CHAPITRE 1. CINEMATIQUE DU POINT

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1 CHAPITRE 1. CINEMATIQUE DU POINT La cinématique est la partie de la physique qui se consacre à l'étude des mouvements, indépendamment de leur cause. Le vol d un oiseau, la chute d une pierre, le balancement du pendule, la course d un marcheur, ou la révolution de la terre autour du soleil, sont autant d exemples de mouvements qui nous donnent une approche intuitive évidente de ce concept. Mais il est néanmoins intéressant d essayer d approcher cette notion de manière plus détaillée: le mouvement d un objet pourrait être défini comme le changement de position de cet objet dans le temps. Ceci nous conduit à préciser les concepts d objet, de position et de changement de position. C est ce que nous ferons dans ce premier chapitre. D'autres grandeurs familières et fondamentales de la cinématique seront également définies ici, il s'agit des notions de vitesse et d'accélération. Exemple 2. Après le démarrage d'un manège, le propriétaire part du centre et se déplace vers la périphérie pour prendre le ticket d'un enfant (fig. 1.1). Pour l'enfant, immobile par rapport au manège, le propriétaire a décrit un rayon du manège, soit un segment de droite. Pour la mère qui attend, immobile par rapport au sol, le propriétaire a décrit une portion de spirale. 1. Concept de mobile ponctuel Les objets tels qu ils nous apparaissent dans la nature présentent des caractères très différents: ils diffèrent par leur taille, leur forme, leur structure, leur nature physico-chimique, Dans bon nombre de cas, il n est heureusement pas nécessaire de tenir compte de tous ces caractères de l objet pour découvrir les régularités, les lois qui régissent leur mouvement. Nous pourrons donc, sans perte de généralité, faire abstraction de presque toutes ces caractéristiques (excepté la masse pour l étude de la dynamique). Dans un souci de simplification, on peut résumer l'étude du mouvement de l'objet à celui d'un point particulier de l'objet. Les objets ainsi appauvris dans leur nature sont parfois appelés «mobiles ponctuels», car ils sont réduits à un seul point de l espace. 2. Référentiel 2.1. Mouvement et repos des notions relatives. Exemple 1. Un voyageur assis dans un train, regarde par la fenêtre et voit le paysage défiler sous ses yeux. Il en conclut évidemment qu il est en mouvement. Mais arriverait-il à la même conclusion si les fenêtres étaient colmatées et qu il ne pouvait apercevoir que les parois de sa voiture. Autrement dit le voyageur apparaît en mouvement par rapport au référentiel paysage, mais semble immobile ou au repos par rapport au référentiel wagon. Figure 1.1 De ces deux exemples, il apparaît que le mouvement d'un objet varie suivant le référentiel utilisé pour l'observer. Il est donc indispensable de préciser quel est l'observateur qui étudie le mouvement. Pour cela, on définit le référentiel d'étude, c'est-à-dire le corps solide par rapport auquel on étudie le mouvement: le train ou le paysage dans le premier exemple, le manège ou le sol dans le second Repères d'espace Pour préciser à chaque instant la position de l'objet en mouvement ou mobile dans un référentiel, il faut choisir un repère, c'est-à-dire une origine O et 3 axes OX, OY et OZ. Il existe une infinité de repères fixes dans un référentiel. Ainsi la position du propriétaire peut être étudiée, par exemple, dans les repères Oxyz du référentiel manège (fig. 1.1) O x y z du référentiel Terre Repères de temps Un instant est repéré par sa date, durée qui le sépare d'un instant particulier, auquel est associé un évènement particulier, choisi pour origine des dates. La durée ou la date est une grandeur algébrique mesurée à l'aide d'une horloge. En mécanique classique ou newtonienne, les intervalles de temps sont indépendants du référentiel : toutes les horloges, une fois synchronisées, indiquent la même heure. Physique 5 e Chapitre 1. Cinématique du point Page 1/6

