RACINE CARREE. TYPES D EXERCIcES SOUVENT RENCONTRES. 1 er type. d exercice

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1 THEME : RACINE CARREE TYPES D EXERCIcES SOUVENT RENCONTRES 1 er type d exercice Rappel : Nous connaissons la valeur de certaines racines carrées. Par exemple : 4 = ( car ² = 4, 6 = 6 ( car 6² = 6, 1 = 1 ( car 1² = = 10 ( car 10² = = 48 ( car 48² = ( avec l aide de la calculatrice!!!, = 1, ( car 1,² =,. Mais il est impossible de donner une valeur sous forme décimale de, de, de 8, D après le cours, nous savons qu il existe (?? un nombre dont le carré est, mais nous ne pouvons pas en donner la valeur décimale ( cette valeur décimale n existant pas! Pour, la calculatrice donne comme valeur approchée : 1,41416 ( il existe d autres chiffres après le Ce nombre 1,41416 élevé au carré donne ( à la calculatrice : 1,41416² = 1, ( mais pas!!! Nous savons que ce nombre est compris entre 1,4 et 1,, ou, avec plus de précision, entre 1,41 et 1,4, ou encore entre 1,41416 et 1,41416, mais nous ne pouvons pas lui donner une valeur décimale. Par contre, il existe des racines carrées faciles à connaître. Ce sont les racines carrées des nombres appelés des «carrés parfaits» ( Un carré parfait est le carré d'un entier. Par exemple 1, 4, 9, 16,, sont des carrés parfaits. Elévation au carré Nombre Carré Racine carrée Ces quelques carrés parfaits sont à connaître.

2 Par exemple, le carré de 7 est 49, donc la racine carrée de 49 est = 7 De même, le carré de 8 est 64, donc la racine carrée de 64 est = 8 Nous avons donc le tableau suivant : Nombre Racine carrée = = = 4 = = 6 = 7 = 8 = 9 = 10 = 11 = 1 Une propriété du cours : Remarque : Conséquences : a b a b a b = Cette propriété, concernant la multiplication et les racines carrées, va nous permettre de simplifier certaines racines carrées. Simplifions par exemple 8. Cherchons si le nombre 8 est égal au produit d un carré parfait par un autre nombre. Nous avons 8 = 4 x. Donc : 8 = 4 = 4 = = Simplifions. Quel carré parfait est un diviseur de? En les prenant dans l ordre croissant, nous constatons que le carré parfait 4 est un diviseur de Nous avons donc : = 4 8 = 4 Mais la simplification n est pas totale. précédemment. = 4 8 = 4 Il est cependant possible d effectuer cette simplification plus rapidement. Si 4 est un diviseur de, il existe parmi les carrés parfaits inférieurs à ( 4, 9, 16, un autre diviseur de. Le carré parfait 16 divise. Nous avons donc : = 16 = 16 = 4 Simplifions 1. 4 est un carré parfait et divise 1. Nous avons donc : 1 = 4 = 4 = ( n étant pas divisible par un carré parfait de la liste donnée, la simplification est terminée. Et si nous écrivions 1 comme le produit de 6 par? Cette façon de faire n est pas à conseiller puisque ni 6, ni ne sont des carrés parfaits. Cependant, nous pouvons écrire 1 = 6 = 6 a b avec a et b positifs 8 = 8 8 peut encore se simplifier comme nous l avons vu 8 = 8 = 4 = 4 = = = = ( ² = 4 = 4 = = Exercice 1: Simplifier les écritures suivantes : A = B = C = D =

