Recherche de régions génomiques conservées

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1 Recherche de régions génomiques conservées Modèle mathématique et test statistique S. Grusea, E. Pardoux 1 V. Lopez Rascol, P. Pontarotti 2 1 L.A.T.P., Centre de Mathématique et d Informatique Université de Provence 2 Laboratoire de Phylogénomique EA 3781 Évolution Biologique Université de Provence ALPHY/GTGC janvier 2006 Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 1 / 17

2 Introduction 1 Introduction Contexte biologique Significativité 2 Modèle mathématique Formulation du problème Test statistique Solution par la méthode de Monte Carlo 3 Vers une solution plus mathématique Modèle mathématique simplifié Exemple : le cas sans familles de gènes Comportement asymptotique Conclusion Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 2 / 17

3 Introduction Contexte biologique Régions génomiques conservées Intérêt : Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 3 / 17

4 Introduction Contexte biologique Régions génomiques conservées Intérêt : inférer des relations évolutives entre espèces Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 3 / 17

5 Introduction Contexte biologique Régions génomiques conservées Intérêt : inférer des relations évolutives entre espèces des gènes sous une pression fonctionnelle sélective. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 3 / 17

6 Introduction Contexte biologique Régions génomiques conservées Intérêt : inférer des relations évolutives entre espèces des gènes sous une pression fonctionnelle sélective. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 3 / 17

7 Introduction Contexte biologique Régions génomiques conservées Intérêt : inférer des relations évolutives entre espèces des gènes sous une pression fonctionnelle sélective. Région conservée (cluster conservé de gènes) : deux régions chromosomiques ayant un certain nombre de gènes orthologues en commun. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 3 / 17

8 Introduction Contexte biologique Régions génomiques conservées Intérêt : inférer des relations évolutives entre espèces des gènes sous une pression fonctionnelle sélective. Région conservée (cluster conservé de gènes) : deux régions chromosomiques ayant un certain nombre de gènes orthologues en commun. Recherche de régions conservées : Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 3 / 17

9 Introduction Contexte biologique Régions génomiques conservées Intérêt : inférer des relations évolutives entre espèces des gènes sous une pression fonctionnelle sélective. Région conservée (cluster conservé de gènes) : deux régions chromosomiques ayant un certain nombre de gènes orthologues en commun. Recherche de régions conservées : Chez une espèce A : région chromosomique fixée (région de référence) Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 3 / 17

10 Introduction Contexte biologique Régions génomiques conservées Intérêt : inférer des relations évolutives entre espèces des gènes sous une pression fonctionnelle sélective. Région conservée (cluster conservé de gènes) : deux régions chromosomiques ayant un certain nombre de gènes orthologues en commun. Recherche de régions conservées : Chez une espèce A : région chromosomique fixée (région de référence) On cherche chez une autre espèce B des régions génomiques similaires. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 3 / 17

11 Introduction Contexte biologique Recherche de régions conservées 1 Trouver les orthologues des gènes de la région de référence dans l espèce B. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 4 / 17

12 Introduction Contexte biologique Recherche de régions conservées 1 Trouver les orthologues des gènes de la région de référence dans l espèce B. 2 Chercher les régions avec une grande densité de gènes orthologues. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 4 / 17

13 Introduction Contexte biologique Recherche de régions conservées 1 Trouver les orthologues des gènes de la région de référence dans l espèce B. 2 Chercher les régions avec une grande densité de gènes orthologues. 3 Tester si elles sont significatives (vraiment conservées ). Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 4 / 17

14 Introduction Contexte biologique Recherche de régions conservées 1 Trouver les orthologues des gènes de la région de référence dans l espèce B. 2 Chercher les régions avec une grande densité de gènes orthologues. 3 Tester si elles sont significatives (vraiment conservées ). Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 4 / 17

15 Introduction Contexte biologique Recherche de régions conservées 1 Trouver les orthologues des gènes de la région de référence dans l espèce B. 2 Chercher les régions avec une grande densité de gènes orthologues. 3 Tester si elles sont significatives (vraiment conservées ). Région conservée significative : C est très peu probable qu elle soit apparue par hasard. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 4 / 17

