3 = , A 4 =

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1 Énoncé Soit A une matrice de M n (IK). Une décomposition LU de A est une égalité A = LU, où L est une matrice triangulaire inférieure (L pour Low ) à diagonale unité (tous les coefficients diagonaux valent 1), et où U est une matrice triangulaire supérieure (U pour Up ). Par exemple, A = = Pour tout entier k de {1,..., n}, on appelle sous-matrice principale d ordre k de A, la sous matrice A k formée à l intersection des k premières lignes et des k premières colonnes de A. Par exemple, avec la matrice A de l exemple précédent : A 1 = ( 2 ), A 2 = 2 3, A = , A 4 = Dans tout le problème, la matrice A est supposée inversible. Partie I Dans cette partie, on voit une condition nécessaire et suffisante portant sur la matrice A pour qu elle admette une décomposition LU. 1. Montrer que la décomposition LU de A, si elle existe, est unique. [ S ] Montrer que la matrice A = possède une décomposition LU Montrer en revanche que la matrice B = n en possède pas. [ S ] On suppose que la matrice A possède une décomposition LU. Montrer que toutes ses sous-matrices principales sont inversibles. Pour cela, on utilisera une décomposition par blocs de A, L, U, sous la forme suivante : Ak A A = k Lk 0 Uk U A k A, L = k L k L k, U = k 0 U k [ S ] 4. Montrer que la réciproque de la propriété précédente est vraie : si toutes les sous-matrices principales de A sont inversibles, alors A possède une décomposition LU. Pour cela, on raisonnera par( récurrence ) sur l ordre( n de A : ) dans le passage du rang n au Ln 0 Un C rang n+1, on écrira L n+1 = et U R n 1 n+1 = n où R 0 λ n est une matrice-ligne n de largeur n, C n est une matrice-colonne de hauteur n, et λ n est un scalaire. [ S ] 5. Conclusion? [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

2 Énoncé Partie II Dans cette partie, on suppose que la matrice A possède une décomposition LU et on voit comment mettre en œuvre une méthode de calcul des matrices L et U. On note a ij, l ij, et a ij les termes généraux de A, L, U. 1. A titre d exemple, trouver la décomposition LU de A = [ S ] 2. On revient maintenant au cas général. Ecrire les égalités donnant a ik en fonction des l ij (avec j i) et u jk (avec j k). [ S ] 3. En déduire les expressions : (a) De u ik, pour i k, en fonction de a ik, de l ij (j < i), de u jk (j < i). [ S ] (b) De l ik, pour i > k, en fonction de a ik, de l ij (j < k), de u jk (j k). [ S ] 4. Montrer comment les égalités obtenues permettent de calculer de proche en proche (et on précisera dans quel ordre) tous les coefficients de L et de U. [ S ] Partie III On sait qu il existe des matrices A qui n ont pas de décomposition LU. Dans cette partie, on va voir que pour une telle matrice, il est possible de trouver une matrice inversible simple P telle que P A admette une décomposition LU. On appelle matrice de permutation toute matrice P σ d ordre n dont le terme général p ij peut s écrire p ij = δ i,σ(i) (notations de Kronecker), où σ est une permutation de {1, 2,..., n}. σ(1) = σ(2) = 2 Si par exemple n = 4 et σ est définie par, alors P σ(3) = 4 σ = σ(4) = Dans cette question, on étudie quelques propriétés des matrices de permutation. (a) Que représente P σ si σ est la permutation identité de {1,..., n}? [ S ] (b) Soient σ et s deux permutations de {1,..., n}. Montrer que P σ P s = P σ s. [ S ] (c) Montrer que toute matrice P σ est inversible. Quel est son inverse? [ S ] 2. On va étudier l influence du produit par une matrice de permutation. (a) Avec la matrice A du préambule et la matrice P σ de l exemple ci-dessus, calculer les produits P σ A et AP 1 σ. Que remarque-t-on? [ S ] (b) Plus généralement, pour toute matrice A d ordre n, et toute matrice de permutation P = P σ, comment passe-t-on de A à P A et de A à AP 1? [ S ] Page 2 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

