Cours de Mécanique du Solide

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1 Cours de Mécanique du Solide Amelie Caissial Quentin Grandemange ESSTIN 2A S

2 Chapitre 1 : Opérations Vectorielles, Torseurs Rappels. Sommaire I. Opérations sur les vecteurs Rappels ) Produit scalaire... 3 A) Définition... 3 B) Propriétés... 3 C) Applications... 3 D) Expression analytique ) Produit vectoriel... 3 A) Définition... 3 B) Interprétation géométrique... 4 C) Propriétés... 4 D) Expression analytique... 4 E) Formule du double produit vectoriel (formule de Gibbs) ) Division vectorielle ) Produit mixte... 5 A) Définition... 5 B) Propriété : Permutation circulaire... 5 II. Torseur ) Définition ) Torseur associé à un ensemble de glisseurs... 6 A) Ensemble fini de glisseurs... 6 B) Ensemble infini de glisseurs ) Invariants ) Point central Axe central d un vecteur... 6 A) Point central Définition... 6 B) Axe central Définition... 7 C) Recherche de l axe central ) Opérations sur les torseurs... 7 A) Addition... 7 B) Multiplication par un réel λ... 7

3 6) Torseurs spéciaux ) Moment d un torseur d un axe ) Co-moment (produit) de deux torseurs... 8 A) Définition... 8 B) Propriétés... 9 III. Champ équiprojectif ) Définition ) Théorème

4 I. Opérations sur les vecteurs Rappels 1) Produit scalaire A) Définition est un réel. 3 B) Propriétés Symétrie : Distributivité : ( ) Multiplicité par un réel : Carré scalaire : Cas de nullité : o o C) Applications Si sont les vecteurs unitaires d une base orthonormée ( ) : D) Expression analytique Dans une base, le produit scalaire des deux vecteurs et s écrit : 2) Produit vectoriel A) Définition Le produit vectoriel des deux vecteurs et est le vecteur tel que : soit au plan Le repère soit direct

5 B) Interprétation géométrique A B D C La norme du produit vectoriel représente la surface du parallélogramme ABCD. 4 C) Propriétés Antisymétrie : Distributivité sur l addition : ( ) Multiplication par un réel : Cas de nullité : o Un des vecteurs est nul o Les deux vecteurs sont colinéaires D) Expression analytique Dans une base orthonormée directe, le produit vectoriel des deux vecteurs s écrit : et E) Formule du double produit vectoriel (formule de Gibbs) 3) Division vectorielle ( ) ( ) Soit deux vecteurs et non nuls déterminant l ensemble des vecteurs tel que :. Le problème n est possible que si les deux vecteurs et sont orthogonaux. On considère un plan (π )

6 On considère un plan (π) orthogonal à. Alors et sont inclus dans (π). π π λ Soit un vecteur particulier tel que ( ). On peut écrire :. En multipliant par chaque membre : 5 D où la solution particulière :. Pour obtenir la solution générale, on écrit : { la solution vérifie λ λ.. Par différence :, donc D où la solution générale sous forme paramétrique (de paramètre λ) : λ 4) Produit mixte A) Définition Le produit mixte des trois vecteurs,, est le réel noté : B) Propriété : Permutation circulaire ( ) ( ) ( ) ( ) II. Torseur 1) Définition Un torseur { } est l ensemble de deux champs vectoriels définis par : Un champ de vecteurs uniformes noté, résultante de { } : Un champ de vecteurs :,. Soit un point B :

7 Formule du champ de moment d un torseur. On a donc : { } { } avec et les éléments de réduction de { }. 2) Torseur associé à un ensemble de glisseurs 6 A) Ensemble fini de glisseurs { } { } { } B) Ensemble infini de glisseurs { } { } 3) Invariants Entre deux points A et B de l espace, si deux éléments de { } sont conservés, ils constituent les deux invariants du torseur : 1 er invariant : la résultante 2 ème invariant : la projection du moment sur la résultante (ou auto-moment). En effet, on a :. ( ) ( ) d où. 4) Point central Axe central d un vecteur A) Point central Définition Le point de l espace où le moment du torseur a même direction que la résultante.

8 B) Axe central Définition L axe central d un torseur qui n est pas un couple est l ensemble des points centraux. C est-à-dire l ensemble des points tels que et soient colinéaires, ou proportionnels : λ. λ est le pas du torseur. C) Recherche de l axe central 7 Si est un point de l axe central, alors : λ λ λ { } { } Par division vectorielle, on a : A L axe central est donc une droite passant par le point défini par, et parallèle à la résultante générale du torseur. On a :. 5) Opérations sur les torseurs A) Addition Au même point : { } { } { } B) Multiplication par un réel λ λ{ } { λ λ }

9 6) Torseurs spéciaux Un torseur spécial est un torseur dont l auto-moment est nul : possibles : Torseur nul : { } Torseur couple : { }. Quatre cas sont On a or d où. Le champ de vecteurs est uniforme. { } avec il existe un point P tel que.. 8 D où { } { } D où { } est un glisseur en P. Torseur glisseur : { } (A est sur l axe central) 7) Moment d un torseur d un axe A Le moment d un torseur par rapport à un axe est égal au produit scalaire (projection) de (unitaire) avec le moment du torseur. A quelconque de. Δ 8) Co-moment (produit) de deux torseurs A) Définition Le co-moment de deux torseurs { } et { } est le nombre réel suivant : { } { } Notation qui sert en particulier à exprimer une puissance.

10 B) Propriétés Ce produit est : Commutatif Indépendant du point choisi. III. Champ équiprojectif 9 1) Définition Un champ de vecteurs V est équiprojectif si : 2) Théorème Le champ de moment d un torseur est équiprojectif. On a. Si on multiplie par, on a : ( ) ( ) Donc on a :