1 Formulaire signaux et systèmes continus MA32 GEII-2A

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1 1 Formulaire signaux et systèmes continus MA3 GEII-A 1.1 Signaux Analyse de Fourier x(t) de période T 0 = décomposable en série de Fourier x(t) = k= kt jπ c k e T 0 = spectre de raies SF {x(t)} = X(f) = k= [ ( a k cos π kt ) ( + b k sin π kt )], T 0 T 0 c k δ kf0 coefficients de Fourier c 0 = a 0 = x(t), c k = 1 (a k jb k ) = 1 T 0 ˆ T0 conservation de la puissance (Bessel-Parseval) k= 0 kt jπ x(t)e T 0 dt k > 1 c k = 1 T 0 T0 0 x(t) dt Transformée de Fourier par extension en faisant T 0, variation continue de f : X(f) = F {x(t)} = Propriétés x(t)e jπft dt et x(t) = X(f)e jπft df linéarité : F {ax(t) + by(t)} = ax(f) + by (f) x(t) réel = X(f) complexe avec Re(X(f) paire et Im(X(f) impaire F(x(t t r )) = e jπtrf X(f) et F 1 (X(f f r )) = e jπfrt x(t) ( ) dx(t) F = jπfx(f) dt conservation de l énergie d un signal X(f) df = x(t) dt Produit de convolution x(t) y(t) = + x(t τ)y(τ)dτ = + y(t τ)x(τ)dτ F(x(t) y(t)) = X(f)Y (f) 1. Systèmes ou filtres d 1 Équations différentielles s (d) + a i s (i) = i=0 n b j e (j) j=0 Opérateur de dérivation p = d dt = x(m) (t) = p m x(t) = s(t) = H(p)e(t) Opérateur transfert entrée-sortie H(p) = b np n + b n 1 p n 1 + b 1 p + b 0 p d + a d 1 p d 1 + a 1 p + a 0 1 (p zi ) n i = K (p pj ) d j

2 Opérateur de retard e Trp Stabilité tous les pôles à partie réelle < 0 Système à minimum de phase tous les pôles et zéros à partie réelle < 0 Fonction de transfert p = jω = jπf = H(ω) ou H(f) = S(f) E(f) Réponse impulsionnelle h(t) = F 1 [H(f)] donc s(t) = e(t) h(t) 1.3 Analyse cepstrale : application à la détection d écho Cepstre réel C s (t) = F 1 Ln S(f) n utilise que l amplitude du spectre Suppression d écho Hypothèse echo = retard + atténuation du signal s(t), donc x(t) = s(t) + αs(t t r ) Transformée de Fourier X(f) = S(f) [ ] 1 + αe jπftr Module au carré X(f) = S(f) [1 + α + α cos (πft r )] Log népérien Ln X(f) = Ln S(f) + Ln [1 + α + α cos (πft r )] Cepstre réel C x (t) = F 1 Ln X(f) = C s (t) + F 1 (Ln [1 + α + α cos (πft r )]) La somme permet d annuler l écho. La restitution de s(t) suppose le signal à minimum de phase (c.a.d. généré par un système à minimum de phase) Cepstre de puissance C s (t) = FLnS(f) ou C s (t) = F 1 LnS(f) Cepstre complexe C s (t) = F 1 LnS(f) contient à la fois l information d amplitude et de phase Autres applications traitement de la parole, reconnaissance vocale, ou encore analyse du comportement vibratoire des alternateurs de centrales électriques. Compléments d informations :

3 Formulaire signaux et systèmes discrets MA3 GEII-A.1 Signaux échantillonnés x e (t) = {x n } = x(nt e )δ nte = x n δ n = n=0 n=0 n= Transformée de Fourier {x n } discret = spectre continu périodique x(t)δ nte = x(t)π Te F ({x n }) = X e (f) = n= x n e jπnfte = 1 T e + k= X(f kf e ) Transformée en z X(z) = n= x n z n s identifie à F ({x n }) avec z 1 = e jωte opérateur de retard de T e Transformée de Fourier dicrète (DFT) calcul sur un nombre fini N d échantillons x n et pour un pas de fréquence 1 NT e X k = 1 N n=0 nk x n e jπ N et x n = nk X k e jπ N Remarques 1. {X k } = DF T ({x n }) = X k δ k fe N le spectre du signal {x n } périodique de période NT e. spectre discret (artificiellement) peut être interprété comme. Le facteur d échelle 1 N, ou résolution fréquentielle, est dû à la limitation de l horizon à NT e: il assure que les X k soient les coefficients du développement en série de Fourier de {x n }. Matlab le met sur x n. Propriétés linéarité translation des x n = rotation de phase des X k égalité de Parseval : 1 N n=0 x n = X k la puissance d un signal est égale à la somme des puissances de ses harmoniques {x n } réelle = X k et X N k complexes conjugués {x n } réelle et paire = {X k }réelle et paire 3

