Correction des exercices «Grandeurs et mesures»

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1 orrection des exercices «Grandeurs et mesures» Exercice est un carré de côté. est le milieu du segment [] et le milieu du segment []. partir du point, le point fait, dans le sens direct, le tour de ce carré. Le segment [] «balaie» ainsi une surface dont l aire (x) dépend de la distance x parcourue par depuis le point. éterminer une expression de la fonction qui à x associe (x). n décompose l aire (x) en triangles suivant la position du point sur le bord extérieur du carré. Position Valeurs Triangle Figure auteur ase ire de de x considéré longueur longueur précédente [] x [0 ; ½] [] mesure ¼ cm [] mesure x cm 0 (x) (x) x 8 [] x [/2 ; 3/2] [] mesure ½ cm [] mesure x-/2 cm (/2) =/6 4x 6 [] x [3/2 ; 5/2] [] mesure ¾ cm [] mesure x-3/2 cm (3/2) = 5/6 6x 4 6 [] x [5/2 ; 7/2] [] mesure ½ cm [] mesure x-5/2 cm (5/2) = /6 4 x + 6 [] x [7/2 ; 4] [] mesure ¼ cm [] mesure x-7/2 cm (7/2) = 5/6 x Exercice 3 est un triangle quelconque., et K sont les milieux respectifs des côtés [], [] et []. émontrer que les six triangles ainsi formés ont même aire. () (2) (3) n note, 2,. les aires des triangles (), (2),. K est le milieu du segment [] ; ainsi (K) est la médiane issue de et les segments [K] et [K] ont même longueur. Les triangles K et K ont même hauteur issue de ; ils ont donc même aire, aire égale à la moitié de celle du triangle. insi, = = (/2)*(). (6) n montre de même que les triangles et (resp. et ) ont même aire, aire (4) égale à la moitié de celle du triangle. (5) K insi, = = (/2)*() ; = = (/2)*(). n obtient donc les égalités : = = = = = En considérant l égalité = , on obtient 2 = 5 ; de l égalité = , on tire 4 = ; de l égalité = , on obtient 6 = 3. e qui permet de conclure que les six triangles sont d aires égales.

2 Exercice 2 n considère une tarte rectangulaire de centre, de côté 35 cm et 45 cm. est un sommet du rectangle, un autre point de ce rectangle. Soit x la longueur du bord extérieur de la part entre et, et h(x) l aire de la part délimitée par les segments [] et [].. Représenter graphiquement cette fonction. 2. Utiliser le graphique pour déterminer la coupe de la tarte en cinq parts égales. omme dans l exercice précédent, on décompose l aire h(x) en triangles suivant la position du point sur le bord de la tarte rectangulaire. Position de Valeurs de x Triangle considéré [] x [0 ; 45] Figure auteur longueur [] mesure 7,5 cm ase longueur [] mesure x cm ire précédente h(x) 0 8,75x [] x [45 ; 80] [] mesure 22,5 cm [] mesure (x-45) cm 393,75,25x 2,5 [] x [80 ; 25] [] mesure 7,5 cm [] mesure (x-80) cm 787,5 8,75x + 87,5 [] x [25 ; 60] [] mesure 22,5 cm [] mesure (x-25) cm 8,25,25x Les pointillés noirs permettent la lecture des bornes des différents intervalles de définition de la fonction h. n veut que les cinq parts soient égales, et donc que l aire de chacune représente un cinquième du total, autrement dit 35 cm². n cherche donc les antécédents de 35, 630, 945, 260 et 575 par la fonction h. Les pointillés bleus permettent la lecture des valeurs de x telles que l on puisse couper la tarte en cinq parts égales. Par le calcul, il faut résoudre les équations : 8,75 x = 35 (x = 36) ;,25 x 2,5 = 630 (x = 66) ; 8,75 x + 87,5 = 945 (x = 98) ;,25 x 225 = 260 (x = 32)