2 3. Trajectoire Soit un mobile ponctuel; sa trajectoire est l'ensemble des positions occupées par l'objet. C'est une ligne continue joignant les deux points correspondant au début et à la fin du mouvement. Si la trajectoire est un segment de droite, le mouvement est rectiligne; si la trajectoire est un cercle ou un arc de cercle, le mouvement est circulaire; dans le cas général le mouvement est curviligne; si la trajectoire est contenue dans un plan, le mouvement est plan. Dans la suite du cours nous nous limiterons à l étude de mouvements pour lesquels la trajectoire est plane. Les adjectifs rectiligne, circulaire, plan et curviligne ne renseignent que sur la nature de la trajectoire et non sur «l'allure» à laquelle elle est décrite. 5. Vecteur déplacement Soit M et M' deux positions d'un mobile aux instants t et t. Entre ces deux instants le mobile a effectué un déplacement qui sera représenté par le vecteur MM ' encore noté r. Le vecteur déplacement du mobile entre les instants t e t t peut s écrire comme la différence des vecteurs positions r et r ' : d où la notation, MM '= r= r ' r (1.2) Ce vecteur indique comment la position du mobile a varié entre les deux instants considérés. 4. Vecteur position Afin de simplifier les représentations, nous supposerons que le mouvement du mobile étudié présente une trajectoire plane. Dans ces conditions, il convient de choisir un repère ayant deux axes inclus dans le plan du mouvement de l'objet. Dans un tel repère, la position d'un mobile ponctuel M peut être représentée par un vecteur appelé vecteur position OM et noté r. Ce vecteur a pour origine l'origine O du repère et extrémité le point M de l'espace où se trouve l'objet. Les composantes de ce vecteur correspondent aux coordonnées du point M. r= OM = x M x O, y M y O = x, y (1.1) Figure 1.3 Les composantes des vecteurs positions étant r= OM = x, y et r '= OM '= x ', y '. Le vecteur déplacement a pour composantes r= r ' r r= x ', y ' x, y = x ' x, y ' y r= x, y (1.3) Les composantes du vecteur déplacement indiquent comment en partant du point M il faut se déplacer parallèlement aux axes OX et OY pour se rendre au point M'. La longueur du déplacement s obtient à partir des composantes en utilisant Pythagore: r = x ' x 2 y ' y 2 r = x 2 y 2 (1.4) figure 1.2 Dans le système international d'unités (SI) l'unité des longueurs est le mètre (m). L'unité de la position d'un mobile dans le système international est donc le mètre (m). 6. Espace parcouru Entre les instants t et t' le mobile qui passe du point M au point M' parcourt un morceau de trajectoire dont la longueur est l'espace parcouru s. Généralement l'espace parcouru est différent de la longueur du vecteur déplacement car il existe une infinité de trajectoires passant par deux points. Physique 5 e Chapitre 1. Cinématique du point Page 2/6

3 Exemple numérique Ci-dessous une chronophotographie d'un garçon effectuant un saut sur une planche à roulettes. Figure 1.4 Les deuxièmes et troisièmes positions de la tête du garçon ont approximativement pour composantes r 2 1,95;2 (m) r 3 3,45 ;2,35 (m) Le symbole (m) placé derrière l'écriture des composantes indique que celles-ci sont exprimée en m. composantes du vecteur déplacement entre ces deux positions sont Les r 3,45 1,95 ;1,35 2 = 1,5 ; 0,65 (m) La longueur du déplacement est alors r 1,5 2 0,65 2 1,63 (m) 7. Vecteur vitesse moyenne Soit r e t r ', les positions d un mobile aux instants t et t. Par définition le vecteur vitesse moyenne sur l intervalle de temps [t, t ] est le rapport entre le déplacement effectué par le mobile entre les instants t e t t et la durée de ce déplacement : v m = r ' r = r t ' t (1.5) Le vecteur vitesse moyenne v m étant le produit du vecteur déplacement r par le réel positif 1/Δ t, celui-ci a la même orientation (direction et sens) que le vecteur déplacement (figure 1.5). Figure 1.5 Physique 5 e Chapitre 1. Cinématique du point Page 3/6

4 L expression des composantes du vecteur vitesse moyenne est : x ' x, y ' y v m = t ' t v m = x, y (1.6) = v, v mx my o ù v mx, v my sont les composantes du vecteur vitesse moyenne (fig. 1.5). Le vecteur vitesse moyenne a une intensité que l on peut calculer soit à partir de la longueur du vecteur déplacement et de l'intervalle de temps = r (1.7) Exemple numérique Dans l'exemple numérique précédent nous avons déterminé les composantes du vecteur déplacement de la tête du garçon entre t = 0,25 s et t = 0,50 s r 1,5; 0,65 Dès lors les composantes du vecteur vitesse moyenne sont v m = r ; 0,65 1,5 0,50 0,25 v m 1,5 0,25, 0,65 = 6,0 m/s ; 2,6 m/s 0,25 soit à l'aide des composantes du vecteur vitesse moyenne en utilisant le théorème de Pythagore : = v 2 2 mx v my (1.8) La vitesse moyenne étant définie comme le rapport d'une distance et d'un temps, l'unité SI (du système international) de la vitesse moyenne est le mètre par seconde (m/s ou ms -1 ). Cependant souvent la vitesse est exprimée en km/h. Comment convertir des m/s en km/h et inversement? Pour convertir les km/h en m/s et inversement, il suffit de se rappeler que 1 km = 1000m et 1h = 3600s. En effet, on a dès lors 1 km/h= 1 km 1h =1000 m 3600s = 1 3,6 m/ s Ce qui permet d'écrire deux règles simples Pour convertir en m/s v m/s =v km/h 3,6 Exemple: Pour convertir en km/h 90 km/h=90 3,6=25 m/ s v km /h =v m/ s 3,6 Exemple : 10 m/ s=10 3,6=36 km/h L'intensité de la vitesse moyenne peut être calculée soit à partir de l'intensité du déplacement et de l'intervalle de temps = r 1,63 6,5 m/s 0,25 soit à partir des composantes = v 2 mx v 2 my 6,0 2 2,6 2 6,5 m/ s Physique 5 e Chapitre 1. Cinématique du point Page 4/6

