Partie 1 : un ensemble de matrices

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1 Université Claude Bernard - Lyon Semestre d automne 0-03 Math III - PMI Durée : heure et 30 minutes Partie CCP - Devoir numéro Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre Dans toutes les questions, il sera tenu le plus grand compte de la rigueur de la rédaction ; toute réponse insuffisamment justifiée sera considérée comme nulle Dans tout le problème, on fixe un nombre entier n N et un nombre réel α Notations : si p et q sont deux nombres entiers naturels p q, alors on désigne par p, q l ensemble des nombres entiers naturels k tels que p k q, si k N, alors on note C k [X] l ensemble des polynômes de degré au plus k à coefficients complexes Partie : un ensemble de matrices λ 0 On note J l ensemble de toutes les matrices du type J λ 0 λ lorsque λ décrit C On note également I 0 0 λ la matrice diagonale d ordre 3 dont les éléments diagonaux sont tous égaux à L ensemble J est-il un sous-espace vectoriel de M 3 (C? On note N la matrice J 0 Calculer N p pour tout p N En déduire que, pour λ C, il existe trois suites complexes (u p p, (v p p et (w p p dont on exprimera le terme général à l aide de λ telles que : 3 Soit λ C On pose, pour tout p N, S p p N, (J λ p u p I + v p N + w p N k! (J λ k Montrer qu il existe une suite complexe (x p p 0 que l on explicitera, telle que pour tout entier p, on ait : S p x p I + x p N + x p N 4 On admettra le résultat suivant : si z C alors lim p + z k k! ez Pour p N, on note a i,j (p le coefficient de S p situé sur la ligne i et sur la colonne j (avec (i, j {,, 3} Déterminer la matrice S dont le coefficient général a i,j est égal à : a i,j lim a i,j(p p + Partie : étude d une application linéaire On note E l ensemble de toutes les applications définies sur R à valeurs dans C On rappelle que E est un C-espace vectoriel pour les lois suivantes : si f et g sont deux telles applications et λ un nombre complexe, alors f + g et λf sont définies comme suit : x R, (f + g(x f(x + g(x et (λf(x λf(x On note d autre part [0] l application nulle de R dans C, à savoir [0] : x R 0

2 5 Pour f E, on appelle g l application définie par : x R, g(x f(x + π Montrer avec soin que l application ϕ : f ϕ(f g est un endomorphisme de E Pour k N, on désigne par E k le sous-ensemble de E constitué des applications du type : x P (x e iαx avec P C k [X] 6 (a Montrer que E n est le sous-espace vectoriel de E engendré par la famille F (f k 0 k n où l on a noté : f k : x x k e iαx k 0, n Montrer alors que F est une base de E n (b Exprimer simplement E n+ à l aide de E n et de la droite vectorielle {λf n+ λ C} 7 (a Soit k 0, n Écrire ϕ(f k comme une combinaison linéaire des éléments de F (b En déduire que ϕ(e n E n 8 On désigne par m l endomorphisme de E n défini par : pour f E n, m(f ϕ(f On note M la matrice de m relativement à la base F Montrer que M est une matrice triangulaire supérieure (d ordre n + que l on précisera (on pourra faire figurer dans cette matrice uniquement les coefficients nuls, les coefficients diagonaux, ainsi que ceux situés juste au-dessus de la diagonale 9 Calculer, pour p N, le déterminant de l endomorphisme m p Partie 3 : changement de base On reprend toutes les notations de la partie précédente On note Id l application identité de E n, à savoir Id : f f On considère un nouvel endomorphisme : l m (e iπα Id 0 (a Vérifier que l(f 0 est l application nulle [0] (b Soit k 0, n Montrer que l(f k+ est un élément de E k et que sa composante selon f k vaut : (k + πe iπα (c En déduire que pour tout k 0, n, E k Ker(l k+ (d Établir la propriété suivante : k 0, n, l k (f k (k!(π k e ikπα f 0 (e En déduire que l n (f n [0] et l n+ (f n [0] Montrer que B (l n (f n, l n (f n,, l(f n, f n est une base de E n Déterminer la matrice de l relativement à la base B 3 En déduire la matrice de m dans la base B Dans la suite, on notera M cette matrice 4 On note J n+ l ensemble des matrices carrées A (a i,j (i,j,n+ à coefficients complexes vérifiant les quatre conditions suivantes : a, est de module, (i, j, n +, a i,i a j,j, i, n, a i,i+, (i, j, n +, (j i / {0, } a i,j 0 Montrer que l application qui à un nombre réel α associe la matrice M est une surjection de R dans J n+