3 Exercice 4 Un chien est attaché par une chaîne de 9 m fixée à un coin d un bâtiment en forme de triangle équilatéral de 6 m de côté.. alculer, au centième de mètre près, le périmètre de la zone dans laquelle le chien peut se déplacer. 2. alculer, au cm² près, l aire de la zone dans laquelle le chien peut se déplacer. 9 m omme le bâtiment est un triangle équilatéral, le chien arrivera à parcourir un domaine délimité par : les cinq sixièmes d un cercle de rayon 9 m ; deux tiers d un cercle de rayon 3 m. insi, le périmètre de la zone dans laquelle le chien peut se déplacer est : π + 3 2π = 5π + 4π = 9π 59, n procède de façon analogue pour déterminer l aire de la zone dans laquelle il peut se déplacer. l faut retrancher l aire du bâtiment à l aire délimitée par les trois arcs de cercles précédents (on suppose que le chien ne peut pas pénétrer 3 m dans le bâtiment!) L aire délimitée par les trois arcs de cercles précédents est : 3 m 5 2 π 9² + π 3² = 5π 60, L aire (au sol) du bâtiment est 6 6 = 9 3 5, Finalement, le chien peut gambader sur une zone d environ 44,632 7 m². Exercice 5 En faisant tourner le triangle S, rectangle en, autour de la droite (S), on obtient le cône de révolution représenté ci-contre. n sait que : S = 0 cm, Ŝ = 20.. alculer l arrondi au dixième du rayon r, en cm, du cercle de base. 2. alculer l arrondi au dixième de la hauteur h, en cm, du cône. 3. alculer l arrondi au cm 3 du volume V du cône. 4. alculer l arrondi au cm² de l aire latérale du cône. S 20 Le triangle S est rectangle en (car est le pied de la hauteur du cône). n applique la trigonométrie sachant que le segment [] est le côté opposé à l angle Ŝ. insi : sin( Ŝ) = et donc = S sin( Ŝ ) = 0 sin(20 ) 3,4 (cm). S S Le côté [S] est le côté adjacent à l angle Ŝ, d où cos( Ŝ) = et donc S = S cos( Ŝ ) ; S S 9,4 (cm). Le volume V du cône étant le tiers du produit de l aire de base par la hauteur, on a : V = (3,4² π) 9,4 4 (cm 3 ). 3 L aire latérale du cône est : = π S = π 0 0 sin(20 ) 07,4 (cm²). (explication : l aire latérale est l aire d une portion de disque de rayon S, la longueur de l arc est 2 π, donc l aire de cette portion s obtient par un calcul de proportionnalité : (2 π S²) (2 π )/(2 π S), ce qui donne après simplification π S.) S Exercice 9 Les aires des faces d un parallélépipède rectangle sont respectivement égales à 96, 60 et 240 cm². Quel est le volume de ce parallélépipède? a b Notons a, b et c les longueurs des faces de ce parallélépipède rectangle. insi, ab = 96, ac = 60 et bc = 240. r ab bc = = , ce qui peut encore s écrire b² ac = , c-à-d 60b² = n obtient ainsi b² = 44 d où b = 2 cm. c

4 n détermine ainsi les dimensions des deux autres côtés : a = 8 cm et c = 20 cm. Finalement, le volume du parallélépipède est 920 cm 3. Exercice Les cercles, 2 et 3 ont pour centres respectifs, 2 et 3 ; ils sont tangents extérieurement deux à deux et ont le même rayon 5 cm. éterminer l aire du triangle «curviligne» intérieur au triangle Le triangle, dont les sommets sont les centres des trois cercles, est un triangle équilatéral, puisque les cercles tangents ont même rayon 5 cm. e ce fait, les trois secteurs circulaires forment ensemble un demi disque de rayon 5 cm : leur aire est égale à 2,5 π. La hauteur du triangle 2 3 mesure 5 3 cm (on montre à l aide du théorème de Pythagore que la hauteur d un triangle a 3 équilatéral de côté de longueur a, est ). Le triangle 2 3 a donc pour aire 25 3 cm². 2 L aire du triangle curviligne est donc la différence des aires : ,5π 4,03 (cm²). Exercice 7 onstruire un carré d aire égale à 5 cm² exactement. Le problème consiste en fait à construire un segment de longueur exactement 5 cm! l faut donc trouver un triangle dont le côté mesure 5 cm. Le triangle, rectangle en tel que = 2 cm et = cm répond à la question : en effet, on montre à l aide du théorème de Pythagore que l hypoténuse de ce triangle mesure 5 cm. partir de cette hypoténuse, on peut à l aide du compas et de l équerre, construire le carré en question. Remarque : Spirale de Pythagore La construction de la spirale de Pythagore est très simple. n commence par un triangle rectangle isocèle de côté de longueur unité. Nécessairement son hypoténuse mesurera 2 unités de longueur. En considérant cette hypoténuse comme côté adjacent à l angle droit d un triangle rectangle, dont l autre côté a une longueur de unité, on construit un triangle rectangle dont l hypoténuse mesurera 3 unités. rac(2) rac(3) rac(4) rac(5) rac(6) rac(7) rac(8)