3 Énoncé 3. On va montrer que pour toute matrice carrée A inversible et d ordre n, il existe une matrice de permutation P telle que la matrice P A possède une décomposition LU. Pour cela, on raisonne par récurrence sur n. 4. Montrer que c est évident si n = 1. [ S ] On suppose donc que la propriété est vraie pour un certain entier n 1 et on se donne une matrice carrée A inversible et d ordre n + 1. (a) Montrer qu il existe une matrice de permutation S telle que la sous-matrice principale B n d ordre n de B = SA soit inversible. [ S ] (b) En appliquant l hypothèse de récurrence à B n, montrer qu il existe une matrice de permutation Q telle que QB admette une décomposition LU. [ S ] (c) Conclure. [ S ] 5. Montrer très simplement que la décomposition P A = LU n est en général pas unique. Combien peut-il exister de triplets (P, L, U) au maximum? [ S ] Partie IV Dans cette partie, M est une matrice quelconque d ordre n, de coefficients m ij. On va étudier l influence qu ont certaines opérations sur les lignes ou les colonnes de M et interpréter ces opérations par des produits à gauche ou à droite par des matrices triangulaires inférieures à diagonale unité. Posons tout d abord quelques notations : On note (E ij ) la base canonique de M n (IK) : la matrice E ij est celle dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui situé à l intersection de la ligne i et de la colonne j, qui vaut 1. Pour tous indices i et j (avec i j) et tout scalaire α, on note L j L j αl i l opération qui consiste à retrancher à la ligne d indice j de M le produit par α de sa ligne d indice i. On note L i L j l opération qui consiste à échanger les lignes d indices i et j de M. On définit également les opérations C j C j αc i et C i C j sur les colonnes de M. Pour tout j de {1,..., n 1}, et à condition que le coefficient diagonal m jj soit non nul, on note ϕ j (M) la matrice obtenue en appliquant successivement à M les opérations : L i L i λ ij L j, avec λ ij = m ij m jj, pour tout i de {j + 1,..., n} Dans cette opération, dont le but est d annuler les coefficients sous-diagonaux de la colonne d indice j de M, le coefficient diagonal m jj est appelé le pivot. 1. Pour tout couple d indices (i, j), comparer les lignes de la matrice E ij M et celles de M. Comparer aussi les colonnes de ME ij et celles de M. [ S ] 2. Montrer qu une opération du type L i L i αl j, avec i > j, transforme une matrice M en une matrice M = SM, où S = I n αe ij (et S est une matrice triangulaire inférieure à diagonale unité, ne dépendant que de i, j, α.) [ S ] 3. Avec les notations précédentes, identifier la matrice S 1 et interpréter le produit MS 1 comme une opération sur les colonnes de M. [ S ] Page 3 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

4 Énoncé 4. Montrer que si on transforme M en une matrice M par une opération du type ϕ j, alors il existe une matrice R triangulaire inférieure à diagonale unité telle que RM = M. Détailler les coefficients de R. [ S ] 5. Avec les notations de la question précédente, interpréter le produit MR 1 comme une opération sur les colonnes de M. [ S ] Partie V Dans cette partie, A est une matrice carrée d ordre n, inversible. On reprend les notations de la partie III, notamment en ce qui concerne les opérations ϕ j. On suppose que la matrice A possède une décomposition LU. 1. Montrer qu on peut appliquer l opération