1 Opérations sur les ensembles

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1 UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques N. El Hage Hassan ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES La théorie des ensembles est à elle seule une branche des mathématiques modernes. Il n est donc pas question de trouver ici un exposé très approfondi. On se contente essentiellement de rappeler quelques définitions, règles d utilisation relatives aux ensembles et aux applications. Le principal concept de la théorie des ensembles est celui d appartenance; si X est un ensemble, la relation x X signifie que x est un élément de l ensemble X, ou encore qu il appartient à X; la négation de cette relation s écrit x X. Si X et Y sont deux ensembles, la relation Y X signifie que chaque élément de Y est un élément de X. Dans ce cas, on dit que Y est inclus dans X, ou que Y est un sous-ensemble ou une partie de X; la négation de Y X s écrit Y X. Deux ensembles X et Y sont dits égaux, noté X = Y, si et seulement si X Y et Y X. En d autres termes, deux ensembles sont égaux si et seulement s ils possèdent les mêmes éléments. Ainsi, la notion d ensemble ne comporte pas autre chose que ce qui est spécifié par la donnée des éléments. Dans la pratique, lorsqu on on veut démontrer l égalité de deux ensembles, il faut prouver les deux inclusions. L ensemble dont les éléments sont exactement les objets x 1, x 2,..., x n se note {x 1, x 2,..., x n }. En particulier, si x est un objet, l ensemble {x} est appelé le singleton d élément x. 1 Opérations sur les ensembles Partie d un ensemble définie par une relation. Etant donnés un ensemble X et une propriété P, il existe un sous-ensemble unique de X dont les éléments sont tous les éléments x X pour lesquels P (x) est vraie; ce sous-ensemble s écrit {x X ; P (x)}. Par exemple on a X = {x X ; x = x}. L ensemble X = {x X ; x x} est appelé le sous-ensemble vide de X; il ne possède aucun élément. Si X et Y sont deux ensembles, on a X = Y, en d autres termes tous les ensembles vides sont donc égaux et, pour cette raison, ils seront tous représentés par. Donc pour tout ensemble X, on a X. Notez que l on doit distinguer entre un élément et un sous-ensemble d un ensemble donné. Par exemple, l ensemble { } est non vide, car { }, et donc on a { }. Ensemble des parties d un ensemble. Si X est un ensemble, il existe un unique ensemble dont les éléments sont tous les sous-ensembles de X; on le note P(X). On a donc P(X), X P(X) et A X A P(X). En particulier, on a a X {a} X {a} P(X). Différence de deux ensembles; complémentaire d une partie. Si X et A sont deux ensembles, l ensemble {x X ; x A} s appelle la différence de l ensemble X et de l ensemble A, on le note X \ A. Si, de plus, A X, alors X \ A s appelle le complémentaire de A dans X, et peut aussi se noter X A.

2 Intersection et réunion de deux ensembles. L intersection de deux ensembles X et Y, notée X Y, est l ensemble formé de tous les éléments qui appartiennent à la fois à X et Y. En d autres termes, on a x X Y x X et x Y. Deux ensembles dont l intersection est sont dits disjoints. La réunion de deux ensembles X et Y, notée X Y, est l ensemble formé de tous les éléments qui appartiennent à l un au moins des deux ensembles X, Y. En d autres termes, on a x X Y x X ou x Y. Produit cartésien. Le produit cartésien est un de plus importante construction en théorie des ensembles. Il nous permet d exprimer plusieurs concepts en termes d ensembles. A deux objets a, b, est associé un nouvel objet que l on note (a, b) et qu on appelle le couple (a, b). L opération consistant à former des couples est soumise à une seule règle d emploi, que voici: pour que l on ait (a, b) = (c, d) il faut et il suffit que l on ait a = c et b = d. En particulier, on a (a, b) = (b, a) si et seulement si a = b. Ne pas confondre le couple (a, b) avec l ensemble à deux éléments {a, b}. Soient X et Y deux ensembles, le produit cartésien (ou simplement produit) de X et Y, noté X Y, est l ensemble des couples (x, y), où x décrit X et y décrit Y. Autrement dit, on a X Y = {(x, y) ; x X et y Y }. On définit de façon analogue le produit de n ensembles: Soient X 1, X 2,..., X n n ensembles, on a X 1 X 2 X n = {(x 1, x 2,..., x n ) ; pour tout i, on ait x i X i }. Un élément z = (x 1, x 2,..., x n ) de X 1 X 2 X n est appelé un n-uples et x i s appelle la i ième coordonnée de z. Soient (x 1, x 2,..., x n ) et (y 1, y 2,..., y n ) deux éléments de X 1 X 2 X n, alors on a (x 1, x 2,..., x n ) = (y 1, y 2,..., y n ) si et seulement si pour tout i {1,..., n}, on a x i = y i. Si X est un ensemble, on notera X n le produit cartésien de X par lui-même n fois. Proposition Soient X, Y et Z des ensembles. 1. On a X Y X (X Y ), X =, X = X, X \ X = et X \ = X. 2. On a X (Y Z) = (X Y ) (X Z), X (Y Z) = (X Y ) (X Z) et (X Y ) Z = (X Z) (Y Z), (X Y ) Z = (X Z) (Y Z). 3. Soient A et B deux parties de X, alors on a X \ (X \ A) = A, X \ (A B) = (X \ A) (X \ B), A \ B = A (X \ B). X \ (A B) = (X \ A) (X \ B). 4. Soient A et B deux parties de X, alors A B si et seulement si l une des propriétés suivantes est vérifiée: A B = A, A B = B, X \ B X \ A, A (X \ B) =, (X \ A) B = X.

