Exercices : Étude de fonctions

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1 Exercices : Étude de fonctions Exercice : Calculer les limites suivantes :. lim + lnx+x x+e x.. lim 3. lim x4 e x +3x x x 4. lim 5. lim 6. lim e x (lnx) (e 3 ) x e 3x +x ( (lnx) 3 +x ) x 7. lim x e x +e x +x e x x ln(x ) 8. lim x x 9. lim x +x +x+. x Exercice : Étudier les branches infinies des fonctions suivantes :. a(x) = x +xlnx x+ en +.. b(x) = xex + e x + en ± xlnx+lnx 3. c(x) = en +. x+ Exercice 3: Étudier la continuité des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition. x+lnx. f(x) = x lnx si x > 0 4+x 4 x. g(x) = x si x = 0 si x [ 4;4]\{0} si x = 0 Exercice 4: Déterminer si les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité en x 0 (penser à bien déterminer le domaine de définition pour commencer) et le cas échéant, préciser la valeur en x 0 qui rend la fonction continue. a(x) = x x en x 0 = x x b(x) = x+ x 3 x x+ en x 0 = c(x) = en x 0 =. x+7 3 Exercice 5: Soit f : [0;] [0;] continue. Montrer qu il existe x 0 [0;] tel que f(x 0 ) = x 0. Exercice 6: Soit f la fonction définie sur R par f(x) = ex e x e x +. Montrer que f réalise une bijection de R sur une intervalle J à expliciter. Exercice 7: Montrer que l équation 3 x = e x possède une unique solution α dans R. Montrer que α. (On donne : e,78 et e/,648.) Exercice 8: On considère la fonction f définie sur R + par f(x) = x+lnx.. Montrer que f réalise une bijection de R + sur un intervalle que l on précisera.. Justifier que l équation x+lnx = 005 admet une unique solution α sur ]0;+ [ et que 997 α 998. (On donne : ln997 ln998 7,6.) Analyse : Chapitre Exercices Page Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

2 Exercice 9: Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition. x e x xlnx si x 0 si x ]0;+ [\{}. f(x) = e x. h(x) = x 0 si x = 0 0 si x = e x (Rappel : lim = ) x Exercice 0: Soit la fonction f définie sur R par f(x) =. Montrer que f est continue sur R. Montrer que f est dérivable sur R. { xln(x ) x si x 0 0 si x = Étudier la dérivabilité de f en 0 et en donner une interprétation graphique. Exercice : On considère la fonction f définie par : f(x) =. a) Montrer que f est continue sur R +. { (x+)e /x si x > 0 0 si x = 0 b) Montrer que f est dérivable (à droite) en 0 et que f d (0) = 0.. a) Justifier que f est dérivable sur R + et calculer f (x) pour tout x de R +. b) Déterminer la limite de f en +. c) Dresser le tableau de variations de f. Exercice :. Soit a un réel et soit f la fonction définie sur R\{ a} par f(x) = a+x. Montrer que pour tout n N, f est de classe C n sur R\{ a} et f (n) (x) = ( )n n! (a+x) n+.. Soit la fonction g définie sur R\{ } par g(x) = 3x+ x 4. Montrer que l on peut trouver deux réels a et b tels que x R\{,} g(x) = a x + b x+ et en déduire la dérivée n-ième de g pour tout entier n. Exercice 3: Montrer que les fonctions suivantes sont de classe C sur leur ensemble de définition et expliciter leurs dérivées.. f(x) = { +x si x 0 e x si x < 0. g(x) = ex {xe 3 x si x 0 e x + 3. h(x) = 0 si x = 0 Analyse : Chapitre Exercices Page Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