ϕ 1 à la matrice A, et qu on transforme ainsi A en une matrice B dont les coefficients sous-diagonaux de colonne 1 sont nuls.) [ S ] 2. Soit k un entier de {2,..., n}. On suppose qu on a appliqué à A les opérations ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ k 1 (dans cet ordre) et qu on a ainsi transformé A en une matrice C dont les coefficients sous-diagonaux des k 1 premières colonnes sont nuls. Montrer que le k-ième coefficient diagonal de C est non nul. [ S ] 3. En déduire qu on peut partir de A et appliquer successivement ϕ 1, ϕ 1,..., ϕ n 1. Montrer que la matrice obtenue est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux non nuls, et qu elle est la matrice U de la décomposition A = LU. [ S ] 4. Montrer comment on peut construire la matrice L de la décomposition A = LU, en appliquant à la matrice I n une succession d opérations sur les colonnes, chacune de ces opérations correspondant à l une de celles qui ont permis de passer de la matrice A à la matrice U. [ S ] 5. Appliquer ce qui précède à la recherche de la décomposition de la matrice A utilisée dans le préambule de l énoncé. [ S ] Partie VI Dans cette partie, A est une matrice carrée d ordre n, qui est seulement supposée inversible. On se propose d obtenir une décomposition P A = LU (au sens de la partie III) par le biais d opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. A la panoplie des opérations ϕ i définies dans la partie IV, on ajoute les opérations θ j i : pour toute matrice M, θ j i (M) est la matrice obtenue échange des lignes d indices i et j de M. On pourra considérer que θ ii (M) = M. 1. Montrer qu on peut appliquer une opération θ 1 i 1 puis l opération ϕ 1 à la matrice A, de manière à la transformer A en une matrice B dont les coefficients sous-diagonaux de colonne 1 sont nuls. [ S ] Page 4 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

5 Énoncé 2. Soit k un entier de {2,..., n}. On suppose qu on a appliqué A les opérations θi 1 1, ϕ 1, θi 2 2, ϕ 2,..., θ k 1 i k 1, ϕ k 1 (dans cet ordre, avec i 1 1, i 2 2,..., i k 1 k 1). On a ainsi transformé A en une matrice C = (c ij ) dont les coefficients sous-diagonaux des k 1 premières colonnes sont nuls. Montrer que l un au moins des coefficients c ik, avec i k, est non nul. [ S ] 3. Montrer qu il existe n 1 entiers i 1, i 2,..., i n (avec i k k) tels que la succession (dans cet ordre) des opérations θi 1 1, ϕ 1,..., θi k k, ϕ k,..., θ n 1 i n 1, ϕ n 1 transforme A en une matrice U triangulaire supérieure à coefficients diagonaux non nuls. [ S ] Page 5 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

6 du problème Partie I 1. Notons tout d abord que si A admet une décomposition LU alors les matrices L et U sont inversibles : pour L c est évident, et pour U il suffit d écrire U = L 1 A. Supposons que A admette les décompositions A = LU et A = L U. Pour prouver l unicité, il faut montrer que L = L et U = U. On a LU = L U donc L 1 L = UU 1. Mais l ensemble des matrices triangulaires inférieures à diagonale unité est stable par le produit et par le passage à l inverse, de même que l ensemble des matrices triangulaires supérieures. On en déduit que la matrice L 1 L = UU 1 est à diagonale unité et qu elle est à la fois triangulaire inférieure et triangulaire supérieure donc diagonale : ce ne peut être que la matrice I n. Mais L 1 L = UU 1 = I n donne L = L et U = U, ce qu il fallait démontrer. 2. Il suffit d écrire A = LU avec L = I 2 et U = A... (on sait que c est la seule possibilité). 