3 2 Applications Soient X et Y deux ensembles. Se donner une application f de X dans Y, que l on note f : X Y, c est faire correspondre, à chaque élément x de X, un unique élément de Y, que l on note f(x). Si x X et y Y tels que y = f(x), on dit que y est la valeur de f en x, ou que y est l image de x par f et x est un antécédent de y. L ensemble X s appelle l ensemble de départ et l ensemble Y s appelle l ensemble d arrivée de f. Le graphe de l application f, noté Γ f, est le sous-ensemble de X Y, défini par: Γ f = {(x, y) X Y ; y = f(x)} = {(x, f(x)) X Y ; x X}. Notons qu un sous-ensemble G de X Y est le graphe d une application de X dans Y si et seulement si pour tout x X, il existe un unique y Y tel que (x, y) G. D ailleurs, c est ainsi que la plupart des auteurs définit une application de X dans Y. Le mot fonction est synonyme du mot application; l usage veut que l on emploie le mot fonction lorsque l ensemble d arrivée est un ensemble de nombres c est-à-dire une partie de R ou C, mais cette règle n a rien d absolu. Soient X, Y deux ensembles et f une application de X dans Y. Lorsque pour tout x X, f(x) est donné explicitement, pour désigner f, on utilise la notation x f(x) ou f : X Y x f(x) ou X Y x f(x) Égalité de deux applications. Si X, Y, X, Y sont des ensembles et si f : X Y, g : X Y sont des applications, on a f = g si et seulement si on a X = X, Y = Y et f(x) = g(x) pour tout x X. Composition des applications. Soient X, Y, Z des ensembles et f : X Y, g : Y Z des applications. La composée de f et g, notée g f, est l application de X dans Z définie par g f(x) = g(f(x)) pour tout x X. Soient T un ensemble et h : Z T une application. Alors on a h (g f) = (h g) f et cette application est notée h g f. Restriction et prolongement. Soient X, Y des ensembles et A un sous-ensemble de X. Soit f : X Y une application. On appelle restriction de f à A l application f A : A Y telle que pour tout x A, on ait f A (x) = f(x). L application f A est parfois notée f A. Soient h : A Y et g : X Y des applications. On dit que g est un prolongement de h si pour tout x A, on a g(x) = h(x). Autrement dit, g est un prolongement de h si la restriction de g à A est égale à h. Notation. Soient X et Y deux ensembles. Les applications de X dans Y constituent un ensemble que l on note F (X, Y ), et parfois Y X, notation particulièrement commode quand X est un ensemble fini. L ensemble F (X, Y ) s identifie à un sous-ensemble de P(X Y ). Exemples: 1. Pour tout ensemble X, l application id X : X X qui à tout élément x associe x s appelle l application identique, ou identité, de X. 2. Si A est une partie d un ensemble X, on appelle injection canonique de A dans X, l application j de A dans X, définie par j(x) = x pour tout x A.

