LES SUITES NUMERIQUES

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1 LES SUITES NUMERIQUES I Définition Une suite est une fonction qui a tout entier naturel n associe, au plus, un réel noté U(n) ou encore U n. Remarque C est une fonction particulière car définie dans É. On réserve en général les lettres f, g, h aux fonctions et u, v, w aux suites. On note souvent U o le premier terme de la suite, bien lire le texte car parfois le premier terme estu 1. Les réels : U 0, U 1, U. U i. U n sont les termes de la suite (U n ). Exemples : Soit (U n ) la suite de terme général U n = n Le premier terme est U 0 = 0 et le dixième terme de la suite est U 9 = 81, le i ème terme est U i = i i Soit (U n ) la suite de terme général U n = 1 n. Le premier terme est U 1 = 1 (pourquoi pas 0?) et le dixième terme de la suite est U 10 = II Mode de génération d une suite Définir une suite c est donner le procédé qui permet d associer à chaque valeur du nombre entier naturel n, le nombre réel noté U n. Ce procédé est appelé un mode de génération de la suite. Remarque : Une suite finie peut-être connue par la liste de ses termes< ; 1. Suite définie par une formule explicite : On connait chaque terme de la suite par un programme de calcul qui donne U n à partir de n. Exemple : soit ( U n ) la suite de premier terme U 0 et telle que U n = n²+n.. Suite définie par une formule de récurrence : On connait le premier terme (en général U 0 )et un programme de calcul qui donne U n+1 en fonction de U n. Exemple : Soit la suite (U n ) telle que U 0 = et U n+1 = U n ² + Remarque : Pour calculer un terme de la suite, il faut d abord, avoir calculé les termes précédents. III Représentation graphique d une suite : Le plan étant muni d un repère, la représentation graphique d une suite est l ensemble des points M de coordonnées (n;u n ). (Faire construire une représentation ex U n = 6 n +) Remarque : n étant un entier naturel les points sont isolés, par simplification parfois on relie ces points 1

2 IV Sens de variation d une suite : 1. Définition : Soit (U n ) une suite. On dit que : (U n ) est croissante lorsque, pour tout nombre entier n, U n+1 Ã U n. (U n ) est décroissante lorsque, pour tout nombre entier n, U n+1 Â U n.. Méthodes d études du sens de variation : pour toute valeur de n a) On étudie le signe de U n+1 -U n. b) On étudie le sens de variation de U (cf fonctions). c) Pour les suites dont les termes sont strictement positifs on compare U n+1 à 1 U n Exemples : a) Donner le sens de variation de la suite (U n ) dont le terme général est U n = n. Pour tout entier n, U n+1 -U n = (n + 1) - n = n + n n = n + 1. Ainsi pour tout entier n, U n+1 -U n > 0, donc la suite U n est croissante. b) Donner le sens de variation de la suite (U n ) définie : { U0 1 Un 1 = = U + n + Pour tout entier n, U n+1 -U n =. Ainsi pour tout entier n, U n+1 -U n > 0, donc la suite (U n ) est croissante. 1 c) Donner le sens de variation de la suite (U n ) définie par U n = ( ) n Pour tout entier n, U n+1 = 1 U n, donc, U n+1 Un V Suite arithmétiques < 1, donc la suite (U n ) est décroissante. 1. Définition : Soit (U n ) une suite et r un nombre réel. On dit que (U n ) est une suite arithmétique de raison r si, pour tout entier naturel n, U n+1 = U n + r. (formule de récurrence) Remarques : Chaque terme est obtenu en ajoutant la raison r au terme précédent. La différence entre deux termes consécutifs quelconques est toujours égale à la raison r.. Calcul de U n : Pour connaitre le terme de rang n il faut calculer tous les termes précédents. Il est donc intéressant de chercher une formule explicite. a) On connait le premier terme U 0 et la raison r : Théorème : Si une suite est arithmétique de premier terme U 0 et de raison r, alors U n = U 0 +nr Démonstration par récurrence : par définition U 0 = U 0 + 0r U 1 = U 0 + r = U 0 + 1r U = U 1 + r = U 0 + 1r + r = U 0 + r il semble que U n = U 0 +nr Supposons vrai la proposition U n = U 0 +nr or par définition U n+1 = U n + r = U 0 +nr+r = U 0 + (n+1)r donc si la proposition est vraie pour un terme elle l est pour le terme suivant Or cette proposition est vraie pour U 1 et U donc elle l est pour U 3 et par récurrence pour U n donc U n = U 0 +nr.

3 Réciproque : Si pour tout entier naturel n on a U n = a+bn, a et b étant des réels non nuls, alors (U n ) est une suite arithmétique de premier terme a et de raison b. Démonstration : U n+1 - U n = (a+b(n+1)) (a+bn) = b, la différence entre deux termes consécutifs quelconques est toujours égal à b, c est donc une suite arithmétique de raison b et de premier terme a. b) On connait un terme quelconque et la raison Si une suite est arithmétique de raison r alors pour tout entier naturel n et p :U n = U p + (n-p)r Démonstration : U n =U 0 +nr U p =U 0 +pr donc U n U p = (n p)r et donc U n = U p + (n-p)r 3. Somme de p termes consécutifs : Propriété 1: La somme S de p termes consécutifs, le premier d une suite arithmétique est : S = p(a+b) a étant le premier terme de cette somme, b le dernier et p le nombre de termes. C est la moyenne entre le premier et le dernier terme de cette somme multipliée par le nombre de termes. Démonstration : S = a+(a+r)+(a+r)+..+(b-r)+(b-r)+b avec p termes S = b+(b-r)+(b-r)+ +(a-r)+(a-r)+a donc S = (a+b)p et S = p(a+b) (dans chaque somme de terme les r s annulent) Attention de U k à U n il y a n k+1 termes (ex de U 0 à U n il y a (n+1) termes) Propriété : Soit (U n ) une suite arithmétique de premier terme U 0 et de raison r. ( n + 1)(U0 + U n) U 0 + U 1 + U + + U n = Remarque : La formule peut aussi se retenir sous la ( nombre de termes) (premier terme + dernier terme) forme : Applications : Les entiers naturels sont les termes d une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1, la somme S des n+1 premiers entiers naturels S = n= (n+1) 0+n donc S= n(n+1) 4. Sens de variation et représentation graphique : U n = r n + U 0 Les points M(n ; U n ) sont sur la droite d équation y = r x+ U 0, donc si r > 0 la suite est croissante, si r < 0 la suite est décroissante. On parle de progression linéaire. 3

