Triangle rectangle et trigonométrie

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1 Triangle rectangle et trigonométrie fiche sur le triangle rectangle : définition et propriétés (Pythagore, cercle circonscrit et trigonométrie) Prérequis 1 : Un nouveau type d équations 1) compléter avec ou ,0 10 2) compléter les pointillés par un nombre : ,6 7,0 8 8,1... 3) AB 6 BC ,5 4 AB 5 MN Mise en situation problème : calcul d une longueur (découverte du sinus et tangente) livre ex p. 186 n 35 livre ex p. 176 activité 1 Objectif 3G1 : Connaître dans un triangle rectangle les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d un angle aigu et les longueurs des deux côtés. C.A. p. 98 n C.A. p. 99 n 5 à 11 livre p. 183 n Exercice de groupe : Objectifs 3G2 3G3 3G4 : Utiliser dans un triangle rectangle les relations entre le cosinus, le sinus et la tangente d un angle aigu pour calculer une longueur de côté ou la valeur d un angle. Déterminer, à l aide de la calculatrice des valeurs approchées du cosinus, du sinus et de la tangente d un angle aigu donné. Déterminer, à l aide de la calculatrice des valeurs approchées de l angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente. 1) Triangles aires et longueurs Une unité de longueur étant choisie, on considère un triangle ABC tel que : AB = 5, AC = 4 et BAC = 60. On se propose de calculer la longueur BC et les deux angles ABC et ACB. 1. Soit H le pied de la hauteur issue de C. Calculer les valeurs exactes des longueurs CH et AH. En déduire la longueur BH. 2. Calculer la valeur exacte de la longueur BC, puis une valeur approchée à 0,01 prés. 3. Calculer la valeur exacte de cos ABC, puis donner une valeur approchée de l'angle ABC en degrés à 0,1 prés par défaut. En déduire une valeur approchée de l'angle ACB. 2) livre p 188 n ) livre p 190 n 64

2 4) Triangle rectangle ABC est un triangle rectangle en A, H le pied de la hauteur issue de A. 1. En écrivant de deux façons le cosinus de l angle ABC, montrer que BA²= BH BC. De même montrer que CA² = CH BC 2. En écrivant BC = BH + CH et en utilisant Pythagore dans ABC ainsi que les relations précédentes montrer que AH² = BH CH Montrer que AH ² AB² AC² 4. On applique les relations précédentes au triangle ABC où AB = 6 et AC = 8. Calculer BC, HB, HC et HA on pourra utiliser la relation du 3. même si elle n est pas démontrée ). 5) Sinus de 75 Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle, H est le pied de la hauteur issue de A. BAH 45, HAC 30 et AH = 6 cm. Le cercle (C) de diamètre [AH] et de centre O coupe (AB) en D et (AC) en E. 1. a. Calculer AB et AC. b. Montrer que AHE est un triangle rectangle. c. Montrer que AE = 3 3 cm. 2. a. Démontrer que AHE = ADE = 60 et ACB= 60. b. En déduire que les triangles BAC et EAD sont semblables. c. Après avoir rempli le tableau de proportionnalité des longueurs, déduisez-en que le rapport de similitude qui fait passer du triangle BAC au triangle EAD est 6. S agit-il d une réduction ou d un 4 agrandissement? Expliquer. 6) L espace Livre p 189 n ) La boule de billard L'unité de longueur est le centimètre. Le rectangle ci-dessus représente une table de billard. Deux boules de billard N et B sont placées telles que : CD = 90 ; NC = 25 ; BD = 35. (Les angles sont droits.) Un joueur veut toucher la boule N avec la boule B en suivant le trajet BEN, E étant entre C et D, et tel que la mesure de l'angle est égale à celle de.

