DÉRIVONS EN VITESSE. = f t h f t h pour h «assez petit» (approximation plutôt utilisée en Sciences Physiques),

Transcription

1 Cette séquence est extraite de la brocure «espace modules 1 S» publiée au CRDP d Aquitaine. Elle a pour objectif de comparer deux approximations du nombre dérivé d une fonction numérique en un point, l une issue de la définition matématique usuelle et l autre utilisée en Sciences Pysiques, et s articule au scénario d introduction de la dérivée suggéré par le document d accompagnement des programmes [rentrée 001] de 1 S (paragrape 6 / dérivée, page 11/30). DÉRIVONS EN VITESSE Un point M se déplace sur une droite. Sa position à l instant t est caractérisée par son abscisse dans le repère (O, I) : x = f (t) où f est une fonction dérivable en t 0. Par définition, on appelle vitesse instantanée de M à l instant t 0 le nombre dérivé de f en t 0 : f (t 0 ). Dans la pratique, on utilise deux valeurs approcées de cette vitesse : ( 0 + ) ( 0 ) Vt ( 0 ; ) = f t f t pour «assez petit» (approximation plutôt utilisée en Sciences Pysiques), ( 0 + ) ( 0) Wt ( 0 ; ) = f t f t pour «assez petit» (approximation plutôt utilisée en matématiques). On se propose de comparer ces deux approximations. À cet effet, on introduit les nombres ϕ ( t 0 ; ) = V ( t 0 ; ) f (t 0 ) et µ ( t 0 ; ) = W ( t 0 ; ) f (t 0 ). 1

2 REMARQUE V ( t 0 ; ) est le coefficient directeur de la droite (M 1 M ). W ( t 0 ; ) est le coefficient directeur de la droite (MM ). x M 1 M M A. Légitimité de l approximation de f (t 0 ) par V (t 0 ; ) Soit f une fonction dérivable en t 0 et f (t 0 ) le nombre dérivé de f en ce point. 1. Démontrer que f( t0) f( t0 ) lim = f '( t0 ). 0 O t 0 t 0 + t 0 1 f( t0 + ) f( t0) f( t0) f( t0 ). Vérifier que Vt ( 0 ; ) = + et en déduire lim Vt ( 0; ) = f'( t 0). 0 B. Comparaison des approximations dans des cas particuliers 1. Mouvement uniforme : f()= t at+ b (a 0). a. Calculer f (t 0 ), V ( t 0 ; ), W ( t 0 ; ). b. Calculer ϕ ( t 0 ; ) et µ ( t 0 ; ). Expliquer géométriquement ces résultats. c. Conclure. t

3 . Mouvement uniformément accéléré : f() t = at² + bt+ c (a 0). a. Calculer f (t 0 ), V ( t 0 ; ), W ( t 0 ; ). b. Calculer ϕ ( t 0 ; ) et µ ( t 0 ; ). Expliquer géométriquement ces résultats. c. Conclure. 3. Mouvement de loi oraire f (t) = t 3. a. Calculer f (t 0 ), V ( t 0 ; ), W ( t 0 ; ). b. Calculer ϕ ( t 0 ; ) et µ ( t 0 ; ). c. On se place à l instant t 0 = 1 ; expliciter ϕ ( 1 ; ) et µ ( 1 ; ). ϕ(1; ) Démontrer que, pour tout élément de ] 0,1 ; 0,1 [, on a µ (1; ) < 1. Conclure Mouvement de loi oraire f()= t sur l intervalle ] 0 ; + [. t a. Calculer f (t 0 ), V ( t 0 ; ), W ( t 0 ; ). ϕ( t0 ; ) b. Calculer ϕ ( t 0 ; ), µ ( t 0 ; ) et µ ( t0 ; ). c. Déterminer un nombre réel strictement positif ε tel que, pour tout nombre réel élément de ϕ( t0 ; ) l intervalle ] ε ; +ε [, on a < 1. Conclure. µ ( t ; ) 0 3

4 C. Rôle de l ypotèse de dérivabilité Les deux approximations du nombre dérivé de f en t 0 supposent évidemment la dérivabilité de f en t 0 (passée peut-être inaperçue!). Soit f()= t t. La fonction f est-elle dérivable en zéro? Calculer V ( 0 ; ) et W ( 0 ; ). Donner les valeurs exactes de V ( 0 ; 10 6 ) et de W ( 0 ; 10 6 ). Conclure. Remarque : De nombreuses calculatrices donnent le nombre dérivé d une fonction en un point t 0, mais elles afficent en fait la valeur de V ( t 0 ; ) pour «très petit». D Exemple À l instant t = 0, on lâce une balle, sans vitesse initiale, d une auteur de 5 m. On suppose que, durant sa cute, la distance f (t) entre la balle et le sol est définie par f ( t ) = 5 t +5t, que la balle touce le sol à l instant t = 1 puis rebondit. On suppose alors que, entre le premier et le second rebond (à l instant t =,5), la distance entre la balle et le sol est définie par f (t) = 5 t + 17,5 t 1,5. f() t = 5t + 5 si 0 t 1 En résumé f( t) = 5t + 17,5t 1,5 si 1 t,5 1. À l instant t = 1, on considère : f(1 ) (1 ) (1 ) (1) (1; ) + f f = et (1; ) = + f V W où 10 1 < < a. Calculer V (1 ; ) et W (1 ; ) en distinguant > 0 et < 0. 4

5 b. Donner les valeurs exactes de V ( 1 ; 10 6 ), V ( 1 ; 10 6 ), W ( 1 ; 10 6 ) et W ( 1 ; 10 6 ). c. Peut-on utiliser ces résultats pour émettre des conjectures sur la vitesse de la balle à l instant t = 1? f(1 + ) f(1). a. Montrer que admet une limite lorsque tend vers zéro par valeurs négatives et lorsque tend vers zéro par valeurs positives. Ces limites sont respectivement appelées nombre dérivé de f à gauce en 1 et nombre dérivé de f à droite en 1. On les note f (1) et f (1). g d La fonction f est-elle dérivable en 1? b. Calculer 1 ( f (1) + f (1)). Que constate-t-on? g d 3. Plus généralement, soit une fonction numérique f de la variable réelle t, définie sur un intervalle ouvert I, admettant, en un point t 0 de l intervalle I, un nombre dérivé à gauce f (t g 0 ) et un nombre dérivé à droite f (t d 0 ). Démontrer que V (t 0 ; ) = 1 ( f g ( t 0 ) + f d ( t 0 )) lorsque tend vers zéro. 5