16 Introduction Contexte biologique Recherche de régions conservées 1 Trouver les orthologues des gènes de la région de référence dans l espèce B. 2 Chercher les régions avec une grande densité de gènes orthologues. 3 Tester si elles sont significatives (vraiment conservées ). Région conservée significative : C est très peu probable qu elle soit apparue par hasard. Test statistique adapté à l approche de type région de référence Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 4 / 17

17 Introduction Contexte biologique Recherche de régions conservées 1 Trouver les orthologues des gènes de la région de référence dans l espèce B. 2 Chercher les régions avec une grande densité de gènes orthologues. 3 Tester si elles sont significatives (vraiment conservées ). Région conservée significative : C est très peu probable qu elle soit apparue par hasard. Test statistique adapté à l approche de type région de référence qui prend en compte l existence de familles de gènes orthologues. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 4 / 17

18 Introduction Significativité L idée du test statistique! Région conservée entre les deux espèces. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 5 / 17

19 Introduction Significativité L idée du test statistique! Région conservée entre les deux espèces.? Est-elle significative? Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 5 / 17

20 Introduction Significativité L idée du test statistique! Région conservée entre les deux espèces.? Est-elle significative? Hypothèse H 0 = hypothèse de génome aléatoire (hasard) : Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 5 / 17

21 Introduction Significativité L idée du test statistique! Région conservée entre les deux espèces.? Est-elle significative? Hypothèse H 0 = hypothèse de génome aléatoire (hasard) : calculer, sous cette hypothèse, la probabilité de trouver une telle région dans le génome B Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 5 / 17

22 Introduction Significativité L idée du test statistique! Région conservée entre les deux espèces.? Est-elle significative? Hypothèse H 0 = hypothèse de génome aléatoire (hasard) : calculer, sous cette hypothèse, la probabilité de trouver une telle région dans le génome B si suffisamment petite Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 5 / 17

23 Introduction Significativité L idée du test statistique! Région conservée entre les deux espèces.? Est-elle significative? Hypothèse H 0 = hypothèse de génome aléatoire (hasard) : calculer, sous cette hypothèse, la probabilité de trouver une telle région dans le génome B si suffisamment petite Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 5 / 17

24 Introduction Significativité L idée du test statistique! Région conservée entre les deux espèces.? Est-elle significative? Hypothèse H 0 = hypothèse de génome aléatoire (hasard) : calculer, sous cette hypothèse, la probabilité de trouver une telle région dans le génome B si suffisamment petite = région conservée significative! Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 5 / 17

25 Modèle mathématique 1 Introduction Contexte biologique Significativité 2 Modèle mathématique Formulation du problème Test statistique Solution par la méthode de Monte Carlo 3 Vers une solution plus mathématique Modèle mathématique simplifié Exemple : le cas sans familles de gènes Comportement asymptotique Conclusion Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 6 / 17

26 Modèle mathématique Formulation du problème Formulation mathématique Un génome = séquence ordonnée de gènes, sans séparation en chromosomes. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 7 / 17

27 Modèle mathématique Formulation du problème Formulation mathématique Un génome = séquence ordonnée de gènes, sans séparation en chromosomes. La longueur d une région génomique = le nombre de gènes. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 7 / 17

28 Modèle mathématique Formulation du problème Formulation mathématique Un génome = séquence ordonnée de gènes, sans séparation en chromosomes. La longueur d une région génomique = le nombre de gènes. Les données : m gènes dans la région de référence du génome A qui ont des orthologues dans le génome B Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 7 / 17

29 Modèle mathématique Formulation du problème Formulation mathématique Un génome = séquence ordonnée de gènes, sans séparation en chromosomes. La longueur d une région génomique = le nombre de gènes. Les données : m gènes dans la région de référence du génome A qui ont des orthologues dans le génome B φ i, i = 1,..., m les tailles des familles de gènes orthologues Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 7 / 17