1 0 b c b c En revanche, si L = et U = (avec b, c 0), alors LU = a 1 0 d ab ac + d et l égalité B = LU est impossible, compte tenu des termes d indice (1, 1). La matrice B ne possède donc pas de décomposition LU. 3. Soit k un entier compris entre 1 et n. Il est clair que les matrices L et U peuvent être décomposées en blocs comme le suggère l énoncé. On peut même affirmer d une part que L k et L k sont triangulaires inférieures à diagonale unité, d autre part que U k et U k sont triangulaires supérieures. Lk 0 Uk U L egalité LU = A devient L k L k Ak A k 0 U k = k A k A et implique L k U k = k A k en identifiant au niveau du bloc supérieur gauche. Or L k et U k sont inversibles car leurs coefficients diagonaux, issus de ceux de L et de U, sont non nuls. On en déduit que la matrice A k est inversible, ce qu il fallait démontrer. 4. Au rang 1 la propriété est triviale. En effet, si A = (a) avec a 0, elle satisfait automatiquement à l hypothèse (sa seule sous-matrice principale A 1 = A est inversible) et on a la décomposition A = LU avec L = (1) et U = (a). Soit n un entier strictement positif. On suppose que la propriété a été démontrée au rang n. On se donne alors une matrice A inversible d ordre n + 1, et on suppose que toutes les sous-matrices principales de A sont inversibles. En particulier la sous-matrice A n d ordre n est inversible, ainsi que toutes ses sousmatrices principales A 1, A 2,..., A n 1, A n. On en déduit, par hypothèse de récurrence, l existence (et l unicité) d une décomposition A n = L n U n. On cherche alors une décomposition LU de A n+1 = A comme le suggère l énoncé. Page 6 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

7 An A Comme dans la question 3, on pose A = n A n A. n Dans ce cas particulier, A n est une matrice-colonne de hauteur n, A n est une matrice-ligne de longueur n, et A n se réduit à un coefficient. Avec ces notations : L n U n = A n Ln 0 Un C L n+1 U n+1 = A n An A n L R n 1 0 λ n A n A n C n = A n n R n U n = A n Dans ce système, l égalité L R n C n + λ n = A n U n = A n est déjà connue. n L égalité L n C n = A n équivaut à C n = L 1 n A n. De même, R n U n = A n équivaut à R n = A nu 1 n. La ligne R n et la colonne C n étant maintenant connues de manière unique, la dernière égalité du système fournit λ n = A n R n C n. On voit donc qu il est possible de former la décomposition LU de A, ce qui démontre la propriété au rang n + 1 et achève la récurrence. 5. Une matrice carrée A d ordre n possède une décomposition LU ses sous-matrices principales A 1, A 2,..., A n = A sont inversibles. Partie II 1. On pose L = l et U = u 11 u 12 u 13 0 u 22 u 23. l 31 l u 33 L égalité LU = A devient l u 11 u 12 u 13 0 u 22 u 23 = , l 31 l u ce qui équivaut à u 11 u 12 u 13 l 21 u 11 l 21 u 12 + u 22 l 21 u 13 + u 23 = l 31 u 11 l 31 u 12 + l 32 u 22 l 31 u 13 + l 32 u 23 + u On trouve immédiatement : u 11 = 2, u 12 = 3, u 13 = 1. { l21 u Connaissant u 11 = 2, les égalités 11 = 2 donnent l 31 u 11 = 4 Connaissant u 12, u 13 et l 21, les égalités { l21 = 1 l 31 = 2 { l21 u 12 + u 22 = 2 l 21 u 13 + u 23 = 3 donnent Connaissant l 31, u 12 et u 22, l égalité l 31 u 12 + l 32 u 22 = 9 donne l 32 = 3. { u22 = 1 u 23 = 2 Enfin, l égalité l 31 u 13 + l 32 u 23 + u 33 = 2 donne u 33 = 2. On a ainsi prouvé : A = = Page 7 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

