Comparaison entre la méthode GUM et Monte Carlo pour l estimation de l incertitude en mesure 3D: application à l étude d une planéité

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1 Coparaison entre la éthode GU et onte Carlo pour l estiation de l incertitude en esure 3D: application à l étude d une planéité A.Jalid a, S.Hariri b, J. P.Senelaer c, A.El Gharad a a. Univesité ohaed V de Rabat, Ecole Norale Supérieure d'enseigneent Technique (ENSET ) de Rabat, Laboratoire LaIPI, Avenue de l'arée Royale, adinat Al Irfane, Rabat aroc. Eail: a.jalid@u5s.net.a; a.algharad@u5s.net.a b. Départeent Technologie des Polyères et Coposites & Ingénierie écanique Ecole des ines de Douai, 941 rue Charles Bourseul Douai France ; Eail: said.hariri@ines-douai.fr c. Ecole Supérieure de étrologie, Ecole des ines de Douai, Douai, France. Eail: jean-paul.senelaer@ines-douai.fr Résué: Dans l industrie écanique, le contrôle des pièces fabriquées est effectué généraleent sur une achine à esurer Tridiensionnelle (T), un palpeur onté à l extréité de la achine vient palper un enseble de point sur la surface à contrôler, un traiteent inforatique est effectué par le logiciel associé a la achine, le résultat de ce processus de esure peret de valider ou non la conforité de la pièce. L incertitude de esure est un paraètre crucial pour prendre les bonnes décisions, et par conséquent la non prise en considération de ce paraètre peut conduire parfois à des décisions aberrantes. La déterination de l incertitude du processus de esure dans une achine T est une tâche coplexe vu la variété des facteurs d influence. Dan cet article nous présentons une coparaison entre deux éthodes d estiation de l incertitude de esure de la planéité d une surface appartenant à une pièce industrielle. La preière est la éthode GU et la deuxièe est celle de onte Carlo. Abstract In the engineering industry, control of anufactured parts is usually done on a Coordinate easuring achine (C), a sensor ounted at the end of the achine just probe a set point on the surface to be inspected, a data processing is perfored subsequently using software, the result of this easureent process validates or not the confority of the part. easureent uncertainty is a crucial paraeter for aking the right decisions, and therefore not taken into account this paraeter can soeties lead to aberrant decisions. The deterination of the uncertainty easureent on C is a coplex task for the variety of influencing factors. In this article we present a coparison of two ethods to estiate the uncertainty of the easureent process of the flatness of a surface belonging to an industrial part. The first is the GU ethod and the second the onte Carlo ethod. ots clefs: Incertitude planéité, éthode GU, éthode de onte Carlo 1

2 1. Introduction Dans l industrie écanique, le contrôle des pièces fabriquées est effectué généraleent par une achine à esurer tridiensionnelle, à l aide d un palpeur onté à l extréité de la achine, on vient palper un enseble de point sur la surface à contrôler, un traiteent inforatique est effectué par la suite pour traiter les données à l aide du logiciel associé à la achine, le résultat de ce processus de esure peret de valider ou non la conforité de la pièce. L incertitude de esure est un paraètre crucial pour prendre les bonnes décisions, et par conséquent la non prise en considération de ce paraètre peut conduire parfois à des décisions aberrantes. La déterination de l incertitude du processus de esure dans une achine T est une tâche coplexe vu la diversité des facteurs d influence. De nobreux travaux ont porté sur l estiation de l incertitude associée au résultat de esure. J. Sładek présente dans [3] une éthode d estiation de l incertitude de esure par la éthode de onte Carlo basé sur le odèle de la achine virtuelle. Xiu-Lan Wen, propose dans [4] une déarche d évaluation et de vérification de la planéité en rapport avec la nore GPS en tenant en copte de l incertitude associée, l erreur de planéité est calculée en utilisant un odèle athéatique basé sur un algorithe génétique. A.B. Forbes présente dans [5] les différentes approches pour estier les incertitudes de esure, et déontre que la éthode GU et la éthode de onte Carlo fournissent deux solutions approchées à la éthode bayésienne. Balsao et al. [6], évalue l incertitude sur T à travers des siulations de onte Carlo. J.P Kruth [7] présente une éthode pour estier l incertitude de esure sur une achine T par siulation de onte Carlo et déontre que lors d une esure la taille de l échantillon pris sur une surface est un des facteurs qui influence l incertitude de esure. Les éthodes présentées traitent l estiation de l incertitude de esure sur T en supposant que les coordonnées des points palpés sont non entachées d erreurs, ce qui n est pas vraie sur une achine T et l estiation de cette incertitude est faite soit par l une ou l autre éthode. Dan cet article nous présentons une étude coparative de deux éthodes d estiation de l incertitude de esure associée à la esure d un défaut de planéité. La preière s appuie sur la déarche du GU définit dans la nore [1], un odèle est développé selon cette déarche et qui peret de tenir copte de l incertitude associée aux coordonnées des points esurés, et la deuxièe est une éthode nuérique qui et en application la propagation des distributions en utilisant une éthode de onte Carlo (C) définit dans le suppléent 1 du GU [2]. 2. odélisation athéatique de la planéité d une surface La planéité est définie dans la nore ISO 1101[8] coe étant l écart inial entre deux plans parallèles P1 et P2 contenant tous les points prélevés. t Figure 1 : Défaut de planéité d une surface 2

