Geométrie du dessin : projections, perspectives
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- Alizée Sévigny
- il y a 9 ans
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1 Geométrie du dessin : projections, perspectives Robert Rolland 20 septembre 2006 R. Rolland, C.N.R.S. Institut de Mathématiques de Luminy Luminy Case 930, F13288 Marseille CEDEX 9 [email protected] Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
2 Plan Plan 1 Les diverses représentations Principes et difficultés Les projections parallèles Les projections centrales Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
3 Plan Plan 1 Les diverses représentations Principes et difficultés Les projections parallèles Les projections centrales 2 Travail sur les projections centrales Remarque d ordre général Cas d un point de fuite Cas de deux points de fuite œil de l observateur Apprenons à additionner Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
4 Plan Les diverses représentations Principes et difficultés 1 Les diverses représentations Principes et difficultés Les projections parallèles Les projections centrales 2 Travail sur les projections centrales Remarque d ordre général Cas d un point de fuite Cas de deux points de fuite œil de l observateur Apprenons à additionner Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
5 Principes Les diverses représentations Principes et difficultés Pour représenter un objet de l espace on choisit un plan sur lequel on va projeter, qu on appellera plan de projection et un type de projection : Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
6 Principes Les diverses représentations Principes et difficultés Pour représenter un objet de l espace on choisit un plan sur lequel on va projeter, qu on appellera plan de projection et un type de projection : projection parallèle ; Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
7 Principes Les diverses représentations Principes et difficultés Pour représenter un objet de l espace on choisit un plan sur lequel on va projeter, qu on appellera plan de projection et un type de projection : projection parallèle ; projection centrale ; Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
8 Difficultés Les diverses représentations Principes et difficultés Mais ceci ne suffit pas. Les dessinateurs, qu ils soient industriels ou artistiquent veulent montrer un objet, ou une scène. Et la position de l objet importe. Du fait des situations multiples, les terminologies peuvent différer d un auteur à l autre suivant le point de vue qu il adopte. Dans la suite on adoptera le point de vue suivant : on fixera dans l espace euclidien un trièdre trirectangle T donné par trois vecteurs unitaires i, j, k, ou encore si on préfère un cube unité, qui constitura le cube de référence. On fixera une projection parallèle ou centrale sur un plan de projection P. Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
9 Les diverses représentations Principes et difficultés Bien entendu, tous ces éléments peuvent être choisis dans des positions générales, mais les dessinateurs ayant le souci de la lisibilité et de l esthétique choisissent souvent des cas particuliers intéressants, c est-à-dire des positions particulières du cube de référence par rapport au plan de projection. On commencera donc par faire une classification relativement au type de projection utilisée. Puis afin de tenir compte des cas particuliers importants on raffinera cette classification en faisant intervenir la position du cube de référence. Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
10 Plan Les diverses représentations Les projections parallèles 1 Les diverses représentations Principes et difficultés Les projections parallèles Les projections centrales 2 Travail sur les projections centrales Remarque d ordre général Cas d un point de fuite Cas de deux points de fuite œil de l observateur Apprenons à additionner Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
11 Les diverses représentations Les projections parallèles Les diverses projections et perspectives parallèles Les projection parallèles (on dit aussi des perspectives parallèles ou encore axonométries) sont déterminées par le plan de projection P, la direction de projection D qui n est pas une direction du plan P. Si M est un point de l espace, on considère la droite D de direction D passant par M. Elle coupe le plan P en m qui est par définition le transformé du point M. Elles sont très employées en dessin industriel. On distingue : Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
12 Les diverses représentations Les projections parallèles Les diverses projections et perspectives parallèles Les projection parallèles (on dit aussi des perspectives parallèles ou encore axonométries) sont déterminées par le plan de projection P, la direction de projection D qui n est pas une direction du plan P. Si M est un point de l espace, on considère la droite D de direction D passant par M. Elle coupe le plan P en m qui est par définition le transformé du point M. Elles sont très employées en dessin industriel. On distingue : les projections obliques ; Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