5 8. Vecteur vitesse instantanée 8.1. Définition La vitesse instantanée est la vitesse que possède un mobile à un instant donné. Pour connaître la vitesse instantanée du mobile à l'instant t du passage par le point M, réduisons l'intervalle de temps [t, t']. Si t tend vers t', M' tend vers M et le vecteur vitesse moyenne tend vers le vecteur vitesse instantanée. Ce calcul de la vitesse moyenne sur un intervalle de temps de plus en plus petit s'écrit v=lim t ' t MM ' t ' t = lim r (1.9) Au point de vue mathématique, le vecteur vitesse instantanée est la dérivée par rapport au temps du vecteur position. Les composantes de ce vecteur sont v= lim x, lim y = v x, v y (1.10) L intensité du vecteur vitesse instantanée est alors obtenue par Pythagore: v = v x 2 v y 2 (1.11) 9. Vecteur accélération moyenne Sur le prospectus d'une voiture, on peut lire : «de 0 à 100 km.h -1 en 33 s». Ceci caractérise la possibilité d'augmentation de la vitesse en un temps donné, c'est-à-dire, en langage courant, l'accélération. Dans cet exemple, le terme accélération est associé à une variation de l'intensité de la vitesse. D'une manière plus générale, l'accélération précise comment le vecteur vitesse varie dans le temps. S o i t v e t v ' les vitesses respectives d'un mobile aux instants t et t ' (voir figure 1.12); par définition le vecteur accélération moyenne sur l'intervalle de temps [ t, t'] est : v ' v a m = = v t ' t (1.12) L'unité S I d'accélération est donc le mètre par seconde par seconde, de symbole m.s -2. Par exemple, le compteur de vitesse d'une voiture indique la valeur de l'intensité de la vitesse instantanée mais ne nous renseigne pas sur son orientation Direction et sens Lorsque t' tend vers t, M' tend vers M et la direction du déplacement MM ' tend vers la tangente en M à la trajectoire. Le vecteur vitesse ayant la même direction que le vecteur déplacement sa direction est donc celle de la tangente à la trajectoire. Figure 1.7 Le vecteur accélération moyenne étant le produit du vecteur vitesse v par le réel positif 1/Δ t, il a la même orientation que le vecteur variation de la vitesse. Les composantes du vecteur vitesse accélération moyenne sont définies par a m = v x, v y a m = a mx,a my (1.13) L'intensité du vecteur accélération peut être calculée à partir de l'intensité du vecteur variation de vitesse et de l'intervalle de temps selon la relation Figure 1.6 Physique 5 e Chapitre 1. Cinématique du point Page 5/6

6 a m = v (1.14) ou à partir des composantes du vecteur accélération en utilisant le théorème de Pythagore. a m = a 2 2 mx a my 10. Vecteur accélération instantanée (1.15) Exemple numérique Considérons une voiture roulant à la vitesse de 36km/h (10 m/s) dans un virage à 90 long de 20 m (voir figure 3.2). Même si l'intensité de la vitesse est constante, la voiture subit une accélération dans le virage car le vecteur vitesse change de direction. Déterminons l'accélération moyenne de la voiture entre l'entrée et la sortie du virage. Quand l'intervalle de temps t' - t tend vers 0, l'accélération moyenne tend vers l'accélération instantanée a. Par définition, a=lim t ' t v ' v t ' t = lim v (1.16) D'un point de vue mathématique, le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse, c'est donc aussi la dérivée seconde du vecteur position. Ce vecteur a évidemment deux composantes : a= a x, a y (1.17) L intensité de l accélération instantanée peut être calculée à partir des composantes en utilisant le théorème de Pythagore a = a x 2 a y 2 (1.18) Figure 1.8 Représentons les vecteurs vitesse instantanée de la voiture au début et à la fin du virage. Ces vecteurs sont tangents à la trajectoire et ont la même longueur. Dans le repère de la figure 1.8, ces vecteurs ont pour composantes v= 10 ;0 m/s v '= 0 ; 10 m/ s Ensuite construisons le vecteur variation de la vitesse et déterminons ses composantes. v= v ' v v= 0 ; ;0 = 10 ; 10 m/s Le temps que met la voiture pour parcourir le virage est égal au rapport de l'espace parcouru et de l'intensité de la vitesse. = s/ v = 20m 10 m/s =2s On peut maintenant calculer les composantes du vecteur accélération moyenne. a m = v = 10; 10 = 5, 5 m/ s 2 2 A l'aide de Pythagore, calculons l'intensité de ce vecteur. a m = ,1 m/ s 2 Physique 5 e Chapitre 1. Cinématique du point Page 6/6