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1 Collège E. Badinter BREVET BLANC n 2 session 2012 Epreuve : Mathématiques Notation sur 40 Durée : 2 heures Le sujet est composé de trois parties indépendantes : 1 ère partie : activités numériques 2 ème partie : activités géométriques 3 ème partie : problème Chacune des trois parties est notée sur 12 points. La présentation, la qualité de la rédaction et l orthographe sont notées sur 4 points. Les calculatrices sont autorisées. La page en annexe est à rendre avec la copie. 1 ère Partie : ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 : (7 points) 1 ) On considère l expression : A = (3x + 2)² + (5-2x)(3x + 2) a) Développer et réduire l expression A. b) Factoriser A et réduire le résultat. c) Calculer A pour x = -7 puis pour x = ) On donne : B = et C = ( a) Mettre B sous la forme a avec a entier relatif. On détaillera toutes les étapes des calculs. b) Développer et réduire C. Exercice 2 : (1 point) Soit f une fonction linéaire telle que f(5) = 1,2. Déterminer la fonction f. Exercice 3 : (4 points)

2 1. a) Les nombres 294 et 210 sont-ils premiers entre eux? Justifier. b) Calculer le PGCD des nombres 294 et 210 (en indiquant clairement la méthode de recherche et en précisant quel algorithme est utilisé). 2. Un collège décide d organiser une épreuve sportive pour tous les élèves du collège. Il y a 294 garçons et 210 filles. Les professeurs veulent constituer le plus grand nombre possible d équipes mixtes. Chaque équipe doit comprendre le même nombre de filles et le même nombre de garçons. a) Combien d équipes au maximum peuvent-ils réaliser? b) Combien y a-t-il de filles et de garçons dans chaque équipe? 2 ère Partie : ACTIVITES GEOMETRIQUES (12 points) Exercice 1 : (7,5 points) Sur la figure ci-dessous, on sait que : -EO = 5 cm, OC = 3 cm et OA = 6 cm. -Les points E, O et C sont alignés. -Les triangles ENO et OCA sont respectivement rectangles en E et en C. -La droite (OA) coupe la droite (NE) en S. 1 ) Montrer que, en cm, la mesure de [AC] est. 2 ) a) Montrer que les droites (NS) et (AC) sont parallèles. b) Calculer les valeurs exactes des longueurs OS. 3 ) Calculer la longueur NE sachant que la mesure = ) a) Calculer la mesure de l angle. b) Démontrer que le triangle SON est rectangle et préciser en quel sommet.

3 Exercice 2 : (3 points) Laura se promène sur l île de Manhattan à New-York. On lui a demandé de vérifier que les 14 ème et 42 ème rues sont bien parallèles et que la 6 ème avenue est perpendiculaire à ces deux rues. Elle part du point C et remonte la 6 ème avenue jusqu à Bryant Park (point B), tourne à gauche jusqu à Times square (T) puis descend Broadway jusqu à Union square (U). Lors de son parcours, Laura a mesuré les longueurs suivantes : CE = 1 400m EB = 560 m BT = 192 m TE = 592 m EU = 1 480m 1 ) Montrer que les droites (BT) et (CU) sont parallèles. 2 ) Montrer que la 42 ème rue et la 6 ème rue forment un angle droit.

4 Exercice 3 : (1,5 points) QCM Répondre sur l annexe à rendre avec la copie! Entourer la bonne réponse parmi les réponses A, B ou C : Question : A B C Si tan x = 54 alors la valeur approchée de x arrondie au degré est égale à Si sin Ĉ = 0,8 alors cos Ĉ = 0,6 0,36 0,2 Si tan Ĉ = 4 3 et sin Ĉ = 10 6 alors cos Ĉ = ère Partie : PROBLEME (12 points) Un fabricant de parfum veut fabriquer un flacon dont la forme est une pyramide. Partie I : Etude du flacon 1 : (5 points) Le flacon est constitué de deux parties. Le corps, qui est une pyramide tronquée à base carrée de centre O, et le bouchon qui est la pyramide SEFGH. On donne : SO = 12 cm S0 =6 cm AB= 4 cm et BC = 4 cm Flacon 1

