RAPPELS CHAPITRE 4 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES.

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1 1 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES. I) RAPPELS DE COURS : Caractérisation par une relation de récurrence Caractérisation par une formule explicite Représentation graphique sur un axe Suites arithmétiques u n+ 1 = u n + r où r est un réel, indépendant de n, appelé la raison de la suite. u n = u 0 + n r u 0 étant le terme initial de la suite. u 0 u 1 u + r + r + r u n - 1 u n = u r Suites géométriques u n + 1 = u n q où q est un réel non nul, indépendant de n, appelé la raison de la suite. u n = u 0 q n u 0 étant le terme initial de la suite. u 0 u 1 u u 3 u n - 1 q q q q u n = u 0. Relation entre deux termes quelconques de la suite Sommes particulières Sommes de termes consécutifs pour tous entiers naturels p et q, u p = u q + r (p q) n = n 1 + n n (n + 1) = La somme de (n + 1) termes consécutifs d une suite arithmétique est : S = u 0 + u 1 + u +. + u n = (n + 1) ( u 0 + u n ) Somme des termes consécutifs d une suite arithmétique = premier terme + dernier terme nombre de termes Si q 1, alors : pour tous entiers naturels m et n, (m n) u m = u n q 1 + q + q + + q n q n = 1 qn q Si q = 1, alors : 1 + q + q + + q n q n = n + 1 La somme de (n + 1) termes consécutifs d une suite géométrique de raison q 1 est : S = u 0 + u 1 + u +. + u n = u 0 1 qn q Somme des termes consécutifs d une suite géométrique = premier terme nombre de termes" " ou premier terme dernier terme raison Remarque : NOMBRE DE TERMES dans S = u p + u p u q 1 + u q Il y a q (p 1) = q p + 1 termes dans cette somme.

2 II) EXERCICES "TYPES" : Point méthode 1 : montrer qu une suite est arithmétique. On peut montrer que la différence (u n + 1 u n ) est toujours constante. EX : Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et, pour tout n V, par u n + 1 = u n. Montrer que (u n ) est arithmétique. Point méthode : montrer qu une suite est géométrique. On peut montrer, à condition que la suite (u n ) soit à termes non nuls, que le quotient u n + 1 u n constant. est toujours EX : Soit (u n ) la suite définie, pour tout n V, par u n = 3 n. Montrer que cette suite est géométrique. n V, 3 n 0 et 3 n 0, donc u n 0 pour tout n V. Point méthode 3 : calculer le premier terme et la raison d une suite arithmétique ou géométrique. On utilise la formule u p = u q + r (p q) pour une suite arithmétique (p et q entiers naturels). On utilise la formule u m = u n q (m n) pour une suite géométrique (m et n entiers naturels). EX 1 : Soit la suite arithmétique (u n ) dont on connaît deux termes u 15 = 5 4 et u 37 = Calculer le premier terme u 0 et la raison r de cette suite.

3 3 On a, pour tous entiers naturels p et q : u p = u q + r (p q). En particulier : La suite arithmétique (u n ) a donc pour premier terme u 0 = et pour raison r =. EX : Soit la suite géométrique (u n ) dont on connaît deux termes u 7 = 4374 et u 4 = Calculer le premier terme u 0 et la raison q de cette suite. On a, pour tous entiers naturels m et n, u m = u n q (m n). En particulier : La suite géométrique (u n ) a donc pour premier terme u 0 =.. et pour raison q =. Point méthode 4 : calculer la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique ou géométrique. Pour une suite arithmétique, on utilise la formule : Somme des termes consécutifs d une suite arithmétique = nombre de termes Pour une suite géométrique, on utilise la formule : premier terme + dernier terme Somme des termes consécutifs d une suite géométrique = premier terme nombre de termes" " EX 1 : Reprenons la suite arithmétique (u n ) dont on connaît deux termes u 15 = 5 4 et u 37 = Calculer la somme S = u k. k=15 On utilise la formule ci-après :