3 Exercice 4: On considère la fonction f définie sur R + par f(x) = x +3x lnx.. Dresser le tableau de variations de f.. Étudier la convexité de f et déterminer les coordonnées du ou des points d inflexion. 3. Déterminer les coordonnées du ou des points de la courbe représentative de f, C f présentant une tangente horizontale. 4. Tracer l allure de C f. (On donne 0,7 et ln 0,7) Exercice 5: Soit la fonction f définie sur ] ;+ [ par f(x) = +x 3.. Montrer que f est bijective. On note f sa bijection réciproque. Préciser le domaine de définition de f. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse. 3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse Quel est l ensemble de dérivabilité de f 5. La courbe représentative de f admet-elle une tangente au point d abscisse? 6. Dresser les tableaux de variation de f et f. 7. Tracer sur le même graphique l allure des courbes représentatives de f et f Analyse : Chapitre Exercices Page 3 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

4 Exercice : Correction. Par somme de limites lim lnx + x = et lim x + e x = donc par quotient de limites + + lnx+x lim =. + x+e x. D après la règle sur les limites des fractions rationnelles on a lim x +3x x x x = Effectuons le changement de variable X = x. On a alors x 4 e x = X 8 e X. Or lorsque x + on a X + et d après les croissances comparées lim X + X8 e X = 0. Donc lim x4 e x = 0 4. e x (lnx) 3 = x (lnx) 3 ex x. D après les croissances comparées lim Donc par produit lim e x (lnx) 3 = e x e 3x +x = e x ( e x +3x +x e x ). lim x = + et lim (lnx) 3 e x x = +. Par composition de limite lim +3x = 0 et par croissances comparées lim e x x e x = 0. Donc ( e x +3x +x e x) = et par produit lim e 3x +x ) = +. (ex 6. On a lim (lnx)3 = +, lim x = + et lim ( (lnx) 3 +x ) = +. x 7. Donc par somme, lim x = 0. e x +e x +x = x(ex /x+e x /x+) = ex /x+e x /x+. e x x x(e x /x ) e x /x Grâce aux croissances comparée lim x ex /x+e x /x+ = et lim x ex /x =. Donc lim x e x +e x +x e x x =. 8. Si on pose f(x) = ln(x ), on remarque que ln(x ) = f(x) f(). x x Comme f est la composée de la fonction ln et d un polynôme, f est dérivable en donc : f(x) f() lim = f (). Or f (x) = 4x x x x donc f () = 4. ln(x ) On a donc lim = 4. x x 9. ( x +x +(x+) )( x +x (x+) ) x +x +x+ = x +x (x+) = x +x (x+) x +x (x+) = x +x (x+) Analyse : Chapitre Exercices Page 4 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

5 Or lim x +x (x+) = + donc lim x +x +x+ = 0. x x Exercice :. lim a(x) lnx x (+(lnx)/x) x(+/x) x+(lnx)/x +/x = + car d après les croissances comparées lim x = 0. a(x) lim x +(lnx)/x = +/x xlnx x xlnx( /lnx) lim a(x) x +x x(/x+) lnx /lnx +/x = +. Donc la courbe représentative de a admet une branche parabolique de direction la droite d équation y = x. xe x (+e x /x) /x. lim b(x) e x (+e x ) x+e x = + et lim b(x) = car d après les +e x x croissances comparées lim x xex = 0. b(x) lim x +e x /x = +e x x lim b(x) x e x + x e /x = 0, grâce aux croissances comparées. x +/ex Donc la courbe représentative de b admet en + asymptote d équation y = x et en une asymptote d équation y =. 3. lim c(x) lim c(x) x xlnx(+/x) x +/x xlnx +/x +/x = +. lnx +/x = 0 car d après les croissances comparées lim x +/x lnx x = 0. Donc la courbe représentative de c admet une branche parabolique de direction l axe (Ox). Exercice 3:. Il faut ici commencer par vérifier que f est bien définie c est-à-dire qu il nous faut vérifier que x lnx ne s annule pas sur ]0;+ [. Soit h(x) = x lnx. h est dérivable sur R + et h (x) = x x = x. x Donc h est décroissante sur ]0;] et croissante sur [;+ [. h atteint donc son minimum en et comme h() = on a bien h(x) > 0 pour tout x > 0. Les fonctions x x, x x et x lnx sont continues sur ]0;+ [ donc les fonctions x x+lnx et x x lnx sont continues sur ]0;+ [. Comme de plus x lnx ne s annule pas sur cet intervalle, f est continue par quotient de fonctions continues sur ]0; + [. En 0 on a f(0) =. lnx(x/lnx+) De plus lim f(x) + + lnx(x /lnx ) x/lnx+ + x /lnx = On a donc lim f(x) = f(0) ce qui signifie que f est aussi continue en 0. + f est donc continue sur R +.. g est définie sur [ 4,4]. Les fonctions x x, x 4+x et x 4 x sont continues sur [ 4;4]\{0} donc les fonctions x x et x 4+x 4 x sont continues sur [ 4;4]\{0}. Comme de plus x ne s annule pas sur cet ensemble, g est continue par quotient de fonctions continues sur [ 4;4]\{0}. Analyse : Chapitre Exercices Page 5 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