3 A partir d un nuage de points prélevés sur une T, le logiciel associé à la achine procède à une identification de la surface par application d un critère d association, soit le critère des oindres carrés ou le critère inax, par la suite les paraètres de la surface associée servent dans une phase de calcul pour estier le défaut de planéité. Soit n la direction du vecteur noral au plan associé (voir figure 2), et soit et les deux points extrêes du nuage palpé suivant cette direction. * n A * * i * * * Plan associé * Figure 2 : Paraètres d un plan associé On peut estier le défaut de planéité à partir de l expression dp. n Equa-1 x x n x dp y y. n y ( x x ). nx ( y y ). n y ( z z ). n Equa-2 z z z n z L estiation des paraètres du plan associé est effectuée selon le odèle donné à la figure 3, le odèle se base sur la régression en distance orthogonale (ODR) et fourni l incertitude sur les paraètres de la surface associée avec prise en copte des incertitudes sur les coordonnées des points palpés, une éthode est développée dans [9] donnant plus de détail sur l algorithe et la déarche suivie. Par la suite le défaut de planéité est calculé à partir des paraètres trouvés selon l équation 2. Nuage de points i(x i, y i, z i) Incertitude sur les coordonnées x i, y i, z i odèle d estiation des paraètres et incertitudes Paraètres du plan associé Incertitudes sur les paraètres Figure 3 : odèle d estiation des paraètres et incertitudes 2.1 Prise en copte des incertitudes sur les coordonnées des points L incertitude d acquisition d un point sur une T est en général non constante et dépend de la position du point dans le volue du travail, une des relations counéent utilisées d après [10] est de la fore : 2 2 ( a ( b. L) u. Equa-3 k Où a et b sont des constantes données par le constructeur, et k le fractile défini par la loi de distribution choisie. Cette incertitude type est définie pour chaque axe de la achine, et en faisant l hypothèse que la distribution de ces erreurs suit une loi norale de oyenne nulle et d écart type u. 3

4 La atrice de variances covariances associée à chacun des points et est donnée par : i var( x i ) var( y i) var( z i ) Equa-4 3. Propagation des incertitudes Soit une fonction à plusieurs variables Y=f (X i ), et soit X i : variables aléatoires de oyenne X d écart type. La sortie Y est de oyenne Y et d écart type. x La déterination du écanise de propagation des incertitudes consiste à chercher l estiateur Y Y et et de la variance V (Y ). Ceci peut être illustré par la figure 2 : X 1 X 2 odèle de propagation des incertitudes Y= f(x) Sortie Y X n Les entrées X i Figure 4 : odèle de propagation des incertitudes Pari les différentes approches possibles perettant d estier l incertitude de la sortie Y, on peut citer : la loi de propagation des incertitudes la éthode de onte Carlo 3.1 Loi de propagation des incertitudes GU Cette loi est basée sur un développeent liité de la fonction Y= f(x) au preier ordre, la variance de la sortie Y s exprie par la forule suivante : 2 k k1 k f f f V( Y) V( Xi) 2. cov( Xi, X j ) Equa-5 i1 X i X i 1 j i Xi X X j X Cette loi est définie dans le guide pour l expression de l incertitude de esure [1]. Elle peret à partir de la connaissance des variances et covariances des variables d entrées X i d estier la variance de la sortie Y. 4

