LE THÉORÈME FONDAMENTAL DE L ALGÈBRE

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1 Lycée Thiers LE THÉORÈME FONDAMENTAL DE L ALGÈBRE Depuis le courant du 17ème siècle, divers mathématiciens s interrogent sur le nombre de solutions d une équation polynomiale de degré n. L idée qu une telle équation admette n solutions est formulée pour la première fois en 1629 par le mathématicien flammand Albert Girard, mais sans indiquer que ces solutions sont de la forme a + ib, avec a, b réels. En 1637, René Descartes écrit que l on peut imaginer n solutions, mais que celles-ci ne correspondent en général à aucune quantité concrète. C est à Jean Le Rond d Alembert que l on doit la première tentative sérieuse, menée en 1746, pour établir l énoncé suivant : Tout polynôme complexe non constant possède au moins une racine complexe D Alembert construit une suite de nombres complexes qui converge vers une racine du polynôme, mais sa preuve est invalide. Euler attaque de son côté le problème en considérant en 1749 un polynôme unitaire de degré 2 n qu il affirme pouvoir factoriser en un produit de deux polynômes de degré moitié, visant ainsi une récurrence, mais son argumentation manque de précision. C est finalement Gauss qui, en 1799, expose la première véritable démonstration. Il est alors agé de 22 ans. On considère aujourd hui que cette première preuve de Gauss comportait quelques failles. Plus tard, Gauss produira d autres démonstrations abouties cette fois de ce résultat. Jean Le Rond d Alembert Carl Friedrich Gauss

2 LE THÉORÈME FONDAMENTAL DE L ALGÈBRE 2 Les quelques repères chronologiques qui précèdent sont tirées de [1], que l on pourra consulter pour plus de détails. Le théorème de d Alembert-Gauss est considéré comme une des pierres angulaires de l algèbre moderne : il est connu sous le nom de théorème fondamental de l algèbre. Il en existe diverses démonstrations. Celle qui suit est sans doute la plus élémentaire de toutes. Il s agit d une version moderne de la démonstration présentée en 1814 dans les Annales de Gergonne [2] par Jean-Robert Argand , comptable de son métier et mathématicien amateur. Pour des raisons de clarté, la preuve est décomposée en deux étapes, exposées aux sections 1 et Etape préliminaire Lemme. Soit P C [X] non constant et soit ζ C tel que P ζ 0. Alors il existe z C tel que P z < P ζ. Démonstration. Afin d alléger les notations, posons Q z = P ζ + z. Ainsi Q 0 0 et il s agit de prouver l existence de z C tel que Q z Q < 0. Posons : Q z = Q 0 + b m z m + b k z k où m désigne la valuation de Q Q 0 ce dernier polynôme est non nul puisque Q n est pas constant. Intuitivement, lorsque z parcourt un cercle de centre 0 et de rayon r > 0 assez petit, Q z reste très voisin de Q z = Q 0 + b m z m, qui parcourt m fois plus vite que z le cercle de centre Q 0 et de rayon b m r m. Ce dernier cercle coupe le segment [0, Q 0] en un point, plus proche de 0 que ne l est Q 0. Il reste à expliquer rigoureusement que le fait d avoir négligé dans cette description les termes b k z k pour k {m + 1,, n} n a rien modifié d essentiel.

3 Pour cela, considérons ω C tel que ω m = b m LE THÉORÈME FONDAMENTAL DE L ALGÈBRE 3 Q0. Bien sûr, le théorème fondamental de l algèbre n est pas requis pour affirmer l existence d un tel ω...! On sait en effet que tout nombre complexe possède des racines m èmes. On a alors, en posant y = ωz : donc, pour y ]0, 1[ : Q z Q 0 1 ym + et, finalement, si y est assez petit : Q z Q 0 = 1 ym + c k y k c k y k = 1 y m 1 Q z Q 0 < 1 c k y k m 2. Preuve du théorème On considère P C [X] non constant : P = a k X k ; avec n 1 et a n 0 On confond comme d habitude le polynôme P et la fonction polynomiale qui lui est associée. En mettant en facteur le terme de plus haut degré dans P z, on constate que : n 1 P z = a n z n a 1 + k z k n a n d où, par inégalité triangulaire : Il s ensuit que : et, en particulier, que : P z an z n 1 lim z + n 1 P z = + a k a n z k n R > 0; z C, z > R P z P 0 Comme le disque D = {z C; z R} est compact cf. section suivante, l application continue D R, z P z atteint sa borne inférieure en un certain ζ D. On a ainsi, pour tout z C : z R P z P ζ et z > R P z P 0 mais, comme 0 D, il vient P 0 P ζ, de sorte que, finalement : z C, P z P ζ