5 Exercice 8 et sont deux cercles tangents extérieurement, de centres respectifs et, et de même rayon 4 cm. Les tangentes en et au cercle se coupent en. Quelle est l aire du domaine grisé? ' ' Notons le point d intersection entre le cercle et le segment [] et le point de ' tangence des deux cercles. ' figure contenue dans le triangle (il suffira de doubler l aire trouvée). () est tangente au cercle en ; le triangle est donc rectangle en. omme les cercles sont tangents et de même rayon 4 cm, on a = 8 cm et = 4 cm. La figure est symétrique par rapport à la droite ( ) ; on peut donc se restreindre à la Le théorème de Pythagore appliqué au triangle donne ² = = 80, et donc = 4 5 cm. L aire du triangle est donc = ' = (cm²). ' ans le triangle, rectangle en, l angle Ô' est adjacent au côté [ ] et donc cos( Ô' ) =. ' 4 insi, mes(ô' ) = cos = cos 0,5 = 60. omme la somme des mesures des angles d un triangle est égale à 80, 8 l angle Ô' mesure 30. Les portions de disque de centre resp., délimités par les arcs de cercles resp. intérieurs au triangle forment ensemble un secteurs circulaire d angle de masure égale à 90, donc un quart de disque, ce qui représente une aire d exactement 4π cm² (soit environ 2,57 cm²). L aire totale de la partie cherchée est donc 2 ( 8 5-4π) cm², soit environ 0,64 cm². Exercice 0 eux gares G et G sont distantes de 300 km. u même instant : un train part de G et se dirige vers G à la vitesse constante de 80 km/h ; un train part de G et se dirige vers G à la vitesse constante de 20 km/h ; une hirondelle part de G et vole vers G le long de la voie ferrée à la vitesse constante de 240 km/h. Quand elle rencontre le train venant de G, elle fait instantanément demi-tour et repart vers G. Elle vole ainsi d un train à l autre jusqu à ce que les deux trains se croisent. Quelle distance parcourt l hirondelle? l suffit de déterminer à quel moment les deux trains vont se croiser. En supposant que les trains roulent pendant t heures avant de se croiser, le train parti de G aura parcouru 80 t km et celui parti de G aura parcouru 20 t km ; la somme de ces deux distances étant égale à 300 km, on a 200 t = 300, soit t =,5 h. insi l hirondelle aura parcouru en tout et pour tout (,5 240) = 360 km!

