I) Quelques rappels de volumes : 1) Prisme droit : 2) Cylindre : 3) Pyramide : 4) Cône :

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1 Chapitre 12 : GEMETRIE DANS L ESPACE I) Quelques rappels de volumes : 1) Prisme droit : Les bases sont des polygones superposables. Les faces latérales sont des rectangles. V = Aire de la base x Ex : Cube : V = c x c x c Pavé : V = L x l x H Prisme à base triangulaire : V = b x h 2 x H 2) Cylindre : V = Aire de la base x V = x r² x H Rayon ) Pyramide : La base est un polygone. Les faces latérales sont des triangles ayant un sommet commun. Remarque : a) La hauteur d une pyramide est toujours perpendiculaire à la base. b) Si la base est un triangle, alors la pyramide est appelée tétraèdre. Pyramide régulière : Une pyramide est dite régulière lorsque sa base est un polygone régulier et lorsque sa hauteur passe par le centre de sa base. V = V = 1 Aire de la base x x Aire de la base x Ex : Pyramide à base carrée : V = c x c x H Pyramide à base rectangulaire : V = L x l x H Pyramide à base triangulaire : V = 1 x b x h x H 4) Cône : V = Aire de la base x V = x r² x H Rayon

2 II) Sphère et boule : 1) Vocabulaire : Grands cercles Cette sphère a pour centre [A], [A ], [B] sont des rayons [AA ] et [BB ] sont des diamètres Le point P appartient à la sphère car P appartient à un grand cercle. Le point M n appartient pas à un grand cercle donc on ne peut rien dire sur sa position. Les triangles AA R et BB P sont des triangles rectangles respectivement en R et en P. La boule est un solide. Ce mot désigne à la fois la surface et l intérieur du solide. La sphère est la surface du solide. 2) Formules : Volume de la boule : V = 4 r Aire de la sphère : A = 4 r² Exemple : n considère une boule de centre et de rayon 5 cm. Calculer son volume et son aire. M V boule = 4 r A sphère = 4 r² V = 4 5 A = 4 x 5² V = 4 x 125 A = 100 (valeur exacte) V = 500 V 524 cm (valeur exacte) (valeur approchée) A 14 cm² (valeur approchée)

3 III) Sections : 1) Parallélépipède rectangle (pavé) : La section d un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle La section d un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une arête est un rectangle 2) Cylindre : La section d un cylindre par un plan parallèle à sa base est un disque La section d un cylindre par un plan parallèle à son axe est un rectangle ) Pyramide : La section d une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone qui est une réduction de la base 4) Cône : 5) Sphère : La section d un cône par un plan parallèle à sa base est un disque qui est une réduction de la base La section d une sphère par un plan est un cercle

4 IV) Agrandissement réduction : 1) Coefficient de réduction : Cas 1 : Cas 2 : Pyramide régulière de centre 0. Cône de centre. S S D' A' ' C' ' M' D B' A C B M La pyramide SA B C D est une réduction de la pyramide SABCD. Le cône de centre est une réduction du cône de centre. Coefficient de réduction = petite hauteur grande hauteur = petite arête grande arête = petit côté grand côté Exemple : Dans le cas 1, le coefficient de réduction est : S S = SA SA = A B AB Dans le cas 2, le coefficient de réduction est : S S = SM SM 2) Propriété : Exemple 1 : Figure 1 figure 2 Aire = 2 x 2 Aire = 6 x 6 Aire = 4 cm² Aire = 6 cm² Les dimensions sont multipliées par Les aires sont multipliées par 9 c est-à-dire par ²

5 Exemple 2 : Figure 1 figure 2 Volume = 2 x 2 x 2 Volume = 6 x 6 x 6 Volume = 8 cm Volume = 216 cm Les dimensions sont multipliées par Les volumes sont multipliés par 27 c est-à-dire par Propriété : Quand on agrandit ou on réduit une figure ou un solide : Si les dimensions sont multipliées par le nombre k Alors les aires sont multipliées par le nombre k² les volumes sont multipliés par le nombre k Remarque : Réduire des dimensions, c est multiplier par un nombre k avec 0 k 1 Agrandir des dimensions, c est multiplier par un nombre k avec k 1 ) Exemple : SBCD est une pyramide à base carrée avec S = 8 cm, S = 2 cm et AB = 6 cm. a) Calculer le volume de SABCD b) En déduire le volume de SA'B'C'D' a) Volume SABCD = 6 x 6 x 8 = 96 cm b) S S = 2 8 = 1 4 Le coefficient de réduction est 1 4 Cela signifie que les dimensions sont multipliées par 1 4 Donc le volume est multiplié par ( 1 4 ) Volume (SA B C D ) = Volume SABCD x ( 1 4 ) = 96 x 1 64 = 1,5 cm

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