5 1 ) Sachant que la longueur AC, Calculer la longueur SC. Détailler les calculs. 2 ) On considère la pyramide SABCD de hauteur [SO]. Calculer le volume de la pyramide SABCD. 3 ) On coupe la pyramide par un plan parallèle à sa base passant par le point O du segment [SO]. La pyramide SEFGH est une réduction de la pyramide SABCD. a) Quel est le coefficient de réduction? b) En déduire le volume de la pyramide SEFGH. c) Montrer que le volume de la partie inférieure du flacon constituée par le tronc de pyramide EHGFADCB est égal à 56 cm 3. Partie II : Etude de l étiquette (2,5 points) Sur la face avant du flacon, on place une étiquette donnant des informations sur le parfum. 1 ) Convertir 56 en centilitres ( cl). 2 ) Sur cette étiquette est noté : «Contient 3,5% d extrait de vanille». Si la quantité de parfum dans le flacon est de 5 cl, quel est le volume de vanille contenu dans ce flacon? Convertir le résultat en millilitres. 3 ) A la fabrication du parfum, on met 4 cl d huile essentielle de lavande pour 250 cl de parfum. Quel pourcentage d huile essentielle cela représente t-il? Partie III : Volume du parfum dans le flacon ( points) Dans cette partie, on souhaite étudier le volume de parfum contenu dans le flacon 1. On admet que le volume du parfum dans le tronc de pyramide est donné, en fonction de la hauteur de parfum h, par la formule : V (h) = 1 ) Compléter le tableau suivant (sur l annexe) : h en cm V(h) en

6 2 ) Le volume de liquide contenu dans le tronc de pyramide est-il proportionnel à la hauteur de liquide h versé dans ce tronc de pyramide? Justifier la réponse. En annexe, on a représenté la courbe de la fonction V 3 ) On considère un deuxième flacon représenté ci-contre : Ce flacon 2 est constitué de deux pavés droits. Le pavé droit inférieur a pour largeur 2 cm, pour longueur 5,5 cm et une hauteur variable h. On s intéresse au volume de parfum contenu dans le pavé droit inférieur. a) Calculer le volume du pavé droit en fonction de h. b) On considère la fonction V 2 : h 11 h Quelle la nature de la fonction V 2? Justifier. c) Représenter graphiquement V 2 dans le repère fourni en flacon 2 annexe, Sur ce repère est déjà représenté la courbe donnant le volume V de parfum dans le flacon 1 (tronc de pyramide). 4 ) Lire sur le graphique, la valeur de h pour laquelle V 2 (h) = 70 5 ) Pour quelles valeurs de h, les deux flacons ont-ils le même volume?

7 Annexe Géométrie Exercice 3 : (1,5 points) QCM Entourer la bonne réponse parmi les réponses A, B ou C : Question : A B C Si tan x = 54 alors la valeur approchée de x arrondie au degré est égale à Si sin Ĉ = 0,8 alors cos Ĉ = 0,6 0,36 0,2 Si tan Ĉ = 4 3 et sin Ĉ = 10 6 alors cos Ĉ = Problème : Partie III 1 ) Compléter le tableau suivant : h en cm V(h) en

8 Compétences du socle Calculer le PGCD de deux entiers Calculs élémentaires sur les radicaux Savoir utiliser le théorème de Thalès dans le triangle Connaître l effet d une réduction sur les volumes Montré Non montré Correction Partie numérique Exercice 1 : (7 points) 1 ) a) A = (3x + 2)² + (5-2x)(3x + 2) = 9 x² + 12 x x x² - 4 x = 3 x² + 23 x ,5 pts b) A = (3 x + 2 ) x (3 x x) = (3 x + 2)( x + 7) 1,5 pts c) si x = -7 alors A = 0 car = 0 et si x = -2 alors A = (-6 + 2)(-2 + 7) = -4 x 5 = pt 2 ) B = = 1,5 pts C = ( = = ,5 pts Exercice 2 : (1 point) F est une fonction linéaire donc f(x) = a x x Or f(5) = 1,2 donc a x 5 = 1,2 et a = 1,2 5 = 0,24 d où f(x) = 0,24 x