4 LE THÉORÈME FONDAMENTAL DE L ALGÈBRE 4 En supposant que P ne s annule pas, ce qui signifie exactement que P ζ > 0, le lemme de la section précédente apporte une contradiction. 3. Un peu de compacité Un sous-ensemble K de C est dit compact 1 lorsque toute suite à termes dans K admet une sous-suite qui converge vers un élément de K. On peut démontrer la caractérisation suivante : Théorème. Etant donné K C, les assertions suivantes sont équivalentes : ➀ K est compact. ➁ K est fermé et borné. Rappelons que K est fermé signifie que pour toute suite convergente à termes dans K, la limite de la suite est encore dans K. Le résultat suivant est essentiel : Théorème. Si K C est compact, non vide et si f : K R est continue, alors f est bornée et atteint ses bornes. Autrement dit, l ensemble f K = { f z ; z K } est une partie non vide bornée de R, qui admet de ce fait une borne supérieure et une borne inférieure ; et il existe α, ω K 2 tel que : f α = inf f K et f ω = sup f K Les preuves de ces deux théorèmes qui généralisent des résultats connus lorsque K est un segment de R sont données en annexe. 4. Annexe Preuve du théorème 1 : ➀ ➁ Soit z n n N une suite convergente à termes dans K. Notons λ sa limite. Par hypothèse, il existe une suite extraite z ϕn qui converge vers un certain µ K. Comme toute suite extraite d une suite convergente converge vers la même limite, il vient λ = µ et donc λ K. Ainsi, K est fermé. Supposons maintenant K non borné ; alors pour tout n N, il existe ζ n K tel que ζ n n. Il existe alors une suite extraite ζ ψn qui converge, et qui est donc bornée, ce qui est en contradiction avec n N, ζψn ψ n. 1. En fait, cette définition est celle de la compacité séquentielle, mais ne chipotons pas.

5 LE THÉORÈME FONDAMENTAL DE L ALGÈBRE 5 ➁ ➀ Soit z n n N une suite à termes dans K. Posons, pour tout n N, x n = Re z n et y n = Im z n. Comme x n x 2 n + y 2 n = z n, et comme K est borné, la suite réelle x n n N est bornée donc admet d après Bolzano-Weierstrass une suite extraite convergente xϕn, de limite a R. Pour les mêmes raisons, la suite y ϕn admet une suite n N extraite convergente y ϕ ψn, de limite b R. Il s ensuit que la suite z n N ϕ ψn converge vers λ = a + ib. Enfin, comme K est fermé : λ K. Preuve du théorème 2 : Supposons f non bornée : pour tout n N, il existe z n K tel que f z n n. En considérant une suite extraite z ϕn convergente de limite λ K, et en invoquant la continuité de f en λ, on obtient lim f z n ϕn = f λ, ce qui est incompatible avec : n N, f zϕn ϕ n +. Ainsi, f est bornée. Notons α = inf { f z ; z K }. Par définition d une borne inférieure : n N, z n K; α f z n < α + 1 n + 1 Soit z ϕn une suite extraite convergente, de limite λ K. En passant à la limite dans : α f z ϕn < α + 1 ϕ n + 1 on obtient d après la continuité de f en λ : f λ = α. La borne inférieure de f sur K est donc bien atteinte. Même chose pour la borne supérieure. 5. Références [1] Le site web MacTutor History of Mathematics archive est une importante ressource documentaire. L adresse de base est [2] Annales de Gergonne, Philosophie mathématique. Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivies d une application à la démonstration d un théorème d analise 2, p Ce dernier document est consultable sur l internet attention! URL sur deux lignes : 5_/AMPA_ _0/AMPA_ _0.pdf On peut lire les quelques contributions de J.R. Argand aux annales de Gergonne en cherchant Argand à l adresse : 2. non, ce n est pas une faute de frappe...