30 Modèle mathématique Formulation du problème Formulation mathématique Un génome = séquence ordonnée de gènes, sans séparation en chromosomes. La longueur d une région génomique = le nombre de gènes. Les données : m gènes dans la région de référence du génome A qui ont des orthologues dans le génome B φ i, i = 1,..., m les tailles des familles de gènes orthologues N la taille du génome de l espèce B. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 7 / 17

31 Modèle mathématique Formulation du problème Prendre en compte les familles de gènes Un dénombrement un peu différent : Nombre d orthologues dans une région Dans une certaine région de B : n i orthologues de la i - ème famille, i = 1,..., m Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 8 / 17

32 Modèle mathématique Formulation du problème Prendre en compte les familles de gènes Un dénombrement un peu différent : Nombre d orthologues dans une région Dans une certaine région de B : n i orthologues de la i - ème famille, i = 1,..., m = le nombre d orthologues dans cette région : h = m i=1 n i φ i. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 8 / 17

33 Modèle mathématique Test statistique Le test statistique (I) Définitions : Pour chaque h possible : L h = la longueur de la plus petite région dans B contenant h orthologues. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 9 / 17

34 Modèle mathématique Test statistique Le test statistique (I) Définitions : Pour chaque h possible : L h = la longueur de la plus petite région dans B contenant h orthologues. r β (h) = la longueur critique pour qu un cluster avec h orthologues soit significatif au seuil β : P(L h r β (h)) β. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 9 / 17

35 Modèle mathématique Test statistique Le test statistique (II) On cherche un cluster significatif. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 10 / 17

36 Modèle mathématique Test statistique Le test statistique (II) On cherche un cluster significatif. On ne connaît pas a priori le nombre h d orthologues! Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 10 / 17

37 Modèle mathématique Test statistique Le test statistique (II) On cherche un cluster significatif. On ne connaît pas a priori le nombre h d orthologues! Le test : 1 Pour β fixé, trouver pour tous les h possibles les longueurs critiques correspondantes r β (h) : P(L h r β (h)) β. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 10 / 17

38 Modèle mathématique Test statistique Le test statistique (II) On cherche un cluster significatif. On ne connaît pas a priori le nombre h d orthologues! Le test : 1 Pour β fixé, trouver pour tous les h possibles les longueurs critiques correspondantes r β (h) : 2 Trouver le bon β tel que P(L h r β (h)) β. P(il existe h t.q. L h r β (h)) α (0, 01). Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 10 / 17

39 Modèle mathématique Solution par la méthode de Monte Carlo Estimation par Monte Carlo La loi exacte de L h : Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 11 / 17

40 Modèle mathématique Solution par la méthode de Monte Carlo Estimation par Monte Carlo La loi exacte de L h : difficile à obtenir. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 11 / 17

41 Modèle mathématique Solution par la méthode de Monte Carlo Estimation par Monte Carlo La loi exacte de L h : difficile à obtenir. La méthode de Monte Carlo : On approche une moyenne théorique par la moyenne empirique. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 11 / 17

42 Modèle mathématique Solution par la méthode de Monte Carlo Estimation par Monte Carlo La loi exacte de L h : difficile à obtenir. La méthode de Monte Carlo : On approche une moyenne théorique par la moyenne empirique. On approche une probabilité par la fréquence empirique. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 11 / 17

43 Modèle mathématique Solution par la méthode de Monte Carlo Estimation par Monte Carlo La loi exacte de L h : difficile à obtenir. La méthode de Monte Carlo : On approche une moyenne théorique par la moyenne empirique. On approche une probabilité par la fréquence empirique. Pour chaque h, on estime la fonction de répartition de L h : F (r) = P(L h r) {i = 1,..., M : l h,i r} M l h,i, i = 1,..., M simulations indép. de L h, avec M suffisamment grand. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 11 / 17