4 VI Suites géométriques. 1. Définition : q étant un nombre donné non nul, une suite est dite géométrique si pour tout entier naturel n, U n+1 = U n q. (formule de récurrence) Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par le nombre q. Le quotient de deux termes consécutifs est la raison q. ( faire réfléchir que se passe-t-il si le premier terme ou la raison sont nul?) On se limitera à des suites géométriques de raison positive. Exemple : La suite (U n ) définie par U n = n est-elle géométrique? n 1 n 1 Pour tout entier n, U + = + n = ou ce qui revient au même U U n+1 = U n. n Donc la suite (U n ) est géométrique de raison.. Calcul de U n (formule explicite) : a) On connait le premier terme et la raison. Théorème : Si une suite est géométrique de premier terme U 0 et de raison q alors pour tout entier n U n = U 0 q n Démonstration : par récurrence U 0 = U 0 q 0 U 1 = U 0 q 1 U = U 1 q = U 0 q On suppose que la proposition U n = U 0 q n est vraie par définition U n+1 = U n q = U 0 q n q = U 0 q n+1 donc si la proposition est vraie pour un terme elle l est pour le terme suivant Or cette proposition est vraie pour U 1 et U donc elle l est pour U 3 et par récurrence pour U n. Réciproque : Si pour tout entier naturel n U n = b a n, alors cette suite est géométrique de premier terme b et de raison a. Démonstration : U n+1 = b a n+1 = b a n a = U n a donc la suite est géométrique. On peut aussi Montrer que le quotient entre U n+1 et U n est indépendant de n. b) On connait un terme quelconque U p et la raison q : Si une suite est géométrique de raison q alors pour tout entier naturel n et p, U n = U p q n p démonstration : U n = q n U 0 et U p = q p U 0 donc U n = q n p q p U 0 = q n p U p. 3. Somme de termes consécutifs : La somme S de p termes consécutifs d une suite géométrique de raison q 1, est S = a bq 1 q avec a le premier terme de cette somme et b le dernier. 4

5 Démonstration : S(1-q) = S qs et b = a q p -1 on calcule donc S qs S qs = (a+aq+aq²+ + a q p-1 ) (aq+aq²+ + a q p-1 +a q p ) = a a q p = a bq CQFD Remarque si q = 1 et si on fait la somme de p termes égaux à U 0, donc S = p U 0. Autre formulation : La somme des n+1 premiers termes d une suite géométrique de premier terme U 0 et de raison q, différent de 1 est : n 1 1 q + U 0 + U 1 + U + + U n = S = U 0 1 q Remarque : nombre de termes 1 q La formule peut aussi se retenir sous la forme: premier terme 1 q 4. Sens de variation et représentation graphique : La raison étant un nombre positif tous les termes sont du même signe que U 0. U n+1 U n = U n+1 U n = U n q U n = Un (q-1) Si U 0 > 0 alors U n > 0 Si q > 1 alors U n+1 U n > 0 la suite (U n ) est croissante. Si q < 1 alors U n+1 U n < 0 la suite (U n ) est décroissante. Si U 0 < 0 alors U n < 0 Si q > 1 alors U n+1 U n < 0 la suite (U n ) est décroissante. Si q < 1 alors U n+1 U n > 0 la suite (U n ) est croissante. Si q = 1 la suite (U n ) est constante. Représentation graphique de la suite géométrique (U n ) de raison et de premier terme 1 : n Un 0 0, On parle de croissance exponentielle 5

6 Suites arithmétiques Suites géométriques Définition : Dire qu une suite est arithmétique signifie qu il existe un réel r, appelé la raison tel que : Terme général : U n+1 = U n + r U n = U 0 + n r Relation entre deux termes : U n = U p + (n p) r Somme des termes consécutifs : Définition : Dire qu une suite est géométrique signifie qu il existe un réel q, appelé la raison tel que : Terme général : U n+1 = U n x q U n = U 0 x q n Relation entre deux termes : U n = U p x q n-p Somme des termes consécutifs : S = U 0 + U 1 +.+U n S = p a+b avec a le premier terme de la somme, b le dernier et p le nombre de termes. ou S = (n+1) (U 0+U n ) Nombre de termes par la moyenne entre le premier et le dernier Sens de variation : Si r < 0 U n décroissante. Si r > 0 U n croissante. Si r = 0 U n constante S = U 0 + U 1 +.+U n S = a-bq 1-q avec a le premier terme de la somme, b le dernier et q la raison ou S = U 0 (1-qn+1 ) 1-q U 0 le premier terme, q la raison et n+1 le nombre de termes. Sens de variation : Si q>1 et U 0 > 0,(Un) croissante. Si q> 1 et U 0 < 0, (Un) décroissante. Si 0<q<1 et U 0 > 0, (Un) décroissante Si 0<q<1 et U 0 < 0, (Un) croissante. 6