8 2. Le terme général a ik de A = LU s écrit a ik = { lij = 0 quand j > i l ij u jk. Or u jk = 0 quand j > k La somme précédente est donc limitée à l indice j = min(i, k) : a ik = 3. (a) Supposons i k. Alors a ik = min(i,k) l ij u jk. i i 1 i 1 l ij u jk = l ij u jk + l ii u ik = l ij u jk + u ik. i 1 Donc u ik = a ik l ij u jk. (b) Supposons i > k. Alors a ik = k k 1 l ij u jk = l ij u jk + l ik u kk. Puisque u kk est non nul par hypothèse, on peut écrire : l ik = 1 ( k 1 a ik l ij u jk ). u kk 4. Tout d abord, seuls nous intéressent les coefficients l ik avec i > k (c est-à-dire qui sont situés strictement sous la diagonale de L) et les coefficients u ik avec i k (c est-à-dire situés sur et au-dessus de la diagonale de U). 0 Si i = 1, et pour tout k 1, on trouve : u 1k = a 1k l ij u jk = a 1k. En particulier u 11 = a 11 0 (c est une conséquence de la question I-3). Pour tout entier i 2, on trouve alors l i1 = 1 ( 0 ) a i1 l ij u jk = 1 a i1. u 11 u 11 On connait donc la première ligne de U et la première colonne de L. Soit m un entier compris entre 2 et n. On suppose connues les lignes 1 à m 1 de U, et les colonnes 1 à m 1 de L. m 1 La question II.3.a donne alors : k m, u mk = a mk l mj u jk. Dans cette expression de u mk, tous les coefficients sont déjà connus. On en déduit donc la m-ième ligne de U et en particulier u mm (non nul par hypothèse.) La question II.3.b donne alors : i > m, l im = 1 ( m 1 a im l ij u jm ). u mm Dans cette expression de l im, tous les coefficients sont déjà connus. On en déduit donc la m-ième colonne de L. Ainsi, par une récurrence finie, on voit que les égalités des questions II.3.a et II.3.b permettent de calculer de proche en proche tous les coefficients des matrices U et L : ligne 1 de U, puis colonne 1 de L, puis ligne 2 de U, puis colonne 2 de L, etc. Page 8 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

9 Partie III 1. (a) La réponse est évidente : il s agit de la matrice identité d ordre n. (b) Notons [M] ij le coefficient d indice (i, j) d une matrice quelconque M. { 0 si j σ(i) Par définition, le terme général de P σ est : [P σ ] ij = δ σ(i)j = 1 si j = σ(i) On en déduit [P σ P s ] ij = [P σ ] ik [P s ] kj = δ σ(i)k δ s(k)j = δ σ(i)σ(i) δ s(σ(i))j = δ s σ(i)j k=1 On obtient précisément le terme d indice (i, j) de P σ s. Conclusion : P σ P s = P σ s. (c) On a P σ 1P σ = P σ 1 σ = P Id = I n. Donc P σ est inversible et son inverse est P σ (a) On a : P σ A = = Autrement dit, si L 1, L 2, L 3, L 4 sont les lignes de A, P σ A est la matrice dont les lignes sont L 1 = L σ(1) = L 3, L 2 = L σ(2) = L 2, L 3 = L σ(3) = L 4, et L 4 = L σ(4) = L 1. σ(1) = 3 σ 1 (1) = σ(2) = 2 σ Puisque, on a 1 (2) = 2 σ(3) = 4 σ 1. On en déduit Pσ (3) = 1 1 = σ(4) = 1 σ 1 (4) = On remarque que Pσ 1 = T P σ, ce qui est normal : les matrices de permutations sont des cas particuliers de matrices orthogonales : pour le produit scalaire canonique de IR n, les colonnes sont unitaires et orthogonales deux à deux. On a AP 1 σ = k= = Si C 1, C 2, C 3, C 4 sont les colonnes de A, APσ 1 est donc la matrice dont les colonnes sont C 1 = C σ(1) = C 3, C 2 = C σ(2) = C 2, C 3 = C σ(3) = C 4, et C 4 = C σ(4) = C 1. (b) Les coefficients de la ligne d indice i de P A s écrivent, pour tout j de {1,..., n} : [P A] ij = [P ] ik [A] kj = δ σ(i)k a kj = δ σ(i)σ(i) a σ(i)j = a σ(i)j k=1 k=1 Autrement dit, ce sont les coefficients de la ligne d indice σ(i) de A. Calculer P A, c est donc appliquer la permutation σ sur les lignes de A. Les coefficients de la colonne j de AP 1 s écrivent, pour tout i de {1,..., n} : [AP 1 ] ij = [A] ik [P 1 ] kj = a ik δ σ 1 (k)j = a iσ(j) δ jj = a iσ(j) k=1 k=1 Page 9 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