44 Modèle mathématique Solution par la méthode de Monte Carlo Estimation par Monte Carlo La loi exacte de L h : difficile à obtenir. La méthode de Monte Carlo : On approche une moyenne théorique par la moyenne empirique. On approche une probabilité par la fréquence empirique. Pour chaque h, on estime la fonction de répartition de L h : F (r) = P(L h r) {i = 1,..., M : l h,i r} M l h,i, i = 1,..., M simulations indép. de L h, avec M suffisamment grand. Pour β fixé, on calcule r β (h) pour chaque h. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 11 / 17

45 Modèle mathématique Solution par la méthode de Monte Carlo Estimation par Monte Carlo La loi exacte de L h : difficile à obtenir. La méthode de Monte Carlo : On approche une moyenne théorique par la moyenne empirique. On approche une probabilité par la fréquence empirique. Pour chaque h, on estime la fonction de répartition de L h : F (r) = P(L h r) {i = 1,..., M : l h,i r} M l h,i, i = 1,..., M simulations indép. de L h, avec M suffisamment grand. Pour β fixé, on calcule r β (h) pour chaque h. De façon analogue, on trouve le bon β. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 11 / 17

46 Vers une solution plus mathématique 1 Introduction Contexte biologique Significativité 2 Modèle mathématique Formulation du problème Test statistique Solution par la méthode de Monte Carlo 3 Vers une solution plus mathématique Modèle mathématique simplifié Exemple : le cas sans familles de gènes Comportement asymptotique Conclusion Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 12 / 17

47 Vers une solution plus mathématique Modèle mathématique simplifié Modèle mathématique simplifié Le génome B = l intervalle continu [0,1] Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 13 / 17

48 Vers une solution plus mathématique Modèle mathématique simplifié Modèle mathématique simplifié Le génome B = l intervalle continu [0,1] Sous l hypohèse de génome aléatoire : les positions dans B des gènes orthologues = v.a. indép. unif. distr. sur [0,1]. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 13 / 17

49 Vers une solution plus mathématique Modèle mathématique simplifié Modèle mathématique simplifié Le génome B = l intervalle continu [0,1] Sous l hypohèse de génome aléatoire : les positions dans B des gènes orthologues = v.a. indép. unif. distr. sur [0,1]. On remplace h par h m, donc h [0, 1] aussi. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 13 / 17

50 Vers une solution plus mathématique Exemple : le cas sans familles de gènes Le cas sans familles de gènes (φ i = 1, i) Mesure de comptage renormalisée µ m (I) = 1 m m i=1 1 {Xi I} = {i : X i I} m X i, i = 1,..., m des v.a. indép. unif. distr. sur [0,1]., Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 14 / 17

51 Vers une solution plus mathématique Exemple : le cas sans familles de gènes Le cas sans familles de gènes (φ i = 1, i) Mesure de comptage renormalisée µ m (I) = 1 m m i=1 1 {Xi I} = {i : X i I} m X i, i = 1,..., m des v.a. indép. unif. distr. sur [0,1]. Donc L h = inf{ I : µ m (I) h}., Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 14 / 17

52 Vers une solution plus mathématique Exemple : le cas sans familles de gènes Le cas sans familles de gènes (φ i = 1, i) Mesure de comptage renormalisée µ m (I) = 1 m m i=1 1 {Xi I} = {i : X i I} m X i, i = 1,..., m des v.a. indép. unif. distr. sur [0,1]. Donc L h = inf{ I : µ m (I) h}., Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 14 / 17

53 Vers une solution plus mathématique Exemple : le cas sans familles de gènes Le cas sans familles de gènes (φ i = 1, i) Mesure de comptage renormalisée µ m (I) = 1 m m i=1 1 {Xi I} = {i : X i I} m X i, i = 1,..., m des v.a. indép. unif. distr. sur [0,1]. Donc L h = inf{ I : µ m (I) h}., Problème Étudier la loi de L h. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 14 / 17

