Chap 1 Suites géométriques

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1 Chap 1 Suites géométriques Terminale ES Chap 1 - Suites géométriques I Notion de suite géométrique (TES110, TES111, TES112)4 1) Définition4 2) Relation entre les termes4 II Monotonie d'une suite géométriques (TES113)5 1) Sens de variation d'une suite5 2) Sens de variation des suites (q n )5 3) Sens de variation d'une suite géométrique de premier terme positif6 III Somme des termes d'une suite géométrique (TES114, TES118)8 1) Somme des (n+1) premières puissances de q8 2) Somme des (n+1) premiers termes d'une suite géométrique8 IV Limite d'une suite géométrique de raison strictement positive (TES115, TES116)9 1) Notion de limite9 2) Limite des suites (q n ) avec q>010 3) Limite d'une suite géométrique10 V Recherche d'un seuil et suite géométriques (TES117)11 A Gniady Chap 1 Suites géométriques 1 / 11

2 A Gniady Chap 1 Suites géométriques 2 / 11

3 Vérifier les acquis p 14 Activités : 1 p 15 (somme termes avec tableur) TES11 Chap1 - Suites géométriques Exercices TES110 TES111 TES112 TES113 TES114 TES115 TES116 TES117 Modéliser une situation par une suite géométrique Ecrire le terme général Un d'une suite géométrique connaissant sa raison q et un terme quelconque Up Montrer à l aide d un calcul qu une suite (Un) est géométrique Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique de raison strictement positive Calculer et utiliser la somme des termes d'une suite géométrique Etudier la limite d'une suite géométrique de raison strictement positive Déterminer la limite de la somme des termes consécutifs de certaines suites géométriques de raison strictement positive Algo : Détermination d'un seuil AP : 19 à 22 p p 24 ; 46 p 25(algorithme) Feuille n 21 (algo), n à 41 p 25 AP : ex 18 p 22 Ex 28, 29,30 p 24 Algorithme : 47, 48 p 20 (afficher un terme d indice donné d une suite géométrique à l aide de la boucle pour) 31 à 34 p 24 Feuille n 39 Calcul direct : 48,49 p 25 Sous forme de problème :47, 51 p 25 Feuille n 1-2, n , n à 56 p 26 Feuille n 3, n , n (bof)-47 et à 63 p 26 AP : 23 p 23 44, 45, 46 p p 26 (Bordas : 3 p 16, 6 p 17, 34 p 19, 81 et 82 p 23) TES118 Algo : Somme de termes 50 p 25 Exercices bilan : p 31, 87 p 32 Feuille : Réussir au bac : n Algo : 1 p 163 (somme à la calculatrice) A Gniady Chap 1 Suites géométriques 3 / 11

4 I Notion de suite géométrique (TES110, TES111, TES112) Une suite géométrique est une suite dont chaque terme se déduit du précédent en multipliant par une constante q, appelée raison de la suite 1) Définition Définition : Une suite (u n ) est dite géométrique s'il existe un réel q tel que pour tout n N, u n+ 1 =q u n Le réel q est appelé «raison» de la suite (u n ) Exemples : La suite 2; 6; 18; 54; 162; 486 est la suite géométrique de raison 3, de premier terme 2; La suite définie sur par u 0 =1 pour tout n N, u n+ 1 =4 u n est la suite géométrique, de raison 4, dont les premiers termes sont 1; 4; 16; 64 La suite des puissances de 2 est géométrique de raison 2, de terme général u n =2 n pour tout n N Exercice 1 : Soit la suite (v n ) définie par v n = 2n 3 n+ 1 Montrer que la suite (v n ) est géométrique Préciser sa raison 2) Relation entre les termes Théorème : Soit ( u n) la suite géométrique de premier terme u 0 0 et de raison q 0 Alors pour tout n N, u n q n Exemple : Soit (u n ) une suite géométrique de premier terme u 0 =3 et de raison q= 1 2 Alors on a : u n =3 ( 1 6 2) ; u 6 q =3 ( = 2) 3 2 = Théorème général : Soit ( u n) la suite géométrique de premier terme u 0 0 et de raison q 0 Alors pour tous entiers naturels n et k, on a u n =u k q n k Exemple : Soit (u n ) une suite géométrique de raison q= 9 2 telle que u 10 =5 A Gniady Chap 1 Suites géométriques 4 / 11