5 Propagation généralisée: C est la généralisation du cas précédent, au cas à plusieurs variables de sorties Y. Il s agit de la loi de propagation des incertitudes pour des grandeurs vectorielles de diension n. Pour une fonction vectorielley f ( X1, X2, X3,... X n ), nous avons : 2 k k1 k f f f VC( Y) V( Xi) 2. cov( Xi, X j) i1 X i X i 1 j i Xi X X j X k k f f X X i 1 j 1 i X j X J.. J Où T cov( X, X ) X, l estiateur du vecteur X ( X 1, X 2,... X n) ; i J représente la atrice Jacobienne ; VC( Y) représente la atrice des variances et des covariances du vecteur Y. j - La atrice représente la atrice de variances covariances de n, et donnée par : n et var( nx) cov( nx, ny) cov( nx, n ) z n cov( ny, nx) var( ny)...cov( n y, nz ) cov( nz, nx) cov( nz, ny) var( nz ) Equa-6 Cette loi généralisée de propagation des incertitudes peut s écrire sous la fore condensée suivante : T VC( Y) J.. J Equa-7 Cette forulation sera adoptée par la suite pour exprier la propagation de l incertitude à partir des paraètres de la surface associée au défaut de planéité. Le odèle utilisé est décrit dans [9] [12], les entrées sorties du odèle sont représentées à la figure 6. Ce odèle se base sur la loi de propagation des variances définit par le GU [1], à partir des variances sur les paraétres de la surface associée, on estie la variance (inceritude) sur le défaut de fore. Un point A Vecteur noral n atrice de variance covariance (pts, n ) odèle de propagation des incertitudes GU Défaut de planéité Incertitude sur le défaut de planéité Figure 5 : odèle de propagation de l incertitude selon GU 3.2 éthode de onte Carlo La éthode de onté Carlo est une éthode plus générale. Elle peret de reconstituer artificielleent un phénoène aléatoire en siulant un échantillon fictif de réalisation à partir des 5

6 variables d entrées. Il faut donc définir les densités de probabilité de chaque grandeur d entrée qui seront propagées pour obtenir la densité de probabilité de la variable de sortie. Cette éthode peut servir de validation à la déarche décrite par la loi de propagation des incertitudes en faisant une coparaison des résultats obtenus. La déarche proposée par le suppléent 1 du GU [2], sur les éthodes nuériques de propagation des distributions consiste à vérifier si les intervalles de confiance obtenus par la éthode de onte Carlo et la loi de propagation des incertitudes sont en accord avec un degré d approxiation calculée Validation de la loi de propagation des incertitudes par la éthode de onte Carlo La déarche proposée par le suppléent 1 du GU [2] sur les éthodes nuériques de propagation des distributions, consiste à vérifier si les intervalles de confiance obtenus par la éthode de onte Carlo et la loi de propagation des incertitudes sont en accord avec un degré d approxiation calculé de la anière suivante : La loi de propagation des incertitudes donne l incertitude élargie U(y) pour un intervalle de confiance à 95% avec k=2. Le résultat y est exprié sous la fore yu(y). La siulation de onte Carlo génère une distribution de oyenne y et d écart type u(y).on exprie le degré d approxiation sous la fore = (1/2). 10 r Equa-8 On déterine ensuite les quantités y- U(y)-y low et y+ U(y)-y high Equa-9 Avec y low et y high les deux liites de la distribution de onte Carlo calculées pour un intervalle de confiance à 95%. Si ces deux quantités sont inférieures à la loi de propagation des incertitudes est validée. y low y y high y-y low y high-y Figure 6 : Paraètres de la distribution de onte Carlo Cette déarche de validation sera utilisée pour vérifier si le calcul développé selon la éthode GU est valide. 4. Application en étrologie diensionnelle La surface d une pièce industrielle a été esurée en 24 points, la surface à palper est placée sur la table de la achine avec une direction approxiative portée par l axe verticale z de la achine, on donne dans le tableau 1 le nuage de points palpé : 6