6 En 0 on a g(0) =. De plus lim g(x) lim 4+x+ 4 x = ( 4+x 4 x)( 4+x+ 4 x) x( 4+x+ 4 x) On a donc lim g(x) = g(0) ce qui signifie que g est aussi continue en 0. g est donc continue sur [ 4;4]. Exercice 4: D a = R\ { } De plus lim x x0 a(x) x / et on voit facilement que a est continue sur D a. (x+)(x ) x+ x = 3 x / Donc a est prolongeable par continuité en en posant a( /) = 3. x x( 4+x+ 4 x) = Grâce à une division euclidienne on a x 3 x x+ = (x )(x ). Donc on a D a = R\{ ;} et b est bien continue sur D b. x De plus lim b(x) x x0 x (x )(x ) x x = ± Donc b n est pas prolongeable par continuité en. On a D c = [0;[ ];+ [ et c est bien continue sur D c. De plus : ( x )( x+)( x+7+3) lim c(x) x x 0 x ( x+7 3)( x+7+3)( x+) (x 4)( x+7+3) x (x )( x+) ( x+7+3) = 3 x x+ Donc c est prolongeable par continuité en en posant c() = 3. Exercice 5: On pose g(x) = f(x) x. On cherche donc à savoir s il existe x 0 tel que g(x 0 ) = 0. Par différence de fonctions continues, g est continue sur [0; ]. De plus g(0) = f(0) 0 et g() = f() 0 car on sait que f() [0;]. Donc d après le théorème des valeurs intermédiaires il existe bien x 0 [0;] tel que g(x 0 ) = 0. Il existe bien x 0 [0;] tels que f(x 0 ) = x 0. Exercice 6: Les fonctions x e x e x et x e x + sont continues sur R et comme e x + ne s annule pas sur R (exponentielle positive) par quotient de fonctions continues, f est continue sur R. f est aussi dérivable sur R et f (x) = 4+ex +e x (e x +) > 0. Donc f est strictement croissante sur R. f réalise donc une bijection de R sur f(r) =]lim f;lim + f[. De plus lim f = et lim f = +. + f réalise une bijection de R sur ] [ ;+. Analyse : Chapitre Exercices Page 6 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