3 . On pose ED = x. l. a. Donner un encadrement de x. b. Exprimer CE en fonction de x. 2. Dans le triangle BED, exprimer en fonction de x. 3. Dans le triangle NEC, exprimer en fonction de x. 4. a. En égalant les deux quotients trouvés aux questions 2. et 3., on trouve l'équation : 35(90 - x) = 25 x. On ne demande pas de le justifier. Résoudre cette équation. b. En déduire la valeur commune des angles et arrondie au degré. 8) Le panier de basket 1. Paul veut installer chez lui un panier de basket. Il doit le fixer à 3,05 m du sol. L échelle dont il se sert mesure 3,20 m de long. À quelle distance du pied du mur doit-il placer l'échelle pour que son sommet soit juste au niveau du panier? (Donner une valeur approchée au cm près.) 2. Calculer l'angle formé par l'échelle et le sol. (Donner une valeur approchée au degré près.) 9) Le rectangle ABCD désigne un rectangle tel que AB = 7,2 cm et BC = 5,4 cm. 1. Dessiner en grandeur réelle ce rectangle et sa diagonale [AC]. 2. Calculer la mesure arrondie au degré de l'angle. 3. Démontrer que les angles et sont égaux. 4. La médiatrice du segment [AC] coupe la droite (AB) en E. Placer le point E et montrer que le triangle ACE est isocèle. 5. En déduire une valeur approchée de la mesure de l'angle. 10) aire et périmètre d un trapèze

4 ABCD est un trapèze rectangle, le côté AB est perpendiculaire aux bases BC et AD. AB = 7 cm, l angle ABD mesure 60, BC = CD, le point H est le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur la droite (BD). 1 Construire la figure. 2 Calculer AD, BD, BH puis BC. Donner une valeur exacte du périmètre de ABCD, puis une valeur approchée à 0,01 cm près. 3 Calculer l aire du trapèze rectangle ABCD, puis donner une valeur approchée à 0,01 11) L aire du parallélogramme Construire le parallélogramme ABCD tel que: AD = 7 cm DC = 9 cm l angle ADC mesure 64 2 Tracer la hauteur AH perpendiculaire au côté DC, calculer la longueur AH et l aire du parallélogramme ABCD (Indiquer la valeur exacte puis une valeur approchée à 0,01 près). 12) le triangle et sa hauteur ABC est un triangle de hauteur AH, le point H est sur le segment [BC]. AH = 3,6 cm CH = 4,8 cm AB = 3,9 cm. Déterminer simplement à la calculatrice une valeur approchée arrondie à 0,01 près des angles ACB et AB C 13) Calculer l angle FBD. 14) Des triangles rectangles On connaît les distances suivantes : AD = 5 m ; DC = 3 m ; AB = 6 m. Calculer AM, CM et DM. (On pourra calculer d abord BC ) 15) Cercle et triangle

5 Les lettres M, N et P symbolisent trois ports de pêche d iles du Pacifique. Ces trois ports se trouvent sur un même cercle représenté en pointille sur le schéma ci-contre. Son centre O est le milieu de [PN]. Problème : donner une valeur approchée de l angle P au centième de degré près. 1- Essaie de résoudre le problème pendant 10 minutes. Si tu n as pas réussi à résoudre le problème, effectue les questions suivantes. 2- Essaie de faire une figure a l échelle sur laquelle un centimètre représente un km, et déduis-en a l aide d un instrument de mesure une solution approchée du problème. Si tu n as pas réussi a construire les figures, ce n est pas grave, passe à la question suivante. 3- Démontre que le triangle MNP est rectangle en M. A l aide de cette information supplémentaire, tu peux, si tu n as pas réussi a construire les figures dans la question 2, les construire maintenant. 4- Calcule PN. 5- Calcule l arrondi au centième de degré de l angle P puis réponds au problème pose. Aide : utilise le cosinus de cet angle! 6- Prends une calculatrice et tape tan 1 (4/3). Que remarques-tu? Tape ensuite sin 1 (4/5). Que remarques-tu cette fois? 16) L avion Quelle distance en m l avion va-t-il parcourir avant de toucher le sol? Tu donneras l arrondi à l unité du résultat. 17) _L échelle On place une échelle de 1,8 m contre un mur. Le point qui ouche le mur se trouve a 1,5 m de hauteur. Le sol est glissant : si la mesure de l angle _BAC ci-contre est inferieure a 60, une personne qui grimperait en haut de l échelle risquerait de faire tomber l échelle. Probleme : l angle que fait l échelle avec le sol est-il suffisant pour que quelqu un puisse grimper en haut de l échelle?