4 {x n } réelle et impaire = {X k }imaginaire pure Utile car tout signal réel peut se décomposer en une partie paire et une partie impaire Convolution discrète {x n } {y n } = l= x l y n l Convolution circulaire {x n } et {y n } périodiques de période N : DF T ({x n } {y n }) = DF T ({x n }) DF T ({y n }) x l y n l de période N l=0 Transformée de Fourier rapide (FFT) Algorithmes de calcul rapide de la DFT basés sur la matrice particulière qui relie les X k aux x n.. Systèmes ou filtres Équations de récurrence avance a 0 s k+d + a 1 s k+d a d s k = b 0 e k+n + b 1 e k+n b n e k Opérateur d avance zx k = x k+1 = {s k } = H(z) {e k } Opérateur transfert entée-sortie H(z) = b 0z n + b 1 z n b n = b 0 (z zoi ) no i a 0 z d + a 1 z d a d a 0 (z poj ) do j Équations de récurrence retard a 0 s k + a 1 s k a d s k d = b 0 e k r + b 1 e k r b n e k r n Opérateur de retard z 1 x k = x k 1 = {s k } = F (z 1 ) {e k } Opérateur transfert entée-sortie H(z 1 ) = z r b 0 + b 1 z b n z n a 0 + a 1 z a d z = b 0 (1 z r zi z 1 ) n i d a 0 (1 pj z 1 ) d j z i et p j : zéros et pôles finis non nuls d (r + n) zéros nuls ou bien r + n d pôles nuls r = d n : nombre de retards purs, nombre de zéros infinis Stabilité tous les pôles à module < 1 Système à minimum de phase tous les pôles et zéros à l intérieur du disque unité Ordre max (r + n, d) Fonction de transfert retard de T e entre les échantillons : z 1 = e jωte = e jπfte = H(ω) ou H(f) = S e(f) E e (f) Réponse impulsionnelle {h k } = F 1 [H(f)] donc {s k } = {e k } {h k } 4

5 3 Les filtres FIR 3.1 Définitions FIR ou RIF Filtres non récursifs : s k = b 0 e k r + b 1 e k r b n e k r n donc H(z 1 ) = z r (b 0 + b 1 z b n z n ) = polynôme IIR ou RII Filtres récursifs : a 0 s k + a 1 s k a d s k d = b 0 e k r + b 1 e k r b n e k r n donc H(z 1 ) fraction de polynômes 3. Propriétés Réponse impulsionnelle h(t) finie et discrète : les valeurs h i sont celles des coefficients du numérateur Réponse fréquentielle si r = 0 : z 1 = e jπfte = H(f) = i=0 b i e jπfite, N = n + 1 coefficients Les b i sont donc les coefficients du développement en série de Fourier de H(f) périodique de période f e = 1 T e continue car h(t) n est pas périodique si les b i sont symétriques b i = b i, H(f) = e jπfτ R(f) où R(f) est une fonction réelle de f phase : ϕ(f) = ϕ 0 + πfτ linéaire (ϕ 0 = 0 ou π : retard de phase) τ = dϕ dω = k T e, k N temps de propagation à travers le filtre : constant Filtres FIR à Phase linéaire plus généralement H(f) = e jϕ(f) R(f) avec ϕ(f) = ϕ 0 + πfτ On distingue 4 types : I : ϕ 0 = 0 et N = P + 1 = τ = P T e : H(f) réelle, h(t) paire, et un coefficient h i en t = 0 ( II : ϕ 0 = 0 et N = P = τ = P 1 ) T e : H(f) réelle, h(t) paire, et pas de coef. h i en t = 0 III : ϕ 0 = π et N = P + 1 = τ = P T e : H(f) im.pure, h(t) impaire, et un coef. h i en t = 0 IV : ϕ 0 = π ( et N = P = τ = P 1 ) T e : H(f) im.pure, h(t) impaire, pas de coef. en 0 Synthèse d un FIR Il existe plusieurs méthodes pour déterminer les h i tels que H(f) satisfasse un gabarit donné. 5

6 4 Résumé comparatif 4.1 Les signaux et leurs spectres Signal Spectre méthode de calcul caractéristique continu et périodique série de Fourier discret et non périodique continu et non périodique intégrale de Fourier continu et non périodique discret et non périodique intégrale de Fourier continu et périodique discret et périodique TFD discret et périodique discrétisation en temps = périodisation en fréquence discrétisation en fréquence = périodisation en temps 4. Les opérateurs Opérateur de dérivation p = d. En fréquentiel p = jω l opérateur H(p) devient une fonction de ω dt Opérateur de retard en continu e Trp. En fréquentiel e Trjω Opérateur de retard en discret z 1 x k = x k 1. En fréquentiel z = e jωte = z 1 = e jωte retard de T e 4.3 avantages et inconvénients des filtres FIR et IIR Avantages des filtres IIR Pour des spécifications identiques l ordre des IIR est inférieur à celui des FIR donc la réalisation est plus simple et le retard moins grand. Avantages des filtres FIR peuvent avoir une phase linéaire donc : un temps de propagation de groupe constant les signaux dont f est dans la BP du filtre ne seront pas déformés application aux systèmes de transmission de données sont toujours stables les méthodes de conception sont en général linéaires le régime transitoire a une durée finie 6