ESPACE (2) : SECTIONS (1)

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1 ESE (2) : SETONS (1) SETONS U UE U VE U YLNE E EVOLUTON - UN ONE E EVOLUTON (2) et UNE YE (2) - SETONS 'UN VE OT UN LN La section d'un pavé droit par un plan () parallèle à une face est un rectangle. La section d'un pavé droit par un plan () parallèle à une arête est un rectangle. L L Le plan est parallèle à la face. L est un rectangle. Le plan est parallèle à l arête []. L est un rectangle Exemple : Enoncé : EFGH est un pavé droit que l on a coupé par un plan parallèle à l arête [GH], avec H = cm. 1. Quelle est la nature de la section? 2. essine-la en vraie grandeur.. alcule son aire, puis arrondis-la au mm 2 près. E F 7 cm cm H 4 cm G 2 cm Solution : 1. Nature de la section Sachant que la section d'un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle, alors est un rectangle.

2 2. essin en vraie grandeur de la section On commence par construire le triangle H ( ce qui permettra de reporter la longueur ), puis le rectangle. 4 cm cm H 2 cm. alcul de l aire de la section alculons d abord la longueur du côté [] omme EH est un rectangle car le solide EFGH est un pavé, alors le triangle H est rectangle en H. après le théorème de ythagore, on a : 2 = H 2 + H 2 2 = = = 1 = 1,6 onc : = 1 cm ou,6 cm L aire de la section est donc égale à = 4 1 4,6 14,4 onclusion : L aire de la section est 4 1 cm 2 ou environ 14,4 cm 2 - SETONS 'UN YLNE UN LN La section d'un cylindre de rayon par un plan () perpendiculaire à l'axe est un disque de rayon dont le centre appartient à l'axe. La section d'un cylindre par un plan () parallèle à l'axe est un rectangle. O Exemple : H O

3 Enoncé : On coupe un cylindre par un plan parallèle à son axe OO. La hauteur du cylindre est 15 cm, sa base a pour rayon 7 cm. La distance de O au plan est OH = cm. 1. Quelle est la nature de la section? 2. alcule ses dimensions. Solution : 1. Nature de la section. Sachant que la section d'un cylindre par un plan parallèle à l'axe est un rectangle, alors est un rectangle. 2. imensions de la section est égale à la hauteur du cylindre soit 15 cm. alcul de ans le triangle OH rectangle en H, d après le théorème de ythagore, on a : O 2 = OH 2 + H = 2 + H 2 49 = 9 + H 2 H 2 = 49 9 H 2 = 40 H = 40 omme O = O ( car il s agit de deux rayons d un même cercle), alors le triangle O est isocèle en H et donc la hauteur est aussi la médiane. insi H est le milieu de [] et donc = 2 40 onclusion : Les dimensions du rectangle sont 15 cm et 2 40 cm - SETON 'UNE YE ET 'UN ONE

4 1 L YE La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone qui est une réduction du polygone de base. S La pyramide SL est une réduction de la pyramide S. L e même, la grande pyramide est l agrandissement de la petite pyramide. 2 LE ONE La section d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base est un disque qui est une réduction du disque de base. S Le cône de sommet S et de base le disque de diamètre [ ] est une réduction du cône de sommet S et de base le disque de diamètre []. ' T ' e même, la grand cône est l agrandissement du petit cône. O

5 Exemple : Enoncé : On a représenté un cône et une section parallèle à la base. SO = 72 cm et SO = 6 cm. Le rayon [O ] de la section mesure 24 cm. 1. alcule le rayon O de la base du cône. 2. alcule le volume V 1 du grand cône, puis le volume V 2 du petit cône. O' S ' Solution 1. alcul du rayon O O Sachant que la section du cône est parallèle à la base alors les droites (O ) et (O) sont parallèles. e plus les droites (O O) et ( ) sont sécantes en S. SO ' S' O' ' après le théorème de Thalès, on a : = = SO S O où = soit O = = O 6 onclusion : O = 48 cm 2. alcul du volume V 1 du grand cône 1 Le volume d un cône est définie par aire de la base hauteur On a : V 1 = π O SO = π = π onclusion : V 1 = π cm alcul du volume V 2 du petit cône 1 Le volume d un cône est définie par aire de la base hauteur On a : V 2 = π O ' SO' = π = 6 912π onclusion : V 2 = 6 912π cm

6 revet des collèges : Extrait session novembre 2009 mérique du Sud Le cube représenté ci-après est un cube d arête 6 cm. La figure n est pas aux dimensions réelles. On considère : Le point milieu de l arête [ ] Le point N milieu de l arête [ ] Le point milieu de l arête [] Le point milieu de l arête [] 1. Quelle est la nature du triangle E? onstruire ce triangle en vraie grandeur. alculer la valeur exacte de omme milieu de [] et milieu de [ ], alors est un triangle isocèle e plus, est un carré donc ' est droit et le triangle est donc un triangle rectangle en onclusion : F est un triangle rectangle et isocèle en ' ' N ' ' cm cm ans le triangle est rectangle en. après le théorème de ythagore, on a : 2 = = = = 18 = 18 onclusion : mesure 18 cm 2. On coupe le cube par le plan passant par et parallèle à l arête []. La section est le quadrilatère N. Quelle est la nature de la section N? onstruire N en vraie grandeur. onner ses dimensions exactes. Sachant que la section d'un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle, alors N est un rectangle. 6 cm cm cm Les dimensions sont 6 cm pour la longueur et 18 pour la largeur N

7 . alculer l aire du triangle. alculer le volume du prime droit de base le triangle et de hauteur []. 9 ire du triangle = = = = 4, onclusion : L aire du triangle est 4,5 cm² Volume du prisme droit = ire de la base hauteur = 4,5 6 = 27 onclusion : Le volume du prisme droit est 27 cm