6 Exercice ontpellier et éziers sont deux villes distantes de 70 km. ules part à 8h de ontpellier vers éziers à une vitesse de 20 km/h. près avoir parcouru les 50 premiers kilomètres, il s arrête une heure, et rejoint ensuite éziers à 20 km/h. im part à 8h20 de ontpellier par la même route à 30 km/h. près avoir parcouru les 50 premiers kilomètres, il s arrête aussi une heure, et rejoint éziers à 20 km/h.. Qui arrive en premier à éziers? 2. ontrer que, en représentant l heure sur l axe des abscisses et la distance parcourue sur l axe des ordonnées, les deux déplacements peuvent être représentés graphiquement par des lignes brisées. 3. Utiliser la représentation graphique ainsi construite pour repérer les moments et les endroits où ules et im se rencontrent. 4. Emilie fait le chemin inverse, le même jour, en partant de éziers à 7h à vitesse constante jusqu à ontpellier. quelle vitesse doit-elle rouler pour rencontrer ules et im au même moment? ules parcourt les 50 premiers kilomètres à une vitesse de 20 km/h, nécessitant ainsi 2,5 heures. Une pause d une heure et une heure pour parcourir les 20 derniers kilomètres à la vitesse de 20 km/h. l arrive donc à éziers à 2h30. im parcourt les 50 premiers kilomètres à une vitesse de 30 km/h, nécessitant ainsi h 40 min ; une heure de pause suivie d une heure de trajet jusqu à éziers. l y arrive donc 3h 40 minutes après son départ de ontpellier, c-à-d à 2h. La fonction donnant la distance parcourue par ules est 20(x 8), pour x [8;0,5] f (x) = 50, pour x [0,5;,5] 20(x,5) + 50, pour x [,5;2,5] La fonction f est affine par morceaux sur l intervalle [8 ; 2,5]. istance en km elle donnant la distance parcourue par im est 30(x 25 / 3), pour x [8 + / 3 ;0] g (x) = 50, pour x [0;] 20(x ) + 50, pour x [;2] La fonction g est également affine par morceaux. Les deux cyclistes se rencontrent une première fois à 9 heures, à 20 km de ontpellier ; ensuite ils se rencontrent à 20 km de éziers, entre 0h 30 min et h. Si Emilie veut rencontrer ules et im, elle a deux possibilités : - soit les croiser (en coup de vent) à 20 km de ontpellier, ce qui suppose qu elle ait parcouru 50 km en 2 heures (donc à la vitesse supposée constante de 25 km/h) ; - soit les rencontrer plus longuement entre 0h 30 min et h durant leur pause à 20 km de éziers : il lui faudrait donc parcourir les 20 km entre 3h30 min et 4h, ce qui fait une vitesse moyenne comprise entre 5,72 km/h et 5 km/h! utant marcher! Exercice 2 Un bassin est alimenté par deux fontaines qui ont un débit constant. Utilisée seule, la première fontaine remplit le bassin en 9 heures. La seconde, si elle fonctionne seule, ne met que 7 heures à le remplir. ombien de temps serait nécessaire pour remplir le bassin si on utilisait les deux fontaines en même temps? Exprimer ce temps en heures, minutes et secondes. La première fontaine remplie le bassin au neuvième en une heure ; la seconde le rempli au septième en une heure insi les deux fontaines remplissent + = du bassin en une heure. Elles rempliront ensemble les du bassin en heures. r = : il faut donc 3 heures et 5 5 d heure. 60 = 56, l faut donc en tout 3 heures, 56 minutes et 5 secondes aux deux fontaines pour remplir le bassin ensemble.

7 Exercice 3 omparer les figures suivantes : Fig. Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 n peut les comparer suivant deux critères : leur périmètre et leur surface. En classant les figures dans l ordre croissant de la longueur de leurs périmètres, on obtient : Fig. 6 ; ex-aequo Fig., 2, 3 et 4 ; Fig. 5. En classant les figures dans l ordre croissant de leurs surfaces, on a : Fig. 2 ; ex-aequo Fig. et 6 ; Fig. 5 ; Fig. 4 ; Fig. 3. Exercice 4 Les dimensions d une caisse à parois rectangulaires sont 50 cm, 65 cm et 05 cm. n veut fabriquer des boîtes cubiques aussi grandes que possible dont l arête est mesurée par un nombre entier de centimètres et avec lesquels on se propose de remplir entièrement la caisse. alculer la mesure de l arête des boîtes, ainsi que le nombre de ces boîtes. n cherche bien évidemment le PG des trois entiers 50, 65 et 05, qui est 5 ; l arête de la boîte cubique mesurera cm. n pourra donc disposer = 770 boîtes cubiques dans la grande caisse

8 Formulaire Périmètre ire Triangle de côtés de longueurs a, b et c Somme des trois longueurs p = a+b+c arré de dimension a p = 4a Somme des longueurs des quatre côtés Rectangle de dimensions L et l p = 2(L + l) ercle de rayon R Produit du diamètre par π p = 2πR oitié du produit de la base par la b h Triangle de base b, de hauteur h = hauteur 2 arré de dimension a = a² Produit des longueurs des côtés Rectangle de dimensions L et l = L l Parallélogramme de base b, de hauteur h Produit de la base par la hauteur = b h Trapèze Produit de la longueur moyenne des + b = h de bases de longueurs b et, de hauteur h bases par la hauteur 2 πr² α Secteur circulaire d angle α, de rayon r = 360 isque de rayon R Produit de π par le carré du rayon = πr² Quadruple du produit de π par le carré = 4πR² Sphère de rayon R du rayon Volume ube de dimension a ube de la dimension de l arête V = a 3 Pavé de dimensions a, b et c Produit des dimensions V = abc Prisme d aire de base, de hauteur h Produit de l aire de base par la hauteur V = h ylindre de rayon R, de hauteur h Produit de l aire de base par la hauteur V = π R² h Pyramide ou cône, d aire de base, de hauteur h oule de rayon R Tiers du produit de l aire de base par la hauteur Quatre tiers du produit de π par le cube du rayon V = h 3 4 V = π R 3 3