Polygones réguliers. Corrigé

Transcription

1 1 ère partie 1. Dans le dossier «ch 7» ouvre le fichier «polygones reg1» de type GEOGEBRA (vous le trouverez dans poste de travail, sous «3b/commun» ou «3d/commun») 2. D après les codages, quelle est la nature du triangle ABC? un triangle qui a trois côtés égaux est équilatéral.quelle est alors la mesure des angles de ce triangle? Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux à Quel angle au centre est associé à l angle inscrit? l angle au centre associé à cet angle inscrit est l angle Quelle propriété permet de déduire la mesure de l angle au centre associé? L angle inscrit vaut la moitié de l angle au centre associé ;Quelle est la mesure de? vaut le double de l angle donc deux fois 60, c'està-dire Quelles sont les mesures des angles et? Justifier. De la même façon, l angle au centre valant le double de l angle inscrit associé et les angles inscrits valant tous 60, les angles et valent aussi Expliquer comment, à partir d un point A et d un point O, on peut inscrire un triangle ABC équilatéral dans le cercle de centre O. on va construire le point B du cercle tel que l angle puis le point C tel que

2 6. Construire un cercle de centre O et de rayon OA = 6 cm, puis construire le triangle équilatéral ABC. 7. Puis construire les bissectrices [Ox) [Oy) et [Oz) des angles, et : elles coupent le cercle aux points E, F et G. 8. Tracer le polygone AEBFCG : comment appelle-t-on un polygone à six côtés? Un polygone à 6 côtés est un hexagone.

3 9. Démontrer que le triangle OEA est équilatéral. OE et OA sont deux rayons du cercle donc OEA est isocèle en O. Donc les angles à la base Sont égaux, et leur somme valant soit 120, chaque angle du triangle OEA vaut 60 donc OEA est bien équilatéral. 10. On rappelle qu un polygone est dit «régulier» lorsque tous ses angles sont égaux et que tous ses cotés ont la même longueur. Prouver alors que cet hexagone AEBFCG est lui aussi régulier. Les côtés de l hexagone, formés par des côtés de triangles équilatéraux sont bien tous égaux. Pour ce qui est des angles, chaque angle de l hexagone est la somme de deux angles adjacents de 60, donc chaque angle de l hexagone mesure 120, l hexagone est donc bien «régulier» 11. Comment peut-on construire, à partir de la figure précédente, un polygone régulier à douze côtés? Il suffit de diviser chaque angle au centre à l aide de leur bissectrice, on obtiendra 6 points supplémentaires sur le cercle, donc une figure à 12 côtés. Comment appelle-t-on un tel polygone? Un polygone à 12 côtés s appelle un dodécagone. Construire ce polygone sur la même figure.

4 2 ème partie 1. Construire un cercle de centre O et de rayon OA = 6 cm. Puis construire deux diamètres perpendiculaires [AC] et [BD]. Construire le quadrilatère ABCD. Quelle est sa nature? Justifier par une propriété sur les quadrilatères particuliers. Les diagonales de ABCD sont deux diamètres du cercle donc elles sont la même longueur et se coupent en leur milieu O, de plus elles sont perpendiculaires donc ABCD est un carré. 2. Qu appelle-t-on un octogone régulier? C est un polygone à huit côtés, ayant tous ses angles de même mesure et tous ses côtés de la même longueur. 3. Expliquer comment à partir du carré ABCD, on peut construire un octogone régulier. Il suffit de construire les bissectrices des 4 angles droits au centre : on obtient sur le cercle 4 sommets supplémentaires 4. Construire un octogone régulier sur la figure précédente. 5. Ouvrir «polygones reg2». A l aide des outils «lignes particulières» «points d intersection entre deux objets» et «polygone» construire un octogone régulier à partir du carré ABCD.

5 3 ème partie 1. Qu appelle-t-on un pentagone? c est un polygone à cinq côtés. Calculer l angle au centre formé par deux sommets consécutifs, sachant que le pentagone est régulier Ouvrir le fichier «polygones reg3». Un cercle de centre O est construit, un point A est placé sur ce cercle. Avec l outil «angle» ou «rotation», placer le point B sur le cercle de sorte que l angle soit égal à Placer de la même façon les trois autres points sur le cercle et à l aide de l outil «polygone» construire le pentagone régulier. 4. En utilisant les angles au centre, calculer la mesure des angles du pentagone (remarque : ces angles sont des angles inscrits)

6 5. Pour terminer par un joli dessin, on peut former l étoile à cinq branches.