7 x y z x y z Tableau 1: Nuage de points traité L estiation du plan associé en appliquant le critère des oindres carrés, nous donne les résultats du tableau 2: Plan 24 pts Paraètres en Tableau 2 : Paraètres du plan associé. ± Incertitudes en μ x A y A z A n x n y n z Le point A (x A, y A, z A ) t est un point du plan associé et n ( n x, n y, n z ) t le vecteur norale à la surface. 4.1 Résultat de la loi de propagation des incertitudes GU A partir de l expression du défaut de planéité, on estie la variance associée au défaut par T l expression V( dp) J.. J. La atrice Jacobienne J est donnée par : dp dp dp dp dp dp dp dp dp J nx ny nz x y z x y z Avec : dp dp dp x x ; y y ; z z ; n n n x y z dp dp dp nx ; n y ; nz ; x y z dp dp dp nx ; n y ; nz ; x y z Equa-10 Equa-11 Les deux points extrêes et du nuage palpés suivant la direction norale n sont donnés ci dessous : 7

8 x y z Tableau 3 : Coordonnées des points extrêes et. Les résultats obtenus à l aide de la loi de propagation des incertitudes sont donnés dans le tableau 4. Défaut de planéité dp () ± Incertitude associée () Tableau 4 : Planéité et incertitude selon GU Le choix du nobre de points prélevé et de la position de ces points sur la surface à contrôler affecte considérableent les grandeurs esurées à savoir le défaut de planéité et de l incertitude associée. Une étude est développée par A.Jalid et al dans [12], a peris d analyser l influence du nobre de points sur le défaut de fore et de l incertitude associée. L incertitude associée est estiée selon la éthode GU et les résultats de cette étude peuvent être résués coe suit : - plus le nobre de points est élevés eilleure est la représentation de la surface, - le défaut de planéité augente légèreent en fonction du nobre de points et se stabilise à partir d une valeur qu on peut considérer coe optial, - par contre l incertitude associée au défaut de fore diinue lorsque ce nobre augente pour converger par la suite à une valeur iniale Siulation de onte Carlo Données pour la siulation de onte Carlo La fonction Y que l on cherche à siuler est le défaut de planéité dp exprié par : dp ( x x ). n ( y y ). n ( z z ). n x y z Cette fonction dp dépend des variables aléatoires ( x, y, z, x, y, z, nx, ny, n z). On retient l hypothèse d une distribution norale de chacune de ces variables. Chaque valeur de ces variables est considérée coe étant de valeur oyenne et d écart type Incertitude élargie / k, avec k=2. Les deux points extrêes et sont donnés dans le tableau 4 du paragraphe précédent, la norale au plan n (nx, ny, nz) t avec les incertitudes respectives obtenues sont données dans le tableau 2 du paragraphe Génération des variables aléatoires Afin de générer des nobres aléatoires distribués selon une loi norale, nous avons utilisé l algorithe de Box uller [11]. Si u1 et u2 sont deux nobres aléatoires unifores sur l intervalle] 0,1[, les nobres z1 et z2 définis par : z1 2ln u1.cos(2. u2 ); et z2 2ln u1.sin(2. u2 ) suivent la loi norale réduite, et pour avoir des nobres distribués selon une loi norale (, ) x donnée par l expression suivante x. z on construit la variable aléatoire 8

9 Un prograe écrit en atlab, peret de générer selon l algorithe de Box uller une variable aléatoire appartenant à une distribution de oyenne et d écart type, et nous a peris la siulation selon onte Carlo. Les résultats de la siulation sont portés sur la figure 7, on retient les valeurs suivantes : La valeur oyenne de la sortie appelée y ean = L écart type de la distribution y std = Les valeurs y low (iniale) et y high (axiale) sont données à 95 % (k=2): y low = y high = y_low y_ean y_high Figure 7 : Résultats de la siulation de onte Carlo 4.3 Coparaison des résultats des deux éthodes Les résultats des deux éthodes sont groupés dans le tableau 5 : Résultats de la loi de propagation des incertitudes avec K=2 (95%) Défaut de fore y = défaut fore = U=2* défaut fore = Résultats de la siulation de onte Carlo avec K=2 (95%) Défaut de fore = u(y) = y low= y high= Tableau 5 : Résultats de la loi de propagation des incertitudes et de la éthode de onte Carlo On constate que la valeur du défaut de fore estié par les deux éthodes est presque identique (écart d environ 10-6 ), et que la différence entre les deux intervalles de confiance obtenus est très 9