13 Les diverses représentations Les projections parallèles Les diverses projections et perspectives parallèles Les projection parallèles (on dit aussi des perspectives parallèles ou encore axonométries) sont déterminées par le plan de projection P, la direction de projection D qui n est pas une direction du plan P. Si M est un point de l espace, on considère la droite D de direction D passant par M. Elle coupe le plan P en m qui est par définition le transformé du point M. Elles sont très employées en dessin industriel. On distingue : les projections obliques ; les projections orthogonales ; Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
14 Les diverses représentations Les projections parallèles Projections obliques ou perspectives parallèles obliques Une projection oblique (ou perspective parallèle oblique) est une projection parallèle dont la direction n est pas perpendiculaire au plan de projection. Bien entendu quand on a dit ça c est très bien, mais on n a rien dessiné! Et l objet de référence qu on va dessiner est le cube de référence. Il est clair que dans ce cas certaines positions sont plus simples et plus explicites que d autres. Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
15 Les diverses représentations Les projections parallèles Cas particuliers : perspective cavalière du cube de référence Dans le cas très utilisé où le plan de projection est parallèle à une face du cube de référence, on dit qu on a une perspective cavalière du cube de référence. Dans ce cas, l angle des vecteurs ( AB, BF ) est appelé l angle de fuite. Le rapport des longueurs BF AB est appelé le rapport de réduction (qui peut être plus grand que 1). Une perspective cavalière C A G D E B H F Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
16 Les diverses représentations Les projections parallèles Cas particuliers : perspective cabinet du cube de référence Une perspective cavalière d un cube dans laquelle le rapport de réduction vaut 1/2 est appelée une perspective cabinet. Question : Comment doit être la direction de projection pour avoir la perspective cabinet d angle de fuite 45? Pour les perspectives cavalières et cabinets, l angle de fuite choisi est souvent 30 ou 45. L angle pifométrique ne marche pas mal non plus. Question : étant donné un dessin du type de celui-ci, est-ce toujours la projection cavalière d un cube? Réponse : oui (Le montrer!) Est-ce une perspective cavalière? C G D H E F A B Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
17 Le cas général Les diverses représentations Les projections parallèles En général si on projette en projection parallèle un triédre ( i, j, k ) orthonormé on obtient trois vecteurs ( u, v, w ) qui engendrent le plan de projection et qui définissent 3 directions ainsi que les rapports de réduction u, v, k sur chacune des directions. Réciproquement, on a le théorème de Pohlke : Théorème Tout triple de vecteurs engendrant un plan P est l image à une homothétie près d un trièdre orthonormé par une projection parallèle sur le plan P. Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
18 Les diverses représentations Les projections orthogonales Les projections parallèles Ce sont aussi des projections parallèles, mais la direction de projection est orthogonale au plan de projection. De ce fait il n est guère intéressant de considérer un plan de projection parallèle à une face, car alors on voit juste une face en vraie grandeur, le reste vient se superposer au tracé de cette face. De ce fait on réserve ces projections aux cas où les axes sont en position générale. Le fait que la projection soit orthogonale évite par exemple les déformations déplaisantes des sphères. Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
19 Les diverses représentations Les projections orthogonales Puisque on utilise les projections orthogonales essentiellement dans le cas général, on récupère comme il a été dit, 3 directions et les rapports de réductions sur chacune d elles. On distingue trois cas : projections orthogonales isométriques projections orthogonales dimétriques projections orthogonales trimétriques suivant que les 3 rapports de réduction sont égaux, que 2 d entre eux sont égaux, ou qu ils sont tous différents. Les projections parallèles Une projection orthogonale u w Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47 v
20 Les diverses représentations Les projections parallèles Une extension du théorème de Pohlke Théorème Soit trois droites concourantes distinctes du plan de projection. Il est facile de construire un triangle dont les trois hauteurs sont les droites portées par les trois droites données. Si l orthocentre de ce triangle est intérieur au triangle, il existe un trièdre trirectangle qui se projette orthogonalement sur ces trois droites. Il est alors facile de construire les vecteurs projetés (graphiquement ou analytiquement). Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
21 Plan Les diverses représentations Les projections centrales 1 Les diverses représentations Principes et difficultés Les projections parallèles Les projections centrales 2 Travail sur les projections centrales Remarque d ordre général Cas d un point de fuite Cas de deux points de fuite œil de l observateur Apprenons à additionner Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