3 Correction du Devoir Surveillé - partie CCP Partie - un ensemble de matrices La matrice nulle, élément neutre de l addition des matrices, n appartient pas à J, donc J n est pas un sous-espace vectoriel de M 3 (C On a N 0 I, N 0 0, N 0 0 0, et pour p 3, N p est la matrice nulle (notée 0 M3(C Soit λ C, on a J λ λi + N Puisque I et N commutent, on peut utiliser la formule du binôme de Newton, on obtient donc : p N, (J λ p (λi + N p ( p (λi p k N k k D où pour tout p, (J λ p λ p I + pλ p p(p N + λ p N De plus, pour p 0, le membre de droite de l égalité précédente vaut I (J λ 0, et pour p, le membre de droite vaut λi + N J λ En conclusion, pour tout p N, on a (J λ p u p I + v p N + w p N, avec u p λ p, v p pλ p p(p et w p λ p 3 On pose pour tout p N, ( S p k! (J λ k k! (u ki + v k N + w k N k! u k I + k! v k N + k! w k N ( k(k k! λk I + k! kλk N + λ k N k! ( k k! λk I + k! λk N + k(k λ k N k! k k ( k! λk I + (k! λk N + (k! λk N k k ( ( λ k p ( λ k I + N + p λ k N k! k! k! On obtient donc, pour tout p, S p x p I + x p N + x p N, où la suite (x p p est définie pour tout λ k p N par x p k! 4 Pour tout p N, on a S p x p x p x p 0 x p x p 0 0 x p Puisque la suite (x p p converge vers e λ, on a lim x p e λ lim x p lim x p, donc p + p + p + e λ e λ eλ S 0 e λ e λ e λ e λ 0 0 Partie - étude d une application linéaire 5 Soit f E et g : x R f(x + π On note ϕ : f E g Puisque f est définie sur R à valeurs complexes, g est aussi définie sur R à valeurs dans C Ainsi, ϕ est une application de E dans E Il reste à 3

4 montrer que ϕ est linéaire Soient (f, f E et λ C Pour tout x R, on a ϕ(λf + f (x (λf + f (x + π λf (x + π + f (x + π (λϕ(f + ϕ(f (x Ainsi ϕ(λf + f λϕ(f + ϕ(f, donc ϕ est un endomorphisme de E 6 (a Puisque (, X, X,, X n est une base de C n [X], pour tout P C n [X], il existe (a 0,, a n C n+ n tel que P a k X k Par conséquent, on a f E n P C k [X], x R, f(x P (xe iαx (a 0,, a n C n+, x R, f(x (a 0 + a x + + a n x n e iαx n (a 0,, a n C n+, f a k f k On obtient donc E n Vect(f 0,, f n Montrons que la famille (f k 0 k n est libre Soit (µ 0,, µ n C n+ tel que µ 0 f µ n f n [0] Alors pour tout x R, on a (µ 0 + µ x + + µ n x n e iαx 0 Comme e iαx 0 pour tout x R, on obtient µ 0 + µ x + + µ n x n 0 Ainsi, le polynôme µ 0 + µ X + + µ n X n C n [X] possède une infinité de racines, c est donc le polynôme nul Par conséquent, 0 k n, on a µ k 0, donc la famille (f k 0 k n est libre C est une famille libre et génératrice de E n, donc c est une base de E n (On en déduit au passage la dimension de E n : dim(e n n + (b On a E n+ Vect(f 0,, f n, f n+ Vect(f 0,, f n + Vect(f n+ E n + {λf n+ λ C} k ( k 7 (a Soit k 0, n Soit x R On a ϕ(f k (x f k (x+π (x+π k e iα(x+π (π k p x p e iπα e iαx p p0 k ( k donc ϕ(f k (π k p e iπα f p est une combinaison linéaire d éléments de F p p0 (b Soit f E n Alors il existe (a 0,, a n C n+ tel que f a 0 f a n f n Par linéarité de n ϕ, on obtient donc ϕ(f a k ϕ(f k Or d après la question précédente, pour tout 0 k n, f k appartient à E n Puisque E n est un espace vectoriel, il est stable par combinaison linéaire, donc finalement ϕ(f E n Ainsi, on a bien ϕ(e n E n 8 Soit m L(E n défini par m : f E n ϕ(f On remarque que m n est rien d autre que la restriction de ϕ à E n D après la question 7a, on a ϕ(f 0 e iπα f 0 et pour k, n, ϕ(f k e iπα f k +kπe iπα f k +h k où h k Vect((f p 0 p k La matrice de m dans la base F est donc la matrice d ordre n + suivante : π 0 4π M e iπα 0 0 6π 0 nπ On a det(m p (det m p Or det m det M e iπ(n+α comme produit des termes diagonaux d une matrice triangulaire supérieure d ordre (n + Ainsi, det(m p e iπ(n+pα Partie 3 - changement de base 0 On note l m (e iπα Id 4