3 A = Simplifions les différentes racines de cette expression. Nous avons : 0 = 4 = 4 = = 4 = 9 = 9 = = 1 = = = = Remplaçons, dans l expression A, ces racines carrées par leurs écritures simplifiées. Nous avons : A = A = 4 = ( 4 = 6 A = 6 Remarque : Une autre rédaction est souhaitée. Au lieu de simplifier séparément les différentes racines, nous pouvons, dans l expression A, les simplifier simultanément. B = Nous avons successivement : B = B = B = 7 1 B = B = Nous devons continuer et simplifier 1 B = = 17 6 = 17 1 = La simplification de 48 a été exécutée en deux étapes. La rédaction pouvait être plus rapide en constatant que 48 = 16. Nous obtenons alors : B = B = B = 7 4 B = = B = C = Essayons de déterminer dans chaque radicande ( nombre situé sous le radical le carré parfait le plus grand possible. C = C = C = C = = 7 6 C = 7 6 D = D = D = 4 6 Les carrés parfaits : ( sauf 1 4, 9, 16,, 6, 49, 64, 81, 100, et la racine carrée de ces carrés parfaits : 4 =, 9 = 16 = 4, =, 6 = 6, 49 = 7, D = = D =

4 Exercice : Brevet des Collèges Ecrire le nombre suivant sous la forme positif le plus petit possible. D = 7 D = 7 tention, cette expression n'est pas une somme ( ou une Attention, cette expression n'est pas une somme ( ou une différence, mais un produit! Méthode 1 : 6 Cette méthode est peu conseillée, même si, dans notre cas, elle peut être rapide. Il est préférable, en Mathématiques, 6 = 6, 49 = 7, de travailler avec des "petits" nombres plutôt qu'avec des "grands"! La propriété a b = a b peut ( et doit être lue dans les deux sens. Nous pouvons, et uniquement dans un produit, regrouper les racines carrées. Brevet des Collèges - Guadeloupe-Guyane-Martinique 97 6 a b, a et b étant deux entiers avec b entier Les carrés parfaits : ( sauf 1 4, 9, 16,, 6, 49, 64, 81, 100, et la racine carrée de ces carrés parfaits : 4 =, 9 = 16 = 4, =, D = 7 6 = 7 6 = 40 Nous devons maintenant simplifier cette expression. D = 40 = 9 0 = 9 0 = 0 = 6 0 Continuons : D = 6 0 = 6 = 6 = 6 = 0 Méthode : Simplifions chaque " racine carrée " ( Seul 7 est simplifiable. Nous avons : D = 6 D = 6 D = 6 = 10 6 A ce stade, deux méthodes s'offrent encore à nous : D = 10 6 = = 10 9 = 10 9 = 10 = = 0 ou D = 10 6 = 10 = 10 = 10 ( ² = 10 = 0 = 0 Exercice : eme type d exercice Simplifier les expressions suivantes : A =( -1 ( - B =( - ( C =( 6 ( - D =( - ( - E =( -1 - ( 1 ( -1

5 A = ( -1 ( - A = = A = - ( ²- mais ( ² = A = - - A = - 4 A = - 4 B = ( - ( A = ( B = - - B = ( ² - - ( ² - 1 ( - Sachant que ( ² =, que ( ² = et que = = 10, nous avons : B = = = Si nous remplaçons par x, nous obtenons l'expression A = ( x 1 ( x En développant, nous obtenons : A = x x² - x Comparez avec l'écriture A = - ( ²- Continuons et réduisons notre expression. Nous avons : A = - x² x Remplaçons maintenant x par ( le contraire de la première étape A = - ( ² - = - - = - 4 Nous retrouvons le résultat obtenu ci-dessus. Remarque : Ne procédez pas ainsi. Il faut comprendre et constater que les méthodes de développement sont identiques à celles utilisées dans le calcul littéral. Ne revenez pas à une écriture littérale. Il faut procéder directement comme ci-dessus avec les racines B = C =( 6 ( - C = C = C = C = C = - - = C = Nous pouvons également écrire ( ème ligne : C = - C = - C = ( ²- ( ² C = - Soit C = - Et donc C = D =( - ( - [( ² ( ²] - [( ²- ( ²] D = D = ( - ( - D = - - D = 4 ou D = 4 = 4 1 D = 4 1