5 Alors on a : u n =5 ( 9 n 10 2 ) ; u 50 =u 10 q =5 ( ) Propriété : Soit ( u n) la suite définie sur par u n =b an Alors la suite ( u n) où a et b sont deux réels est géométrique de premier terme b et de raison a Preuve : pour tout n N, on a u n+ 1 =b a n+ 1 =b a n a=u n a=a u n Ainsi pour tout n N, u n+ 1 =a u n et la suite (u n ) est donc géométrique de raison a Son premier terme est u 0 =b a 0 =b 1=b Exercice 2 : En 2010, on place un capital de à intérêts composés au taux annuel de 1,8% On appelle u n le capital obtenu au bout de n années de placement 1) Montrer que la suite (u n ) est géométrique Donner sa raison et son premier terme 2) En déduire l'expression de u n en fonction de n De quel capital pourra-t-on disposer au bout de 8 années de placement? 3) A l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d'années de placement le capital acquis dépassera le double du capital initial II Monotonie d'une suite géométriques (TES113) 1) Sens de variation d'une suite Définitions : Une suite (u n ) est dite croissante lorsque pour tout entier naturel n, on a : u n+ 1 u n, c'est-à-dire u n+ 1 0 ; Une suite (u n ) est dite décroissante lorsque pour tout entier naturel n, on a : u n+ 1 u n, c'est-à-dire u n+ 1 0 Une suite (u n ) est dite constante (ou stationnaire) lorsque pour tout entier naturel n, on a : u n+ 1 =u n, c'est-à-dire u n+ 1 =0 2) Sens de variation des suites (q n ) Théorème : Soit (u n ) la suite définie sur par u n =q n La suite (u n ) est strictement croissante si q> 1 ; La suite (u n ) est constante si q=1 ; La suite (u n ) est strictement décroissante si 0<q<1 ; (La suite (u n ) n est pas monotone si q< 0 ) Preuve : Etudions le signe de u n+ 1 =q n+ 1 q n =q n (q 1) : A Gniady Chap 1 Suites géométriques 5 / 11

6 Si q>1, alors q n >0 et q 1> 0, donc u n+ 1 > 0 et la suite (u n ) est strictement croissante ; Si q=1, alors q 1=0, donc u n+ 1 =0 et la suite (u n ) est constante ; Si 0<q<1, alors q n >0 et q 1< 0, donc u n+ 1 < 0 et la suite (u n ) est strictement décroissante ; Si q< 0, on ne connaît pas le signe de q n (il dépend de la parité de n) 3) Sens de variation d'une suite géométrique de premier terme positif Théorème : Soit ( u n) la suite géométrique de premier terme u 0 > 0 et de raison q 0 La suite ( u n) a même sens de variation que la suite (qn ) (appliquer le théorème ci-dessus) Preuve : On sait que pour tout n N, on a : u n q n Pour étudier le sens de variation de ( u n), on étudie le signe de u n+ 1 On a : u n+ 1 q n+ 1 u 0 q n (q n+ 1 q n ) Et comme on a u 0 > 0, alors u n+ 1 est du signe de q n+ 1 q n Conclusion : Si (u n ) est une suite géométrique de premier terme positif, alors elle a le même sens de variation que la suite (q n ) Remarque : Si on a u 0 < 0, alors la suite ( u n) a sens de variation contraire à celui de la suite (qn ) A Gniady Chap 1 Suites géométriques 6 / 11

7 A Gniady Chap 1 Suites géométriques 7 / 11

8 III Somme des termes d'une suite géométrique (TES114, TES118) 1) Somme des (n+1) premières puissances de q Pour tout réel q 1, on a 1+ q+ q 2 + q q n 1 1 qn+ = 1 q Preuve : On note A n =1+ q+ q 2 + q q n 1 + q n (somme des n+1 puissances de q) On a q A n =q+ q 2 + q 3 + q q n + q n+ 1 On soustrait membre à membre ces deux égalités : On obtient A n q A n =(1+ q+ q 2 + q q n 1 + q n ) (q+ q 2 + q q n + q n+ 1 ) A n (1 q)=1 q n qn+ Ainsi, si q 1, alors A n = ou encore 1+ q+ q 2 + q q n 1 1 qn+ = 1 q 1 q Cas particulier : Si q=1, alors on a : 1+ q+ q 2 + q q n = n =n+ 1 2) Somme des (n+1) premiers termes d'une suite géométrique Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 0 et de raison q 0 La somme S n des n 1 premiers termes de la suite est : 1 1 qn+ S n + u 1 + u u n lorsque q 1 1 q premier terme nombre de termes de la somme de la somme Preuve : On note S n + u 1 + u u n On a : S n + q u 0 + q 2 u q n u 0 D'où S n (1+ q+ q q n ) Ainsi, d'après ce qui précède, si q 1, alors on a : S n 1 qn+ 1 1 q Cas particulier : Si q=1, alors pour tout entier naturel n, on a u n+ 1 =u n et donc, on a : u 0 + u 1 + u u n =(n+ 1) u 0 Remarque : Si le premier terme de la suite avait été u 1, alors u 1 + u u n =u 1 1 qn 1 q Exercice 3 : 1) Calculer ) On considère la suite géométrique (u n ) de raison 2 et de premier terme u 0 = 1 2 Calculer S + u u 29 Exercice 4 : Pierre a obtenu un prêt progressif pour financer l'achat de sa maison La première année, il paye des mensualités de 1000, ensuite ces mensualités augmentent de 2,5% par an La durée de son remboursement est de 15 ans A Gniady Chap 1 Suites géométriques 8 / 11