5 (a On a vu que m(f 0 e iπα f 0, donc (m e iπα Id(f 0 [0], ainsi on a bien l(f 0 [0] (b Soit k 0, n On a vu que m(f k+ e iπα f k+ + (k + πe iπα f k + h k avec h k Vect((f p 0 p<k Par suite, l(f k+ (k + πe iπα f k + h k Ainsi, l(f k+ E k et sa composante selon f k est (k + πe iπα (c On a démontré que E k+ Vect(f k+ + E k Comme l(f k+ E k et l(e k E k (puisque l est un endomorphisme de E k, par linéarité de l, on en déduit que k 0, n, l(e k+ E k Démontrons par récurrence (finie sur k que l k+ (E k {[0]} Pour k 0, n, notons H(k la proposition l k+ (E k {[0]} On a E 0 Vect(f 0 et l(f 0 [0] d où l(e 0 {[0]} La proposition H(0 est donc vraie Supposons H(k vraie pour un entier k fixé dans 0, n Alors (l k+ (E k+ l k+ (l(e k+ l k+ (E k {[0]} La propriété H(k + est donc vraie, d où le résultat voulu d après le principe de récurrence (d On procède encore une fois par récurrence Pour k 0, n, notons P (k la proposition l k (f k k!(π k e ikπα f 0 On a l 0 (f 0 f 0 et 0!(π 0 e 0 f 0 f 0 donc P (0 est vraie Supposons P (k vraie pour une entier k 0, n fixé Avec les notations précédentes, on a l(f k+ ((k + πe iπα f k + h k d où par linéarité de l k, l k+ (f k+ ((k + πe iπα l k (f k + l k (h k ((k + πe iπα (k!(π k e ikπα f 0 + [0] (k +!(π k+ e i(k+πα f 0 Donc P (k + est vraie Ainsi d après le principe de récurrence, P (k est vraie pour tout k 0, n (e On calcule l n (f n (0 n!(π n e inπα 0 donc l n (f n n est pas l application nulle De plus, toujours par linéarité de l, l n+ (f n (n!(π n e inπα l(f 0 [0] Notons B (l n (f n,, l(f n, f n Comme dim(e n n+ et que la famille B possède n+ éléments de E n, il suffit de démontrer que la famille est libre pour prouver que c est une base de E n Soit (µ 0,, µ n C n+ tel que µ 0 f n + µ l(f n + + µ n l n (f n [0] ( On applique l n à (, et on obtient µ 0 l n (f n [0] Puisque l n (f n [0], on en conclut donc µ 0 0 On réitère l opération et on montre par récurrence immédiate que pour tout k 0, n, µ k 0 Ainsi la famille B est libre, donc c est une base de E n Pour tout k 0, n, l(l k (f n l k+ (f n et l(l n (f n [0], donc la matrice de l dans la base B est Par construction, m l + e iπα Id donc la matrice de m dans la base B, notée M, est e iπα e iπα 0 M Mat B (l + e iπα I n 0 e iπα e iπα 5

6 λ λ 0 4 J n+ est l ensemble des matrices de la forme J λ avec λ de module La 0 λ λ matrice M trouvée précédemment appartient à J n+ Ainsi, l application u : α R M est bien à valeurs dans J n+ Soit λ C de module Notons Arg(λ un argument de λ et posons α λ π Arg(λ Alors λ e iπα λ donc J λ u(α λ, ce qui montre la surjectivité voulue 6