7 Exercice 7: On considère la fonction définie sur R par f(x) = e x +x 3. f est continue sur R comme somme de fonctions continues sur R. Les fonctions x e x et x x 3 sont strictement croissantes sur R donc f est strictement croissante sur R. f réalise donc une bijection de R sur f(r) =]lim f;lim f[=] ;+ [. + Comme 0 f(r), 0 admet un unique antécédent α par f. Cela signifie qu il existe un unique réel α tel que f(x) = 0 e x = x+3. De plus f(/) = e / + 3 = e / < 0 et f() = e > 0. On a donc f(/) 0 f() f(/) f(α) f() f (f(/)) f (f(α)) f (f()) car f est strictement croissante / α Exercice 8:. f est continue sur R + comme somme de fonctions continues sur R +. Les fonctions x x et x lnx sont strictement croissantes sur R + donc f est strictement croissante sur R +. f réalise donc une bijection de R + sur f(r + ) =]lim f;lim f[=] ;+ [= R On cherche ici à résoudre l équation f(x) = 005. Comme 005 R = f(r + ), 005 admet un unique antécédent α par f. Cela signifie qu il existe un unique réel α > 0 tel que f(α) = 005 α+ln(α) = 005. De plus f(997) = 997+ln997 < 005 et f(998) = 998+ln998 > 005. On a donc f(997) 005 f(998) f(997) f(α) f(998) f (f(997)) f (f(α)) f (f(998)) car f est strictement croissante 997 α 998 Exercice 9:. f est définie sur R car e x ne s annule pas sur R. Les fonctions x x, x e x et x e x sont dérivables sur R donc les fonctions x x e x et x e x sont dérivables sur R. Comme de plus e x ne s annule pas sur cet ensemble, f est dérivables sur R par quotient de fonctions dérivables sur R. En 0 on a f(0) = 0. Donc lim f(x) f(0) On a donc lim x 0 f est donc dérivable sur R. f(x) f(0) x 0 xe x e x x e x e x = qui est finie donc f est dérivable en 0 et f (0) =. h est définie sur R + car x ne s annule pas sur ]0;+ [\{}. On remarque que lim h(x) = h(0) car lim x x = Donc h n est pas continue en donc ne peut pas être dérivable en. x lnx Analyse : Chapitre Exercices Page 7 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

8 Les fonctions x x et x lnx sont dérivables sur ]0;+ [\{} donc les fonctions x xlnx et x x sont dérivables sur ]0;+ [\{}. Comme de plus x ne s annule pas sur cet ensemble, h est dérivables sur ]0; + [\{} par quotient de fonctions dérivables sur ]0; + [\{}. h est donc dérivable uniquement sur ]0; + [\{}. Exercice 0:. Les fonctions x x et x ln(x ) sont continues sur R donc, par produit et somme, f est continue sur R. On a f(0) = 0 et lim f(x) xln x x = 0 car lim xln x = 0. Donc lim f(x) = 0 = f(0) ce qui signifie que f est continue en 0. f est donc continue sur R.. Les fonctions x x et x ln(x ) sont dérivables sur R donc, par produit et somme, f est dérivable sur R. f(x) f(0) 3. On a : lim ln(x ) =. x 0 f(x) f(0) Donc f n est pas dérivable en 0 mais comme lim = on peut dire que la courbe x 0 représentative de f admet en 0 une tangente verticale. Exercice :. a) Les fonctions x x+ et x e /x sont continues sur R + donc, par produit, f est continue sur R +. On a f(0) = 0 et lim f(x) (x+)e /x = 0 car lim + + x =. Donc lim f(x) = 0 = f(0) ce qui signifie que f est continue en 0. + f est donc continue sur R +. f(x) f(0) b) lim + x 0 (x+) + x e /x = 0card aprèslescroissances comparées lim + x e /x = 0. f est donc dérivable à droite en 0 et f d (0) = 0.. Les fonctions x x+ et x e /x sont dérivables sur R + donc, par produit, f est dérivable sur R +. De plus f (x) = x +x+ e /x. x 3. On a lim x+ = + et lim e /x = donc lim f(x) = Pour x > 0, f (x) > 0 donc f est strictement croissante sur R +. On a donc le tableau de variation suivant : x 0 + f (x) + f(x) 0 ր + Analyse : Chapitre Exercices Page 8 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

