Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S

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1 Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S Dans ce module, retour sur la notion de nombre dérivé vue en première. La classe de terminale s attardant plus longuement sur le problème de la dérivabilité d une fonction en un point, les différents cas possibles sont étudiés et à cette étude est couplée celle de la tangente en un point, aspect graphique de la question. 1/ Nombre dérivé, dérivabilité, tangente * Soit f fonction réelle définie sur un intervalle I et x 0 élément de I. Et soit x f sa courbe représentative dans une repère orthonormé. Soit h un réel non nul.

2 Pour trouver le coefficient directeur plus rapidement, on peut évidemment utiliser la formule du rapport. * Soit f fonction réelle définie sur un intervalle I et x 0 élément de I. Et soit x f sa courbe représentative dans une repère orthonormé. Soit h un réel non nul. D h a pour coefficient directeur : Quand h tend vers 0 : tend à devenir la tangente à la courbe en x0 Et Tx 0 a donc pour coefficient directeur : à condition que cette limite soit

3 finie. D où l étude de différents cas : Cas n 1 : cette limite est un nombre fini On dit alors que la fonction f est dérivable en x 0, est appelé nombre dérivé en x 0 noté : = f '(x 0 ). Et Tx 0 a donc pour coefficient directeur : f ' (x 0 )

4 Cas n 2 : la limite n est pas un nombre fini On dit alors que la fonction f n est pas dérivable en x 0 Deux cas peuvent se présenter : Cas n 2.1 : la limite est infinie Prenons l exemple de : Plus h se rapproche de 0, et plus le coefficient directeur de devient un grand nombre positif. tend alors à devenir verticale. La courbe admet donc une tangente verticale en x 0. D où l allure de la courbe au voisinage de x 0.

5 Cas n 2.2 : la limite n est ni finie ni infinie Premier exemple, si : La limite en 0 de n existe pas. On ne peut alors parler ni de nombre dérivé, ni de tangente en. Deuxième exemple : soit et x 0 = 0 Alors : D'où

6 et Les limites à droite et à gauche en 0 du rapport n étant pas égales, on ne peut parler de limite en 0. La fonction valeur absolue n est donc pas dérivable en 0. Par contre : la courbe admet deux demi-tangentes en 0. Une demi-tangente à gauche de coefficient directeur -1. Une demi-tangente à droite de coefficient directeur 1. Remarque : La limite étudiée pour savoir si f est dérivable en x 0 est parfois exprimée de façon différente. Nous avons travaillé avec : Mais, si on pose : X = x 0 +h alors : Et :

7 Donc, par composition de limite : Il arrivera donc dans certains énoncés que l on étudie pour savoir si f est dérivable en x 0. Et inversement, sachant que f est dérivable en un point, on pourra récupérer un résultat de limite en ce point. 2/ Tangente : tracé, équation, lecture du nombre dérivé Tracé de la tangente Remarque : beaucoup d élèves confondent les notions de tangente et d asymptote. Or, alors que l asymptote est une droite sur laquelle la courbe tend à venir «se coller» sans l atteindre, la tangente, elle, est une droite qui possède au moins un point commun avec la courbe. Ce point commun est appelé point de contact ou point de tangence. S il s agit de la tangente en x 0, ce point est le point de la courbe d abscisse x 0

8 Prenons l exemple de dérivable en 2, telle que : f (2) = 3 et f ' (2) = -3 La tangente en 2, T 2 a alors pour coefficient directeur -3. Et pour vecteur directeur : (1 ; -3) Du point de vue du tracé, tangente et courbe vont localement se confondre au voisinage de 2. Cas particulier : Si le nombre dérivé est nul, la tangente, dont le coefficient directeur est alors nul, est horizontale. Remarque : Par convention, pour marquer le côté local de la tangente, on la représente par un segment fermé par deux flèches Equation de la tangente : exemple Conservons l exemple de f dérivable en 2, telle que : f (2) = 3 et f ' (2) = -3 La tangente en 2, T 2 est une droite qui n est pas verticale donc elle admet une équation réduite du type : y = ax + b. Et a = f ' (2) = -3, donc T 2 a pour équation : y = -3x + b Comme pour toute recherche d équation de droite, il faut maintenant utiliser un point de la droite afin de trouver b. Le seul point connu est le point de tangence A, d abscisse 2. A X f Donc A a pour coordonnées : ( 2 ; f (2) ) Soit (2 ; 3) Et A T 2 donc ses coordonnées vérifient l équation de T 2 D où : y A = -3x A + b 3 = -3 x 2 + b b = 9 Et donc, T 2 y = -3x + 9

9 Remarque : Au voisinage de 2, courbe et droite se confondent d où : f (x) -3x + 9 f étant alors identifiée à une fonction affine, on dit que l on réalise localement une approximation affine de f. Equation de la tangente : cas général Par ce même raisonnement, on peut trouver l équation de la tangente dans le cas général : Equation réduite de la tangente en x 0, Tx 0 : y = f ' (x 0 )(x - x 0 ) + f (x0) Mais attention aux cas de dérives concernant cette formule, et toute formule en général. A force d appliquer cette formule sans réfléchir, beaucoup d élèves en perdent son sens et ne savent même plus que la tangente a pour coefficient directeur le nombre dérivé. Ce qui peut être très handicapant en particulier dans les exercices de lecture graphique du nombre