10 faible. Afin de confirer la validité des résultats trouvés par application de la loi de propagation des incertitudes (selon GU), il faut que les intervalles: y- U(y)-ylow et y+ U(y)-yhigh soit inférieur à. y- U(y)-ylow = = < y+u(y)-yhigh = = < Après calcul on constate que le critère décrit par le suppléent 1 du GU est respecté dans les deux cas, on peut donc conclure que le odèle développé et qui se base sur la loi de propagation des incertitudes selon GU est valide. 5. Conclusion L article proposé présente une étude coparative entre les éthodes d estiation de l incertitude de esure appliquée à une étude de planéité. On a coencé par présenter les différentes éthodes de propagation des incertitudes à savoir la éthode GU et la éthode de onte Carlo. L estiation de la planéité est effectuée en se basant sur l algorithe de la régression en distance orthogonale ODR [9], et à partir des incertitudes sur les paraètres du plan associé, on a estié l incertitude associée au défaut de planéité selon la déarche du GU puis par siulation de onte Carlo. Les résultats trouvés ont été coparés, on constate que les défauts de planéité trouvés par les deux éthodes sont presque identiques (écart d environ 10-6 ), et que la différence entre les deux intervalles de confiance obtenus est très faible. Le critère décrit par le suppléent 1 du GU est respecté, on peut donc conclure que le odèle développé pour la propagation des incertitudes selon GU est valide. Références [1] ISO/IEC. ISO/IEC GUIDE 98-3: uncertainty of easureent Part 3: Guide to the expression of uncertainty in easureent, Nore (GU: 1995); [2] JCG 101, Evaluation of easureent data Suppleent 1 to the Guide to the expression of uncertainty in easureent Propagation of distributions using a onte Carlo ethod, BIP Joint Coittee for Guides in etrology, Sevres; 2008 [3] J.Sladek, A.Gaska., Evaluation of coordinate easureent uncertainty with use of virtual achine odel based on onte Carlo ethod, Article, easureent 45 (2012) [4] Xiu-Lan Wen, Xiao-Chun Zhu, Yi-Bing Zhao, Dong-Xia Wang, Feng-Lin Wang., Flatness error evaluation and verification based on new generation geoetrical product specification (GPS), Article, Precision Engineering 36 (2012) [5] A.B Forbes., Approaches to evaluating easureent uncertainty, Article, Int. J. etrol. Qual. Eng. Volue 3, Nuber 2, 2012 [6] Balsao, A., Di Cioo,., ugno, R., Rebeglia, B.I., Ricci, E. and Grella, R. (1999), Evaluation of C uncertainty through onte Carlo siulations, Annals CIRP Annals - anufacturing Technology, 1999; 48(1): ontreux, Switzerland. [7] Jean-Pierre Kruth, Nick Van Gestel, Philip Bleys, Frank Welkenhuyzen, Uncertainty deterination for Cs by onte Carlo siulation integrating feature for deviations, Article, CIRP Annals - anufacturing Technology 58 (2009) [8] International Organization for Standardization ISO 1101: 2004, Geoetrical product specifications (GPS) Geoetrical tolerancing Tolerances of for, orientation, location and run-out, Nore

11 [9] Abdelilah Jalid, Said Hariri, Jean Paul Senelaer, Estiation of for deviation and the associated uncertainty in coordinate etrology, Article, International Journal of Quality & Reliability anageent, Vol. 32 Iss: 5, [10] International Standard Developent of Virtual C, Final Research Report, the University of Tokyo, JAPAN, ai 2002, page 72. [11] G.E.P Box,.E. uller, A note on the generation of rando noral deviates, Annals ath. Stat, Vol. 29, Nuber 2, pp , (1958). [12] A. Jalid, S. Hariri and N. E. Laghzale., Influence of saple size on flatness estiation and uncertainty in three-diensional easureent, Article, Int. J. etrol. Qual. Eng., 6 1 (2015)