CH III Matrices. 1 / 8

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1 CH III Matrices. 1 / 8 Objectifs : Définition, dimension et opérations de matrices. Matrice transposée. Multiplication de deux matrices. Application à la résolution de système linéaire. I. La notion de matrice. Définition : Soit n et p deux entiers naturels non nuls. Une matrice de dimension n, p est un tableau de nombres réels comportant n lignes et p colonnes. Ces nombres sont les coefficients de la matrice. Lorsque n = p, on dit que la matrice est carrée d ordre n. Notation : Toute matrice A est représentée comme ci-dessous. a ij désigne le terme de la i ème ligne et de la j ème colonne. a12... a1j... a1p a 21 a a 2j... a 2p A=a a i1 a i2... a ij... a ip a n1 a n2... a nj... a np ieme La i ligne La j ieme colonne Applications : Soit A= est une matrice de dimension 2, 3 Le coefficient de la 2 ème ligne et 1 ère colonne est... On note a 21 =... Le coefficient de la 1 ère ligne et 2 ème colonne est... On note a 12 =... le nombre 4 est le coefficient de la... ligne et de la... colonne. On note a... = - 4. Donner une matrice B de dimension 1,3 ; une matrice C de dimension 4,1 et une matrice D de dimension 3,2

2 CH III Matrices. 2 / 8 Définitions : Vecteur-ligne et vecteur-colonne : Une matrice comportant une ligne et p colonnes s appelle un vecteur-ligne de dimension p. Une matrice comportant une colonne et n lignes s appelle un vecteur-colonne de dimension n. Matrice carrée : Lorsque n = p, on dit que la matrice est carrée d ordre n. Matrice diagonale : Une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls en dehors de ceux formant la diagonale issue du coin supérieur gauche, est appelée matrice diagonale. ( Certains termes situés sur la diagonales peuvent être nuls ) Matrice unité :Une matrice diagonale dont tous les coefficients de la diagonales sont égaux à 1 est appelée matrice unité. Matrice nulle : Une matrice dont tous les coefficients sont nuls est appelée matrice nulle. Transposée d une matrice : La transposée d une matrice A est une matrice dont toutes les colonnes sont les lignes de A. On la note t A Applications : 1 / 0n donne : A = (3; 0 ; 1 : 0) B = C = D 0 0 = E = F 2 = Vecteur ligne Vecteur colonne Matrice carrée Matrice diagonale Matrice unité Matrice nulle Matrice 2 / donner les transposée des matrices A, B, C, D, E et F. II. OPERATIONS SUR LES MATRICES 1. MATRICES EGALES : Définition : Dire que deux matrices sont égales signifie qu elles ont les mêmes dimensions et les mêmes coefficients aux mêmes emplacements.

3 CH III Matrices. 3 / 8 Application : on donne A = et B = x2 1 0 y 2. Déterminer pour quelles valeurs x et y, on a : A = B. 2. ADDITION ET SOUSTRACTION Définition : Soit A et B deux matrices de dimension m, p. La somme de A et B est la matrice de dimension m, p, notée A + B, obtenue en additionnant deux à deux les coefficients qui ont la même position. La différence A B est définie de manière analogue. On appelle matrice opposée de la matrice A la matrice, notée A, obtenue en remplaçant chaque terme de A par son opposé. On a A B = A + ( B ) Application : on donne A = et 2 B = / Calculer A + B et A B. 2 / Déterminer -A et -B. 3. MULTIPLICATION PAR UN REEL Définition : Soit A une matrice de dimension m, p et k un réel. Le produit de la matrice A par le réel k est la matrice de dimension m, p, notée k A, obtenue en multipliant par k chaque coefficient de A. Application : Calculer : 3A ; 2B ; 1 2 B.

4 CH III Matrices. 4 / 8 4. PROPRIETES Propriété : Soit A, B et C trois matrices de dimension m, p,et k et k' deux réels. On a : A + B = B + A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) = A + B + C k ( A + B ) = k A + k B A + O = O + A = A ( où O est la matrice nulle de dimension m, p ) ( k + k' ) A = k A + k' A k ( k' A ) = k k' A Application : Calculer : 3A + 2B ; 1 2 (A B) ; 2(A + 5B). III. Multiplication de deux matrices. 1. PRODUIT D'UN VECTEUR LIGNE PAR UN VECTEUR COLONNE Définition : On appelle produit du vecteur ligne par le vecteur colonne le nombre = a 1 b 1 + a 2 b a p b p Application : On donne le vecteur ligne V = (1 ; -2 ; 3) et le vecteur colonne W = Calculer V W. Remarque : Le nombre de colonnes du vecteur ligne doit être égal au nombre de lignes du vecteur colonne. 2. CAS GENERAL On appelle produit d'une matrice A de dimension n, p par une matrice B de dimension p, q la matrice notée AB de dimension n q obtenue de la façon suivante : Le coefficient de la ligne l et de la colonne c de AB est le produit du vecteur-ligne l de A par le vecteur-colonne c de B.