4 3. Si A est une partie d un ensemble X, on appelle fonction indicatrice, ou caractéristique de A, la fonction définie de A dans l ensemble à deux éléments {0, 1}, notée χ A, donnée par { 1 si x A χ A (x) = 0 si x A 4. Soient X, Y deux ensembles et f : X Y une application. On dit que f est constante s il existe y 0 Y tel que pour tout x X, on ait f(x) = y Soient X et Y deux ensembles. Les applications X Y X (x, y) x, X Y Y (x, y) y sont appelées respectivement les projections canoniques sur X et Y. 3 Images directes et réciproques Soient X, Y des ensembles et f une application de X dans Y. Pour tout A X et B Y, on pose f(a) = {y Y ; x A, y = f(x)} = {f(x) ; x A}. f 1 (B) = {x X ; f(x) B}. L ensemble f(a) est appelé l image directe de A par f; f(x) est appelé simplement l image de f et noté Im(f). L ensemble f 1 (B) est appelé l image réciproque de B par f. On a f(a) Im(f) Y et f 1 (B) X. Ainsi, on obtient les deux applications suivantes: ˆf : P(X) P(Y ) A f(a) ˇf : P(Y ) P(X) B f 1 (B) Proposition Soient X, Y des ensembles et f : X Y une application. suivantes: On a les propriétés 1. On a f( ) =, f 1 ( ) = et f 1 (Y ) = X. 2. Pour tout A X, on a A f 1 (f(a)). 3. Pour tout B Y, on a f(f 1 (B)) B. 4. Pour A X et B Y, on a f(a) B A f 1 (B). 5. Pour tous B 1 Y et B 2 Y, on a f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) et f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). 6. Pour tous A 1 X et A 2 X, on a f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) et f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ). 7. Pour tous B 1 Y et B 2 Y tels que B 1 B 2, on a f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ).

5 8. Pour tous A 1 X et A 2 X tels que A 1 A 2, on a f(a 1 ) f(a 2 ). 9. Pour tout B Y, on a f 1 (Y \ B) = X \ f 1 (B). 10. En général, si A X, on a f(x \ A) Y \ f(a). 11. Soient Z un ensemble et g : Y Z une application. Pour tous A X et D Z, on a g f(a) = g(f(a)) et (g f) 1 (D) = f 1 (g 1 (D)). 4 Applications injectives, surjectives et bijectives Définition Soient X, Y des ensembles et f : X Y une application de X dans Y. 1. On dit que f est injective ou que c est une injection, si toutes les fois deux éléments distincts de X ont pour images par f deux éléments distincts de Y. Ceci se traduit par: Pour tout x, x X, x x = f(x) f(x ). Ou ce qui revient au même: Pour tout x, x X, f(x) = f(x ) = x = x. 2. On dit que f est surjective ou que c est une surjection, si tout élément de Y est l image par f d au moins un élément de X. Ceci se traduit par: Pour tout y Y, il existe x X tel que y = f(x). Autrement dit, f est surjective si on a f(x) = Y. 3. On dit que f est bijective ou que c est une bijection, si tout élément de Y est l image par f d un élément et d un seul de X. Ceci se traduit par: Pour tout y Y, il existe un unique x X tel que y = f(x). Notons qu une application f est bijective si et seulement si f est injective et surjective. Proposition Soient X, Y, Z des ensembles et f : X Y, g : Y Z des applications. On a les propriétés suivantes: 1. Si g f est injective, alors f est injective. 2. Si g f est surjective, alors g est surjective. 3. S il existe une application h : Y X telle que h f = id X, alors f est injective et h est surjective. Proposition Soient X, Y, des ensembles et f : X Y une application. Les propriétés suivantes sont équivalentes: 1. f est bijective. 2. Il existe une application g : Y X telle que g f = id X et f g = id Y. Dans ce cas, l application g est unique et elle est bijective. On l appelle application réciproque de f et on la note f 1. Proposition Soient X, Y des ensembles et f : X Y une application. Les propriétés suivantes sont équivalentes: 1. f est injective.

6 2. Pour tout A X, on a A = f 1 (f(a)). 3. Pour tout A X, on a f(x \ A) Y \ f(a). 4. Pour tous A 1 X et A 2 X, on a f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ). Proposition Soient X, Y des ensembles et f : X Y une application. Les propriétés suivantes sont équivalentes: 1. f est surjective. 2. Pour tout B Y, on a A = f(f 1 (B)) = B. 3. Pour tout A X, on a Y \ f(a) f(x \ A).