PROBABILITES ET STATISTIQUES RESUME

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Marie-Françoise Rochette
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1 PROBABILITES ET STATISTIQUES RESUME L'OBJECTIF de cet ouvrage est de donner aux ingénieurs et aux commerciaux toutes les notions de base en probabilités et statistiques. Il ne suppose aucune connaissance préalable dans ces domaines mais requiert le niveau d'un Deug scientifique. Les chapitres 1 à 14 privilégient l'approche probabiliste et l'introduction de chaque notion nouvelle est soigneusement motivée. Le lecteur plus intéressé par les applications de nature statistique peut commencer par les chapitres 15 à 19. Les chapitres 20 à 26 sont une initiation à la théorie des processus. L'utilisateur peut ainsi trouver dans un même ouvrage - qui se veut relativement facile à lire et nécessite que très peu de connaissances mathématiques - suffisamment d'informations pour comprendre des notions telles que les suivantes: série statistique, tirage au hasard, sondage, échantillon, variance, loi normale, simulation, analyse des données, test d'hypothèse, test du khideux, analyse factorielle, évolution markovienne, réseaux de files d'attente, processus de diffusion, intégrale stochastique. Un grand nombre d'exercices, dont certains très courts, sont insérés dans le corps de l'exposé. Ceux-ci ont pour but d'inciter le lecteur à esquisser un calcul ou une démonstration simple pour s'assurer qu'il a bien com pris ce qui précède. D'autres exercices, plus longs, sont des fenêtres ouvertes sur des applications effectivement utilisées par les praticiens. Les exemples de séries statistiques sont traités à l'aide d'excel. Tous les exercices proposés font l'objet d'un corrigé détaillé. Les domaines abordés dans le cours ou les exercices sont très variés: fiabilité, données démographiques, indices économiques, assurances, sondages (gustatifs, sociologiques,...), gestion de stocks, optimisation, transmission numérique, mode ATM, contrôle et correction d'erreurs,... TABLE DES MATIERES 1 Variables aléatoires discrètes Probabilités ou statistiques? Objectifs Hasard et déterminisme Espace fondamental Cas discret et cas continu Variable aléatoire discrète Compléments mathématiques Loi d'une variable aléatoire discrète Exemple académique élémentaire Variable aléatoire entière et loi géométrique Notion de probabilité 11 2 Loi équidistribuée et formule de Bayes Loi équidistribuée I.N.S.E.E Données statistiques et variable aléatoire Introduction enfantine Deuxième introduction Importance de la formule de Bayes Probabilité conditionnelle Délai géométrique Mélange de populations *Sur l'objectivité d'un tableau de données 25 3 Indépendance et fiabilité Evènements indépendants Fiabilité Cas en série Cas en parallèle Approximations Fiabilité d'un système 31

2 3.6 Fiabilité d'un système Redondance partielle *Bits de contrôle 33 4 Loi conjointe et indépendance Loi image Ensemble produit Loi conjointe Exercice académique Préliminaire mathématique Variables aléatoires indépendantes Indépendance de n variables Echantillon de taille n *Contre-exemple 43 5 Espérance Définition Formule de transfert Linéarité de l'espérance Mélange de populations Variables aléatoires indépendantes *Distribution *Gestion calendaire de stock 52 6 Variance et covariance Variance et écart-type Loi de Bernoulli Théorème de Huygens-Koenig Covariance et coefficient de corrélation Variables aléatoires indépendantes *Contre exemple Moyenne d'un échantillon *Sondage par grappes et optimisation *Estimation de la variance *Sondage sociologique *Inégalité de Schwarz *Exercice de base *Contre-exemple *Droite de régression *Contre-exemple *Variance et mélange de populations Inégalités et loi des grands nombres 72 7 Variable aléatoire entière et loi binomiale Variable aléatoire entière Fonction génératrice Espérance et variance Propriété fondamentale Coefficients du binôme Loi binomiale Un décor connu Formules de récurrence *Tests gustatifs *Poker *Contrôle de parité *Bits de corrections d'erreurs 88 8 Loi et processus de Poisson Introduction Somme de deux lois de Poisson indépendantes Processus de Poisson Accroissements indépendants Décor poissonnien *Saturation d'un réseau *Réseaux ATM 98 9 Variable aléatoire réelle Série statistique Formalisme et loi associée Courbe cumulative et histogramme Fonction de répartition Densité de probabilité Espérance Loi équidistribuée ou uniforme Loi exponentielle Fonction mesurable *Optimisation et espérance 110