4 4 Somme des termes consécutifs d une suite arithmétique = nombre de termes premier terme + dernier terme S = EX : Calculer S = On définit la suite (u n ) par : n V, u n = 5 n. n V, on a : u n + 1 = 5 n + 1 = 5 5 n = 5u n ce qui prouve que la suite (u n ) est une suite géométrique de raison q = 5. 5 = u et 5 10 = u 10. On utilise la formule : Somme des termes consécutifs d une suite géométrique = premier terme nombre de termes" " S = Point méthode 5 : trouver le terme général d une suite (u n ). On introduit une nouvelle suite, définie à partir de (u n ), et on étudie la nature de cette suite. EX : On considère la suite (u n ) définie sur V par u 0 = 1 et pour tout n de V, u n + 1 = 1 u n. On pose v n = u n + 4 pour tout n de V. 1. Montrer que la suite (v n ) est géométrique.. Exprimer v n, puis u n en fonction de n. SOLUTION : 1. n V, on a : v n + 1 = u n = Comme, n V, on a : u n = v n 4, on obtient : v n + 1 = On a donc : n V, v n + 1 =.., ce qui prouve que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison... Par propriété, n V, on a : v n =... Or : v 0 = Par conséquent : n V, on a : v n = et n V, on a : u n =..

5 5 III) SENS DE VARIATION : Propriété 1 : soir u une suite arithmétique de raison r. Si r > 0 alors la suite est strictement croissante ; Si r < 0 alors la suite est strictement décroissante ; Si r = 0 alors la suite est EX : Soit (u n ) la suite définie par : n V, u n = - 3n n V, on a : u n u n = La variation absolue (u n u n ) est.., donc la suite u est, de raison La suite (u n ) est une suite arithmétique de raison., strictement.., donc la suite (u n ) est strictement Propriété : Soit q un réel non nul. Si q > 1, alors la suite (q n ) est strictement croissante Si q = 1 alors la suite est constante Si 0 < q < 1, alors la suite (q n ) est strictement décroissante Si q < 0, alors la suite (q n ) n est pas monotone Justification : Pour tout entier naturel n, q n q n = q n (..) Si q > 0, alors q n 0 et q n q n a le même signe que (.) Si q = 1, alors q n + 1 = q n pour tout n de V, donc la suite est constante. Si q > 1, alors q - 1 0, donc, pour tout n N, q n q n 0 et la suite (q n ) est strictement. Si 0 < q < 1, alors q - 1 0, donc, pour tout n N, q n q n 0 et la suite (q n ) est strictement. Si q < 0, alors q n + 1 et q n sont de signes, donc la suite (q n ) prend alternativement des valeurs. et des valeurs. : la suite (q n ) ne peut être.

6 6 Propriété 3 : Soit (u n ) une suite géométrique de raison q strictement positive et de terme initial u 0. Si 0 < q < 1 et u 0 < 0, alors la suite (u n ) est strictement.. Si 0 < q < 1 et u 0 > 0, alors la suite (u n ) est strictement.. Si q > 1 et u 0 < 0, alors la suite (u n ) est strictement.. Si q > 1 et u 0 > 0, alors la suite (u n ) est strictement.. Si q = 1 alors la suite est. Justification : Soit n IN. On a u n = u 0 q n et u n + 1 = u 0 q n + 1 Ainsi, n V, on a : u n + 1 u n = u 0 q n + 1 u 0 q n = u 0 (.) = q n u 0 ( ) q > 0, donc on en déduit que le signe de u n + 1 u n est le signe de u 0 (..) Si 0 < q < 1 et u 0 < 0, alors (q - 1) 0 et u 0 < 0, donc u n + 1 u n. 0 et la suite (u n ) est strictement.. Si 0 < q < 1 et u 0 > 0, alors (q - 1) 0 et u 0 > 0, donc u n + 1 u n. 0 et la suite (u n ) est strictement.. Si q > 1 et u 0 < 0, alors (q - 1) 0 et u 0 < 0, donc u n + 1 u n. 0 et la suite (u n ) est strictement.. Si q > 1 et u 0 > 0, alors (q - 1) 0 et u 0 > 0, donc u n + 1 u n. 0 et la suite (u n ) est strictement. EX 1 : Soit u la suite géométrique de raison q = et de terme initial u 0 = 1 4. n V, on a : u n = u 0. =... La suite (u n ) est une suite géométrique de raison., strictement et u 0...., donc la suite (u n ) est strictement EX : Soit v la suite géométrique de raison q = 1 et de terme initial v 0 = 8. n V, on a : v n = v 0. =... La suite (v n ) est une suite géométrique de raison., comprise strictement entre.. et v 0, donc la suite (v n ) est strictement