Ecriture fractionnaire

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1 Ecriture fractionnaire C H A P I T R E 7 Énigme du chapitre. Objectifs du chapitre. On peut remarquer que = 2 5. Trouvez une égalité analogue en remplaçant les lettres X, Y et Z par trois chiffres différents et tels que : XY Y Z = X Z. Utiliser l écriture fractionnaire comme expression d une proportion, d une fréquence. Utiliser sur des exemples numériques des égalités du type ac bc = a b.

2 I/ Interprétations Activité A. Fractions comme fréquence, partage 1. (a) Dessiner un ruban unité comme ci-dessous. (b) Colorier 3 cases du ruban. (c) Exprimer en fractions, la part des cases coloriés par rapport au total du ruban. (d) Représenter 1 5 de 3 unités, c est-à-dire Que constate-t-on? (e) Représenter le nombre Que constate-t-on? Donner l écriture décimale de Une grand-mère a donné 50 e à ses trois petite filles qui décident de se partager équitablement cette somme. Quelle est la part de chacune? 3. Dans une urne, il y a 5 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules vertes. Exprime en fractions, la fréquence de boules rouges, de boules bleues et de boules vertes par rapport au nombre total de boules. Définition Une fraction permet de décrire un partage équitable d une ou de plusieurs unités. La fraction 5 8 exprime une quantité : c est 5 parties d une unité partagée en huit parties égales ou encore une partie de 5 unités partagées en 8 parties égales. Définition Une proportion, écrite sous forme de fraction, permet d exprimer une quantité comparée à une quantité totale. Dans un panier de pommes, il y a 3 pommes rouges et 4 pommes vertes. La proportion de pommes vertes dans le panier peut s écrire 4 7.

3 II/ Ecritures fractionnaires d un même nombre Activité B. Quotients égaux et diviser par un nombre décimal 1. Les quatres rectangles ci-dessous sont superposables, ainsi que les parties colorées. (a) Pour chaque dessin, écrire la fraction qu il illustre. (b) Recopier et compléter : 3 4 = = = = 1,5.... (c) Comment obtient-on toutes les écritures fractionnaires de 3 4? 2. Un rectangle a une aire de 9 m 2 et sa largeur est de 0,75 m. Calculer sa longueur. Définition On obtient une nouvelle écriture fractionnaire d un nombre en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre, différent de 0. ac bc = a b et a c b c = a b avec b 0, c 0. (Simplification d une fraction) On veut simplifier : = = 3 4. Il n est pas possible de trouver un numérateur et un dénominateur pluspetits. On dit alors que 3 4 est une fraction irréductible. (Division par un nombre décimal) Quand le dénominateur est un nombre décimal, on le multiplie successivement par 10 jusqu à ce que le dénominateur soit un nombre entier. 7,35 0,35 7,35 10 = 0,35 10 = 73,5 3,5 = 73,5 10 3,5 10 = = 21. Faire les exercices

4 III/ Comparaison de nombres en écriture fractionnaire Activité C. Comparaison des fractions A - Comparaison de fractions avec le nombre 1 À l issue d un tournoi de beach-volley, cinq équipes se retrouvent ex aequo, mais le réglement précise : «Lorsque les équipes ont le même nombre de points, pour les départager, on calcule le quotient des sets gagnés sur les sets perdus : le plus fort quotient obtient le meilleur classement. équipes points sets gagnés sets perdus France États-Unis Mexique Cuba Brésil À l aide d une calculatrice, établir un classement des cinq équipes. 2. Quels sont les quotients supérieurs à 1? inférieurs à 1? 3. Dégagez une règle qui permet de comparer une fraction avec le nombre 1. B - Comparaison de fractions n ayant pas le même dénominateur 1. Reproduire trois fois la grille ci-contre. Appeler A la première grille, B la deuxième et C la troisième. (a) i. Colorier 1 4 de la grille A ; 5 12 de la grille B ; 9 24 de la grille C. ii. Quelle est la grille dont la surface coloriée est la plus grande? (b) Anne nous dit : «On pouvait connaître à l avance la grille la plus coloriée. Il suffisait de transformer les deux première fractions en mettant 24 au dénominateur». Mettre les fractions de la surface coloriée sous le même dénominateur (aide : les dénominateurs sont multiples l un de l autre) et écrire une règle pour comparer deux fractions qui n ont pas le même dénominateur.

5 1) Comparaison une fraction au nombre 1 Propriété 1. Si a > b et b 0 alors a b > 1 2. Si a < b et b 0 alors a b < 1 Remarque Si le numérateur et le dénominateur d un nombre en écriture fractionnaire sont égaux alors ce nombre est égal à 1. s > 1 ; < 1 ; = 1. 2) Comparaison de deux fractions Propriété (Comparaison de fractions ayant meme dénominateur) Deux fraction ayant le même dénominateur sont rangés dans l ordre de leurs numérateurs. Si a < b et c 0, alors a c < b c. s < 3 3 ; 4 5 > 2 5. Méthode (Comparer deux fractions) 1. On commence par les réduire au même dénominateur. 2. On applique la règle de comparaison de fractions ayant même dénominateur. 3. Comme les fractions initiales et réduites au même dénominateurs sont des fractions équivalentes, on en déduit la comparaison des deux fractions initiales. On veut comparer les fractions 1 3 et On réduit les deux fractions au même dénomiateur : 1 3 = = 2 6 et 1 6

6 2. On applique la règle de comparaison de fractions ayant même dénominateur. Comme 2 > 1, on a : 2 6 > On en déduit alors la comparaison initiale : 1 3 > 1 6. Remarque Quand on ne peut pas réduire (facilement) les deux fractions au même dénominateur et que leur numérateur sont les mêmes, on peut appliquer la règle suivante. Propriété (Comparaison de deux fractions ayant même numérateur) Deux fractions ayant le même numérateur sont rangés dans l ordre inverse de leurs dénominateurs. Si a < b et a 0 et b 0 alors c b < c a. Comme 124 > 125, on a : > Faire les exercices