 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; Ici, u 0 = 1 ; u 1 = 2 ; etc... b) 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; c) 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; d) 1 ; 11 ; 21 ; 1211 ; ; ; e) 7 ; 5 ; 3 ; 1 ; -1 ; -3 ; f) 24 ; 12 ; 6 ; 3 ; 1,5 ; 0,75 ; g) 5 ; -10 ; 20 ; -40 ; 80 h) 3 ; 0,5 ; -2 ; -4,5 ;... 3) Suites particulières Il y a deux types de suites qui sont très courantes et assez simples pour obéir à des formules intéressantes. Ce sont les suites arithmétiques et les suites géométriques. Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours la même constante pour trouver le nombre suivant. Dans une suite géométrique, on multiplie toujours par la même constante pour trouver le nombre suivant. Reprendre les exemples du A2) et trouver les suites arithmétiques et les suites géométriques. Page 1

2 B) Les suites arithmétiques 1) Définitions Une suite est dite arithmétique lorsque chaque terme se calcule à partir du précédent en ajoutant à celui-ci une constante, nommée raison de la suite. Cette définition correspond à la formule suivante : u n 1 =u n r Une suite arithmétique est entièrement définie par son premier terme u 0 et sa raison r. En effet les connaître permet de construire tous les termes de la suite. Elle est aussi totalement définie si on connaît deux termes ou un terme quelconque et la raison. 2) Exemples a) Retrouver dans les exemples du 2) les valeurs du premier terme et de la raison des suites arithmétiques. b) Trouver le premier terme u 0 et la raison r des suites arithmétiques suivantes : i) u 2 = 7 et u 3 = 13 ii) u 7 = 19 et r = -3 iii) u 15 = 215 et u 18 = 245 iv) u 9 = et u 13 = v) u 3 = 15 et u 18 = 45 3) Formule du n ième terme On a u 1 = u 0 + r, puis u 2 = u 1 + r = u 0 +r + r = u 0 + 2r, puis u 3 = u 2 + r = u 0 + 2r + r = u 0 + 3r etc... En arrivant au terme u n, on a donc : 4) Applications u n =u 0 n r Calculer u 17 dans les exemples du A2) et dans ceux du B2). 5) Relation entre deux termes En partant de u n = u 0 + n r et de u p = u 0 + p r et en faisant la soustraction terme à terme de ces deux égalité, on trouve u n u p = u 0 + n r (u 0 + p r) = u 0 u 0 + n r p r = n r p r = (n p) r, soit : u n =u p n p r Avec cette relation on peut aussi retrouver la façon de calculer r lorsqu'on connaît u n et u p : 6) Exemples d'application Trouver u 27 dans les cas suivants : a) u 6 = 227 et r = -1,5 r= u n u p n p Page 2

3 b) u 7 = 408 et u 31 = 456 c) u 127 = et r = 3 d) u 207 = et u 107 = ) Représentation graphique Si nous voulons représenter sur un graphique la séquence des termes d'une suite arithmétique, on mettra en abscisse l'indice du terme, c'est à dire le n de u n, et en ordonnée la valeur de u n. Si on appelle comme d'habitude x l'abscisse et y l'ordonnée, on a donc y = u x = u 0 + x r, ou encore y = r x + u 0. On reconnaît l'équation d'une droite de coefficient directeur r et d'ordonnée à l'origine u 0. La représentation graphique d'une suite arithmétique est donc la droite d'équation y = r x + u 0. 8) Exemples Voici le graphe des suites A2a) et A2e). Faire celui des autres exemples déjà étudiés. Exercices : 34 à 40 page 65 C) Les suites géométriques 1) Définitions Une suite est dite géométrique lorsque chaque terme se calcule à partir du précédent en multipliant celuici par une constante, nommée raison de la suite. Cette définition correspond à la formule suivante : Page 3

4 u n 1 =u n q Une suite géométrique est entièrement définie par son premier terme u 0 et sa raison q. En effet les connaître permet de construire tous les termes de la suite. Elle est aussi totalement définie si on connaît deux termes de parité différente (à cause du signe de la raison) ou un terme quelconque et la raison. 2) Exemples a) Retrouver dans les exemples du 2) les valeurs du premier terme et de la raison des suites géométriques. b) Trouver le premier terme u 0 et la raison q des suites géométriques suivantes : i) u 2 = 7 et u 3 = 14 ii) u 7 = 19 et q = -1 iii) u 1 = 15 et u 3 = 135 (!) iv) u 9 = 800 et u 12 = v) u 3 = 125 et u 5 = 25 (!) 3) Formule du n ième terme On a u 1 = u 0 x q, puis u 2 = u 1 x q = u 0 x q x q = u 0 x q², puis u 3 = u 2 x q = u 0 x q² x q = u 0 x q 3 etc... En arrivant au terme u n, on a donc : 4) Applications u n =u 0 q n Calculer u 6 dans les exemples du A2) et dans ceux du C2). 5) Relation entre deux termes En partant de u n = u 0 x r n et de u p = u 0 x r p et en divisant terme à terme ces deux égalité, on trouve : u n u p = u 0 qn u 0 q p =q n q p =qn p, ce qui nous donne la formule : u n =u p q n p Avec cette relation on peut aussi retrouver la façon de calculer r lorsqu'on connaît u n et u p : q= n p u n p u 6) Exemples d'application Trouver u 5 dans les cas suivants : a) u 6 = 227 et q = -1,5 b) u 7 = 405 et u 9 = 45 c) u 127 = et q = 3 d) u 20 = et u 23 = Page 4

5 7) Représentation graphique Si nous voulons représenter sur un graphique la séquence des termes d'une suite géométrique, on mettra là encore en abscisse l'indice du terme, c'est à dire le n de u n, et en ordonnée la valeur de u n. Si on appelle comme d'habitude x l'abscisse et y l'ordonnée, on a donc y = u x = u 0 x q x, ou encore y = u 0 q x. Cette fonction s'appelle une fonction exponentielle (car x est en position d'exposant) et sera étudiée en Terminale. On peut déjà remarquer sur des exemples qu'elle a une croissance plus rapide que la fonction carrée y = a x² (et aussi que toute fonction puissance y = a x n ). 8) Exemples a) Voici le graphe des suites A2b) et A2f). Faire celui des autres exemples déjà étudiés. a) Intérêts composés ou intérêts simples Sophie place F sur un compte à intérêts composés au taux de 3% par an. On appellera u n le solde de son compte à la fin de la n ième année. i) Quel montant aura-t-elle sur son compte au bout d'un an (u 1 )? ii) Même question au bout de 2 ans, 5 ans et 10 ans. iii) Quel montant aurait-elle eu au bout de 10 ans si les intérêts n'étaient pas composés? Note : on parle d'intérêts composés lorsque les intérêts versés en fin d'année viennent sur le compte et y restent pour porter eux aussi intérêt l'année suivante. Page 5

6 b) Salaire indexé Cours de Première ST2S Hinano se voit proposer au moment de son embauche un salaire mensuel de F et le choix entre deux styles d'augmentation : une augmentation de F du salaire mensuel tous les ans, ou une augmentation de 4,5% tous les ans. i) À quel pourcentage correspond une augmentation de F la première année? ii) Quelle augmentation aura Hinano à la fin de la première année si elle choisit les 4,5%? iii) Au bout de dix ans, quel sera son salaire dans les deux cas? c) Exercices 41 et 44 page 60, 46 et 48 page 61, 54 page 62, 56 et 57 page 63, 59 page 64, 78 page 68 Page 6