10 Autrement dit, ce sont les coefficients de la colonne d indice σ(j) de A. Calculer AP 1, c est donc appliquer la permutation σ sur les colonnes de A. On peut retrouver autrement le résultat sur AP 1. En effet, la colonne j de M = AP 1 = A T P est la ligne j de T M = P T A, c est-à-dire la ligne σ(j) de T A, c est-à-dire la colonne σ(j) de A. 3. Ici A = (a 11 ) avec a On écrit P A = LU, avec L = (1), U = (a 11 ), et P = (1). (a) Si la sous-matrice principale A n d ordre n de A est inversible, le résultat est évident avec S = I n+1. On suppose donc que A n est non inversible. { An C On peut écrire A = n+1 Rn+1 est une ligne de largeur n, où R n+1 a n+1,n+1 C n+1 est une colonne de hauteur n. An T = est de rang n car formée des n premières colonnes de A inversible. R n+1 On peut donc en extraire une sous-matrice carrée inversible d ordre n. Ce n est pas A n, qui est non inversible : la ligne R n+1 fait donc partie de cette sous-matrice. L échange de R n+1 et d une autre ligne ( R) k de A n (avec 1 k n) permet donc de transformer T en une matrice T Bn =, où B n est carrée d ordre n inversible. R k Mais cet échange s écrit T = ST, où S est la matrice de permutation associée à la bijection de {1, 2,..., n + 1} qui se contente d échanger les indices k et n + 1. Bn D On écrit alors B = SA = n+1 où D n+1 est une colonne de hauteur n. R k a k,n+1 (b) B n étant inversible, on lui applique l hypothèse de récurrence : il existe une matrice de permutation Q n d ordre n telle que Q n B n admette une décomposition L n U n, c est-à-dire telle que toutes les sous-matrices principales de Q n B n soient inversibles. La matrice Q n correspond à une permutation de {1, 2,..., n} qu on étend en une permutation σ de {1, 2,..., n + 1} en posant σ(n + 1) = n + 1. Qn 0 Celle-ci donne naissance à la matrice de permutation Q = Q σ = n,1. 0 1,n 1 Qn 0 On a alors QB = n,1 Bn D n+1 Qn B = n Q n D n ,n 1 R k a k,n+1 R k a k,n+1 La matrice QB est inversible (car Q et B le sont) ainsi que toutes ses sous-matrices principales d ordre n (car ce sont les sous-matrices principales de Q n B n.) La matrice QB admet donc une décomposition LU. (c) La matrice P = QS est une composée de deux matrices de permutations : c est donc encore une matrice de permutation. Le calcul précédent montre que P A admet une décomposition LU, ce qui prouve la propriété au rang n + 1 et achève la récurrence. Page 10 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

11 a b 4. Considérons une matrice inversible A =, avec a 0 et c 0. c d Alors A possède une décomposition A = L 1 U 1 (car a et det A sont non nuls.) Autrement dit P 1 A = ( L 1 U 1 avec ) P 1 = I c d De même, avec P =, la matrice P A = possède une décomposition 1 0 a b P A = L 2 U 2 car c et det P A = det A sont non nuls. On voit donc qu il existe ici deux décompositions distinctes P A = LU. Plus généralement, pour une matrice A donnée, il existe au plus n! triplets (P, L, U) tels que P A = LU (car il y a n! matrices de permutations d ordre n). Partie IV 1. Pour tout k i, la ligne k de E ij et donc la ligne k de E ij M sont nulles. La ligne d indice i de E ij M est la ligne d indice j de M. Le produit E ij M remplace donc la ligne d indice i de M par sa ligne d indice j, et annule toutes les autres lignes. Pour tout k j, la colonne k de E ij et donc la colonne k de ME ij sont nulles. La colonne d indice j de ME ij est la colonne d indice i de M. Le produit ME ij remplace donc la colonne d indice j de M par sa colonne d indice i, et annule toutes les autres colonnes. 