22 Introduction Les diverses représentations Les projections centrales Une projection centrale Les projections centrales donnent des dessins plus réalistes avec leur effet de perspective. Elles sont utilisées en dessin d art. Elles reflètent ce qu on peut obtenir avec un appareil photo. Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
23 Les différents cas Les diverses représentations Les projections centrales Pour bien comprendre les constructions, on doit considérer le plan de projection comme un plan projectif. Divers cas se présentent quand on représente le cube de référence (ou le triédre de référence) : Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
24 Les différents cas Les diverses représentations Les projections centrales Pour bien comprendre les constructions, on doit considérer le plan de projection comme un plan projectif. Divers cas se présentent quand on représente le cube de référence (ou le triédre de référence) : Un point de fuite : c est le cas où le plan de projection contient un plan du trièdre de référence. Donc seule une direction du trièdre a son point à l infini représenté sur la carte constituée par le plan de projection. Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
25 Les différents cas Les diverses représentations Les projections centrales Pour bien comprendre les constructions, on doit considérer le plan de projection comme un plan projectif. Divers cas se présentent quand on représente le cube de référence (ou le triédre de référence) : Un point de fuite : c est le cas où le plan de projection contient un plan du trièdre de référence. Donc seule une direction du trièdre a son point à l infini représenté sur la carte constituée par le plan de projection. Deux points de fuite : le plan de projection contient une seule direction du trièdre de référence Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
26 Les différents cas Les diverses représentations Les projections centrales Pour bien comprendre les constructions, on doit considérer le plan de projection comme un plan projectif. Divers cas se présentent quand on représente le cube de référence (ou le triédre de référence) : Un point de fuite : c est le cas où le plan de projection contient un plan du trièdre de référence. Donc seule une direction du trièdre a son point à l infini représenté sur la carte constituée par le plan de projection. Deux points de fuite : le plan de projection contient une seule direction du trièdre de référence Trois points de fuite : le plan de projection ne contient aucune direction du trièdre de référence Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
27 Cube en perspective Les diverses représentations Les projections centrales Un point de fuite Horizon F Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
28 Cube en perspective Les diverses représentations Les projections centrales Deux points de fuite F1 F2 Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
29 Plan Travail sur les projections centrales Remarque d ordre général 1 Les diverses représentations Principes et difficultés Les projections parallèles Les projections centrales 2 Travail sur les projections centrales Remarque d ordre général Cas d un point de fuite Cas de deux points de fuite œil de l observateur Apprenons à additionner Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
30 Travail sur les projections centrales Remarque d ordre général On se restreint à projeter un plan sur un plan Les faces du cube de référence sont primordiales, aussi une bonne façon de faire est de traiter face par face si bien qu à chaque fois on se restreint à représenter des motifs d un plan sur le plan de projection. Dans la suite nous allons regarder ce qui se passe sur le sol et nous poser des problèmes à partir du tracé d un carrelage. Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
31 Plan Travail sur les projections centrales Cas d un point de fuite 1 Les diverses représentations Principes et difficultés Les projections parallèles Les projections centrales 2 Travail sur les projections centrales Remarque d ordre général Cas d un point de fuite Cas de deux points de fuite œil de l observateur Apprenons à additionner Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
32 Travail sur les projections centrales Cas d un point de fuite Construction d un carrelage à partir d un carreau carreau de référence Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
33 Travail sur les projections centrales Cas d un point de fuite Construction d un carrelage à partir d un carreau carreau à droite Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
34 Travail sur les projections centrales Cas d un point de fuite Construction d un carrelage à partir d un carreau carreau en arrière phase 1 (diagonale du carreau de référence) Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
35 Travail sur les projections centrales Cas d un point de fuite Construction d un carrelage à partir d un carreau carreau en arrière phase 2 (diagonale du carreau arrière) S Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
36 Travail sur les projections centrales Cas d un point de fuite Construction d un carrelage à partir d un carreau carreau arrière complet S Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