10 dérivé. Il est donc conseillé de chercher l équation de la tangente comme vu dans l exemple et de tout de même connaître cette formule parfois utile dans des exercices compliqués, étudiant un cas général. Conseil : Cette formule étant souvent source d erreur au niveau des signes, il faut s assurer que l équation de droite que l on propose vérifie deux choses : que A(x0 ; f (x0)) appartient à la droite, en vérifiant que : y = f (x 0 ) pour x = x 0 qu en développant l équation, le coefficient sur les x est bien : f ' (x 0 ) Equation de la tangente : cas particuliers Si le nombre dérivé est nul, alors la tangente est horizontale et son équation est tout simplement : y = f (x 0 ) Si la tangente est verticale, son équation est : x = x 0 Lecture du nombre dérivé

11 Si la tangente en x 0 est verticale, le nombre dérivé en x 0 n existe pas. Dans le cas contraire, le nombre dérivé en x 0 est égal au coefficient directeur de la tangente en x 0 * Méthode de lecture du coefficient directeur En général, les tangentes dont on a besoin sont déjà tracées sur le graphique. Dans le cas contraire, les tracer au mieux en essayant localement de ne couper la courbe qu au point de contact d abscisse x 0 f '(1) La tangente en 1 est verticale, f '(1) n existe pas. f '(2) La tangente en 1 est horizontale, son coefficient directeur est donc nul, f '(2) = 0 f '(7) (-3 ; 2) est un vecteur directeur de T 7 Donc, également Or d'où Et s il faut donner l équation de la tangente, il ne reste plus qu à trouver b, en utilisant le point de contact ou un autre point de la droite. 3/ Dérivabilité et continuité Soit f fonction réelle définie en x 0 et au voisinage de x 0 * Si f est dérivable en x 0 alors f est continue en x 0

12 Attention! La réciproque est fausse. En effet, si nous reprenons l exemple de la fonction valeur absolue vu plus haut : La courbe de f peut être tracée autour de 0 «sans lever le crayon» donc f est continue en 0. Et pourtant, nous avons montré que f n est pas dérivable en 0. 4 / Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée Dérivabilité sur un intervalle f est dérivable sur l intervalle ouvert ] a ; b [ si f est dérivable en x 0, quel que soit x 0 élément de ] a ; b [ Si de plus : et sont des nombres finis, alors f est dérivable sur [ a ; b ]

13 Remarque : la courbe de f admet alors une demi-tangente à droite en a et une demi-tangente à gauche en b Fonction dérivée Si f est dérivable sur I, la fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé en x, f ' (x) est appelée en fonction dérivé de f ou plus simplement dérivée de f et notée f ' On a donc f ' définie sur I et * La dérivée de la dérivée de f est appelée dérivée seconde ou dérivée deuxième et notée f '' ou f (2) * Dérivée que l on peut elle-même dériver et ainsi de suite, formant une suite de fonctions dont la nième est appelée dérivée nième et notée f (n) Si f est dérivable sur un intervalle I alors f est dérivable sur tout intervalle inclus dans I. Toute somme, différence ou produit de fonctions dérivables sur I est dérivable sur I. est dérivable sur I, si u et v sont dérivables sur I et si v ne s annule pas sur I. Fonctions de référence Les fonctions affines, polynômes et trigonométriques sont dérivables sur R. Les fonctions rationnelles (quotient de deux polynômes) sont dérivables sur chacun des intervalles où elles sont définies. La fonction racine est continue sur [ 0 ; [ mais seulement dérivable sur ] 0 ; [

14 La fonction valeur absolue est continue sur R mais seulement dérivable sur les intervalles ]- ; 0[ et ] 0 ; [ Remarque : On ne peut pas dire que la fonction valeur absolue est dérivable sur R* car R* n est pas un intervalle. 5 / Fonctions dérivées de référence Quel que soit k réel (k)' = 0 en particulier (0)' = 0 Cette notation «entre parenthèses», signifie que la dérivée de la fonction constante qui à x associe k est nulle. Notation considérée comme abusive par certains puristes mais pratique et économique du point de vue rédaction. Pour tout x réel (ax + b)' = a (x n )' = nx n-1 (cos x)' = cos x Pour x ] ; 0[ ou ] 0 ; [ Pour x = 0 Attention à ne pas rajouter un (-) dans cette formule 6 / Propriétés algébriques des fonctions dérivées 1. (0)' = 0 Soient u et v deux fonctions réelles 2. (u + v)' = u' + v' Conséquence de 1 et 2 : 3. (-u)' = -u et 4. (u- v)' = u' - v' 5. (u x v)' = u' x v + u x v'