2. Comme cela résulte de la question précédente, le produit M = SM = M αe ij M ne se distingue de M que par sa ligne L i d indice i, qui s écrit L i = L i αl j. Calculer SM, c est donc appliquer l opération L i L i αl j à la matrice M. 3. Posons S = I n + αe ij. Le produit SM équivaut à l opération L i L i αl j sur la matrice M. Le produit S SM équivaut à l opération L i L i + αl j sur la matrice SM. Or les opérations L i L i αl j et L i L i + αl j sont inverses l une de l autre. Donc S SM = M pour toute matrice M, ce qui prouve que S S = I n. L inverse de S = I n αe ij est donc S 1 = I n + αe ij. Cela résulte aussi de E ij E kl = 0 si j k. Donc (I n αe ij )(I n +αe ij ) = I n α 2 E 2 ij = I n. Comme cela résulte de la question (a), le produit M = MS 1 = M + αme ij ne se distingue de M que par sa colonne d indice j qui s obtient par la formule C j = C j +αc i en fonction des colonnes C i et C j de M. Calculer MS 1, c est donc appliquer C j C j + αc i à la matrice M. 4. Quand on applique l opération L i L i λ ij L j à la matrice M (avec λ ij = m ij /m jj et i > j) tout se passe comme si on multipliait M à gauche par la matrice I n λ ij E ij, qui est triangulaire inférieure à diagonale unité car i > j. Page 11 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

12 Il en est donc de même quand on applique une succession de telles opérations élémentaires (et donc une opération du type ϕ j ) car l ensemble des matrices triangulaires inférieures à diagonale unité est stable pour le produit. Il existe donc une matrice R, triangulaire inférieure à diagonale unité, telle que RM = M. Pour être plus précis, il suffit de se dire que R est obtenue en appliquant à I n les opérations qui conduisent de M à M. Autrement dit, la matrice R ne se distingue de I n que par sa colonne C j d indice j, qui s écrit de la manière indiquée ci-contre, le coefficient 1 étant le coefficient diagonal de C j. C j = λ j+1,j. λ n,j Ij 1 0 On peut également écrire R =, où I 0 R j 1 est la matrice identité d ordre j 1, j et où R j est elle-même triangulaire inférieure à diagonale unité (d ordre n j + 1). 5. La multiplication à gauche par R correspond aux opérations élémentaires successives L i L i λ ij L j, pour tout entier i de {j + 1,..., n}, qui sont respectivement associées aux matrices S i = I n λ ij E ij et R est égale au produit commutatif S n S n 1 S j+1. On sait que le produit à droite par S 1 i correspond à C j C j + λ ij C i. Sachant que R 1 est égale au produit des matrices S 1 i, le produit à droite par R 1 équivaut à effectuer successivement (ou en même temps car elles commutent entre elles) les opérations C j C j + λ ij C i, pour tout i de {j + 1,..., n}. Conclusion : le produit à droite par R 1 équivaut à l opération C j C j + λ ij C i. i=j+1 Partie V 1. Puisque la matrice A possède une décomposition LU, toutes ses sous-matrices principales A 1 = (a 11 ), A 2,..., A n 1, A n = A sont inversibles. En particulier le coefficient a 11 est non nul, ce qui permet de l utiliser comme pivot pour appliquer l opération ϕ 1 à la matrice A. Cette opération conduit évidemment à une matrice B dont tous les coefficients sousdiagonaux de la première colonne sont nuls. 2. Quand on applique une opération ϕ j, tout se passe comme si on multipliait à gauche par une certaine matrice triangulaire inférieure à diagonale unité. Il en est donc de même si on applique une succession d opérations du type ϕ j. Il existe donc une matrice R, triangulaire inférieure à diagonale unité, telle que RA = C. Décomposons R, A, C en( blocs de ) ( manière ) à représenter leurs sous-matrices principales Rk 0 Ak Ck d indice k. On obtient : = Dans cette écriture, on a noté les blocs sans importance pour la démonstration. Par identification, on voit que C k = R k A k. Or R k est triangulaire inférieure à diagonale unité donc inversible, et A k est inversible car c est une sous-matrice principale de A. On en déduit que C k est inversible. Page 12 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