9 Exercice 3 : (4 points) 1 ) a) 294 et 210 sont pairs donc divisibles par deux et PGCD(294 ;210) 1 et 294 et 210 ne sont pas premiers entre eux. b) Recherche du PGCD(294 ;210) par l algorithme d Euclide : 294 : 210 = Quotient 1 et reste : 84 = Quotient 2 et reste 42 (dernier reste non nul) 84 : 42 = Quotient 2 et reste 0 donc PGCD(294 ;210)= 42 1 pt 2 ) a) Le nombre d équipes est un diviseur du nombre de garçons et du nombre de filles donc on cherche un diviseur commun à 210 et à 294.On veut le nombre maximal d équipes donc on cherche le PGCD(210 ;294). Conclusion : on peut réaliser au maximum 42 équipes. b) 210 = 5 42 donc il y aura 5 filles par équipe 294 = 7 42 donc il y aura 7 garçons par équipe Partie géométrie Exercice 1 : (7,5 points) 1 ) Dans le triangle AOC rectangle en O, le théorème de Pythagore donne : (1pt) OA² = OC² + AC² (1 pt) donc AC² =OA²- OC² = 6²- 3² = 36 9 = 27 AC² = cm. () 2 ) a) On sait que N, E, S ainsi que E, O, C sont alignés. Les droites (NS) et (AC) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (EO) ; or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles donc (NS) est parallèle à (AC).

10 b) * Les droites (AS) et(ec) sont sécantes en O *(NS) est parallèle à (AC) Donc d après le théorème de Thalès (), on a : D où : et OS = = 10 cm. 3 ) Dans le triangle NOE rectangle en E, Sin 30 = donc NE = 5 sin 30 = 2,5 cm. 4 )a) Dans le triangle COA rectangle en C, Cos et 1pt b)les droites (SA) et (EC) étant sécantes en O, les angles et sont opposés par le sommet donc ils sont de même mesure 60. D où : est rectangle en O. ce qui prouve que le triangle NOS Exercice 2 : ( 3 points) 1 ) Les droites (BC) et (TU) sont sécantes en E. Calculer séparément : EB EC 560m = = 0,4 1400m on voit que ET EU - si calculs non séparés 592m = = m 0,4 EB ET = (), et de plus les points T, E et U sont dans le même ordre EC EU que les points B, E et C () d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BT) et (CU) sont parallèles. 2 ) Pour montrer que la 42 ème rue et la 6 ème rue forment un angle droit, il faut montrer que le triangle BTE est rectangle en B. Calculer séparément : - si non séparés

11 TE 2 = = BT 2 + BE 2 = = on constate que TE 2 = BT 2 + BE 2 D après la réciproque du théorème de Pythagore (), le triangle BTE est rectangle en B. Donc la 42 ème rue et la 6 ème rue forment bien un angle droit Exercice 3 : (1,5 points) QCM Question : A B C Si tan x = 54 alors la valeur approchée de x arrondie au degré est égale à Si sin Ĉ = 0,8 alors cos Ĉ = 0,6 0,36 0,2 Si tan Ĉ = 4 3 et sin Ĉ = 10 6 alors cos Ĉ = Correction du problème : Partie I : Etude du flacon 1 total 4,5points 1 ) La base de la pyramide est le carré ABCD de centre O donc ses diagonales se coupent en leur milieu O. AC donc OC = AC = SOC est un triangle rectangle en O puisque [SO] est la hauteur de la pyramide, donc le théorème de Pythagore donne : SC²= SO² + OC² = 12²+ ( )² = = 152 et SC = 1,5 pt 2 ) Volume de la pyramide SABCD ( ) V = AB BC SO 3 = = 64 1 pt 3 ) a) Le coefficient de réduction est inférieur à 1 et égal à c) Volume de la pyramide SEFGH : ( ) V = V = 64 = pt d) Volume de la partie inférieure du flacon : ( ) 64 8 = 56

12 Partie II : Etude de l étiquette total 2,5points 1 ) 56 = 5,6 cl 2 ) Volume de vanille contenu dans ce flacon : 3,5% de 5 cl c est 3, = 0,175 cl soit 1,75 ml 1 pt 3 ) Pourcentage d huile essentielle : 1,6% 1 pt Partie III : Volume du flacon total 5,5 points 1 ) 1 pt - -0,5 par mauvaise réponse H V(h) ) Le volume de parfum n est pas proportionnel à la hauteur du liquide car les quotients ne sont pas égaux a) Volume du pavé droit : L l h =2 5,5 h = 11 h b) (h) = 11 h est une fonction linéaire de coefficient 11 1 pt c) représentation graphique : droite passant par l origine du repère et par le point de coordonnées (1 ; 11) ou (5 ;55) 1 pt 4 ) V 2 (h) = 70 pour h = 6,4 cm 5 ) Les deux flacons ont le même volume pour h 4,2 cm

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