15 En particulier, pour tout réel k : (k x u)' = k x u' Formule capitale pour le calcul de primitives 6. Formule qui sera démontrée plus loin à l aide de la dérivée d une fonction composée. Conséquence de 5 et 6 : 7. 7/ Dérivée d une fonction composée Dérivabilité en un point Si g est dérivable en x 0 et si f est dérivable en g(x 0 ) alors est dérivable en x 0 et ( )' (x 0 ) = g ' (x 0 ) x f ' (g(x 0 )) Pour tout x en lequel est dérivable, on a donc : ( )' (x) = g ' (x 0 ) x f ' (g(x 0 )) Dérivabilité sur un intervalle Si g est dérivable sur I et si f est dérivable sur g(i) alors est dérivable sur I

16 Exemple d utilisation et de rédaction Soit la fonction h définie par : On a alors, le schéma de composition suivant : En appliquant la formule de dérivation d une fonction composée, on a donc : D où la formule : Sur le même principe, on démontre : (u n )' = u' x nu n-1 ou encore Ces formules-là sont à connaître pour être capable de réagir, en particulier dans les futurs calculs de primitives mais elles ne sont pas à apprendre par cœur car on peut facilement les retrouver. Etre à l aise avec la dérivation des fonctions composées est capital en terminale et permet en outre d éviter d avoir à apprendre trop de formules. 8/ Dérivée et sens de variation d une fonction Point de vocabulaire f est dite croissante sur I si quels que soient a et b de I : a < b f< f (b) (a) Il est alors possible d avoir : a b et f (a) = f (b) f est dite strictement croissante sur I si quels que soient a et b de I : a < b f (a) < f (b) Dans ce cas-là, deux réels différents pris sur I ne peuvent avoir la même image.

17 On dit que f est monotone sur I si son sens de variation ne change pas sur I. Autrement dit si elle est croissante sur tout I ou décroissante sur tout I. f est dite strictement monotone sur I si elle est strictement croissante sur tout I, ou strictement décroissante sur tout I. Signe de la dérivée et sens de variation Soit f dérivable sur I Si pour tout x de I : f ' (x) = 0 alors f est constante sur I Si pour tout x de I : f ' (x) > 0 alors f est croissante sur I Monotonie large Si pour tout x de I : f ' (x) < 0 alors f est croissante sur I Monotonie large Ces résultats sont admis mais tout à fait logiques étant donné que le nombre dérivé représente la pente (ou coefficient directeur) de la tangente. Si une courbe suit localement une droite dont la pente est positive, cette courbe ne peut que monter. Si f ' est strictement positive sur I sauf en des valeurs isolées de I où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I. Monotonie stricte Si f ' est strictement négative sur I sauf en des valeurs isolées de I où elle s annule, alors f est strictement décroissante sur I. Monotonie stricte Exemple de fonction strictement croissante dont la dérivée s annule ponctuellement f (x) = x 3 Quels que soient a et b réels : a < b f (a) < f (b) Donc f est strictement croissante sur R Pourtant : f ' (x) = 3x 2 La dérivée est donc positive sur R mais s annule en 0. Cependant, comme elle ne s annule pas sur tout un intervalle mais seulement en un point isolé,

18 la fonction cube est tout de même strictement croissante. Tableau de variations : exemple. Les flèches ci dessus signifient que : 1 f est continue sur [3 ; 5] 2 f est strictement croissante sur [3 ; 5] Utilisations du tableau de variations 1. Il peut servir à trouver le signe de la fonction sur un intervalle, en utilisant variations de la fonction et valeurs où elle s annule. 2. Le tableau sert également à trouver en quelles valeurs la fonction admet des extrema locaux. Soit f dérivable sur I et x 0 élément de I. Si f ' s annule et change de signe en x 0 alors f admet un extremum local en x 0 * Si le signe de la dérivée passe de positif à négatif, la fonction est croissante puis décroissante donc il s agit d un maximum local. * Si le signe de la dérivée passe de négatif à positif, il s agit d un minimum local. Attention : f ' (x 0 ) = 0 est une condition nécessaire mais insuffisante pour que f admette un extremum local en

19 x 0 En effet : La dérivée de la fonction cube s annule en 0, et pourtant la fonction cube n admet pas d extremum local en cette valeur. On dit alors que la courbe admet un point d'inflexion 9/ Signe de la dérivée Savoir dériver une fonction est une chose mais savoir en étudier le signe en est encore une autre. Voici quelques conseils de stratégie, une fois la dérivée obtenue : 1. Regarder sur quel intervalle la fonction est étudiée. Cela permet parfois de trouver de suite le signe de la dérivée. 2. On sait étudier le signe : des fonctions affines des fonctions polynômes du second degré des produits de ce type de fonctions. Il faut donc essayer de s y ramener : en factorisant en mettant sur le même dénominateur. On ne développe une expression que si aucune autre stratégie ne semble possible et si cela permet d éliminer certains termes.

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