3 10 Couple de variables aléatoires réelles Densité de probabilité Etude par analogie Formule de transfert Exemple académique Variables indépendantes Fonction caractéristique Transformée de Laplace Produit de convolution *Distributions *Exercice "mathématique" * Calcul mathématique Loi exponentielle Délai exponentiel Loi exponentielle Propriétés de base Loi d'erlang *Délai d'attente et mélange *Fiabilité et vieillissement linéaire Loi normale Loi normale réduite Loi normale quelconque Tables de la loi normale réduite *Exercice de base Fonction caractéristique Echantillon *Exponentielle d'une loi normale Lois du Khi-deux et de Student Définition Cas où m est connue Cas où m est inconnue Variance du khi-deux Loi de Student Exemple d'utilisation *Fonction de répartition du khi-deux Compléments sur la loi normale Loi normale multidimensionnelle Théorème de la limite centrale Approximation par une loi normale Etude pour une compagnie d'assurances *Sondage pour une assurance Statistique descriptive Introduction aux statistiques Tableau de données et série statistique Description figurative Indices statistiques Indices de Laspeyres et de Paasche Exemples de série statistique Ajustement d'une série statistique *Utilisation de Excel Tests statistiques Echantillon et sondage Test d'hypothèse Intervalle de confiance Risque de deuxième espèce Exemple de sondage Tests du khi-deux Loi du khi-deux Test d'ajustement Exemple académique Générateur informatique Test de normalité Analyse linéaire Droite de régression Evolutions relatives des salaires Autre droite et précision Transformations préalables Autres généralisations Ajustement d'une loi normale 200

4 19 Analyse des données Tableau de données et nuage de points Préliminaires mathématiques Analyse en composantes principales Analyse factorielle des correspondances Compléments Classification automatique Chaine de Markov Processus stochastique Processus markovien discret Chaine de Markov discrète homogène Exemples élémentaires Régime stationnaire Un théorème ergodique *Choix de modélisation markovienne Simulation et pseudo-simulation Support mathématique de la simulation Quand E est petit Simulation et théorème ergodique Nombres au hasard Simulation d'une variable aléatoire Gestion calendaire de stock Réseaux A. T.M Transmission numérique Protocoles de transmission Mode ATM Premier carrefour Calcul informatique Etude mathématique Processus markovien discret Matrice d'évolution Délai exponentiel Processus de Poisson Equations de Chapman- Kolmogorov File unique simple Réponses et commentaires Régime stationnaire Introduction Théorème ergodique File unique simple Théorème de Jackson "fermé" *Une généralisation Processus de diffusion Introduction Mouvement brownien réel Approche ''fonctions aléatoires" Processus de diffusion Formule de Ito Introduction à la théorie Modèle non discret L'axiome du choix Tribu et fonction mesurable Intégrale de Lebesgue Théorème de Kolmogorov-Bochner Filtration et temps d'arrêt Intégrale stochastique Complément historique et références Compléments mathématiques Introduction Exponentielle de matrice Semi-groupe de transition Forme quadratique Théorie spectrale Changement de base Diagonalisation d'une matrice symétrique Esquisse de la preuve Changement de variable 297

5 28 Corrigés Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Annexes 343 Bibliographie 355 Index terminologique 359 TOP

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