6 E =( -1 - ( 1 ( - 1 E =[ ( ²- 1 1²] -[ ( ²- - 1 ] E =[ ²( ²- 6 1 ] - [ ] E =[ ] - [ ] E =[ ] -[ ] E = E =16 - E =16 - Exercice 4 : Autres types d exercices On donne les nombres : a = - et b = Calculer a b, a - b, a² b², ab et ( a b ² Attention aux parenthèses Calcul de a b : Remplaçons a et b par les valeurs données ci-dessus. Les différentes valeurs sont entre parenthèses. a b = ( ( a b = = 4 a b = 4 Calcul de a - b : a - b = ( ( a - b = = - 6 a - b = - 6 Calcul de a² b²: a² b² = ( ² ( ² a² b² = [ ( ² 1 ²] [ ( ² 1 ²] a² b² = [ ²( ² 1 9 ] [ ²( ² 1 9 ] a² b² = [ ] [ ] a² b² = [ ] [ ] a² b² = [ 9 1 ] [ 9 1 ] = = 8 a² b² = = = 8 Calcul de ab : ab = a b = ( ( ab = ( ² ² = ²( ² ² = 4 9 = 0 9 = 11 a² b² = 8 ab = 11

7 Calcul de ( a b ² : ( a b ² = [( ( ]² ( a b ² = [ ]² ( a b ² = [ 4 ]² ( a b ² = 4²( ² = 16 = 80 ( a b ² = 80 A = = 4 Remarque : Exercice : d'après Brevet des Collèges d'après Brevet des Collèges - Poitiers Prouver que est un nombre entier. ( le symbole "x" est le symbole de la multiplication 8 = 16 = 4 (d après la propriété a b = a b qui doit également se lire a b = a b L expression sion à calculer est donc égale à ( nous appellerons A cette expression : A = A = 16 4 A = 4 4 A = 4 Le premier terme pouvait également être simplifié comme suit : 8 = 4 = 4 = ( ² = = 4 A = 4 donc A est un entier Exercice 6 : Les côtés d'un triangle IJK ont pour longueurs : IJ = IK = - et JK = 1 Démontrer que le triangle IJK est rectangle. Recherche du plus grand côté : A l aide de la calculatrice, nous constatons que : IJ = 6,46 Par conséquent, si le triangle IJK est rectangle, il ne peut être rectangle qu en I. Le triangle IJK est-il rectangle en I? Nous avons ( calculs séparés : JK² = ( 1 ² = ² ( 1 ² = 4 1 = IJ² IK² = ( ² ( ² IJ² IK² = [( ² 1 IJ² IK² = [ ²( ² 1 9 ] [ ²( ² 1 4 ] IJ² IK² = [ 4 1 IK,19 et JK = 1 7,1 ²] [( ² 1 ²] 9 ] [ ]

8 IJ² IK² = [ ] [ ] Continuons le calcul dans chaque parenthèse ou supprimons les : IJ² IK² = = = Ces deux calculs permettent d écrire que : JK² = IJ² IK² Donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en I Exercice 7 : Brevet des Collè Soit l'expression C = x² - 6x 7 Calculer C pour x = Calculer C pour x = Brevet des Collèges - Caen ( Ecrire le résultat sous la forme a b Calcul de C pour x = : Nous avons : C = ( ²- 6 7 C = = 1-6 Calcul de C pour x = : Nous avons : C = ( ²- 6 ( 7 C = [ ² ( ²] - 6 ( C = [ 9 6 ] - 6 ( 7 C = = 0 7 C = 1-6 C = 0 Exercice 8 : Brevet des Collèges Brevet des Collèges - Nice - Montpellier - Toulouse Développer et écrire le plus simplement possible : D = ( 4 ² ( ( 7 D = ( 4 ² ( ( 7 D = [ 4² 40 ( ²] ( 6 ( ² D = [ ² ( ²] ( D = [ ] ( D = [ ] ( D = D = = 99 6 D = 99 6