Fiche d activité. Introduire les formules d aire

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1 Fiche d activité Introduire les formules d aire L objectif de cette activité est d introduire les formules d aire des rectangles, carrés et triangles. Matériel - Papier quadrillé dont les carreaux mesurent 1 cm de côté - Papier uni Activités Formules d aire du rectangle et du carré L enseignant distribue aux élèves une feuille de papier quadrillé dont les carreaux mesurent 1 cm de côté. Des rectangles et des carrés y sont dessinés en suivant les lignes du quadrillage. Il demande aux élèves de trouver l aire de ces polygones en cm². La mise en commun fera apparaître que plusieurs procédures sont possibles, par le comptage des carreaux qui ont chacun une aire de 1 cm² et par calcul de ce nombre de carreaux en faisant le produit du nombre de carreaux par ligne et par colonne ou encore par addition (par lignes ou par colonnes) Il pourra ensuite demander aux élèves de tracer des rectangles ou carrés d aire donnée, en cm². Par exemple 18 cm² qui n amènera que des rectangles (non carrés) ou 16 cm² qui permettra le carré de 4 cm de côté. Dans un deuxième temps, il donne aux élèves une feuille unie sur laquelle sont représentés des carrés et des rectangles dont les côtés ont des mesures entières en cm. Il leur demande alors de trouver les aires de ces figures. Le papier uni doit inciter les élèves à procéder par calcul multiplicatif et non plus par comptage (il leur faudrait tracer le quadrillage) ou par addition. L institutionnalisation portera sur les formules d aire : Pour le rectangle : Longueur x largeur ou L x l. Pour le carré : côté x côté ou c x c. L enseignant fera remarquer que la formule pour le carré n est finalement qu un cas particulier de celle utilisée pour le rectangle. Le calcul de l aire d un rectangle ou d un carré dont les mesures ne sont pas entières sera introduit comme un prolongement du calcul avec les nombres décimaux. Formule d aire du triangle rectangle La formule mise en évidence pour le rectangle permet de construire la formule de l aire d un triangle quelconque. Le professeur donne aux élèves une feuille quadrillée sur laquelle sont représentés des triangles rectangles, Les côtés des angles droits sont sur des lignes du quadrillage.

2 La mise en commun fait apparaître que l aire de ces triangles vaut la moitié de l aire des rectangles dont les côtés sont les côtés des angles droits des triangles. Formule d aire du triangle quelconque Activité 1 L enseignant distribue aux élèves une feuille quadrillée sur laquelle est dessiné un triangle quelconque avec une de ses hauteurs. Ses sommets sont sur des nœuds du quadrillage, un de ses côtés est sur une ligne et la hauteur correspondante également. Il demande aux élève de trouver l aire de ce triangle. La mise en commun doit faire apparaître que le triangle peut être découpé en deux triangles rectangles dont on sait calculer l aire (figure ci-dessus), chacun de ces triangles étant la moitié d un rectangle (AHCM et BHCN sur la figure ci-dessous). On peut aussi faire apparaître que le triangle ABC est la moitié du rectangle formé par ces deux rectangles. L'intervention de l'enseignant sera sans doute nécessaire pour mettre ce fait en évidence. On en déduit que l aire du triangle ABC est la moitié de celle du rectangle AMNB.

3 D autres triangles sont alors proposés avec une des hauteurs dessinée. Ces triangles sont dessinés sur du papier quadrillé puis uni. Les élèves doivent en déterminer l aire en effectuant les mesures nécessaires. Il est important d insister sur le choix du côté du triangle à mesurer en lien avec la hauteur choisie. La formule de l aire du triangle (aire = ( bxh ) :2 ) sera institutionnalisée lorsque les élèves seront capables de calculer l aire des triangles proposés, pas avant. On se limitera au cas où la hauteur est incluse dans le triangle. Dans le cas d un triangle à angle obtus, on choisira donc la hauteur incluse dans ce triangle. Le tracé de la hauteur pourra être laissé à la charge des élèves (qui en sont capables) dans un deuxième temps. Activité 2 Le principe est le même : montrer que l aire d un triangle est la moitié de celle du rectangle dans lequel il est inscrit mais cette fois par découpage-réassemblage et superposition. L enseignant fourni un rectangle découpé dans du papier uni. Les mesures des longueurs de ses côtés sont entières. Les élèves disposent de paires de ciseaux. Il a marqué un point sur une des longueurs. Il fait tracer le triangle de sommet le point marqué et de base la longueur opposée du rectangle. Il demande alors de trouver le rapport entre l aire du triangle obtenu et l aire du rectangle initial. Les représentations ci-dessous peuvent être affichées au tableau de façon à garder des représentations du rectangle et du triangle inscrit sans découpage.

4 La mise en commun doit faire apparaître que chacun des deux triangles rectangles découpés (grisés ici) permettent de réaliser le triangle resté en blanc. Par conséquent l aire du triangle blanc vaut la moitié de l aire du rectangle. Aire du triangle = (L + l) : 2 où L est la longueur du rectangle et l sa largeur. Il s agit maintenant d écrire cette formule en fonction des dimensions du triangle et non plus de celles du rectangle. En plaçant un des triangles rectangles découpés sur le triangle blanc, on peut tracer un segment issu du point qui a servi à tracer le triangle blanc. Ce segment est perpendiculaire à la base du triangle puisque le triangle gris est un triangle rectangle (angle droit issu du rectangle). Ce segment est donc la hauteur du triangle issue du sommet choisi (ou relative à la base). La longueur du rectangle est aussi la base du triangle et sa hauteur est de la même mesure que la largeur du rectangle.

5 h l L ou b On obtient donc la formule : Aire = ( bxh ):2. Cette formule sera institutionnalisée lorsque les élèves seront capables de calculer l aire des triangles proposés, pas avant. On peut faire remarquer aux élèves que, quel que soit le point choisi sur la longueur du rectangle, les triangles obtenus ont tous la même aire (ils ont même base et même hauteur). Marie-Sophie Mazollier (2011)