37 Travail sur les projections centrales Cas d un point de fuite Construction d un carrelage à partir d un carreau Bloc de carreaux S Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
38 Points mis en jeu Travail sur les projections centrales Cas d un point de fuite F est le point de fuite principal. D1 est un point de distance. D2 est l autre point de distance. La doite contenant F, D1, D2 est la droite de l infini (appelée aussi ligne d horizon en dessin d art). Points importants D1 F D C D2 A B Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
39 Plan Travail sur les projections centrales Cas de deux points de fuite 1 Les diverses représentations Principes et difficultés Les projections parallèles Les projections centrales 2 Travail sur les projections centrales Remarque d ordre général Cas d un point de fuite Cas de deux points de fuite œil de l observateur Apprenons à additionner Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
40 Travail sur les projections centrales Remarques préliminaires Cas de deux points de fuite En géométrie projective la droite à l infini peut être dessinée n importe où. Cependant si nous voulons représenter un paysage terrestre et que nous sommes debout, bien plantés sur nos deux pieds et si nous regardons droit devant nous, la droite à l infini, qui est la ligne d horizon, sera dessinée horizontalement. Comme on le verra, sa position est liée à la hauteur de l œil de l observateur. Les deux points de fuite seront bien entendu sur cette droite. Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
41 Travail sur les projections centrales Cas de deux points de fuite Construction d un carrelage à partir d un carreau Bloc de carreaux F1 horizon J F2 E F D C B A Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
42 Plan Travail sur les projections centrales œil de l observateur 1 Les diverses représentations Principes et difficultés Les projections parallèles Les projections centrales 2 Travail sur les projections centrales Remarque d ordre général Cas d un point de fuite Cas de deux points de fuite œil de l observateur Apprenons à additionner Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
43 Travail sur les projections centrales œil de l observateur Le plan qui passe par l œil de l observateur et qui est parallèle au sol coupe le plan de peojection suivant la ligne d horizon. Ceci nous permet de mesurer les hauteurs connaissant la hauteur de l œil de l observateur. Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
44 Vision 3D Travail sur les projections centrales œil de l observateur Bon pied bon œil Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
45 Travail sur les projections centrales Hauteur d un piquet œil de l observateur Quelle est la hauteur du piquet? F1 horizon J F2 E F D C B A Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
46 Plan Travail sur les projections centrales Apprenons à additionner 1 Les diverses représentations Principes et difficultés Les projections parallèles Les projections centrales 2 Travail sur les projections centrales Remarque d ordre général Cas d un point de fuite Cas de deux points de fuite œil de l observateur Apprenons à additionner Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
47 Travail sur les projections centrales Problème de l addition Apprenons à additionner On fixe sur une ligne de fuite dont on connaît le point à l infini F l origine A et deux points X et Y, il s agit de déterminer le point Z = X + Y. Remarque : il n est pas utile de connaître la position du point unité (pourquoi?). Le spectateur pourra-t-il construire le point d ordonnée produit de celle de X par celle de Y? (nous le saurons dans le prochaine épisode à voir dans toutes les bonnes salles). Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
48 Travail sur les projections centrales Addition sur une ligne de fuite Apprenons à additionner Le challenge A X Y F Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
49 Travail sur les projections centrales Addition sur une ligne de fuite Apprenons à additionner Fixons un horizon H A X Y F Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
50 Travail sur les projections centrales Addition sur une ligne de fuite Apprenons à additionner Un parallélogramme H B C A X Y F Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
51 Travail sur les projections centrales Addition sur une ligne de fuite Apprenons à additionner La somme cherchée H B C A X Y Z F Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
52 Travail sur les projections centrales On recommence autrement Apprenons à additionner Le challenge A X Y F Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
53 Travail sur les projections centrales On recommence autrement Apprenons à additionner Modèle affine de la ligne de fuite A X Y F Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
54 Travail sur les projections centrales On recommence autrement Apprenons à additionner Retranscription du challenge sur le modèle affine Y1 X1 A X Y F Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
55 Fin de partie Travail sur les projections centrales Apprenons à additionner La somme cherchée Z1 Y1 X1 Z A X Y F Robert Rolland () Geométrie du dessin : projections, perspectives 20 septembre / 47
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