54 Vers une solution plus mathématique Exemple : le cas sans familles de gènes Le cas sans familles de gènes (φ i = 1, i) Mesure de comptage renormalisée µ m (I) = 1 m m i=1 1 {Xi I} = {i : X i I} m X i, i = 1,..., m des v.a. indép. unif. distr. sur [0,1]. Donc L h = inf{ I : µ m (I) h}., Problème Étudier la loi de L h. Même dans ce cas, difficile à obtenir. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 14 / 17

55 Vers une solution plus mathématique Comportement asymptotique Le comportement asymptotique de L h (m ) La fonction de répartition de µ m : F m (t) = 1 m m i=1 1 {Xi t}. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 15 / 17

56 Vers une solution plus mathématique Comportement asymptotique Le comportement asymptotique de L h (m ) La fonction de répartition de µ m : Loi des grands nombres : F m (t) = 1 m m i=1 1 {Xi t}. F m (t) m t, uniformément en t [0, 1], p.s.. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 15 / 17

57 Vers une solution plus mathématique Comportement asymptotique Le comportement asymptotique de L h (m ) La fonction de répartition de µ m : Loi des grands nombres : F m (t) = 1 m m i=1 1 {Xi t}. F m (t) m t, uniformément en t [0, 1], p.s.. Théorème Limite Centrale : m(fm (t) t) m B t, t [0, 1] convergence en loi fonctionnelle vers le pont brownien. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 15 / 17

58 Vers une solution plus mathématique Comportement asymptotique Approximation gaussienne On obtient : P(L h r) P( i A i ), où les A i impliquent des v.a. i.i.d. gaussiennes. La formule de Chung - Erdös P( i ( P(A i )) 2 i A i ) P(A i ) + P(A i A j ). i i j Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 16 / 17

59 Vers une solution plus mathématique Conclusion Conclusion Pour β fixé, on calcule r β (h) pour tout h. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 17 / 17

60 Vers une solution plus mathématique Conclusion Conclusion Pour β fixé, on calcule r β (h) pour tout h. Algorithme stochastique (Robbins - Monro) pour trouver le β t.q. P(il existe h t.q. L h r β (h)) α (0, 01). Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 17 / 17

61 Vers une solution plus mathématique Conclusion Conclusion Pour β fixé, on calcule r β (h) pour tout h. Algorithme stochastique (Robbins - Monro) pour trouver le β t.q. P(il existe h t.q. L h r β (h)) α (0, 01). Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 17 / 17

62 Vers une solution plus mathématique Conclusion Conclusion Pour β fixé, on calcule r β (h) pour tout h. Algorithme stochastique (Robbins - Monro) pour trouver le β t.q. P(il existe h t.q. L h r β (h)) α (0, 01). Généralisation pour le cas avec des familles de gènes. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 17 / 17

63 Vers une solution plus mathématique Conclusion Conclusion Pour β fixé, on calcule r β (h) pour tout h. Algorithme stochastique (Robbins - Monro) pour trouver le β t.q. P(il existe h t.q. L h r β (h)) α (0, 01). Généralisation pour le cas avec des familles de gènes. Perspectives : Prendre en compte l ordre de gènes. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 17 / 17

64 Vers une solution plus mathématique Conclusion Conclusion Pour β fixé, on calcule r β (h) pour tout h. Algorithme stochastique (Robbins - Monro) pour trouver le β t.q. P(il existe h t.q. L h r β (h)) α (0, 01). Généralisation pour le cas avec des familles de gènes. Perspectives : Prendre en compte l ordre de gènes. Reconstruire les génomes ancestraux. Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 17 / 17

65 Vers une solution plus mathématique Conclusion Conclusion Pour β fixé, on calcule r β (h) pour tout h. Algorithme stochastique (Robbins - Monro) pour trouver le β t.q. P(il existe h t.q. L h r β (h)) α (0, 01). Généralisation pour le cas avec des familles de gènes. Perspectives : Prendre en compte l ordre de gènes. Reconstruire les génomes ancestraux.... Simona Grusea (Univ. de Provence) Régions génomiques conservées Test statistique 17 / 17