6 18) points alignés? La figure ci-contre est représentée à main levée. Les points A, B et C sont-ils alignes? 19) La pente d une route La pente d une route est par définition la tangente de l angle qu elle fait avec l horizontale. Ainsi, la pente de la route représentée ci-contre est égale a tan x. Lors d un circuit en montagne, Clément monte en voiture une cote rectiligne longue de 210 m, dont la pente est de 17 %. Il aimerait trouver une valeur approchée à l unité : a) de l angle en degrés que fait la route avec l horizontale, b) de la différence d altitude en m entre le début et la fin de la route. Aide-le! 20) Synthèse On considère la figure ci-dessous H est un point de [BC] 1- Détermine la mesure en degrés de l angle ABH arrondie au dixième. 2- Le triangle ABC est-il un triangle rectangle? 3- a) Détermine l arrondi au dixième de la longueur HC en cm. b) Détermine l arrondi au dixième de la longueur HB en cm. 4- Détermine l arrondi au dixième de l aire du triangle ABC en cm2. 21) Cercle et triangle (bis) 1- Trace un cercle de centre O et de diamètre [EF] tel que : EF = 8 cm. Place un point M sur ce cercle tel que : MF = 5 cm. 2- Calcule la valeur exacte de EM en cm. 3- Détermine l arrondi au dixième de la mesure de l angle MEF en degrés. 4- Détermine l arrondi au dixième de la mesure de l angle MOF en degrés. Essaie de comparer les angles MOF et MEF. Quelle question es-tu amené(e) a te poser? Saurais-tu y répondre. Remédiation si vous voulez des exercices d application directe : 1) Utilisation de la calculatrice C.A. p. 100 n 1 2 2) calcul d une longueur connaissant un angle aigu et une longueur de côté d un triangle rectangle.

7 Exercice-type C.A. p. 100 n C.A. P 101 n 7-8 CA p 102 n 1 3) calcul de la valeur d un angle connaissant deux longueurs de côté dans un triangle rectangle Exercice-type C.A. p. 100 n 5 CA p 102 n 2-3 Objectif 3G5 : Connaître les relations sin²x + cos²x = 1 et tanx = sin x / cos x Dans chacun des cas suivants, calculer la ligne trigonométrique manquante (cos, sin, ou tan ) : 1) sin x =1/2 2) cos x =1/3 3) sin x = 2 3 4) cos x = 4 5) tan x = 2 et cos x = 1 / 5 6) tan x = 3/2 Activité livre p 179 activité 7 CA p 104 n 10 livre p 189 n 56 livre p 190 n ) Démontrer que si x et y sont deux angles complémentaires, alors tan x = tan y? cos x = cos y, sin x = sin y? 2) Problème : Quelles sont toutes les mesures d angles A pour lesquelles : sin A = cos A. 1- Connais-tu une mesure d angle dont le sinus est égal au cosinus? 2- La question que nous nous posons a partir de maintenant est la suivante : y a-t-il d autres mesures d angles (autres que celle trouvée dans le 1) dont le sinus est égal au cosinus. Cherche d autres mesures d angles répondant au problème pendant 5 minutes. Passe ensuite à la question suivante. 3- Nous cherchons d autres valeurs dont le sinus est égal au cosinus. Pour cela, on peut calculer le sinus et le cosinus de différentes mesures d angles, puis regarder si les deux nombres obtenus sont égaux. Détermine, a l aide d une calculatrice ou d un tableur, une valeur approchée du sinus et du cosinus d autres mesures d angles et complète le tableau ci-dessous : angle sinus cosinus a) Le tableau de la question précédente te permet-il de résoudre le problème? b) Dans le repère ci-dessous, nous allons représenter la fonction définie par : x sin x, ou x est une mesure d angle en degrés. Cette fonction est nommée x sin x.

8 Ainsi, par exemple, sin(10 ) est l image de 10 par la fonction sin. On note plus simplement cette image sin 10 au lieu de sin (10 ). Pour représenter graphiquement la fonction sin dans le repère ci-contre, place les points de coordonnées (0 ; sin 0 ), (10 ; sin 10 ),, (90 ; sin 90 ), puis trace la représentation graphique de la fonction. c) Dans le repère ci-contre, nous allons aussi représenter la fonction définie par : x cos x, ou x est une mesure d angle en degrés. Cette fonction est nommée x cos x Pour cela, place les points de coordonnées (0 ; cos 0 ), (10 ; cos 10 ),, (90 ; cos 90 ), puis trace la représentation graphique de la fonction cos. Séquence 8 d) Utilise les représentations graphiques des deux fonctions pour répondre au problème. e) On peut également représenter graphiquement ces deux fonctions à l aide du logiciel Geogebra. Confirme la réponse que tu as donnée à la question d. f) Exprime sin A. Exprime cos A. Si on a : sin A = cos A, que peut-on en déduire concernant la nature du triangle ABC? Concernant l angle A?