13 Or il résulte de l hypothèse sur C que cette matrice est triangulaire supérieure. Ses k coefficients diagonaux sont donc non nuls. Pour les k 1 premiers on le savait déja (car ce sont les pivots ayant servi à annuler les coefficients sous-diagonaux des k 1 premières colonnes de A). Ainsi le k-ième coefficient diagonal de C k (donc de C) est non nul, ce qu il fallait démontrer. 3. Les questions (1) et (2) montrent qu on peut annuler successivement : La sous-diagonale de la colonne 1 en appliquant ϕ 1 à A, car a La sous-diagonale de la colonne 2 de la matrice B obtenue, en appliquant l opération ϕ 2, car le coefficient diagonal b 22 est non nul. etc. La sous-diagonale de la colonne k de la matrice obtenue, car le coefficient diagonal devant servir de pivot à ce moment là est non nul. etc. Au bout du compte, on transforme donc A en une matrice U qui est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux non nuls. On sait qu il existe une matrice R, triangulaire inférieure à diagonale unité, telle que RA = U. On en déduit A = R 1 U, la matrice R 1 étant elle aussi triangulaire inférieure à diagonale unité. Par unicité de la décomposition A = LU, on a ainsi obtenu la matrice U de cette décomposition, avec en prime L = R On va de A à U par la succession des opérations ϕ 1,..., ϕ n 1. A chacune d elles correspond le produit à gauche par une matrice R j triangulaire inférieure à diagonale unité. On a donc RA = U avec R = R n 1... R 2 R 1. La matrice L de la décomposition A = LU est donnée par L = R 1 = I n R1 1 R2 1 Rn 1. Ainsi L s obtient en effectuant les produits à droite successifs de I n par R1 1, puis par R2 1, etc., et enfin par Rn 1. Mais le produit à droite par R 1 j correspond à l opération C j C j + λ ij C i, avec des notations déja vues. i=j+1 On voit ainsi comment construire L à partir de I n par des opérations sur les colonnes. Remarque : comme on l a vu dans la question II.4, on forme donc la ligne 1 de U, puis la colonne 1 de L, puis la ligne 2 de U, puis la colonne 2 de L, etc. 5. Dans la colonne de gauche, on fait figurer les différentes étapes du passage de A à U, et dans la colonne de droite celles du passage de I 4 à L L 2 L 2 + L L 3 L 3 2L C 1 C 1 C 2 + 2C 3 C 4 L 4 L 4 + L L 3 L 3 3L C 2 C 2 + 3C 3 2C 4 L 4 L 4 + 2L Page 13 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

14 C 3 C 3 + C 4 L 4 L 4 L Donc A = LU, avec L = et U = Partie VI 1. A étant inversible l un au moins des coefficients de sa première colonne est non nul. On choisit donc un indice i 1 tel que a i1 1 0 et on effectue l opération θ 1 i 1, ce qui permet ensuite d appliquer ϕ 1 et d obtenir ainsi une matrice B dont la première sous-diagonale est nulle. 2. Si tel n était pas le cas, la matrice C ne serait pas inversible (la sous-matrice formée de ses k premières lignes et colonnes serait en effet triangulaire supérieure et son k-ième coefficient diagonal serait nul.) Or la matrice C se déduit de A par des opérations élémentaires sur les lignes : elle est donc inversible, tout comme A. 3. Cela résulte immédiatement de (a) et (b) : on annule d abord les coefficients diagonaux de la colonne 1, et dès que k colonnes ont été traitées la question (b) montre qu au prix éventuel d un échange de la ligne k et d une ligne d indice i k k (dont par une opération θ k i k ) on peut annuler les coefficients diagonaux de la colonne k + 1 avec l opération ϕ k. Quand les colonnes 1 à n 1 ont été traitées, on a ainsi transformé A en une matrice triangulaire supérieure U dont les coefficients diagonaux sont non nuls. Page 14 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.