9 Exercice :. Comme x+a ne s annule pas sur R\{ a}, f est de classe C sur R\{ a} donc pour tout entier n, f est bien de classe C n sur R\{ a}. Montrons par récurrence que la propriété P(n) : f (n) (x) = ( )n n! est vraie pour tout entier n. n+ (x+) Pour n = 0 : D une part f (0) (x) = f(x) = x+. ( ) 0 0! D autre part (x+) = 0+ x+. Donc P(0) est bien vraie. Soit n un entier fixé. Supposons que P(n) est vraie. On a alors : Donc P(n+) est alors vraie. f (n+) (x) = (f (n) ) (x) = ( ) n n! (n+) (x+a) = ( )n+ (n+)! n+ (x+a) n+ On a donc montré que pour tout entier n, f (n) (x) = ( )n n! (x+a) n+.. On a g(x) = x + x+. Donc pour tout entier n, on a ( ) (n) ( ) (n) g (n) (x) = + = ( )n n! x x+ (x ) + ( )n n! n+ (x+) n+ Exercice 3:. La fonction x x + est de classe C sur ]0;+ [ et la fonction x e x est de classe C sur ] ;0[. Donc f est de classe C sur R. On a de plus lim f = = f(0) f donc f est continue en f est continue sur R. Pour tout x > 0 on a f (x) = et pour tout x < 0, f (x) = e x. Donc lim 0 + f = 0 f D après{ le théorème de prolongement des fonctions de classe C f est de classe C sur R et on a f si x 0 (x) = e x si x < 0.. Les fonctions x e x et x e x + sont de classe C sur R et e x + ne s annule pas sur R. Par quotient de fonctions de classe C, g est donc de classe C sur R. On a de plus g e x (x) = (e x +). 3. Lesfonctionsx xetx e 3/ x sontdeclassec surr doncparproduith est de classe C sur R. On a de plus lim h = 0 = h(0) h car lim e 3/ x = 0. Donc h est continue en 0. h est continue sur R. ( Pour tout x > 0 on a h (x) = + 3 ) ( e 3/x et pour tout x < 0, h (x) = 3 ) e 3/x. x x Donc, grâce aux croissances comparées, lim h = 0 h Analyse : Chapitre Exercices Page 9 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

10 D après le( théorème de prolongement des fonctions de classe C h est de classe C sur R et on a + 3 ) e 3/ x si x 0 h (x) = x. 0 si x = 0 Exercice 4:. f est dérivable sur R + et f (x) = x+3 x = x +3x = ( x+)(x ). ( x x De plus lim f(x) = + et lim f(x) + x + 3 x lnx ) = car grâce aux croissances comparées lim + 3 x x lnx =. x On a donc le tableau de variations suivant : (f(/) = 5/4+ln) x 0 / + f (x) + + f(x) ց ր ց f(/). f est de classe C sur R + et f (x) = + x = x. ] ] ] x Donc sur 0; ], f est convexe et sur : +, f est concave. f ne s annule qu en x = et f change bien de signe en ce point là. ) Doncf admetunpointd inflexion,lepointdecoordonnées(,f(/ ) = (, ln ) 3. C f présente une tangente horizontale lorsque f (x) = 0 c est-à-dire lorsque x = ou x = (. Les point où C f présente une tangente horizontale sont les points de coordonnées, 5 ) 4 +ln (,). et Analyse : Chapitre Exercices Page 0 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

11 4. Courbe : y 0 x Exercice 5: Correction rapide. f est continue et strictement décroissante (f (x) = ]0;+ [. f est définie sur ]0;+ [.. y = 9 x x (+x 3 ) 3/) donc bijection de ] ;+ [ sur 3. Comme f() = 3, le point d abscisse 3 de la courbe de f est le symétrique par rapport à la droite d équation y = x du point d abscisse de la courbe de f. Comme la tangente à la courbe de f au point d abscisse a pour équation y = 9 x+ 7 9, la tangente à la courbe de f au point d abscisse 3 a pour équation : x = 9 y y = 9 x Là où f ne s annule pas : donc sur ]0;+ [\{}. 5. La courbe de f admet une tangente horizontale au point d abscisse 0 et comme f(0) =, la courbe de f admet une tangente verticale au point d abscisse. 6. Courbes : y C f C f 0 x Analyse : Chapitre Exercices Page Fonctions : limites, continuité, dérivabilité