Géométrie Table des matières

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1 Géométrie Table des matières 1 Isométrie 1.1 Révision des principaux théorèmes À propos des angles Angles opposés par le sommet Angles correspondants Angles alternes-internes Angles alternes-externes Angles supplémentaires Angles complémentaires Cas particuliers À propos des triangles 1.2 Les figures isométriques Définition Identification des isométries Description des isométries La translation La rotation La symétrie orthogonale La symétrie glissée Composition d isométries 1.3 Les triangles isométriques 1.4 Les solides isométriques Emmanuel Duran Notes de cours géométrie Page 1

2 1 Isométries 1.1 Révision des principaux théorèmes À propos des angles Angles opposés par le sommet Théorème #1: Les angles opposés par le sommet sont congrus Angles correspondants Deux angles n ayant pas le même sommet, situés du même côté de la sécante, l un à l intérieur, l autre à l extérieur des deux autres droites. Emmanuel Duran Notes de cours géométrie Page 2

3 Angles alternes-internes Deux angles n ayant pas le même sommet, situés de part et d autre de la sécante et à l intérieur des deux autres droites Angles alternes-externes Deux angles n ayant pas le même sommet, situés de part et d autre de la sécante et à l extérieur des deux autres droites. Emmanuel Duran Notes de cours géométrie Page 3

4 Angles supplémentaires Deux angles sont supplémentaires si la somme de leur mesure vaut 180E Angles complémentaires Deux angles sont complémentaires si la somme de leur mesure vaut 90E Théorème#2: Cas particuliers Les angles correspondants, alternes-internes et alternes externes formés par des parallèles et une sécante sont respectivement congrus. Théorème #3: Si deux angles correspondants, alternes-internes ou alternes externes sont congrus, alors ils sont formés par des droites parallèles. Exemple: Emmanuel Duran Notes de cours géométrie Page 4

5 Théorème #4: À propos des triangles La somme des mesures des angles intérieurs d un triangle est 180. Théorème #5: Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à un angle de 30 est égale à la moitié de celle de l hypoténuse. Emmanuel Duran Notes de cours géométrie Page 5

6 1.2 Les figures isométriques 1,2.1 Définition On appelle isométrie toute transformation géométrique qui donne une figure image F isométrique à une figure initiale F donnée. Ex: -rotation -translation -symétrie orthogonale -symétrie glissée Deux figures sont isométriques si et seulement s il existe une isométrie qui les associe. Elles ont la même forme, les angles homologues congrus et les côtés homologues congrus. Exemple: Les deux triangles ci-dessous sont isométriques car il existe une translation qui les associe. B B' A A' C' C t Emmanuel Duran Notes de cours géométrie Page 6

7 1.2.2 identification des isométries On utilise l orientation et les traces pour identifier les isométries. Conservation de l orientation Parallélisme des traces Oui Oui translation départ Non Oui rotation sym. orthogonale Non Non sym. glissée Exemple: Orientation horaire Orientation anti-horaire B B' A' A C C' Dans ces deux figures l'orientation n'est pas conservée et il y a un parallélisme au niveau des traces. Il s'agit donc d'une réflexion. Emmanuel Duran Notes de cours géométrie Page 7

8 1.2.3 Description des isométries On peut décrire précisément une isométrie de la façon suivante: - translation, on trace le vecteur. - rotation, on trouve le centre ainsi que le sens et la valeur de l angle de rotation. - symétrie orthogonale, on trace l axe de réflexion. - symétrie glissée, on trace l axe de réflexion et le vecteur de la translation. Exemple: Voici plusieurs vélos réalisés à partir du logiciel Cabri-Géomètre. Ces vélos sont isométriques, c est à dire qu on peut les associer deux à deux par une isométrie. Identifions le type d isométrie qui permet d associer les vélos. - 1 à 2-1 à 3-1 à 4-1 à 5 Emmanuel Duran Notes de cours géométrie Page 8

9 La translation QUOI FAIRE: 1) On trace une flèche qui joint un point et son image. Cette flèche est appelée flèche de translation. Une translation est complètement définie par un point et son image. Emmanuel Duran Notes de cours géométrie Page 9

10 La rotation QUOI FAIRE: 1) On trace 2 segments qui joignent chacun un point à son image. 2) On trace les médiatrices de ces 2 segments. 3) Le point d intersection des médiatrices est alors le centre de cette rotation. 4) Le sens de la rotation est celui d un point vers son image. 5) La grandeur de la rotation correspond à la mesure de l angle obtenu en joignant le centre à un point et à son image. Une rotation est complètement définie par son centre, son sens et sa grandeur. Emmanuel Duran Notes de cours géométrie Page 10

11 La symétrie orthogonale QUOI FAIRE: 1) On trace un segment qui joint un point à son image. 2) On trace la médiatrice à ce segment, c est l axe de symétrie. Une symétrie orthogonale est complètement définie par son axe. Emmanuel Duran Notes de cours géométrie Page 11

12 La symétrie glissée QUOI FAIRE: 1) On trace deux segments qui joignent chacun un point à son image. 2) On repère les points milieux de ces deux segments. 3) On trace la droite qui passe par ces deux points milieux: c est l axe de symétrie glissée. 4) Par une réflexion selon cet axe, on détermine l image de l un des points de la figure initiale. 5) On détermine la flèche de translation en joignant l image du point obtenue par la réflexion et son homologue dans la figure image. Une symétrie glissée est complètement définie par son axe et sa flèche de translation. Emmanuel Duran Notes de cours géométrie Page 12

13 1.2.4 composition d isométries Composer deux isométries, c est faire suivre ces deux isométries l une à la suite de l autre. L opération composition se note à l aide du symbole o, qu on lit rond ou après. Ainsi, t o r correspond à l isométrie équivalant à faire suivre r de t pour associer la figure 1 à la figure 3. Exemple: t o r 1.3 Les triangles isométriques Définition: Les triangles isométriques ont tous leurs angles homologues et leurs côtés homologues congrus. Pour prouver cette définition est-on obligé de vérifier que les 3 paires de côtés homologues sont congrus? Est-ce qu une paire d éléments congrus est suffisante? a) Les deux triangles ci-dessous ont un côté congru, sont-ils isométriques? Réponse: Emmanuel Duran Notes de cours géométrie Page 13

14 b) Les deux triangles ci-dessous ont un angle congru, sont-ils isométriques? Réponse: Une paire d éléments congrus n est donc pas suffisante Est-ce que deux paires d éléments sont suffisantes? a) Les deux triangles ci-dessous ont 2 côtés congrus sont-ils isométriques? Réponse: b) Les 2 triangles ci-dessous ont 2 angles congrus, sont-ils isométriques? Emmanuel Duran Notes de cours géométrie Page 14

15 Réponse: c) Les deux triangles ci-dessous ont un angle et un côté congru, sont-ils isométriques Réponse: 2 paires d éléments congrus ne sont pas suffisantes Emmanuel Duran Notes de cours géométrie Page 15