5 CH III Matrices. 5 / 8 Une disposition pratique : a a 1p a n1... a np b b 1q b p1... b pq c c 1q c n1... c nq avec c 11 =a 11 b 11...a 1p b p1... c ij =a i1 b 1j...a ip b pj... c nq =a n1 b 1q...a np b pq. Remarques : AB n'est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B La règle concernant les dimensions peut être schématisée de la façon suivante : ( n, p ) ( p, q ) = ( n, q ) Quand les dimensions de deux matrices A et B permettent le calcul de AB, elles ne permettent pas forcément le calcul de BA. Dans le cas où les calculs sont possibles, en général les matrices AB et BA ne sont pas égales. Si A est une matrice carrée, la matrice AA est notée A 2 Application : On donne M = 1 / Calculer N M et P² ; 0 2 N = et P = / Peut-on calculer M² ; N² et M N? pourquoi? 3. PROPRIETES Définition : Soit A, B et C trois matrices permettant les calculs indiqués, et k un réel. On a : A ( B C ) = ( A B ) C = A B C A ( B + C ) = A B + A C ( A + B ) C = A C + B C ( k A ) B = k ( A B ) = A ( k B ) = k AB Remarques : Si A est une matrice carrée, AAA est notée A 3... En général AB BA ( la multiplication n'est pas commutative ) Si A est une matrice carrée d'ordre n et I n la matrice unité d'ordre n, on a : A I n = I n A = A ( ce qui explique que I n est appelée "matrice unité" )

6 CH III Matrices. 6 / 8 Application : On donne R = et S = Calculer R I 2;; R S ; S R et R 3. IV. inverse d'une matrice. 1. DEFINITION Définition : Soit A une matrice carrée d'ordre n et I n la matrice unité d'ordre n. Dire que la matrice carrée B d'ordre n est l'inverse de A revient à dire que AB = I n. L'inverse de A est notée A 1. Remarques : La condition "AB = I n " est équivalente à la condition " BA = I n ". ( De façon générale, on n'a pas AB = BA ) Si la matrice B est l'inverse de la matrice A, alors la matrice A est l'inverse de la matrice B. On dit que les matrices A et B sont inverses l'une de l'autre. On a A A 1 = A 1 A = I n Une matrice n'admet pas forcément d'inverse. Dans ce cas on dit qu'elle n'est pas inversible. Si une matrice est inversible, alors l'inverse est unique. Application : On donne R = et S = En utilisant la calculatrice, donner les inverses(éventuelles) des matrices R et S. Vérifier alors que RR -1 = I 2 et S -1 S = I 2.

7 CH III Matrices. 7 / 8 2. B ) RECHERCHE DE L'INVERSE D'UNE MATRICE Soit M = On cherche une matrice N telle que MN = I 2. On pose N = a b c d. On a MN = a b c d = 3a2C 3b2d 2a c 2b d Ainsi, MN = I 2 3a2c 3b2d 2a c 2b d = {3 a2 c=1 3 b2d=0 2 a c=0 2L 3 2 b d=1 2L 4... Ainsi ce système admet une unique solution ( ; ; ; ). On en déduit que la matrice M est inversible et M 1 = Remarque : Soit A = a b une matrice carrée d'ordre 2. c d A est inversible si, et seulement si : ad bc 0. Si A est inversible, on peut démontrer que A 1 = 1 ad bc d c b a V. APPLICATION A LA RESOLUTION D'UN SYSTEME 1. ECRITURE MATRICIELLE D'UN SYSTEME LINEAIRE 3 x5 y=2 On donne le système (S) : { 2 x4 y=6. Posons alors M = ; X = x y et C = 2 6

8 CH III Matrices. 8 / 8 On a alors MX = x y = 3 x5 y=2 On en déduit alors que { 2 x4 y=6 MX = C. 2. RESOLUTION D'UN SYTEME La matrice M = est inversible et son inverse est M 1 = En multipliant à gauche les deux membres de cette égalité par M 1, on obtient : M 1 ( M X ) = M 1 C (M M ) X = M 1 C I2 C X = M C Or M 1 C = On en déduit que le couple solution du système (S) est :