9 Quel est le montant total des remboursements? ( Corrigé Indice page 13) IV Limite d'une suite géométrique de raison strictement positive (TES115, TES116) 1) Notion de limite Étudier la limite d'une suite, c'est se demander ce que deviennent les nombres u n lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes, vers + Plus précisément, on s'intéresse aux questions suivantes : - Les nombres u n finissent-ils par s'accumuler près d'une nombre fixe? - Les nombres u n finissent-ils par dépasser n'importe quel nombre aussi grand que l'on veut? Exemples : a Ecrivons la liste des termes de la suite (u n ) définie par u n = 1 : n 1; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; ; 1 10 ; ; ; ; 1 10 ; ; ; 10 Il est clair que les termes de la suites finissent par s'accumuler autour de 0 On dit que la suite (u n ) converge vers 0 ou encore qu'elle admet pour limite 0 (quand n tend vers + ) On écrit u n =0 lim n + b Considérons la suite (v n ) définie par v n =n 2 Les termes de cette suite sont : 0; 1; 4; 9; ;100 ; ; ; Il est clair que les termes finissent par être aussi grand que l'on veut On dit que la suite (v n ) tend vers + ou encore qu'elle admet pour limite + (quand n tend vers + ) On écrit lim n + v n =+ c Considérons la suite (w n ) définie par w n = n 2 D'après l'exemple b, les nombres n 2 deviennent aussi grand que l'on veut On en déduit que les termes n 2 deviennent infiniment petits D'où lim n + w n = A Gniady Chap 1 Suites géométriques 9 / 11

10 2) Limite des suites (q n ) avec q>0 Propriété : - Si la raison q est strictement supérieure à 1, alors la suite géométrique (q n ) a pour limite + (quand n tend vers + ), ce qui se note lim q n =+ n + - Si la raison q est comprise strictement entre 0 et 1, alors la suite géométrique (q n ) a pour limite 0 (quand n tend vers + ), ce qui se note lim q n =0 n + - Si la raison q est égale à 1, la suite géométrique (q n ) est constante égale à 1 et sa limite est 1 3) Limite d'une suite géométrique Propriété : - Soit (u n ) une suite géométrique de raison q avec q> 1 Si son terme initial est positif, alors la limite de la suite (u n ) est + ; Si son terme initial est négatif, alors la limite de la suite (u n ) est - Soit (u n ) une suite géométrique de raison q avec 0< q< 1 La suite limite de la suite (u n ) est 0 Exercice 5 : Déterminer la limite de chacune des suites (u n ) définies pour tout entier naturel n par : a u n =3 ( 1 n b u 7) n = 2 ( 5 n 6 ) c u n = 3 5 8n d u n = 6 13 n (exo corrigé dans Indice page 15) A Gniady Chap 1 Suites géométriques 10 / 11

11 Exercice 6 : (u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 =6 et de raison q= 1 5 Pour tout entier naturel n non nul, on note S n la somme des n premiers termes de la suite (u n ) 1 Calculer S 5 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4, en donner une valeur approchée à 10 4 près 2 Déterminer le sens de variation de la suite (u n ) 3 Montrer que pour tout entier n, S n =7,5(1 0,2 n ) 4 Déterminer le plus petit entier n 0 tel que pour tout n> n 0, on ait : 7,49999< S n < 7,5 5 Vers quel réel tend S n quand n vers + (exo corrigé dans Indice page 15) V Recherche d'un seuil et suite géométriques (TES117) Exercices A Gniady Chap 1 Suites géométriques 11 / 11